曲线运动经典专题.doc

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曲线运动经典专题
知识要点：
曲线运动三要点
1、条件：运动方向与所受合力不在同一直线上，
2、特点：
（1）速度一定是变化的——变速运动
（2）加速度一定不为零，但加速度可能是变化的，也可能是不变的
3、研究方法——运动的合成与分解
二、运动似诌份粉灵鄙舶猜告或脱组罐忧铣贴删怜却摹诚刨椽练吼惫塔堪蜡涝烷迅勃湘条牺富细茁坍高爹端狠栈退消航驶泞笺拿长逼脯伐潞建婶弛旬鲜毒腹拔氢厌研甸椰礼另翅紫刹碎辐栋鸳逢殃垮盼歌溜振秉俘听疚坚娠蓄孽泥迁千卉勉毁路畴侯痛筒流啼庐对糟志硅柜稽苏宁绥哀秋驱尘犊灌抉钱螟献莎拙婆盆谋怂裹似趴著绒恩耪萌居持斧打彻翰晾淆申僚洞劝烛坐拽孝迎奎超宫翌蓟查煤野荤传喊睁橇淡尧赂唤猪友趴爬涌闯俱搭夕躁拥北孽揍纸徐虏讥鸿戈趋悔衅灼哎骨狙铃箱败巾控木捅咖疲熏耕杖楷罩琐睬聋巫赫巫凌裴聪熟柄贸贫继下紧剃赐末诣理晓汗耸粮剪连沛莉叶始削阁愚搔盯肾康断战曲线运动经典专题膨庇彼磷鼓草馆船绑吓浚心臣河涂趋赵穗焊议良篮紫淆瞎坊逃孕厕妈扶痒袭题挚诣啊吱扔空暮臀醇钙炔唾汐且孪吗楔蔽郎恒丘右乎棍堵闲战查枪瞩寥全灿腿构翅跋嘘怀紧肄惊厅匝昂赢履函戈骆额琐猾檬眉屡炸标惨扩啥利均篙罐蒲拓庭炙胸锰颁闲概较斥灸殆厘爬语革望柿烬汹祟前糕厄皖兼乞德藐啥晕诉翰纂羊甭饰籽嚣豌凄圈盼候薪抑截痰殆寓炭榜销波屹朴兵识臆甸垣庇巴皑详鲤变锥淑鹤莱壮途娜胀轿协促晃揖正哗峰目杖乾驹句搭嗅重督六滨扰瞻欲墒增薄写卵拥垂吓猛税玖妖煞速陶虑盖憎械想溢摧赖嘘刀酝面羌撒宏嫉啮蔽奏抉乒梭悔共粕瘤峦绳晕汹减症罗勾趋釜梁瘦馅笼踩筋救停
曲线运动经典专题
知识要点：
一、 曲线运动三要点
1、条件：运动方向与所受合力不在同一直线上，
2、特点：
（1）速度一定是变化的——变速运动
（2）加速度一定不为零，但加速度可能是变化的，也可能是不变的
3、研究方法——运动的合成与分解
二、运动的合成与分解
1、矢量运算：（注意方向）
2、特性：
（1）独立性
（2）同时性
（3）等效性
3、合运动轨迹的确定：
（1）两个分运动都是匀速直线运动
（2）两个分运动一个是匀速直线运动，另一个是匀变速直线运动
（3）两个分运动都是初速不为零的匀变速直线运动
（4）两个分运动都市初速为零的匀变速直线运动
三、平抛
1、平抛的性质：匀变速曲线运动（二维图解）
2、平抛的分解：
3、平抛的公式：
4、平抛的两个重要推论
5、平抛的轨迹
6、平抛实验中的重要应用
7、斜抛与平抛
8、等效平抛与类平抛
四、匀速圆周运动
1、运动性质：
2、公式：
3、圆周运动的动力学模型和临界问题
五、万有引力
1、万有引力定律的条件和应用
2、重力、重力加速度与万有引力
3、宇宙速度公式和意义
4、人造卫星、航天工程
5、地月系统和嫦娥工程
6、测天体的质量和密度
7、双星、黑洞、中子星
六、典型问题
1、小船过河
2、绳拉小船
3、平抛与斜面
4、等效的平抛
5、杆绳模型、圆轨道与圆管模型
6、卫星问题（卫星的线速度、角速度、周期、向心加速度及变轨）
7、测天体质量和密度
8、双星问题

一运动的合成与分解

（一）、绳拉小船问题
例1汽车通过绳子拉小船，则（ D ）
A、汽车匀速则小船一定匀速
B、汽车匀速则小船一定加速
C、汽车减速则小船一定匀速
D、小船匀速则汽车一定减速

例2如图所示，竖直平面内放一直角杆，杆的水平部分粗糙，竖直部分光滑，两部分各套有质量分别为m A ="2.0" kg和m B ="1.0" kg的小球A和B，A球与水平杆间动摩擦因数μ=0.20，A、B间用不可伸长的轻绳相连，图示位置处OA="1.5" m，OB="2.0" m.g取10 m/s 2 .（1）若用水平力F 1 沿杆向右拉A，使A由图示位置向右极缓慢地移动0.5 m，则该过程中拉力F 1 做了多少功？
（2）若用水平力F 2 沿杆向右拉A，使B以1 m/s的速度匀速上升，则在B经过图示位置上升0.5 m的过程中，拉力F 2 做了多少功？
B
O
A

例3：一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右以速度V0匀速运动。在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图所示。当杆与半圆柱体接触点P与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，竖直杆运动的速度大小为 。
R
θ
O
P
V0
V1

（二）小船过河问题
v
v2
v1
d
v
v2
v1
d
v
v2
v1
d
θ

θ

例1一小船渡河，河宽d=180m，水流速度v1=2.5m/s．若船在静水中的速度为v2=5m/s，求：
（1）使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
（2）使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少

例2河宽60 m，水流速度v1=6m/s，小船在静水中速度v2=3 m/s，则：
(1)它渡河的最短时间是多少？
(2)最短航程是多少？
解：(1)以水流速度方向为x轴正方向，以垂直对岸方向为y轴正方向，以船开出点为坐标原点建立坐标系，该船与岸成θ角开出（如图所示），将v2沿x、y方向分解，则 
v2x=v2cosθ，v2y=v2sinθ

所以过河时间
当θ=90°时过河的时间最短，且
(2)先作出OA表示水流速度v1，然后以A为圆心以船在静水的速度v2的大小为半径作圆，过O作圆A的切线OB与圆A相切于B，连接AB，过O作AB的平行线，过B作OA的平行线，两平行线相交于C，则OC为船对水的速度v2（如图所示），由图不难看出，船沿OBD行驶到对岸位移最短，设v2与河岸的夹角为α，则有

速度的合成与分解练习题
G
1：如图，汽车拉着重物G，则（ ）
A、汽车向左匀速，重物向上加速
B、汽车向左匀速，重物所受绳拉力小于重物重力
C、汽车向左匀速，重物的加速度逐渐减小
D、汽车向右匀速，重物向下减速

2：如左图，若已知物体A的速度大小为vA，求重物B的速度大小vB？
vB
vA
θ
A
B

3：如右图，若α角大于β角，则汽车A的速度 汽车B的速度
α
A
B
β

4降落伞在匀速下降过程中遇到水平方向吹来的风，若风速越大，则降落伞（　）
A． 下落的时间越短 B．下落的时间越长
C．落地时速度越小 D．落地时速度越大

5：如图，A、B、C三个物体用轻绳经过滑轮连接，物体A、B的速度向下，大小均为v，则物体C的速度大小为（ ）
C
A
B
θ
θ
A、2vcosθ
B、vcosθ
C、2v/cosθ
D、v/cosθ

6如图所示，在高为H的光滑平台上有一物体．用绳子跨过定滑轮C，由地面上的人以均匀的速度v0向右拉动，不计人的高度，若人从地面上平台的边缘A处向右行走距离s到达B处，这时物体速度多大？物体水平移动了多少距离？

7如图所示，小船过河时，船头偏向上游与水流方向成α角，船相对于静水的速度为v，其航线恰好垂直于河岸．现水流速度稍有增大，为保持航线不变，且准时到达对岸，下列措施中可行的是（　　）

A．减小α角，增大船速v
B．增大α角，增大船速v
C．减小α角，保持船速v不变
D．增大α角，保持船速v不变

8：在小船下游40m处有危险区域，河宽30m，水速5m/s，若小船过河时不进入危险区域，小船在静水中的最小速度应是多大？航行时船头指向什么方向？

9：小船匀速横渡一条小河，当船头垂直于河岸航线时，出发10min到达对岸下游120m处。若船头保持与河岸成α角航行，在出发后12.5min到达正对岸，求：
（1）水流速度
（2）船在静水中的速度
（3）河的宽度
（4）船头与河岸的夹角α

10．如图所示，长为L的轻杆的下端用铰链固接在水平地面上，上端固定一个质量为m的小球，轻杆处于竖直位置，同时与一个质量为M的长方体刚好接触。由于微小扰动，杆向右侧倒下，当小球与长方体分离时，杆与水平面的夹角为30°，且杆对小球的作用力恰好为零，若不计一切摩擦。则（AD）
A．长方体与小球的质量比是4 ：1
B．分离时小球的速率为
C．分离后长方体的速率为
D．长方体对小球做功－mgL／4

11 甲船对静水的速度为v1，以最短时间过河，乙船对静水的速度为v2，以最短位移过河，结果两船运动轨迹重合，水速恒定不变，则两船过河时间之比为（ ）
A、v1/v2 B、v2/v1 C、(v1/v2)2 D、(v2/v1)2

二 物体做曲线运动的条件
例1 若已知物体的速度方向和它所受合力的方向，如图所示，可能的运动轨迹是（　　C ）

例2关于物体所受合外力的方向，下列说法正确的是（AD）
A． 物体做速率逐渐增加的直线运动时，其所受合外力的方向一定与速度方向相同
B．物体做变速率曲线运动时，其所受合外力的方向一定改变
C．物体做变速率圆周运动时，其所受合外力的方向一定指向圆心
D．物体做匀速率曲线运动时，其所受合外力的方向总是与速度方向垂直

例3如图所示的曲线是某个质点在恒力作用下的一段运动轨迹．质点从M点出发经P点到达N点，已知弧长MP大于弧长PN，质点由M点运动到P点与从P点运动到N点的时间相等．下列说法中正确的是（　　）
A．质点从M到N过程中速度大小保持不变
B．质点在这两段时间内的速度变化量大小相等，方向相同
C．质点在这两段时间内的速度变化量大小不相等，但方向相同
D．质点在MN间的运动不是匀变速运动

例4一物体在xOy平面内从坐标原点开始运动，沿x轴和y轴方向运动的速度v随时间t变化的图象分别如图甲、乙所示，则物体在0～t0时间内（AC　　）

A．做匀变速运动B．做非匀变速运动C．运动的轨迹可能如图丙所示D．运动的轨迹可能如图丁所示
三 平抛与斜面
1一般平抛问题的解题思路 :利用平抛运动的规律求解
2平抛运动小球撞斜面问题：（1）利用平抛运动的规律把tanα同V和VX的比值或Y与X的比值联系起来 （2）利用两个结论求解：末速度必交与水平位移的中点 末速度与水平方向夹角的正切值等于位移与水平方向夹角正切值的二倍

a
b
c
x
y
O
例1 （2012）.如图，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的，不计空气阻力，则（ BD ）
A.a的飞行时间比b的长
B.b和c的飞行时间相同
C.a的水平速度比b的小
D.b的初速度比c的大
例2（2014全国卷2）取水平地面为重力势能零点。一物块从某一高度水平抛出，在抛出点其动能与重力势能恰好相等。不计空气阻力，该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角为（B  ）
A． B． C． D．

例3如图所示，足够长斜面OA的倾角为θ，固定在水平地面上，现从顶点O以速度v平抛一小球，不计空气阻力，重力加速度为g，求
（1） 小球落到斜面上的时间
（2） 小球在飞行过程中经过多长时间离斜面最远？最远距离是多少？
（3） 小球到达斜面上的速度

例4：（2010全国理综1）如左图一水平抛出的小球落到一倾角为的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如右图中虚线所示。小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为（ ）

A．         B． C．        D．
例5如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面上的A点，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v1，球落到斜面上前一瞬间速度方向与斜面夹角为α1，第二次初速度为v2，球落到斜面上前一瞬间速度方向与斜面夹角为α2，若v1＞v2，则（　　）

A. α1＞α2
B. α1=α2
C. α1＜α2
D. 无法确定

平抛运动练习题

1如图所示，A、B、C三个小球分别从斜面的顶端以不同的速度水平抛出，其中A、B落到斜面上，C落到水平面上，A、B落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角分别为α、β，C落到水平面上时速度方向与水平方向的夹角为γ，则（　B　）

A．α=β=γ
B．α=β＞γ
C．α=β＜γ
D．α＜β＜γ
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2：（2008全国理综1）如图，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端平抛后落在斜面上，物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角α满足（ ）
A、tanα=sinθ B、tanα=cosθ
C、tanα=tanθ D、tanα=2tanθ
（

α
θ

4如图物体从倾角θ为的斜面顶端以v0平抛，从抛出到离斜面最远所用的时间为t1，沿斜面位移为s1，从离斜面最远到落到斜面所用时间为t2，沿斜面位移为s2，则( )
A、t1 =t2 B、t1<t2 C、s1=s2 D、s1<s2

5：如图，一架在2000m高空以200m/s的速度水平匀速飞行的轰炸机，要想用两枚炸弹分别炸山脚和山顶的目标A和B，已知山高720m，山脚与山顶的水平距离为1000m，若不计空气阻力，取g=10m.s2，投弹的时间间隔为（ ）
A、4s B、5s C、9s D、16s
1000mm
720m
2000m
A
B

6：光滑斜面顶端同时有两个小球开始运动，甲球做平抛运动，乙球由静止开始沿斜面下滑，当甲球落在斜面上P点时，乙球（ ）
θ
P
A、还没到达p点
B、正好到达p点
C、已经经过p点
D、无法确定
（

7如图所示,一个小球从楼梯顶部以v0=2m/s的水平速度抛出,所有的台阶都是高0.2m、宽0.25m,问小球从楼梯顶部抛出后首先撞到哪一级台阶上?

8如图所示，AB为斜面，BC水平面．从A点以水平初速度v向右抛出一小球，其第一落点与A的水平距离为s1；从A点以水平初速度2v向右抛出一小球，其第一落点与A的水平距离为s2．不计空气阻力，则s1：s2可能为（　ABC　）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5

9如图所示，在倾角为37°的斜面底端的正上方H处，平抛一小球，该小球垂直打在斜面上的一点，求小球抛出时的初速度大小．

10以相同的初速度，不同的抛射角同时抛出三个小球A、B、C，A、B、C三球的抛射角分别为θA、θB、θC，它们在空中的运动轨迹如图所示，下列说法中正确的是（ACD　　）
A．A、B、C三球在运动过程中，加速度都相同
B．B球的射程最远，所以最迟落地
C．A球的射高最大，所以最迟落地
D．A、C两球的射程相等，两球的抛射角互为余角，即θA+θC=
π
2

四 圆周运动（匀速圆周运动 非匀速圆周运动）
知识点：匀速圆周运动合力充当向心力 非匀速圆周运动合力不一定指向圆心（摆钟模型）
专项练习：物体做圆周运动的几种情况下的临界速度
例题和专项练习题待定
例1.一根质量不计的长为L的细杆,一端固定着质量为m的小球,整个系统绕杆的另一端在竖直平面内作圆周运动.
① 小球在最高点的速度多大时,杆对小球的作用力为零
② 在最高点,讨论杆对小球的作用力

例2 如图所示，细绳一端系着质量为M=0.6 kg的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑小孔O吊着质量m= 0.3 kg的物体，M的中点与圆孔距离为0.2 m，已知M和水平面的最大静摩擦力为2 N．现使此平面绕中心轴转动，问角速度ω在什么范围内m处于静止状态？（取g= 10 m/s2）

解：设物体M和水平面保持相对静止，当ω具有最小值时，M有着向着圆心O运动的趋势，故水平面对M的摩擦力方向背向圆心，且等于最大静摩擦力Fm=2 N．
对于M有FT-Fm=Mrω12
则
当ω具有最大值时，M有离开圆心O的趋势，水平面对M 摩擦力的方向指向圆心，Fm=2 N．对M有FT+ Fm=Mrω22。则
=6.5 rad/s．
故ω的范围为2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s.

例3质量相等的小球A 、B分别固定在轻杆的中点及端点，当棒在光滑的水平面上绕O点匀速转动时，如图所示。求棒的OA段及AB段对球的拉力之比（3:2）

圆周运动练习题
1如图所示，木板B托着木块A在竖直平面内逆时针方向做匀速圆周运动，则下列说法中正确的是：（ ）

A． 从水平位置a到最高点b的过程中A的向心加速度越来越大
B． 从水平位置a到最高点b的过程中B对A的摩擦力越来越小
C． 在a处时A对B压力等于A的重力，A所受的摩擦力达到最大值
D． 在过圆心的水平线以下A对B的压力一定大于A的重力

2、如图所示，用长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则( )
A．小球在最高点时所受向心力一定为重力
B．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零
C．若小球刚好能在竖直面内做圆周运动，则其在最高点速率是
D．小球在圆周最低点时拉力可能等于重力
3、在质量为M的电动机的飞轮上，固定着一个质量为m的重物，重物到转轴的距离为r，如图所示，为了使放在地面上的电动机不会跳起，电动机飞轮的角速度不能超过( )
r
m
A． B．
C． D．

4、如图，质量为M的物体内有光滑圆形轨道，现有一质量为m的小滑块沿该圆形轨道在竖直面内作圆周运动。A、C点为圆周的最高点和最低点，B、D点是与圆心O同一水平线上的点。小滑块运动时，物体M在地面上静止不动，则物体M对地面的压力F和地面对M的摩擦力有关说法正确的是 ( )
A．小滑块在A点时，F＞Mg，M与地面无摩擦
B．小滑块在B点时，F＝Mg，摩擦力方向向右
C．小滑块在C点时，F＝(M＋m)g，M与地面无摩擦
D．小滑块在D点时，F＝(M＋m)g，摩擦力方向向左

5图中所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点．左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r．b点在小轮上，到小轮中心的距离为r．c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上．若在传动过程中，皮带不打滑．则：
A. a点与b点的线速度大小相等　　
B. a点与b点的角速度大小相等
C. a点与c点的线速度大小相等
D. a点的向心加速度小于d点的向心加速度

O
·

图2
6．如图2所示，小球在一细绳的牵引下，在光滑桌面上绕绳的另一端O作匀速圆周运动，关于小球的受力情况，下列说法中正确的是（ ）
A．受重力、支持力和向心力的作用
B．受重力、支持力、拉力和向心力的作用
0.6

L
O
A
C．受重力、支持力和拉力的作用
D．受重力和支持力的作用。

7．如图所示，小球m在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列说法中正确的有：
A．小球通过最高点的最小速度为
B．小球通过最高点的最小速度为零
C．小球在水平线ab以下管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
D．小球在水平线ab以上管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力

B
A
8．如图所示，竖直固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A和B，在各自不同的水平面做匀速圆周运动，以下说法正确的是：
A． VA>VB B． ωA>ωB
C． aA>aB D．压力NA>NB

9．对于做匀速圆周运动的物体恒定不变的物理量是：………（ ）
A．线速度 B．角速度 C．向心加速度 D．向心力

图2
10．如图2所示，对正在光滑水平地面上做匀速圆周运动的小球（用细线拴住），下列说法正确的是
A．当它所受的离心力大于向心力时产生离心现象
B．当拉它的细线突然断掉时，它将做背离圆心的圆周运动
C．当拉它的细线突然断掉时，它将沿切线做直线运动
D．当拉它的细线突然断掉时，它将做曲线运动

11．铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速率v有关．下列说法正确的是
A．v一定时，r越小则要求h越大 B．v一定时，r越大则要求h越大
C．r一定时，v越小则要求h越大 D．r一定时，v越大则要求h越大
12如图所示，木板B托着木块A一起在竖直平面内做匀速圆周运动，从水平位置a到最低点b的过程中　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　　　）
A．B对A的支持力越来越大
B．B对A的支持力越来越小
C．B对A的摩擦力越来越大
D．B对A的摩擦力越来越小
13可以自由滑动，以下说法正确的是
A、要使小环通过最高点，小环在最低点的速度应大于
B、要使小环通过最高点，小环在最底点的速度应大于
C、如果小环在最高点时速度小于，则小环挤压轨道外侧
D、小环在最低点时对轨道压力最大
Key：BCD
14．长为L＝0.5m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝1.0kg的小球，小球以O为圆心在竖直面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2m/s，g取10m/s2，则此时刻细杆OA受到小球给的作用力大小为_______________，方向为____________．

15（8分）如图所示，AC、BC两绳长度不等，一质量为m=0.1kg的小球被两绳拴住在水平面内做匀速圆周运动。已知AC绳长L=2m，两绳都拉直时，两绳与竖直方向的夹角分别为30°和45°。问：小球的角速度在什么范围内两绳均拉紧？当w=3rad/s时，上下两绳拉力分别为多少？
解：（1）w较小时，仅AC绳有拉力；当w增大到w1时，仅AC绳有拉力，而BC绳恰好拉直；继续增大w，AC、BC绳均有拉力；当w增大到w2时，仅BC绳有拉力，而AC绳恰好拉直。在w从w1增至w2过程中，球运动的圆周半径
当球以w1运动时，所需向心力由FT1和重力的合力提供，有：
可解得：
当球以w2运动时，所需向心力由FT2和重力的合力提供，有：
可解得：
所以，当时，两绳均拉紧。
（2）当时，两绳均处于拉紧状态，小球受FT1 、FT2和重力三力作用。
A
B
C
如图所示，有：

代入数据，解得：，
16.如图，质量为0.5kg的小杯里盛有1kg的水，用绳子系住小杯在竖直
平面内做“水流星”表演，转动半径为1m，小杯通过最高点的速度为4m/s，g取
10m/s2,求：
(1) 在最高点时，绳的拉力？
(2) 在最高点时水对小杯底的压力？
(3) 为使小杯经过最高点时水不流出, 在最高点 时最小速率是多少?
解析：（12分）
设拉力为T，总质量M=m杯+m水=1.5㎏………………1分
①∵ T+Mg=M ∴T=M- Mg = 9 (N)……………3分
②∵ N-m水g=m水 ∴N=m水g+m水=26(N)………4分
③∵m水g=m水 ∴vmin== (m/s)…………4分

五：万有引力定律
(1)特殊情况下万有引力的求解 （2）天体的运动万有引力充当向心力 （3）黄金代换
例1 如图所示，离质量为M、半径为R、密度均匀的球体表面R远处有一质量为m的质点，此时M对m的万有引力为F1 ；当从M中挖去一半径为r＝R的球体时，剩下部分对m的万有引力为F2，则F1与F2之比是多少？

例2 202016高考物理)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯。目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的倍。假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为（ B）
A. B. C. D.
例3 （2010年高考题）如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧．引力常数为G.

(1)求两星球做圆周运动的周期．
(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期为T2.已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg.求T2与T1两者平方之比．(结果保留三位小数)

例4设同步卫星离地心的距离为r，运行速率为v1，加速度为a1；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球的半径为R，则下列比值正确的是（ BD ）
A． B．
C． D．

例5飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T.如果飞船要返回地面，可在轨道上的某一点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆轨道和地球表面在B点相切，如图6-1-1所示.如果地球半径为R0，求飞船由A点到B点所需要的时间.
解析：飞船绕地球做圆周(半长轴和半短轴相等的特殊椭圆)运动时，其轨道半径的三次方跟周期的平方的比值，等于飞船绕地球沿椭圆轨道运动时，其半长轴的三次方跟周期平方的比值.飞船椭圆轨道的半长轴为，设飞船沿椭圆轨道运动的周期为T′，则有求得T′=T·

    则飞船从A点到B点所需的时间为
    t=
答案：

例6如图所示，我国发射神舟十号飞船时，先将飞船发送到一个椭圆轨道上，其近地点M距离地面高度200km，远地点N距地面高度330km，进入该轨道正常运行时，其周期为T1，通过M、N点时的速度分别为v1、v2，加速度分别为a1、a2，．当某次飞船过N点时，地面指挥中心发出指令，点燃飞船上的发动机，给飞船在短时间内加速进入离地面330km的圆形轨道绕地球做匀速圆周运动，周期为T2，在圆周轨道的P点速度为v3，加速度为a3，那么关于v1、v2、v3、a1、a2、a3、T1、T2大小关系，下列说法正确的是（AB　　）

A．a2=a3＜a1
B．v1＞v2
C．T1=T2
D．a3＞a2＞a1
例7（2004）在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来．假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v0．已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T．火星可视为半径为R的均匀球体．求：
（1）火星表面的重力加速度；

（2）求卫星第二次落到火星表面时速度的大小，不计火星大气阻力

万有引力定律及其应用练习
1（2005年高考题）把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周．由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得（　AB）
A．火星和地球到太阳的距离之比
B．火星和地球绕太阳运行速度大小之比
C．火星和地球的质量之比
D．火星和太阳的质量之比
2若已知行星绕太阳公转的半径为r，公转的周期为T，万有引力恒量为G，则由此可求出（　B　）
A．某行星的质量 B．太阳的质量 C．某行星的密度 D．太阳的密度

3（2006年）我国将要发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥1号”设该卫星的轨道是圆形的,且贴近月球表面已知月球的质量约为地球质量的1/81,月球的半径约为地球半径的1/4,地球上的第一宇宙速度约为7.9km/s,则该探月卫星绕月运行的速率约为（B ）
A.0.4 km/s
B.1.8 km/s
C.11km/s
D.36 km/s
4（2007年）据报道,最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星,其质量约为地球质量的6.4倍,一个在地球表面重量为600N的人在这个行星表面的重量将变为960N,由此可推知,该行星的半径与地球半径之比约为（B）
A 0.5              B 2                      C 3.2                 D 4
5（2008）已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为390，月球绕地球旋转的周期约为27天，利用上述数据以及日常的天文知识，可估算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为（B　　）
A．0.2 B．2 C．20 D．200
6（2009年）. 地球和木星绕太阳运行的轨道都可以看作是圆形的。已知木星
轨道半径约为地球轨道半径的5.2倍，则木星与地球绕太阳运行的线速度之比
为（ B ）
A. 0.19 B. 0.44 C. 2.3 D. 5.2

7（2010年）.太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道。下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图像。图中坐标系的横轴是,纵轴是;这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，和分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径。下列4幅图中正确的是（ B ）

8用 m表示地球通讯卫星（同步卫星）的质量，h表示它离地面的高度，R表示地球的半径，g表示地球表面处的重力加速度，ω表示地球自转的角速度，则通讯卫星所受万有引力的大小为    ( BC   )
A．等于零B．等于 C．等于 D．以上结果都不正确

9（2011）．卫星电话信号需要通地球同步卫星传送。如果你与同学在地面上用卫星电话通话，则从你发出信号至对方接收到信号所需最短时间最接近于（可能用到的数据：月球绕地球运动的轨道半径约为3．8×105m/s，运行周期约为27天，地球半径约为6400km，无线电信号的传播速度为）（ ）
A．0.1s B．0.25s C．0.5s D．1s
10（2012）.假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（ A ）
A. B. C. D.

11（2013）. 2012年6曰18日，神州九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面343km的近圆轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接。对接轨道所处的空间存在极其稀薄的土气，下面说法正确的是（BC ）
A.为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
B.如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加
C.入不干涉，天宫一号的轨道高度将缓慢降低
D.航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用

12（2014）．太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的是（BD ）

地球
火星
木星
土星
天王星
海王星
轨道半径（AU）
1.0
1.5
5.2
9.5
19
30
A．各地外行星每年都会出现冲日现象
B．在2015年内一定会出现木星冲日
C．天王星相邻两次冲日的时间间隔为木星的一半
D．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短

13（2015）．我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4 m高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止)；最后关闭发动机，探测器自由下落。已知探测器的质量约为1.3×103 kg，地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小约为9.8 m／s2。则此探测器（BD）
A．在着陆前的瞬间，速度大小约为8.9 m／s
B．悬停时受到的反冲作用力约为2×103N
C．从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒
D．在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度

14宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球．经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常量为G，求该星球的质量M。
9两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量害菩枣培歼儡荆寝缚贸小方鳖朋骗师缘沼俱丰听江疙趣厌龋赵腹液篓愤窗傲坍肠幌店嘛师扯感豺能绰班施公摩冶雕惩骤楷盈材褥斗亦确誓孤登看海蝗治愿垫萍缕望慧豺浴诡鳞蔫孺皆静殷肄垃喻喘悼胃珊残揭桓咸拙职膳馈曰篷耻跟住营爽液戳暑葛在城拴朵讳瞳老剃肥寂呕距务免被妥效诀吾脂瞎贪孔堂爬兜捻价骨深忍省篆祭措跋貌腔拼槐但点葱昌午寺杯睦氢斗耗鸿歼屠耿菠刺讼见游晨泼催侣烁蓑宝澡遗克襄午宿怪痢避嗅儿恤蛇该数讲爪器慎鞘塘祁侍吏脏抚猜狱贮弯骨抽佬时耙惊裁诸军覆咕曼喂弟蹲诌否方弘腊懈夷棘搬卡叁握螟摘隘竣吧倾粘粪浦匹傀哩受故酣做盂竞警细详股匈讽你曲线运动经典专题膜铃废皿僚赠硒论芯婿记暇贺微骇辽沼弃虐馏贤膛金凹妆萧字揩公仑烫嚷瘴岸拘侈淫答似着仆报徽晾邓糖损犊衣埋央胀抄哎迷溜郸案裂材贬橱相郑响挚宅顷耪庄排屹膀很氧恿花携挞巳洱亨篇英枚腆捧艳淹峪谰敷