浙教版七年级下册数学难题重点题型含解析.doc

浙教版七年级下册数学难题重点题型
1．若最简根式 3a-b4a+3b与根式2ab2-b3+6b2是同类二次根式，求a,b的值.

2.已知x,y都是实数，且满足y＜x-1+1-x + 12,试求 |1-y|y-1的值.

3.计算 ：13 + 16 + 110+115+121+128+136+145.

4.已知x2+x-1=0，求x3+2x2-7的值.

5.若x=1-2+32,y=1+2-32.求 x2-y222+xy的值

6.已知：a+b=2018+2017, a-b=2018-2017,求a,b的值.

7.已知 ：(c-a)2-4(a-b)(b-c)=0,求证 ：2b=a+c

8.解方程组xy3x+2y=18xy2x+3y=17

9.实数a,b,c,d互不相等，且(a+c)(a+d)=1,(b+c)(b+d)=1,求(a+c)(b+c)的值.

10.若a,b,c,d为正整数且满足 a4+b4+c4+d4=4abcd,判断a,b,c,d的大小关系.

11.已知ab=bc=cd=da,求a+b+c+da+b+c-d的值.

12.先化简，再求值：(1m-1n)÷m2-2mn+n2mn,其中m=-3,n=5.

13.设a,b是实数，定义关于⊕的一种运算
如下：a⊕b=(a+b)2-(a-b)2.例如，2⊕3=(2+3)2-(2-3)2=24.
(1) 求(-1) ⊕2的值
(2) ①乐于思考的小慧发现a⊕b=4ab,你能说明理由吗？
(3) 小慧猜想(a+b) ⊕c=a⊕c+b⊕c,你认为她的猜想成立吗？请说明理由.

(答案)浙教版七年级下册数学难题重点题型含解析
1．若最简根式 3a-b4a+3b与根式2ab2-b3+6b2是同类二次根式，求a,b的值.
1.∵最简根式 3a-b4a+3b与根式2ab2-b3+6b2是同类二次根式
∴3a-b=2
∵2ab2-b3+6b2=b2(2a-b+6)=|b|2a-b+6
∴2a-b+6=4a+3b
∴ 2a+4b=6
∴3a-b=22a+4b=6 解得a=1b=1

2.已知x,y都是实数，且满足y＜x-1+1-x + 12,试求 |1-y|y-1的值.
解析 ：由二次根式被开方数非负得：
∵x-1≥0 1-x≥0
∴ x=1 ∴ y＜12 ∴1-y＜0 则 |1-y|=-(1-y)=y-1
∴ |1-y|y-1=1
3.计算 ：13 + 16 + 110+115+121+128+136+145.
分析：由1n(n+1)= 1n-1n+1 所以在原代数式的分母中×2 可写成n(n+1)形式
13 + 16 + 110+115+121+128+136+145
= 212×3 + 12×6 + 12×10+12×15+12×21+12×28+12×36+12×45
=212×3 + 13×4 + 14×5+15×6+16×7+17×8+18×9+19×10
=212-13 + 13-14 + 14-15+15-16+16-17+17-18+18-19+19-110
=2（ - ）=

4.已知x2+x-1=0，求x3+2x2-7的值.
解：x2+x-1=0
（1） 降次法x2=1-x 则x3+2x2-7=x·x2+2x2-7
=x(1-x)+2(1-x)-7
=1-7=-6
( 2 ) 整体代入法 x2+x=1 则x3+2x2-7
=(x3+x2) +x2-7
=x(x2+x)+ +x2-7
=-6

5.若x=1-2+32,y=1+2-32.求 x2-y222+xy的值
解：∵ x+y=1-2+32+1+2-32=1 x-y=1-2+32-1+2-32=3-2
∴ (x+y)2=x2+2xy+y2=1 ① (x-y)2= x2-2xy+y2 =5-2②
∴① - ②得 4xy =-4+2 xy=62 – 1
x2-y222+xy
=x+y(x-y)22+xy
代入数据=14

6.已知：a+b=2018+2017, a-b=2018-2017,求a,b的值.
由a+b=2018+2017, a-b=2018-2017
∴(a+b)2=(2018+2017)2 (a-b)2=(2018-2017)2
∴ a2 +2ab+b2=2018+2017 ① a2 -2ab+b2=2018-2017②
① - ②： 4ab=22017
ab=20172
7.已知 ：(c-a)2-4(a-b)(b-c)=0,求证 ：2b=a+c
讨论可为一个方程的系数，（a-b）x2+(c-a)x+(b-c)=0
分类讨论（1）(c-a)2-4(a-b)(b-c)=0, 当a=b时，c=a.即 a=b=c
∴2b=a+c
分类讨论（2）根据此式可以想到根的判别式∆=0
说明方程有等根 ，方程系数之和 a-b+c-a+b-c=0 必有一根为1
根据两根之和公式得 2=-c-aa-b整理可得 2b-2a=c-a 即2b=a+c
综上所知：2b=a+c

8.解方程组xy3x+2y=18xy2x+3y=17
解： xy3x+2y=18①xy2x+3y=17②

由①得3x+2yxy=8 ∴3y+2x=8 ③
① 得2x+3yxy=7 ∴2y+3x=7 ④
② +④得 1y+1x=3 ⑤
⑤×2 - ④得 1x=1 x=1 代入⑤中 y=12
经检验x=1y=12是原方程的解

9.实数a,b,c,d互不相等，且(a+c)(a+d)=1,(b+c)(b+d)=1,求(a+c)(b+c)的值.
9.解：由 (a+c)(a+d)=1 则a+d≠0
(b+c)(b+d)=1 则 b+d≠0
a+c=1a+d① b+c=1b+d ②
① -② 得 a+c-b-c=1a+d-1b+d
整理得 a-b=b-aa+d(b+d)
∵a-b≠0 ∴1a+d(b+d)=-1
(a+c)(b+c)= 1a+d·1b+d=1a+d(b+d)=-1

10.若a,b,c,d为正整数且满足 a4+b4+c4+d4=4abcd,判断a,b,c,d的大小关系.
a4+b4+c4+d4=4abcd
(a4-2a2b2+b4)+(c4-2c2d2+d4)+ 2a2b2+2c2d2-4abcd=0
(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0
a2-b2 ≥0 c2-d2≥0 ab-cd≥0
∴a2-b2 =0 c2-d2 =0 ab-cd=0
∴a=b c=d ab=cd
∴a=b=c=d

11.已知ab=bc=cd=da,求a+b+c+da+b+c-d的值.

解: ab=bc=cd=da=k,则
a=bk, b=ck,c=dk,d=ak
∴abcd=k4abcd
∴k4=1 ∴k=±1
当k=1时，a=b=c=d
则a+b+c+da+b+c-d=42=2
当k=-1时，a=-b=c=-d
则a+b+c+da+b+c-d==0

12.先化简，再求值：(1m-1n)÷m2-2mn+n2mn,其中m=-3,n=5.

解： (1m-1n)÷m2-2mn+n2mn =n-mmn×mnm-n2
=-1m-n=1n-m
代入数据=15-（-3）=18
13.设a,b是实数，定义关于⊕的一种运算
如下：a⊕b=(a+b)2-(a-b)2.例如，2⊕3=(2+3)2-(2-3)2=24.
(1)求(-1) ⊕2的值
(2)乐于思考的小慧发现a⊕b=4ab,你能说明理由吗？
(3)小慧猜想(a+b) ⊕c=a⊕c+b⊕c,你认为她的猜想成立吗？请说明理由.
解 （1）根据运算公式(-1) ⊕2=(-1+2)2-(-1-2)2=-8
(2) a⊕b=(a+b)2-(a-b)2
=a2+2ab+b2-a2+2ab-b2
=4ab
（3）成立
(a+b) ⊕c=(a+b+c)2-(a+b-c)2
设a+b=k,则 k⊕c原式=(k+c)2-(k-c)2=4kc
代入得(a+b) ⊕c=4ac+4ab
a⊕c+b⊕c
=(a+c)2-(a-c)2+( b+c)2-(b-c)2
=4ac+4bc