恒成立能成立问题总结详细98695.docx

恒成立问题的类型和能成立问题及方法处理
函数与不等式的恒成立、能成立、恰成立问题是高中数学中的一个重点、难点问题。这类问题在各类考试以及高考中都屡见不鲜。感觉题型变化无常，没有一个固定的思想方法去处理，一直困扰着学生，感到不知如何下手。在此为了更好的准确地把握快速解决这类问题，本文通过举例说明这类问题的一些常规处理。
一、 函数法
（一） 构造一次函数利用一次函数的图象或单调性来解决
对于一次函数有：

例1若不等式对满足的所有都成立，求的范围。
解析：将不等式化为：，
构造一次型函数：
原命题等价于对满足的，使恒成立。
由函数图象是一条线段，知应
解得 ，所以的范围是。
小结：解题的关键是将看来是解关于的不等式问题转化为以为变量，为参数的一次函数恒成立问题，再利用一次函数的图象或单调性解题。
练习:(1)若不等式对恒成立，求实数的取值范围。
（2）对于的一切实数，不等式恒成立，求的取值范围。（答案：或）
（二）构造二次函数利用二次函数的图像与性质及二次方程根的分布来解决。
对于二次函数有：
（1）上恒成立；
（2）上恒成立
（3）当时，若上恒成立

若上恒成立
（4）当时，若上恒成立
若上恒成立
例2若关于的二次不等式：的解集为，求的取值范围.
解：由题意知，要使原不等式的解集为，即对一切实数原不等式都成立。
只须
.∴的取值范围是
说明：1、本题若无“二次不等式”的条件，还应考虑的情况，但对本题讲时式子不恒成立。2、只有定义在R上的恒二次不等式才能实施判别式法；否则，易造成失解。
练习：1、 已知函数的定义域为，求实数的取值范围。（答案）
2、已知函数在时恒成立，求实数的取值范围。（答案）提示：构造一个新函数是解题的关键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。
（三）、利用函数的最值-----分离参数法或值域法
若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边即分离参变量，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。注意参数的端点值能否取到需检验。
类型一 ： “”型
一、（恒成立）
（1）恒成立；
（2）恒成立；
二、（能成立、有解）：
（1）能成立；
（2） 能成立；
三、（恰成立）
（1）不等式在区间上恰成立不等式的解集为；
（2）不等式在区间上恰成立不等式的解集为.
四、（方程有解）
方程在某个区间上有解，只需求出在区间上的值域A使。
例3：设其中，如果时，恒有意义，求的取值范围。
解：如果时，恒有意义对恒
成立，恒成立。
令，，又，则
对恒成立，又在上为减函数，
，
例4：若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围。
解： 设.则关于的不等式的解集不是空集在R上能成立,
即，解得
例5不等式有解，求的取值范围。
解：不等式有解能成立能成立，所以。
例6（2008年上海）已知函数f(x)＝2x－若不等式2t f(2t)+m f(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围
解：本题可通过变量分离来解决．
当时，
即，，
，
故的取值范围是
例7（1990年全国）设，其中a为实数，n为
任意给定的自然数，且，如果当时有意义，求a的取值范围．
解：本题即为对于，有恒成立．
这里有三种元素交织在一起，结构复杂，难以下手，若考虑到求a的范围，可先将a分离出来，得，对于恒成立．
构造函数，则问题转化为求函数在上的值域，由于函数在上是单调增函数，
则在上为单调增函数．于是有的最大值为，从而可得．
如何在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f（x）的最值．
类型二：“”型

例8 已知f(x)=lg(x+1)，g(x)=lg(2x+t)，若当x∈[0,1]时，f(x)≤g(x)恒成立，求实数t的取值范围.
解 f(x)≤g(x)在x∈[0,1]恒成立，即在x∈[0,1]恒成立在[0,1]上的最大值小于或等于零.
　　令，
.
　　∵x∈[0,1]，
　　∴F′(x)＜0，即F(x)在[0,1]上单调递减，F(0)是最大值.
　　∴f(x)≤F(0)=1-t≤0，即t≥1.
类型三：“”型（恒成立和能成立交叉）：
（1） 成立
；
例9已知两个函数，其中为实数。
（1）对任意，都有成立，求的取值范围；
（2）存在，使成立，求的取值范围；
（3）对任意，都有，求的取值范围。
解析：（1）设问题转化为时，恒成立，故。令，得。
由，故
由。
（2） 据题意：存在，使成立在有解，故，由（1）知，于是得。
（3） 分析：它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别。对任意，都有成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，的取值在上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要条件是：
，
由，得，易得，
又，.
故，令。
例10：（2010山东）已知函数.
(Ⅰ)当时，讨论的单调性；
（Ⅱ）设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.
解析：(Ⅰ)当时，函数在单调递减，单调递增；
当时，恒成立，此时，函数在
单调递减；
当时，函数在单调递减，单调递增，
单调递减.
（Ⅱ）当时，在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，
所以对任意，有，
又已知存在，使，所以，，（※）
又
当时，与（※）矛盾；
当时，也与（※）矛盾；
当时，.
综上，实数的取值范围是.
例11已知函数，若对任意x1，x2∈[-2,2]，都有f(x1)＜g(x2)，求c的范围.
解 因为对任意的x1，x2∈[-2,2]，都有f(x1)＜g(x2)成立，
　　∴[f(x)]max＜[g(x)]min.
　　∵f′(x)=x2-2x-3，令f′(x)＞0得x＞3或x＜-1；f′(x)＜0得-1＜x＜3.
　　∴f(x)在[-2,-1]为增函数，在[-1,2]为减函数.
　　∵f(-1)=3，f(2)=-6，
　　∴[f(x)]max=3.∴.
　　∴c＜-24.
类型四：“”型
例12：已知函数，若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1-x2|的最小值为____.
解 ∵对任意x∈R，不等式f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立，
　　∴f(x1)，f(x2)分别是f(x)的最小值和最大值.
　　对于函数y=sinx，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是π，即半个周期.
　　又函数的周期为4，
　　∴|x1-x2|的最小值为2.
类型五：
例13 (2005湖北)在y=2x，y=log2x，y=x2，y=cosx这四个函数中，当0＜x1＜x2＜1时，使恒成立的函数的个数是(　　)

解 本题实质就是考察函数的凸凹性，即满足条件的函数，应是凸函数的性质，画草图即知y=log2x符合题意.
类型六：.“＞0”型
例14 已知函数f(x)定义域为[-1,1]，f(1)=1，若m，n∈[-1,1]，m+n≠0时，都有，若f(x)≤t2-2at+1对所有x∈[-1,1]，a∈[-1,1]恒成立，求实数t的取值范围.
解 任取-1≤x1＜x2≤1，
　　则.
　　由已知＞0，
　　又x1-x2＜0，
　　∴f(x1)-f(x2)＜0，
　　即f(x)在[-1,1]上为增函数.
　　∵f(1)=1，
　　∴x∈[-1,1]，恒有f(x)≤1.
　　∴要使f(x)≤t2-2at+1对所有x∈[-1,1]，a∈[-1,1]恒成立，即要t2-2at+1≥1恒成立，
　　故t2-2at≥0恒成立.
　　令g(a)=t2-2at，只须g(-1)≥0且g(1)≥0，
　　解得t≤-2或t=0或t≥2.
评注 形如不等式“＞0”或“＜0”恒成立，实际上是函数的单调性的另一种表现形式，在解题时要注意此种类型不等式所蕴涵的重要信息.
类型七：“|f(x1)＜f(x2)|＜t(t为常数)”型　
例15已知函数f(x)=-x4+2x3，则对任意t1，t2∈[-,2](t1＜t2)都有|f(x1)-f(x2)|≤____恒成立，当且仅当t1=____，t2=____时取等号.
解 因为|f(x1)-f(x2)|≤|[f(x)]max-[f(x)]min|恒成立，
　　由，x∈[-,2]，
　　易求得，
.
　　∴|f(x1)-f(x2)|≤2.
类型八：“|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|”型
例16 已知函数f(x)=x3+ax+b，对于x1,x2∈(0,)(x1≠x2)时总有|f(x1)-f(x2)|＜|x1-x2|成立，求实数a的范围.
解 由f(x)=x3+ax+b，
　　得f′(x)=3x2+a，
　　当x∈(0,)时，a＜f′(x)＜1+a.
　　∵|f(x1)-f(x2)|＜|x1-x2|，
　　∴，
　　∴∴-1≤a≤0.
评注 由导数的几何意义知道，函数y=f(x)图像上任意两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)连线的斜率(x1≠x2)的取值范围，就是曲线上任一点切线的斜率(如果有的话)的范围，利用这个结论，可以解决形如|f(x1)-f(x2)|≤m|x1-x2|或|f(x1)-f(x2)|≥m|x1-x2|(m＞0)型的不等式恒成立问题.
（四） 数形结合法
数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系, 对一些不能把数放在一侧的，可以利用构造对应两个函数的图象法求解。
1）函数图象恒在函数图象上方；
2） 函数图象恒在函数图象下上方。
例17 已知，求实数a的取值范围。
解析：由，构造出两个函数并在同一直角坐标系中作出它们的图象，如果两个函数分别在处相交，则由得到a分别等于2和0.5，并作出函数的图象，所以，要想使函数在区间中恒成立，只须在区间对应的图象在在区间对应图象的上面即可。当才能保证，而才可以，所以。
x
-2
-4
y
O
-4
例18设 , ,若恒有成立,求实数的取值范围.
分析：在同一直角坐标系中作出及 的图象
如图所示，的图象是半圆
的图象是平行的直线系。
要使恒成立，
则圆心到直线的距离
满足
解得（舍去)
练习：若对任意,不等式恒成立，求实数的取值范围。
练习：
1、已知二次函数满足，而且，请解决下列问题
（1） 求二次函数的解析式。
（2） 若在区间上恒成立 ，求的取值范围。
（3） 若在区间上恒成立 ，求的取值范围。
（4） 若在区间上有解 ，求的取值范围。
2、已知函数，若在区间是增函数，求实数的取值范围。答案：
3、已知函数存在单调递减区间，求的取值范围。
答案：
4、已知函数的值域，函数，
使得成立，则实数的取值范围是。
答：。
5、已知函数，，
，成立，则实数的取值范围是．
答：
1、，，则实数的取值范围是.
分析，，.
∵时, 递增, 其值域为,
∴.
2、，，则实数的取值范围是.
分析，，.
∵时, 函数递增, 其值域为,
∴.
3、，，则实数的取值范围是.
分析，，.
∵时, 递增, 其值域为,
∴.
小结 当函数的最值不存在时的“恒成立”和“有解”问题该如何处理？