2导数的概念经典例题.doc

经典例题透析
类型一：求函数的平均变化率
例1、求在到之间的平均变化率，并求，时平均变化率的值.
思路点拨: 求函数的平均变化率，要紧扣定义式进行操作.
解析：当变量从变到时，函数的平均变化率为

当，时，平均变化率的值为：.
总结升华：解答本题的关键是熟练掌握平均变化率的概念，只要求出平均变化率的表达式，其他就迎刃而解.
举一反三：
【变式1】求函数y=5x2+6在区间[2，2+]内的平均变化率。
【答案】，
所以平均变化率为。
【变式2】已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：
（1）[1，3]；
（2）[1，2]；
（3）[1，1.1]；
（4）[1，1.001].
【答案】（1）4；（2）3；（3）2.1；（4）2.001.
【变式3】自由落体运动的运动方程为，计算t从3s到3.1s，3.01s，3.001s各段内的平均速度（位移s的单位为m）。
【答案】要求平均速度，就是求的值，为此需求出、。
设在[3，3.1]内的平均速度为v1，则
，
。
所以。
同理。
。
【变式4】过曲线上两点和作曲线的割线，求出当时割线的斜率.
【答案】3.31
当时

类型二：利用定义求导数
例2、用导数的定义，求函数在x=1处的导数。
解析：∵

∴
∴。
总结升华：利用导数的定义求导数的步骤：
第一步求函数的增量；第二步求平均变化率；第三步取极限得导数。
举一反三：
【变式1】已知函数
（1）求函数在x=4处的导数.
（2）求曲线上一点处的切线方程。
【答案】
（1）

，
（2）由导数的几何意义知，曲线在点处的切线斜率为，
∴所求切线的斜率为。
∴所求切线方程为，整理得5x+16y+8=0。
【变式2】利用导数的定义求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
【答案】
（1），
∴，
∴。
（2），
∴，
∴。
（3），
∴，
∴。
（4），
∴，
∴。
例3、求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.
思路点拨：从函数在一点处的导数定义可求得函数y=x3+2x在x=1处的导数值，再由导数的几何意义，得所求切线的斜率，将x=1代入函数可得切点坐标，从而建立切线方程.
解析：设.

由f(1)=3，故切点为（1，3），
切线方程为y―3=5(x―1)，即y=5x―2.
总结升华: 求函数图像上点处的切线方程的求解步骤：
① 求出导函数在处的导数（即过点的切线的斜率），
② 用点斜式写出切线方程，再化简整理。
举一反三：
【变式】在曲线y=x2上过哪一点的切线：
（1）平行于直线y=4x―5；
（2）垂直于直线2x―6y+5=0；
（3）与x轴成135°的倾斜角。
【答案】，
设所求切点坐标为P（x0，y0），则切线斜率为k=2x0
（1）因为切线与直线y=4x―5平行，所以2x0=4，x0=2，y0=4，
即P（2，4）。
（2）因为切线与直线2x―6y+5=0垂直，所以，得，，
即。
（3）因为切线与x轴成135°的倾斜角，所以其斜率为―1。即2x0=―1，得，，
即。
例4．已知函数可导，若，，求
解析： （）

（令t=x2，x→1，t→1）

举一反三：
【变式】已知函数可导，若，，求
【答案】

类型三：利用公式及运算法则求导数
例5．求下列函数的导数：
（1）； （2）
（3）； （4）y=2x3―3x2+5x＋4
解析：
（1）.
（2）.
（3）∵，∴.
（4）
总结升华：
①熟练掌握导数基本公式，仔细观察和分析各函数的结构规律，选择基本函数求导公式进行求导；
②不具备求导法则条件的，一般要遵循先化简，再求导的原则，适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成.
举一反三：
【变式】求下列函数的导数：
（1）；
（2）
（3）y=6x3―4x2+9x―6
【答案】
（1）.
（2）
∴.
（3）
例6．求下列各函数的导函数
（1）；（2）y=x2sinx;
（３）y=； （４）y=
解析：
（1）法一：去掉括号后求导.

法二：利用两个函数乘积的求导法则

=2x(2x－3)+(x2+1)×2
=6x2－6x+2
（2）y′=（x2）′sinx＋x2（sinx）′=2xsinx＋x2cosx
（３）=
（4）
=
=
举一反三：
【变式1】函数在处的导数等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
法一：

∴.
法二：∵
∴
∴.
【变式2】下列函数的导数
（1）； （2）
【答案】
（1）法一：
∴
法二：
=+

（2）
∴
【变式3】求下列函数的导数.
（1）； （2）；（3）.
【答案】
（1），∴.
（2），
∴.
（3）∵，
∴
.
类型四：复合函数的求导
例7．求下列函数导数.
（1）； （2）；
（3）； （4）.
思路点拨:求复合函数的导数首先必须弄清函数是怎样复合而成的，然后再按复合函数的求导法则求导.
解析：
（1），.

.
（2），
∴

（3），.
∴

（4），，
∴
.
总结升华：
①复合函数的求导，一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注意不要漏层。熟练以后，可以摆脱引入中间变量的字母，只要心中记住就行，这样可以使书写简单；
②求复合函数的导数的方法步骤：
（1）分清复合函数的复合关系，选好中间变量；
（2）运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数；
（3）根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数.
举一反三：
【变式1】求下列函数的导数：
(1)； （2）
（3）y=ln（x＋）； （4）
【答案】
(1)令,,

（2）令

（3）=＝
（4）

类型五：求曲线的切线方程
例8．求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.
解析：，

x=1时，y=3，
∴切点为（1，3），切线斜率为5
切线方程为y―3=5(x―1)，即y=5x―2.
总结升华: 求函数图像上点处的切线方程的求解步骤：
③ 求出函数的导函数
④ 求出导函数在处的导数（即过点的切线的斜率），
⑤ 用点斜式写出切线方程，再化简整理。
举一反三：
【变式1】求曲线在点处的切线的斜率，并写出切线方程.
解析：∵
∴切线的斜率.
∴切线方程为，即.
【变式2】已知，是曲线上的两点，则与直线平行的曲线的切线方程是________.
【答案】的导数为.
设切点，则.
∵的斜率，又切线平行于，
∴，∴，∴切点，
∴切线方程为，即.
【变式3】已知曲线.
（1）求曲线上横坐标为1的点处的切线的方程；
（2）第（1）小题中的切线与曲线是否还有其他的公共点？
【答案】
（1）将代入曲线的方程得，∴切点.
∵，∴.
∴过点的切线方程为，即.
（2）由可得，解得或.
从而求得公共点为，或.
∴切线与曲线的公共点除了切点外，还有另外的点.
例9．已知直线为曲线在点（1，0）处的切线，为该曲线的另一条切线，且.
（1）求直线的方程；
（2）求由直线、和轴所围成的三角形的面积.
解析：
（1），
直线的方程为.
设直线过曲线上的点，
则的方程为，即.
因为，则有，.
所以直线的方程为.
（2）解方程组 得
所以直线和的交点坐标为.
、与轴交点的坐标分别为（1，0）、，
所以所求三角形的面积为.
举一反三：
【变式1】如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程
【答案】
设切点坐标为
∴切线在点的斜率为
切线与直线平行， 斜率为4
∴，∴
或
∴切点为（1，-8）或（-1，-12）
切线方程为或
即或
【变式2】曲线在点（1，1）处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为________.
【答案】由题意，切线的斜率为，
∴切线方程为，
与轴交点为，直线的交点为（2，4），
∴.
【变式3】曲线在（0，1）处的切线与的距离为，求的方程.
【答案】由题意知，

∴曲线在（0，1）处的切线的斜率
∴该切线方程为
设的方程为，
则，
解得，或.
当时，的方程为；
当时，的方程为
综上可知，的方程为或.