2019年复旦附中自招数学试卷.doc

2019年复旦附中自招数学试卷

（一）
1. 两个非零实数、满足，求的值.

2. 已知，求m的取值范围.

3. 若关于x的不等式的整数解为1、2、3、…、2018，求a的范围.

4. 已知、边长均为2，点D在线段上，求的最小值.

5. 已知x、y为实数，求的最小值.

6. 在中，，AD为的角平分线，若，求的值.

（二）
1. 等腰梯形ABCD中，，，，CE⊥AB.
（1）求CE的长；（2）求内切圆的半径.

2. 定义当时，，则称为不动点.
（1）若有两个不动点、，求a、b的值；
（2）若有关于原点对称的不动点，求a、b满足的条件.

3. 已知为n的各位数字之和，例.
（1）当时，找出所有满足的n；
（2）当n为正整数时，找出所有满足的n.

（三）
1. 平行四边形两条邻边为7和8，两条对角线为m、n，求的值.

2. 已知正整数x、y满足，求的值.

3. 斐波那契数列为，记数列为中每一项除以4的余数，问中第2019次出现1时的序数（即第几个数）.

参考答案
（一）
1.
2. 结合绝对值意义或者图像，或
3. 由，可得，
4. ，即最小值为4
5. 配方，，即最小值为3
6. 求出，由正弦定理，，结合诱导公式、三
倍角公式、化切，可求得，由二倍角公式可求
（二）
1.（1）锐角三角比，；（2）在13、12、5的三角形中求得内切圆半径，结合相
似比，，即所求内切圆半径为
2.（1），；（2）且，
3.（1）找规律，或，符合的有1957、1966、1975、1984、1993、2002、2011；（2）先确定范围，，，∴，再分析讨论，符合的有1987、1990、1993、2005、2008、2011
（三）
1. 由余弦定理，
2. ，可得，结合正整数的条件，分析可得，有、、这些解（x、y可换），∴的值为43、27、15
3. 分析可得，周期为6，且前六项为1、1、2、3、1、0，每个周期出现3次“1”，，即第2019次出现1时，在第673个周期内最后一个“1”，即序数为