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线性方程组及其应用

摘要：本文主要将高等代数中所学线性方程组的部分重要理论应用于初等数学
中，来解决初等数学中的一些问题，例如判断平面上两条直线的位置关系和空间上三个平面的位置关系等，同时说明高等数学与初等数学之间的密切联系.

关键词：线性方程组；齐次线性方程组；系数行列式；初等数学；应用

一.内容提要
1.线性方程组的内容
①.线性相关性
②.向量组的基本性质
③.矩阵的秩
④.线性方程组的解
2.线性方程组在数学中的应用
①.判断平面上两条直线之间的位置关系
②.判断空间上三个平面之间的位置关系
③.运用线性方程组的相关理论来证明几个初等数学中的结论
④.运用线性方程组的相关理论来判断三点共线、四点共面、四点共圆和五点共球
二.线性方程组的内容
1.线性相关性
①.线性组合：向量称为向量组的一个线性组合。如果有数域中的数，使。
②．线性表出：当向量是向量组的一个线性组合时，我们也可以说可已经向量组线性表出。
③.等价：如果向量组中每一个向量都可以经向量组线性表出，那么向量组就称为可以经向量组线性表出。如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价。
④.线性相关：如果向量组中有一个向量可以由其余的向量线性表出，那么向量组就称为线性相关的。如果有数域中不全为零的数，使，向量组称为线性相关。
⑤.相性无关：向量不线性相关，既没有不全为零的数使，就称为线性无关；或者说，一向量组称为线性无关，如果由可以推出。
2.向量组的基本性质
①.设与是两个向量组，如果向量组可以经线性变出，那么向量组必线性相关。
②.如果向量组可以经向量组线性表出，且线性无关，那么。
③.任意个维向量必线性相关。
④.两个线性无关的等价向量组必含有相同个数的向量。
⑤.如果的秩为，则中任意个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组。
⑥.如果向量组（I）可以由向量组（II）线性表出那么（I）的秩不超过（II）的秩。
⑦.若，若线性无关，则线性无关；若线性相关，则线性相关。
⑧.若中是一组维向量，则线性无关的充分必要条件是任一维向量都可被它们线性表出。
3.矩阵的秩
①.矩阵的行列式为零的充分必要条件是的秩小于。
②.齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵的行列式等于零。
③.一矩阵的秩是的充分必要条件为矩阵中有一个级子式不为零，同时所有级子式全为零。
④.阶梯型矩阵中的秩就等于其中非零行的数目。
4.线性方程组的解
①.基础解系：齐次线性方程中的一组解称为它的一个基础解系，如果该齐次线性方程组的任一个解都能表成的线性组合，线性无关。
②.在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于这里表示系数矩阵的秩如果那么方程只有零解。
③.齐次方程组有非零解的判定方法：
i.设是矩阵，齐次方程组有非零解的充要条件是,亦即的列向量线性相关。
ii.如果是阶矩阵，有非零解的充要条件是。
iii．有非零解的充分条件是（即方程个数未知数个数）。
④.非齐次线性方程组有解的判定
设是矩阵，方程组则：
i.有唯一解：
ii.有无穷多解：
iii.无解：：
不能由的列向量线性表出
⑤.设是矩阵，线性方程组有解的充分条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩即。
⑥.线性方程组解的性质
i.如果是的两个解，则是的解。
ii.如果是的两个解，则其线性组合仍是的解。
iii.如果是的解，是的解，则仍是的解。
⑦.非齐次线性方程组解的结构：如元线性方程组有解，设是相应齐次方程组的基础解系，是的某个已知解，则是的通解（或全部解）其中为任意常数。
三.线性方程组在数学中的应用
运用线性方程组的相关理论来推导出判断平面上两条直线的位置关系和空间上三个平面的位置关系的方法
1.判断平面上两条直线之间的位置关系
设平面上两条直线
，
，
记
,,.
①.若两条直线相交，则两条直线有且只有一个公共点，那么线性方程组
（2.1）
有唯一解，则
,
计算行列式不难发现
,
亦即
,
这与初等数学中所给出的判别两直线相交的式子一致.
②.若两条直线平行，则两条直线无公共点，那么线性方程组（2.1）无解，则
,
计算行列式不难发现
,
且,
计算行列式不难发现
,
这与初等数学中所给出的判别两直线平行的式子一致.
③.若两条直线重合，则两条直线有无数多个公共点，那么线性方程组（2.1）有无穷多个解，则
，
计算行列式不难发现

这与初等数学中所给出的判别两直线平行的式子一致.
因此通过计算

的值就可以判断出平面上两条直线之间的位置关系.
2.判断空间上三个平面之间的位置关系
设空间上的三个平面

记
.
①.若这三个平面相交于一点，则三平面有且只有一个公共点，那么线性方程组
(2.2)
有唯一解，则
,
则秩,所以秩秩.
②.若这三个平面相交于一条直线，则三个平面有无穷多个公共点，那么线性方程组（2.2）有无穷多个解,则
,
则秩，所以秩秩，
但是若秩秩,那么这三个平面重合，显然这与三平面相较于一条直线矛盾，所以秩秩.
③.若这三个平面平行，则三个平面无公共点，那么线性方程组（2.2）无解，
则秩秩,又三平面平行，所以秩，则秩.
④.若这三个平面重合，则三个平面有无数多个公共点，那么线性方程组（2.2）有无穷多个解，则秩秩.
因此只需计算出秩与秩，就可以知道空间上三个平面之间的位置关系.
3.运用线性方程组的相关理论来证明几个初等数学中的结论
结论1 两个不相同的点可以确定一条直线
在初等数学的学习中，我们已经知道这个简单的结论，并且还给出了两点公式，即已知两点，则这两点所确定的直线方程为，
下面运用线性方程组的理论来推导这一公式，从而证明两个不相同的点可以确定一条直线.
证明：不妨设这两个不相同的点所确定的平面方程为
，则
（3.1）
是关于、、的齐次线性方程组，已知、不全为0，所以、、也不全为0, 所以齐次线性方程组（3.1）有非零解，
则
，
，
即，
这就是初等数学中的两点公式，
所以两个不相同的点可以确定一条直线.
结论2 不在同一条直线上的三个点可以确定一个平面
在初等数学学习中我们已经知道不在同一条直线上的三个点可以确定一个平面，下面就用高等数学中学习的线性方程组的知识推出所确定平面的方程，从而证明不在同一条直线上的三个点可以确定一个平面.
证明：设不在同一条直线上的三个点

所确定平面的方程为
,则
（3.2）
为关于、、、的齐次线性方程组，、、不全为0，则、、、,不全为0，
所以
，
即为所求平面的方程,
所以不在同一条直线上的三个点可以确定一个平面.
结论3 不在同一个平面上的四个点可以确定一个球面
证明：依照3和4同样的方法可以推出不在同一个平面上的四个点
确定球面方程为
，
从而证明不在同一个平面上的四个点可以确定一个球面.
4.运用线性方程组的相关理论来判断三点共线、四点共面、四点共圆和五点共球
①.判断三点共线
在初等数学中我们可以先由两点公式来求出一条直线方程，然后再验证第三点是否在这条直线上，在则这三个点共线，否则不共线，但这样比较麻烦，下面用高等代数中线性方程组理论推出另一种较为简便的判断三点共线的方法.
首先假设三点共线于直线
,则
(4.1)
为关于、、的齐次线性方程组，、不全为0，则、、不全为0,
即
，
所以只要把三个点的坐标带入
中，
若等于零则三个点共线，否则不共线.
②.判断四点共面
判断四点共面可以先由前面的给出确定平面的方程式，取三点先确定一个平面，再看第四点是否在这个平面上，在则四点共面，否则不共面。当然我们可以推出较为简便的方法.
首先假设四点共面于平面
，则
（4.2）
为关于、、、的齐次线性方程组，、、不全为0，则、、、,不全为0,
即
，
因此只需将四点坐标带入
中，
若等于零则四点共面，否则不共面.
③.判断四点共圆与五点共球
i.同样按照6和7的方法可以推得只需将四点
坐标带入行列式
中，
若等于0则四点共圆，否则不共圆.
ii.同样按照6和7的方法可以推得只需将五点
坐标带入行列式
中，
若等于0则五点共球，否则不共球.
参考文献
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