概率答案解析.docx

（P6）
1、写出下列随机试验的样本空间
（1）同时抛掷三枚骰子，记录三颗骰子点数之和
{3,4,5,6,7,….16,17,18}
（2）单位圆内任取一点，记录其坐标
{(x,y)|x²+y²＜1}
（3）生产新产品直至有10件合格品为止，记录生产的总件数
{x|x≥10且x∈N}
3、一名射手连续向某个目标射击三次，事件Ai表示第i次射击时击中目标（i=1,2,3）。试用文字叙述下列事件：
（1）A1∪A2=“前两次至少有一次击中目标”;
（2）=“第二次未击中目标”;
（3）A1A2A3=“前三次均击中目标”;
（4）A1A2A3=“前三次射击中至少有一次击中目标”;
（5）A3-A2=“第三次击中但第二次未击中”;
（6）A3=“第三次击中但第二次未击中”;
（7）=“前两次均未击中”;
（8）=“前两次均未击中”;
（9）(A1A2)(A2A3)(A3A1)=“三次射击中至少有两次击中目标”.
4、设A,B,C表示三个事件，利用A,B,C表示下列事件。
（1）A发生，B,C都不发生

（2）A,B发生，C不发生

（3）三个事件，A,B,C均发生
ABC
（4）三个事件，A,B,C至少有一个发生
A∪B∪C
（5）三个事件，A,B,C都不发生

（6）三个事件中不多于一个事件发生

（7）三个事件中不多于两个事件发生

（8）三个事件中至少有两个发生
AB+AC+BC
（P11）
6、一口袋中有5个白球，3个黑球。求从中任取两只球为颜色不同的球的概率。
设A=“从中任取两只球为颜色不同的球”,则:

7、一批产品由37件正品，3件次品组成，从中任取3件，求
(1)3件中恰有意见次品的概率
组成实验的样本点总数为,组成事件(1)所包含的样本点数为 ,所以
P1=
(2)3件全为次品的概率
组成事件(2)所包含的样本点数为,所以
P2=
(3)3件全为正品的概率
组成事件(3)所包含的样本点数为，所以
P3=
（4）3件中至少有一件次品的概率
事件（4）的对立事件，即事件A=“三件全为正品”所包含的样本点数为，所以
P4=1-P(A)=1-
（5）3件中至少有两件次品的概率
组成事件(5)所包含的样本点数为，所以
P5=
8、从0至9这10个数字钟，不重复地任取4个，求
（1）能组成一个4位奇数的概率；
（2）能组成一个4位偶数的概率。
设A=“4位奇数” B=“4位偶数”
由于“0”不能作为首位数，首先考虑首位和末位数
P(A)=(A4¹A5¹A8²+A5¹A4¹A8²)／A104=（8×7×20×2）／5040=4/9
P(B)=(A4¹A4¹A8²+A5¹A5¹A8²)／A104=(8×7×(16+25))／5040=41/90
9、从1,2，…，10个数字钟任取一个，每个数字以1/10的概率被选中，然后还原。先后选择7个数字。求下列事件的概率。
（1）A=“7个数字全不相同”
P（A）=
(2)B=“不含10与1”
因为不含1和10，所以只有2-9八个数字，所以
P(B)=
（3）C=“10刚好出现2次”
即选择的7个数字中10出现2次，即，其他9个数字出现5次，即，所以
P(C)=
（4）D=“至少出现两次10”
解法1：10可以出现2，3，…,7次，所以

解法2：其对立事件为10出现1次或0次，则
P(D)=
(5)E=“7个数字中最大为7，最小为2且2与7只出现一次”
因为最大为7，最小为2，且2和7只出现一次，所以3，4，5，6这四个数要出现5次，即样本点数为，所以
P(E)=
10、从[0,1]中任取两数，求
（1）两数之和大于1/2的概率；
（2）两数之积小于1/e的概率。
设两数分别为x,y，则x∈[0,1],y∈[0,1]。
（1）作出x=1；y=1；x+y=1/2的图像。P(两数之和大于1/2)=1－(1/2×1/2×1/2)／1=7/8
（2）作出x=1，y=1，xy,=1/e的图像；图像的交点为（1/e,1），（1,1/e）则P(两数之积小于1/e)=（1×1/e+∫1/e¹1/exdx）／1=2/e
习题1.3（P14）
11、设A,B同时发生必然导致C的发生，则P(C) ≥P(A)+P(B)-1。
证明：∵A,B同时发生必导致C发生
∴ABC，即P(C)≥P(AB)
∵P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
∴P(AB)= P(A)+P(B)- P(A∪B)
∵P(A∪B)≤1
∴P(AB)≥P(A)+P(B)-1
∴P(C) ≥P(A)+P(B)-1
上述得证。
12、设P(A)=P(B)=1/2，试证明：P(AB)= P()。
证明：
因为P() = P() = 1 – P(AB) = 1 – P(A) – P(B) +P(AB)
因为P(A) = P(B) =1/2
所以P() = 1 – 1/2 – 1/2 + P(AB)
所以P() = P(AB)
13、已知P(A)=0.4，P(B)=0.2，若
（1）A,B互不相容；（2）B包含于A
解：（1）

（2）

14、某城市有40%的住户订日报，65%的住户订晚报，70%的住户至少订两种报纸中的一种，求同时订两种报纸的住户的百分比。
解：记“订日报的住户”为P(A)，“订晚报的住户”为P(B)，
根据题意，易知：P(AB)=70%
则P(AB)=P(A)+P(B)- P(AB)=40%+65%-70%=35%
答：同时订两种报纸的住户有35%。
15、一袋中有4只白球，3只黑球，从中任取3只球，求至少有2只白球的概率。
本题在该答案上为第12题。

16、设A,B,C是三个事件，且P(A)=1/2，P(B)=1/3，P(C)=1/4，P(AB)=P(BC)=1/12，且P(CA)=0求A,B,C至少有一个发生的概率。
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)-P(ABC)
=1/2+1/3+1/4-1/12-0-1/12-0=11/12
习题1.4（P20）
17、P(A)=1/4，P(B|A)=1/3，P(A|B)，求P(A∪B)。
本题在该答案上为第14题。

19、如果P()=0.3，P(B)=0.4，P(A)=0.5，求P(B| A)
解：P(B|A) =P(AB)/P(A)
因为P(A)=1-P()=1-0.3=0.7，
所以P(A
即
又因为P(A) = P(A) + P() - P(A
所以P(B| A) = P(AB)/P(A
20、一批产品共100件，其中10件为次品，每次从中任取一件不放回，求第三次才取到正品的概率。
解：设“第三次才取到正品”为事件A，则
因为要第三次才取到正品，所以前两次要取到次品。
第一次取到次品的概率为，
第二次取到次品的概率为，
第三次取到正品的概率为。

即第三次才取到正品的概率为0.0083。
21、三人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4，求三人中至少有一人能将此密码译出的概率。
解法1：
设 A，B，C 分别为“第一，第二，第三个人译出”的事件，则：
P(A)=1/5 P(B)=1/3 P(C)=1/4
因为三个事件独立，
所以P(AB)=P(A)P(B)=1/15, P(AC)=P(A)P(C)=1/20 ,
P(BC)=P(B)P(C)=1/12, P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=1/60,
所以
P()=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=3/5
解法2：
设A=“至少有一人能译出”，则=“三个人均不能译出”，所以

22、加工一产品要经过三道工序，第一、二、三道工序不出废品的概率为0.9、0.95、0.8，假定各工序之间是否出废品是独立的，求经过三道工序不出废品的概率。
解：设P(A),P(B),P(C)分别为第一，二，三道工序不出废品的概率,
则，第一二三道工序均不出废品的概率为P(ABC),
因为各工序是否出废品是独立的,
所以P(ABC)= P(A)P(B)P(C)

23、某一型号的高炮，每一门炮（发射一发炮弹）击中飞机的概率为0.6，问至少要配置多少门炮，才能以不小于0.99的概率击中来犯的敌机？
24、某机构有一个9人组成的顾问小组，若每一个顾问贡献的正确意见的概率为0.7，现该机构对某事的可行性与否，个别征求各位顾问的意见，并按多数人的意见作出决策，求作出正确决策的概率。
解：根据题意: 该题为伯努利事件。
n=9,p=0.7,k=5,6,7,8,9
所求事件概率为

习题1.5（P24）
26、设男人患色盲的概率为0.5%，而女人患色盲的概率为0.25%。若有3000个男人，2000个女人参加色盲体检，从中任选一人，求此人是色盲患者的概率。
P(此人是色盲)=
27、甲乙两个口袋中各有4只白球，3只黑球，从甲袋中任取2球放入乙袋中，再从乙袋中取出2球为白球的概率。
解：该题为全概率事件。
设=“从甲袋中取出两球中有i只黑球”,i=0,1,2，
B=“从乙袋中取出2球为白球”，则：

答：再从乙袋中取出两球为白球的概率为。
28、对敌舰进行三次独立射击，三次击中的概率分别为0.4、0.5、0.7.如果敌舰被击中的概率分别为0.2、0.6、1，求敌舰被击沉的概率。
解：该题为全概率事件。
设=“敌舰被击中i弹”,（i=0,1,2,3），
B=“敌舰被击沉”，则：
根据题意P(××
P (××××××
P(××××××
P(××
P(B∣)=0, P(B∣)=0.2, P(B∣)=0.6, P(B∣)=1
根据全概率公式有
即敌舰被击中的概率为0.458.
31、将二信息分别编码A与B发出，接受时A被误作为B的概率为0.02，B被误作为A的概率为0.02；编码A与B传送的频率为2:1，若接收到的信息为A，则发信息是A的概率是多少？
解：设事件A1为“原发信息是A”，事件A2为“原发信息是B”,
B为事件“接收到的信息为A”，则：

32、有朋友自远方来访，他乘火车，汽车，飞机来的概率分别为0.4、0.2、0.4.
（1）他迟到的概率；
（2）结果他迟到了，试问让乘火车来的概率是多少？
第二章
习题2.2（P31）
4、设随机变量X的概率分布为
P{X=k}= (k=1,2,…..9)
(1)求常数a
(2)求概率P{X=1或X=4}
(3)求概率P{-1X<}
解：（1）

则P{X=k}=
（2）P{X=1或X=4}=P{X=1}+P{X=4}=+=
（3）P{-1X<}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}==
5、一箱产品中装有3个次品，5个正品，某人从箱中任意摸出4个产品，求摸得的正品个数X的概率分布。
解：X的可能取值有1,2,3,4

所以X的概率分布为：
X
1
2
3
4
P
1/14
3/7
3/7
1/14
6、袋中共有6个球，其中2个是白球，4个是黄球。在下列两种情况下，分别求出取到白球个数X的概率分布。
（1）无放回抽取，每次抽1个，共抽3次；
解：X=0时
X=1时
X=2时
X
0
1
2
P
1/5
3/5
1/5
（2）有放回抽取，每次抽1个，共抽3次。
把每次抽到白球看作一次实验，对抽到白球的个数看作3重伯努利概型，故X服从参数为n=3，p=1/3的二项分布，即X～B(3,1/3),其概率分布为：

7、某街道共有10部公用电话，调查表明在任一时刻T每部电话被使用的概率为0.85，求在同一时刻
(1) 被使用的公用电话部数X的概率分布
(2) 至少有8部电话被使用的概率
(3) 至少有1部电话未被使用的概率
(4) 为了保证至少有1部电话未被使用的概率不小于90%， 应再安装多少部公用电话？
解：（1）
（2）
（3） ∵“至少有一部电话未被使用”的对立事件为“所有电话都被使用”
∴
（4）

15-10=5
∴应再安装5部电话。
9、一电话交换台每分钟收到的呼唤次数X服从参数为4的泊松分布，求
（1）每分钟恰有3次呼唤的概率；
（2）每分钟的呼唤次数大于2的概率。
解：（1）P=

=
(2)
=
=
习题2.3（P36）
10、设X服从参数p=0.2的0-1分布，求随机变量X的分布函数，并作出其图形。
解：
图示Y
X

1
0
1

11、某射手射击一个固定目标，每次命中率为0.3，每命中一次记2分，否则扣1分，求两次射击后该射手得分总数X的分布函数。
解：两次都没击中(即得-2分)的概率P1
一次击中一次未中(即得1分)的概率P2
两次都击中(即得4分)的概率P3
∴其概率分布图为
X
-2
1
4
P

∴X的分布函数为：

12、随机变量X的分布函数为

求（1）常数A；（2）概率P{x>1/2};（3）P{-1<x≤2}
解：（1）因为分布函数右连续
所以1=A×1
A=1
（2）因为P{x>1/2} =1-P{x≤1/2}
=1-F(1/2)
=1-1/2=1/2
(3)P{-1<x≤2}=F(2)-F(-1)=1-0=1
习题（P43）
14、设随机变量X的概率密度为

求（1）系数a（2）P{0}（3）
解：（1）0+=1

(2)
P{0x<}=F()F(0)=
(3)=1==
15、设随机变量X的概率密度为

试求（1）常数A;(2)P{X>0.5};(3)P{X>1/X<2}

17、设连续型随机变量X的分布函数为

（1） 求P{X≤1}，P{-1≤X＜2}（2）求概率密度f(x）
解：（1）P{X≤1}=F(1)= 1/2＋1/4=3/4
P{-1≤X＜2}=F(2)－F(1)=1/2＋2/4－1/2e-1=1－1/2e-1
（2）如下：

18、

19、设X～N(0,1)
（1）求
(2)求;
（3）
解：（1）

（2）

即得（与前提不符） 所以
（3）当
(与条件不符)

得
所以
20、设X～N(-1,4²)，求
（1）(2)(3)(4)
解：（1）由

(2)
（3）
(4)
23、某校抽样调查表明，该校考生外语成绩（百分制）服从正态分布N（72， ），已知96分以上的占考生总数的2.3%，求考生的外语成绩在60分到84分之间的概率。
解：因为X～N(72, )
所以~N(0,1)
由题意得 P{X96}==
==1-

所以
查表得
所以
因为
=
=2

习题（P48）
24、设随机变量X 分布为
X
-2 -1 0 1 2
P

试分别求Y=2X+3和的概率分布。
解：由题可得
P

X
-2
-1
0
1
2
Y=2X+3
-1
1
3
5
7

4
1
0
1
4
所以可知
Y
-1 1 3 5 7
P

Z
0 1 4
P

27、设X~N（0,1），求（1）Y=e的概率密度；（2）Y=X的概率密度。
解：由题可知，X的概率密度为

（1）由于Y=e>0，故当y0时，

当y>0时，

即

从而，Y的概率密度为

（2）由于Y=X0,故当y0时，

当y>0时，

即

从而，Y的概率密度为

30、设X服从参数=1的指数分布，求Y=-1的概率密度。
解：由题

由于Y=-1-1,故当y-1时，

当y>-1时，
即

从而，Y的概率密度为

31、测量球的直径，设测量值服从[a,b]上的均匀分布，求球的体积的概率密度。
解：设x为球的直径，则球的体积为，已知x满足
当时，

复习题（P48）
34、设X~P（），且，求。
解：因为X～P（），所以 （k=1，2，3…）
因为，所以
所以
所以
39、设,且P{2<X<4}=0.1,不查表计算P{X<0}。
解：由题意得：

41、某种型号的电子元件的寿命X（单位：h）的概率密度为：

现有一大批此种元件（设各元件损坏与否相互独立） ，任取5只，求其中至少有2只寿命大于1500h的概率。
解：任取一只元件，其寿命大于1500h的概率为P(X>1500)=
以Y记所取5只中寿命大于1500h的元件的数目，则Y服从二项分布B(5,),故所求概率为