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绪论：本章介绍数字信号处理课程的基本概念。
0.1信号、系统与信号处理
1.信号及其分类
信号是信息的载体，以某种函数的形式传递信息。这个函数可以是时间域、频率域或其它域，但最基础的域是时域。
分类：
周期信号/非周期信号
确定信号/随机信号
能量信号/功率信号
连续时间信号/离散时间信号/数字信号
按自变量与函数值的取值形式不同分类：

2.系统
系统定义为处理（或变换）信号的物理设备，或者说，凡是能将信号加以变换以达到人们要求的各种设备都称为系统。
3.信号处理
信号处理即是用系统对信号进行某种加工。包括：滤波、分析、变换、综合、压缩、估计、识别等等。所谓“数字信号处理”，就是用数值计算的方法，完成对信号的处理。
0.2 数字信号处理系统的基本组成
数字信号处理就是用数值计算的方法对信号进行变换和处理。不仅应用于数字化信号的处理，而且也可应用于模拟信号的处理。以下讨论模拟信号数字化处理系统框图。

（1）前置滤波器
将输入信号xa(t)中高于某一频率（称折叠频率，等于抽样频率的一半）的分量加以滤除。
（2）A/D变换器
在A/D变换器中每隔T秒（抽样周期）取出一次xa(t)的幅度，抽样后的信号称为离散信号。在A/D变换器中的保持电路中进一步变换为若干位码。
（3）数字信号处理器（DSP）
（4）D/A变换器
按照预定要求，在处理器中将信号序列x(n)进行加工处理得到输出信号y(n)。由一个二进制码流产生一个阶梯波形，是形成模拟信号的第一步。
（5）模拟滤波器
把阶梯波形平滑成预期的模拟信号；以滤除掉不需要的高频分量，生成所需的模拟信号ya(t)。
0.3 数字信号处理的特点
（1）灵活性。（2）高精度和高稳定性。（3）便于大规模集成。（4）对数字信号可以存储、运算、系统可以获得高性能指标。
0.4 数字信号处理基本学科分支
数字信号处理（DSP）一般有两层含义，一层是广义的理解，为数字信号处理技术——DigitalSignalProcessing，另一层是狭义的理解，为数字信号处理器——DigitalSignalProcessor。
0.5 课程内容
该课程在本科阶段主要介绍以傅里叶变换为基础的“经典”处理方法，包括：（1）离散傅里叶变换及其快速算法。（2）滤波理论（线性时不变离散时间系统，用于分离相加性组合的信号，要求信号频谱占据不同的频段）。
在研究生阶段相应课程为“现代信号处理”（AdvancedSignalProcessing）。信号对象主要是随机信号，主要内容是自适应滤波（用于分离相加性组合的信号，但频谱占据同一频段）和现代谱估计。
简答题：
1．按自变量与函数值的取值形式是否连续信号可以分成哪四种类型?
2．相对模拟信号处理，数字信号处理主要有哪些优点?
3．数字信号处理系统的基本组成有哪些？

第一章：本章概念较多，需要理解和识记的内容较多，学习时要注意。

1.1 离散时间信号
1.离散时间信号的定义
离散时间信号是指一个实数或复数的数字序列，它是整数自变量n的函数，表示为x(n)。一般由模拟信号等间隔采样得到：。时域离散信号有三种表示方法：1）用集合符号表示 2）用公式表示 3）用图形表示
2.几种基本离散时间信号（记住定义）
（1）单位采样序列
（2）单位阶跃序列
（3）矩形序列
（4）实指数序列
（5）正弦序列
ω是正弦序列数字域的频率，单位是弧度。
对连续信号中的正弦信号进行采样，可得正弦序列。设连续信号为，它的采样值为，因此（重点）
这个式子具有一般性，它反映了由连续信号采样得到的离散序列，其数字频率与模拟频率的一般关系。另外需要说明的是，ω的单位为弧度，Ω的单位为弧度/秒。本书中，我们一律以ω表示数字域频率，而以Ω及f表示模拟域频率。
例：已知采样频率FT = 1000Hz, 则序列x（n） = cos(0.4πn) 对应的模拟频率为 ( 400π ) 弧度/s。
说明：本题旨在理解数字频率与模拟频率之间的关系：。
（6）复指数序列
复指数序列是以余弦序列为实部、正弦序列为虚部所构成的一个复数序列。
（7）周期序列(重点)
所有存在一个最小的正整数,满足：,则称序列是周期序列，周期为。(注意：按此定义，模拟信号是周期信号，采用后的离散信号未必是周期的)
例：正弦序列的周期性：
当，为整数时，，即为周期性序列。周期，式中，、限取整数，且的取值要保证是最小的正整数。
可分几种情况讨论如下：（1）当为整数时，只要，就为最小正整数，即周期为。（2）当不是整数，而是一个有理数时，设，式中，、是互为素数的整数（互为素数就是两个数没有公约数），取，则，即周期为。（3）当是无理数时，则任何皆不能使为正整数，这时，正弦序列不是周期性的。
例：X(n) = cos(0.4πn)的基本周期为( 5 )。
[说明]基本周期的定义即计算公式：，其中N和k均为整数，N为基本周期（使得N为最小整数时k取值）。本题ω = 0.4π，代入上式得到：。
3.信号运算
（1）加法：两个信号之和 由同序号的序列值逐点对应相加得到。
（2）乘法：两个信号之积 由同序号的序列值逐点对应相乘得到。
（3）移位：当，序列右移（称为延时）；当，序列左移（称为超前）。
（4）翻转：
（5）尺度变换：或，其中M和N都是正整数。
当时，序列是通过取x(n)的每第M个采样形成，这种运算称为下采样。对于序列，定义如下这种运算称为上采样。
4.信号分解（重点）
任一信号x(n)可表示成单位脉冲序列的移位加权和：

简记为
1.2 时域离散系统
时域离散系统定义
1 线性系统（重点）
判定公式：
若=,=则
2 时不变系统（重点）
判定公式：y(n)=T[x(n)] y(n-)=T[x(n-)]
例：判断下列系统是否为线性、时不变系统。（重点）
（1）；
（2）；
解：
（1）令：输入为，输出为
故该系统是时不变系统。

故该系统是线性系统。
（2） 令：输入为，输出为，因为

故系统是时不变系统。又因为

因此系统是非线性系统。
3 线性时不变系统（LTI或者LSI系统）输入与输出之间关系（重点）：

y（n）==x（n）*h（n）
重点：线性离不变系统的输出等于输入序列和该系统的单位脉冲响应的卷积
【说明】离散时间LTI系统的单位冲激响应h(n)为系统对单位冲激序列δ(n)的零状态响应。
单位冲激响应的概念非常重要。在时域，LTI系统可以由其单位冲激响应h(n)唯一确定，因此，我们常常用单位冲激响应描述 LTI 系统。在这种情况下， LTI 系统的输入输出关系可以由卷积运算描述：y（n）==x（n）*h（n）
物理意义： 卷积和运算具有显式意义，即可以用来确定系统的输出。如果系统确定，则其单位冲激响应是唯一的。由此，可求系统对任意输入的响应。
注意：计算卷积和的关键是求和区间的确定。因此，常常需要绘制序列x(m) 和h(n-m)的图形。利用序列x(m) 和h(n-m)的图形可助我们方便地确定求和区间。
卷积的求解方法（重点）：
线性卷积是一种非常重要的一种运算，对它的求解，一般我们采用作图法。线性卷积满足交换律，设两序列长度分别是N和M，线性卷积后序列的长度为N＋M－1。
卷积的计算过程包括翻转、移位、相乘、相加四个过程。
1）将和用和表示，画出和这两个序列；
2）选择一个序列，并将其按时间翻转形成序列；
3）将移位n，得到；
4）将和相同m的序列值对应相乘后，再相加。
例：设，, 和如图1所示。求和的卷积。（重点）

图1
解 方法一：用图解法求卷积和。
(1) 将和用和表示(图2中(a)、(b)图)。

图2 图解法求卷积过程
(2) 将进行反折，形成(图2中(c)图)；将移位，得到(图2中(d)、(e)、(f)图)。
(3) 将和相同的序列值相乘，再相加，得到(图2中(g)图)。

再讨论解析法求线性卷积。
用式
求解上式首先要根据和的非零值区间确定求和的上下限，的非零值区间为，的非零值区间为，或，由两个非零值区间可得的取值区间为，它们的乘积的非零值区间应满足：
和
因此
当 、时，；
当 时，；
当 时，。
与图解法结果一致。
y(n)用公式表示为

方法二：当序列和的长度分别为有限长和时，可采用“不进位乘法”求两序列线卷积。
如图1所示：，

例：两线性时不变系统级联，其单位取样响应分别为和，输入为，求系统的输出。

已知：，，。
解：设第一个系统的输出为，则

因而输出为

4. 系统因果性和稳定性的判定（重点）
1)稳定系统：有界的输入产生的输出也有界的系统，即：若，则（记住!!）
线性移不变系统是稳定系统的充要条件：(系统稳定的充分必要条件是系统的单位脉冲响应绝对可和)（记住!!）
或：其系统函数H(z)的收敛域包含单位圆 |z|=1（记住!!）

2)因果系统：时刻的输出只由时刻之前的输入决定（记住!!）
线性移不变系统是因果系统的充要条件：（记住!!）因果系统的单位脉冲响应必然是因果序列。（记住!!）
或：其系统函数H(z)的收敛域在某圆外部：即：|z|>Rx（记住!!）
3）稳定因果系统：同时满足上述两个条件的系统。
线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件：，（记住!!）
或：H(z)的极点在单位圆内H(z)的收敛域满足：（记住!!）
例：判断线性时不变系统的因果性、稳定性，并给出依据。（重点）
(1)；
（2）；
解：（1）只要，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。如果，则，因此系统是稳定系统。
（2）如果，，因此系统是稳定的。系统是非因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关。
注意：如果给出的是h(n)，用上面要求记住的充要条件判断！
例：设某线性时不变系统的单位取样响应为（a为实数），分析系统的因果性和稳定性。（重点）
解：讨论因果性：
因为时，，所以该系统是因果系统。
讨论稳定性：
∵
∴ 当时，系统是稳定的；否则，系统不稳定。
例：设某线性时不变系统的单位取样响应为（a为实数），分析系统的因果性和稳定性。（重点）
解：讨论因果性：
因为时，，所以该系统是非因果系统。
讨论稳定性：
∵
∴ 当时，系统是稳定的；否则，系统不稳定。
1.3 线性常系数差分方程
1 差分方程定义
卷积和是一种LTI 系统的数学模型，一般情况下，我们可以用差分方程描述LTI系统的输入输出关系。
差分方程给出了系统响应y[n]的内部关系。为得到y[n]的显式解，必须求解方程。
2差分方程求解
经典法 递推法 变换域法（参见下章z域变换）（重点）
例：设系统的差分方程为，输入序列为，求输出序列。
解：一阶差分方程需一个初始条件。
设初始条件为：
则

设初始条件改为：
则

该例表明，对于同一个差分方程和同一个输入信号，因为初始条件不同，得到的输出信号是不相同的。
几点结论（重点）
（1）对于实际系统，用递推解法求解，总是由初始条件向n>0的方向递推，是一个因果解。但对于差分方程，其本身也可以向n<0的方向递推，得到的是非因果解。因此差分方程本身不能确定该系统是因果系统还是非因果系统，还需要用初始条件进行限制。
（2）一个线性常系数差分方程描述的系统不一定是线性非时变系统，这和系统的初始状态有关。如果系统是因果的，一般在输入x(n)=0(n<n0)时，则输出y(n)=0(n<n0)，系统是线性非时变系统。
1.4 模拟信号数字处理方法
1 模拟信号数字处理框图

：模拟信号输入
预滤波：目的是限制带宽（一般使用低通滤波器）
采样：将信号在时间上离散化
A/DC：模/数转换
量化：将信号在幅度上离散化（量化中幅度值=采样幅度值）
编码：将幅度值表示成二进制位（条件）
数字信号处理：对信号进行运算处理
D/AC：数/模转换（一般用采样保持电路实现：台阶状连续时间信号在采样时刻幅度发生跳变 ）
平滑滤波：滤除信号中高频成分（低通滤波器），使信号变得平滑
：输入信号经过处理后的输出信号
2．连续信号的采样
对连续信号进行理想采样，设采样脉冲，则采样输出

在讨论理想采样后，信号频谱发生的变化时，可遵循下面的思路：
1）由；2）由；
3）根据频域卷积定理，由计算出。
计算过程：
1）
2）周期信号可以用傅里叶级数展开，因此

其中系数

所以

其傅里叶变换

3）

因此，采样后信号频谱产生周期延拓，周期为Ωs，同时幅度为原来的1/T倍。这是一个非常重要的性质，应熟练掌握。
3 时域抽样定理（重点）
一个限带模拟信号，若其频谱的最高频率为，对它进行等间隔抽样而得，抽样周期为T，或抽样频率为；只有在抽样频率时，才可由准确恢复。
例：有一连续信号式中，（1）求出的周期。
（2）用采样间隔对进行采样，试写出采样信号的表达式。
（3）求出对应的时域离散信号(序列) ，并求出的周期。
解：（1）周期为
（2）
（3）x(n)的数字频率ω=0.8π，故，因而周期N=5，所以x(n)=cos(0.8πn+π/2)
简答题：（重点）
1． 是不是任意连续信号离散后，都可从离散化后的信号恢复出原来的信号？为什么？
2． 一个连续时间信号经过理想采样以后，其频谱会产生怎样的变化？在什么条件下，频谱不会产生失真？
3． 说明时域采样定理的要点？
4． 离散信号频谱函数的一般特点是什么？
5． 画出模拟信号数字处理框图。并说明各部分的作用。
名词解释：（重点）
1. 时域采样定理
2. 线性系统、时不变系统、稳定系统、因果系统
第二章：本章涉及信号及系统的频域分析方法，概念较多，但很基础，学习时要注意。

2.1 序列的傅里叶变换的定义及性质
1.定义
DTFT 是一个用来确定离散时间序列频谱的重要数学工具。
物理意义：傅里叶变换是将对信号的时域分析转换为对其在频域的分析，便于研究问题。
若序列满足绝对可和条件
则其离散时间傅里叶变换（DiscreteTimeFourierTransform-DTFT：非周期序列的傅里叶变换）定义为
------（记住!!）
反变换定义为： ------
傅里叶变换对
例：设，求其序列傅里叶变换。（重点）
解

当时
(2-5)
的幅度和相位随变化曲线如图2.1所示。

图2.1 R4(n)的幅度与相位曲线
例：试求如下序列的傅里叶变换：（重点）
（1）
（2）
（3）
（4）
解：
（1）
（2）
（3） ，
（4）
=
2.性质
1）周期性（重点）： DTFT是关于ω的周期为2π的周期函数。

2)线性（重点）：设，，那么
3）时移特性（重点）

4）频移特性

5）时域卷积定理（重点）

6）频域卷积定理

7）帕斯瓦尔定理

时域总能量等于频域一周期内总能量。
7) 幅度频谱为ω的偶函数，相位频谱为ω的奇函数。
8) X(ejω)的实部为ω的偶函数， X(ejω) 的虚部为ω的奇函数。
对称关系的总结（重点）：
如果x[n]为复数序列，其DTFT为 X(ejω),
(a) x[n]实部的DTFT为X(ejω)的共轭对称部分-----------
(b) x[n]虚部的DTFT 为X(ejω)的反共轭对称部分-----------
(c) x[n]的共轭对称部分的DTFT为 X(ejω)的实部-----------
(d) x[n] 的反共轭对称部分的DTFT 为X(ejω)的虚部-----------
如果实序列x[n] 的 DTFT 为X(ejω),
(e) x[n]的偶对称部分的DTFT为X(ejω) 的实部，
-----------
(f) x[n]的奇对称部分的DTFT为 X(ejω) 的虚部，
-----------
例：设系统的单位取样响应，输入序列为，完成下面各题：（1）求出系统输出序列；（2）分别求出、和的傅里叶变换。（重点）
解：（1）
（2）
2.2 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系：
式中
2.3 序列的Z变换
1 Z变换定义(重点)
Z变换为离散时间信号与LTI系统分析的重要数学工具。给定一离散时间序列x(n)，其z变换定义为： ------（记住!!）
其中，,。z变换存在情况下的Z变量取值范围称为收敛域(ROC)。
注意：Z变换+不同收敛域对应不同收敛域的不同序列
序列（Z变换+收敛域）(重点)
例：求以下序列的Z变换及收敛域：（重点）
（1）；
（2）；
（3）
解：（1）
（2）
（3）
[说明]上题也可以改为求序列的傅立叶变换。可以利用。
2 Z变换和DTFT之间的关系(重点)
DTFT 为单位圆上的z变换。数学表达为： ------ 记住并理解!
3. 序列特性与X(z)的收敛域ROC的关系。(重点)
收敛区域要依据序列的性质而定。同时，也只有Z变换的收敛区域确定之后，才能由Z变换唯一地确定序列。
一般来来说，序列的Z变换的收敛域在Z平面上的一环状区域：
总结：a. ROC不包含任何极点。
b.有理 z变换的收敛域ROC由其极点界定。
c. 对于有限长序列x[n],其z变换的收敛域ROC 为整个z-平面，可能在 z = 0 或z = ∞除外。只有序列为时，收敛域是整个Z平面。
d. 对于右边序列x[n],其 z变换的收敛域ROC由其离原点最远的极点确定，其形式为。
e. 对于左边序列x[n], 其 z变换的收敛域ROC由其离原点最近的极点确定，其形式为。
f. 对于双边序列x[n], 其 z变换的收敛域ROC环状收敛域，，其形式为公共收敛域。

4. Z反变换(重点)
常用序列的Z变换(重点--记住!!)：

逆变换
x，C：收敛域内绕原点逆时针的一条闭合曲线
留数定理：
留数辅助定理：
利用部分分式展开：，然后利用定义域及常用序列的Z变换求解。(重点)
基本要求：用部分分式展开法求z反变换。(重点)
例：假设 ，收敛域ROC 为,则 的z反变换为( )。（重点）
说明：本题要求掌握序列的时域特性域z变换收敛域之间的对应关系。具体说，有限长序列的z变换的ROC是怎样的，右边序列的z变换的ROC是怎样的，因果序列的z变换的ROC是怎样的，左边序列的z变换的ROC是怎样的，反因果序列的z变换的ROC是怎样的。
典型序列的z变换表达式是否记住了？这两个典型z变换对，对求z变换或逆z变换非常重要。
例：已知，试求与对应的所有可能的序列。（重点）
解：同一个Z变换函数，收敛域不同，对应的序列也不同。本题没有给定收敛域，所以必须先确定收敛域。
有两个极点：，，因为收敛域总是以极点为边界，所以收敛域有以下三种情况：，，，三种收敛域对应三种不同的原序列，分别讨论如下：
（1） 对应左边序列 ∴
（2） 对应双边序列 ∴
（3） 对应右边序列 ∴
例：设 ，用部分分式展开法求逆Z变换。（重点）

解：先去掉z的负幂次，以便于求解，将的分子分母同乘以，得：

将等式两端同时除以z，得：

因而得：
由收敛域知，为右边序列，得：
主要应用于单阶极点的序列。
5 Z变换的性质
线性性质(重点)
序列的移位性质(重点)

序列乘以指数序列的性质(重点)

序列乘以n的ZT

复共轭序列的ZT

初值定理

终值定理
时域卷积定理(重点)
设

则
复卷积定理

帕斯维尔定理
，
那么
2.4 离散时间系统的系统函数及频率响应
1 系统函数定义（重点）
一个线性时不变离散时间系统在时域中可以用它的单位取样响应来表征，即： 对等式两边取Z变换并根据时域卷积定理，有：
则： 一般称为系统的系统函数（系统零状态响应的Z变换与输入的Z变换之比），它表征了系统的复频域特性。
2 系统函数与差分方程的关系
(给定差分方程，能计算其系统函数，或给定系统函数，能计算得到差分方程。) （重点）
3 频率响应（重点）
频率响应是一个重要的概念，根据频率响应，可理解滤波。
频率响应定义为系统单位冲激响应的DTFT：
（重点）
其中， |H(ejω)| 称为幅频响应， 称为相频响应。系统的频率响应是以2π为周期的ω的连续函数，这一点和连续系统的频率响应是不同的，学习时应加以注意。若h(n)为实数，则系统的幅度响应在区间内是偶对称的，而相位响应是奇对称的。
注意：仅当稳定系统才有频率响应。频率响应H(ejω)可根据DTFT 与z变换之间的关系简单得到：
稳态响应的求解
结论：
对于LTI 系统，如果输入为正弦序列x(n)=cos(ω0t+φ0), 则输出响应y(n)必为相同形式的正弦序列，但需在 ω=ω0的幅频响应|H(ejω)|进行加权，并通过相频响应在 ω=ω0的值进行移位，即：y[n]= |H(ejω0)|cos(ω0t+φ0+)
例：假设实序列x[n]的DTFT 记为, 则其幅值 是关于ω的（偶函数）。
说明：还记得反复强调的一句话，实序列的DTFT的幅度、实部是关于频率ω偶函数，而相位和虚部则是关于频率ω奇函数。
例：对于一LTI 离散时间系统其频率响应,如果系统输x(n) =, 响应的稳态输出响应y(n) = ( )。
说明：将系统的频率响应写成幅度相位表达式：，则输出信号为：。这里由于给出了的具体表达式，所以需要分别计算出和之值。
4 用系统函数极点分布分析系统的因果性和稳定性（重点）
系统函数：（传输函数H(z) 为系统的单位冲激响应h（n）的Z变换。）
1)稳定系统：有界的输入产生的输出也有界的系统，即：若，则
线性移不变系统是稳定系统的充要条件：
或：其系统函数H(z)的收敛域包含单位圆 |z|=1（牢记此结论!）
2)因果系统：时刻的输出只由时刻之前的输入决定
线性移不变系统是因果系统的充要条件：
或：其系统函数H(z)的收敛域在某圆外部：即：|z|>Rx（牢记此结论!）
3）稳定因果系统：同时满足上述两个条件的系统。
线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件：，
或：H(z)的极点在单位圆内H(z)的收敛域满足：（牢记此结论!）
例：.一因果LTI 离散时间系统的传输函数, 则系统的单位冲激响应为( 0.5nu（n） )。
说明：根据传递函数求系统的单位冲激响应，其实就是将传递函数进行逆z变换，但要注意系统的因果性如何。
例：因果IIR 离散时间LTI 系统，其传输函数，则系统( 稳定)。
例：一FIR离散时间 LTI 系统总是( 稳定)。
说明：系统的稳定性如何判断？按照教材中的说法，就是系统传递函数的收敛域如果包括“单位圆”，则系统是稳定的。如果你熟悉了序列的z变换的ROC的性质，则此题不难回答。对于因果系统来说，其单位冲激响应为因果序列，故其z变换的ROC一定是某圆外部的整个区域。而这个圆就位于离原点最远的极点上，所以，对于因果系统，如果系统传递函数的全部极点都位于单位圆以内的话，则系统是稳定的。
对于FIR系统，其单位冲激响应是一个有限长序列，其z变换的ROC为除了无穷远和原点之外的整个z平面，自然包括单位圆，所以FIR系统始终是稳定的。
5 系统的频率特性可由系统函数零点及极点确定

（式中，zk是极点，zi是零点；在极点处，序列x(n)的Z变换是不收敛的，因此收敛区域内不应包括极点。）
系统函数H（z）的极点位置主要影响频响的峰值位置及尖锐程度，零点位置主要影响频响的谷点位置及形状。
例：设一阶系统的差分方程为，，用几何法分析其幅频特性。（重点）
解：对差分方程两边取Z变换，得：
系统函数为： ，极点为，零点为，如下图左所示：

当时，由于极点矢量长度最短，幅频特性出现峰值，随着的增加，幅度逐渐减小，当时，由于极点矢量长度最长，幅频特性出现谷值，随着的增加，幅度逐渐增大，直到时，幅频特性出现峰值，如上图右所示。
简答题：（重点）
1. 说明有限长序列、左边序列、右边序列、双边序列的概念和收敛域各是什么？
2. 说明系统频率响应的概念？系统的频率响应和系统函数是什么关系？（单位圆上（）的系统函数就是系统的频率响应）
3. 说明FIR系统为什么始终是稳定的？
4. 怎样在z域表示离散时间LTI 系统? 答案：传输函数H(z)表示离散时间LTI 系统。
第三章：DFT是为适应计算机分析傅里叶变换规定的一种专门运算，本章是数字信号处理课程的重点章节。

前言
信号处理中会遇到几种信号形式：（1）连续周期信号（2）连续非周期信号（3）离散非周期信号（4）离散周期信号(重点)
各种信号在时域和频域之间总的来说都是傅里叶变换，但具体形式及应用是不同的。
1．连续周期信号 —— 傅里叶级数（FS）
连续周期信号可展开成傅里叶级数：
（*）
式中，，为的周期。
傅里叶级数的系数为：
幅度频谱是指各次谐波的振幅随频率的变化关系，即：

2．连续非周期信号 —— 傅里叶变换（FT）
连续非周期信号的傅里叶变换为：

因为非周期可视为，则离散频谱间距，则变成的连续函数。

3．离散非周期信号 —— 序列的傅里叶变换（DTFT）

如果把序列看成连续时间信号的采样，采样间隔为，则数字频率和模拟角频率的关系为，且，代入上式，得：

4．离散周期信号 —— 离散傅里叶级数（DFS）
设是周期为的周期序列，即： 为任意整数
表3.1 四种傅里叶变换形式的归纳

一般规律：一个域的离散对应另一个域的周期延拓， 一个域的连续必定对应另一个域的非周期。(重点)
3.1 离散傅里叶级数
1.周期序列的离散傅里叶级数（DFS）
说明：离散傅里叶级数系数，用DFS(Discrete Fourier Series)表示。
连续时间周期信号可以用傅里叶级数表示，离散周期序列也可以表示成傅里叶级数形式。
周期为N的复指数序列的基频序列为
k次谐波序列为
由于，即，因而，离散傅里叶级数的所有谐波成分中只有N个是独立的。因此在展开成离散傅里叶级数时，我们只能取N个独立的谐波分量，通常取k=0到(N-1)，即
（*）
式中，1/N是习惯上采用的常数，是k次谐波的系数。利用

将（*）式两端同乘以，并对一个周期求和

即

由于

所以也是一个以N为周期的周期序列。因此，时域离散周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍然是一个周期序列。称为离散傅里叶级数系数，用DFS(Discrete Fourier Series)表示。
令，则

其中，符号DFS[.]表示离散傅里叶级数正变换，IDFS[.]表示离散傅里叶级数反变换。
例：设，将以为周期进行周期延拓，得到周期序列，求的DFS。
解：

其幅度特性为：

2.周期序列的傅里叶变换
思路：由
利用和DTFT的频移特性，可得

傅里叶变换时域、频域对应关系：
根据序列的傅里叶变换和离散傅里叶级数频域特性，再结合连续时间信号的傅里叶变换频域特性，我们可以得出傅里叶变换时、频域的一般对应关系：连续→非周期，离散→周期。这种对应关系很重要，要求熟记(重点)。
3.2 有限长序列的离散傅立叶变换(DFT)
说明：(Discrete Fourier Transform，DFT离散傅里叶变换)
1 定义(重点)
，0≤≤------（记住!!）
，0≤n≤------记住!
其中，
应当注意，虽然和都是长度为得有限长序列，但他们分别是由周期序列和截取其主周期得到的，周期为的周期序列可以看成长度为的有限长序列周期延拓的结果。本质上是做DFS或IDFS，所以不能忘记它们的隐含周期性。尤其是涉及其位移特性时更要注意。(重点)
DFT的隐含周期性：(重点)
例：设，求的4点DFT。(重点)
解：

的4点离散傅里叶变换为：

以为周期将延拓成周期序列，得：

其离散傅里叶级数为：

例：设，求的8点DFT。(重点)
解：

的8点离散傅里叶变换为：

以为周期将延拓成周期序列，得：

其离散傅里叶级数为：

由例可见，离散傅里叶变换的结果与变换区间长度的取值有关。
2 离散傅立叶变换与DTFT、Z变换的关系(重点)

DFT的物理意义：X（k）为x(n)的傅里叶变换在区间上的等间隔采样。为在Z平面单位圆上的点等间隔采样。
3 时域分析
记住结论：时域抽样对应频域的周期拓展，频率抽样对应时域的以周期N的周期拓展。
这可以表述为如下公式：
3.3 离散傅里叶变换的基本性质
1 线性性质
若则
2 循环移位性质
设是长度为的有限长序列，则的点循环移位定义为（）：

循环移位的实现步骤：

3 循环卷积定理（重点）
1）设序列h(n)和x(n)的长度分别为N和M。h(n)与x(n)的L点循环卷积定义为

式中，L称为循环卷积区间长度，L≥max［N，M］。
2) 循环卷积矩阵

特点：
（1）第1行是序列{x(0),x(1),…,x(L－1)}的循环倒相序列。注意，如果x(n)的长度M<L，则需要在x(n)末尾补L－M个零后，再形成第一行的循环倒相序列。
（2）第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位形成的。
（3）矩阵的各主对角线上的序列值均相等。
循环卷积和线性卷积的区别
线性卷积：翻折—>乘加—>移位 ：y（n）=x（n）*h（n）=∑h（k）x（n-k）
循环卷积：补零—>周期延拓—>翻折—>循环移位—>对应值相加
例：计算下面给出的两个长度为4的序列h(n)与x(n)的4点和8点循环卷积。（重点）

解：按照循环卷积矩阵写出h(n)与x(n)的4点循环卷积矩阵形式为
h(n)与x(n)的8点循环卷积矩阵形式为
【补充】①计算h(n)与x(n)的线性卷积？②哪一种情况下计算的循环卷积结果就等于线性卷积？
【说明】当循环卷积区间长度L大于等于y(n) = h(n)*x(n)的长度时，循环卷积结果就等于线性卷积。假设h(n)和x(n)都是有限长序列，长度分别是N和M。循环卷积等于线性卷积的条件是L≥N＋M－1。（重点）
3） 时域循环卷积定理
设h(n)和x(n)的长度分别为N和M，其L点循环卷积为

且
则由DFT的循环卷积定理有

4 复共轭序列的DFT
性质：设是x(n)的复共轭序列，长度为N，，
则
例：给定一16-点实序列x（n）, 其 16-点 DFT 记为X(k), 已知X(13)= 2 + j3,则X*(3) = ( 2 + j3 )。
说明：DFT的性质。实序列的DFT的共轭对称性：X(k) ＝X*(N-k)，或X(N-k) ＝X*(k)。
5 DFT的共轭对称性（重点）
可总结出DFT的共轭对称性质：如果序列x(n)的DFT为X(k)，则x(n)的实部和虚部（包括j）的DFT分别为X(k)的共轭对称分量和共轭反对称分量；而x(n)的共轭对称分量和共轭反对称分量的DFT分别为X(k)的实部和虚部乘以j。
3.4 频域采样定理
离散傅里叶变换相当于信号傅里叶变换的等间隔采样，也就是说实现了频域的采样，便于计算机计算。那么是否任一序列都能用频域采样的方法去逼近呢？这是一个很吸引人的问题。
我们考虑一个任意的绝对可和的序列x(n)，它的z变换为

如果对X(z)单位圆上进行等距离采样

现在要问，这样采样以后，信息有没有损失？或者说，采样后所获得的有限长序列xN(n)能不能代表原序列x(n)。

为了弄清这个问题，我们从周期序列开始

由于

所以

也即是原非周期序列x(n)的周期延拓序列，其时域周期为频域采样点数N。在第一章我们看到，时域的采样造成频域的周期延拓，这里又对称的看到，频域采样同样造成时域的周期延拓。
因此，如果序列x(n)不是有限长的，则时域周期延拓时，必然造成混叠现象，因而一定会产生误差。
对于长度为M的有限长序列，只有当频域采样点数N大于或等于序列长度M时，才有

即可由频域采样值X(k)恢复出原序列x(n)，否则产生时域混叠现象，这就是所谓的频域采样定理。（重点）
内插公式：
3.5 DFT的应用举例
1.用DFT计算线性卷积(重点)
用循环（周期）卷积计算有限长序列的线性卷积(重点)
对周期要求：（N1、N2分别为两个序列的长度）(记住!!)
2.用DFT进行谱分析的误差问题(重点)
（1）混叠现象
利用DFT逼近连续时间信号的傅里叶变换，为避免混叠失真，按照抽样定理的要求，采样频率至少是信号最高频率的两倍。
解决混叠问题的唯一方法是保证采样频率足够高。
（2）截断效应
任何带限信号都是非时限的，任何时限信号都是非带限的。实际问题中遇到的离散时间序列可能是非时限的、无限长序列，在对该序列利用DFT进行处理时，由于作DFT的点数总是有限的，因此就有一个必须将该序列截断的问题。序列截断的过程相当于给该序列乘上一个矩形窗口函数RN(n)。如果原来序列的频谱为，矩形窗函数的频谱为，则截断后有限长序列的频谱为

截断后序列的频谱与原序列频谱必然有差别，这种差别对谱分析的影响主要表现在如下两个方面：
①频谱泄露：由于矩形窗函数频谱的引入，使卷积后的频谱被展宽了，即的频谱“泄露”到其它频率处，称为频谱泄露。
在进行DFT时，由于取无限个数据是不可能的，所以序列的时域截断是必然的，泄露是难以避免的。为了尽量减少泄露的影响，截断时要根据具体的情况，选择适当形状的窗函数，如汉宁窗或汉明窗等。
②谱间干扰。 在主谱线两边形成很多旁瓣，引起不同频率分量间的干扰(简称谱间干扰)，特别是强信号谱的旁瓣可能湮没弱信号的主谱线，或者把强信号谱的旁瓣误认为是另一频率的信号的谱线，从而造成假信号，这样就会使谱分析产生较大偏差。 
（3）栅栏效应
由于DFT是有限长序列的频谱等间隔采样所得到的样本值，这就相当于透过一个栅栏去观察原来信号的频谱，因此必然有一些地方被栅栏所遮挡，这些被遮挡的部分就是未被采样到的部分，这种现象称为栅栏效应。由于栅栏效应总是存在的，因而可能会使信号频率中某些较大的频率分量由于被“遮挡”而无法得到反映。此时，通常在有限长序列的尾部增补若干个零值，借以改变原序列的长度。这样对加长的序列作DFT时，由于点数增加就相当于调整了原来栅栏的间隙，可以使原来得不到反映的那些较大的频率分量落在采样点上而得到反映。
产生原因说明：由傅里叶变换理论知道，若信号持续时间有限长，则其频谱无限宽