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北师大版小学数学六年级下册知识点 圆柱和圆锥 一、 面的旋转 1.“点、线、面、体”之间的关系是：点的运动形成线；线的运动形成面；面的旋转形成体。2.圆柱的特征： （1）圆柱的两个底面是半径相等的两个圆。 （2）两个底面间的距离叫做圆柱的高。 （3）圆柱有无数条高，且高的长度都相等。 3.圆锥的特征： （1）圆锥的底面是一个圆。 （2）圆锥的侧面是一个曲面。 （3）圆锥只有一条高。 二、 圆柱的表面积 1.沿圆柱的高剪开，圆柱的侧面展开图是一个长方形（或正方形）。 （如果不是沿高剪开，有可能还会是平行四边形） 2.圆柱的侧面积底面周长高，用字母表示为：S侧ch。 3.圆柱的侧面积公式的应用： （1）已知底面周长和高，求侧面积，可运用公式：S侧ch； （2）已知底面直径和高，求侧面积，可运用公式：S侧dh； （3）已知底面半径和高，求侧面积，可运用公式：S侧2rh 4.圆柱表面积的计算方法：如果用S侧表示一个圆柱的侧面积，S底表示底面积，d表示底面直径，r表示底面半径，h表示高，那么这个圆柱的表面积为： S表=S侧+2S底 或S表=dh+d2/2= 或S表=2rh+2r2 5.圆柱表面积的计算方法的特殊应用： （1）圆柱的表面积只包括侧面积和一个底面积的，例如无盖水桶等圆柱形物体。 （2）圆柱的表面积只包括侧面积的，例如烟囱、油管等圆柱形物体。 三、 圆柱的体积 1. 圆柱的体积：一个圆柱所占空间的大小。 2. 圆柱的体积底面积高。如果用V表示圆柱的体积，S表示底面 积，h表示高，那么VSh。 3. 圆柱体积公式的应用： （1） 计算圆柱体积时，如果题中给出了底面积和高，可用公式：VSh。 （2） 已知圆柱的底面半径和高，求体积，可用公式：Vr2 h； （3） 已知圆柱的底面直径和高，求体积，可用公式：V(d/2)2 h； （4） 已知圆柱的底面周长和高，求体积，可用公式：V(C/2)2h； 4.圆柱形容器的容积底面积高，用字母表示是VSh。5.圆柱形容器公式的应用与圆柱体积公式的应用计算方法相同。 四、 圆锥的体积 1. 圆锥只有一条高。 2. 圆锥的体积1/3底面积高。 如果用V表示圆锥的体积，S表示底面积，h表示高，则字母公式为：1/3Sh 3. 圆锥体积公式的应用： （1）求圆锥体积时，如果题中给出底面积和高这两个条件，可以直接 运用“v= 1/3 Sh”这一公式。 （2）求圆锥体积时，如果题中给出底面半径和高这两个条件，可以运 用1/3rh（3）求圆锥体积时，如果题中给出底面直径和高这两个条件，可以运 用1/3（d/2）h （4）求圆锥体积时，如果题中给出底面周长和高这两个条件，可以运 用1/3（c/2r）h 正比例和反比例 一、 变化的量 生活中存在着大量互相依存的变量，一种量变化，另一种量也随着变化。 二、 正比例 1. 正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化， 如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用字母k表示它们的比值（一定），正比例关系可以表示为：y/x=k（一定）。 2. 应用正比例的意义判断两种量是否成正比例：有些相关联的量，虽然 也是一种量随着另一种量的变化而变化，但它们相对应的数的比值不一定，就不成正比例，如被减数与差，正方形的面积与边长等。 三、 画一画 正比例的图像是一条直线。 四、 反比例 1.反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化， 如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积，反比例的关系式可以表示为：xy=k（一定）。 2. 判断两个量是不是成反比例：要先想这两个量是不是相关联的量；再运用数量关系式进行判断，看这两个量的积是否一定；最后作出结论 五、 观察与探究 当两个变量成反比例关系时，所绘成的图像是一条光滑曲线。 六、 图形的放缩 一幅图放大或缩小，只有按照相同的比来画，画的图才像。 七、比例尺 1.比例尺：图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。图上距离= 实际距离比例尺 实际距离=图上距离比例尺 2. 比例尺的分类：比例尺根据实际距离是缩小还是扩大，分为缩小比例 尺和放大比例尺。根据表现形式的不同，比例尺还可分为线段比例尺和数值比例尺。 3. 比例尺的应用： （1）、已知比例尺和图上距离，求实际距离 比例尺=图上距离实际距离 图上距离=实际距离比例尺 实际距离=图上距离比例尺 一、填空。 1. 把圆柱的侧面沿高剪开，得到一个( )，这个( )的长等于圆柱底面的( )，宽等于圆柱的( )，所以圆柱的侧面积等于( )。 2. 415平方厘米( )平方分米 4.5立方米( )立方分米 2.4立方分米( )升( )毫升 4070立方分米（ ）立方米 3立方分米40立方厘米（ ）立方厘米 325 立方米（ ）立方分米 538 升（ ）升（ ）毫升 3. 将4个棱长为1分米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 4一个圆柱底面半径2分米，侧面积是113.04平方分米，这个圆柱体的高是( )分米5一根长20厘米的圆钢，分成一样长的两段，表面积增加20平方厘米，原钢材的体积是( )立方厘米。 6一个圆柱体的底面半径为r，侧面展开图形是一个正方形。圆柱的高是( )。 7. 一个圆柱的底面周长是12.56厘米，高是6厘米，那么底面半径是（ ）厘米，底面积是（ ）平方厘米，侧面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 8. 一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，高也相等，那么圆柱的体积是圆锥的（ ）倍，圆柱的体积的（ ）就等于圆锥的体积。 9. 底面积85立方厘米、高是12厘米的圆锥的体积是（ ）立方厘米，与它等底等高的圆柱体积是（ ）立方厘米。 10. 一个长方体、一个圆柱体和一个圆锥体的底面积相等、体积也相等，那么圆锥的高是圆柱的（ ），长方体高是圆锥高的（ ）。 11. 把一根圆柱形木料截成3段，表面积增加了45.12平方厘米，这根木料的底面积是（ ）平方厘米。 12. 一个圆锥体的底面半径是6厘米，高是1分米，体积是（ ）立方厘米。 13. 等底等高的圆柱体和圆锥体的体积比是（ ),圆柱的体积比圆锥的体积多（ ）%，圆锥的体积比圆柱的体积少(-) 14. 把一个圆柱体钢坯削成一个最大的圆锥体，要削去1.8立方厘米，未削前圆柱的体积是（ ）立方厘米。 15. 一个圆柱体的侧面展开后，正好得到一个边长25.12厘米的正方形，圆柱体的高是（ ）厘米。 16. 用一个底面积为94.2平方厘米，高为30厘米的圆锥形容器盛满水，然后把水倒入底面积为31.4平方厘米的圆柱形容器内，水的高为（ ）。 17. 等底等高的一个圆柱和一个圆锥，体积的和是72立方分米，圆柱的体积是（ ）,圆锥的体积是（ ）。 18. 底面直径和高都是10厘米的圆柱,侧面展开后得到一个（ ）面积是( )平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 19. 把一根长是2米，底面直径是4分米的圆柱形木料锯成4段后，表面积增加了（ ）。 20. 底面半径2分米，高9分米的圆锥形容器，容积是（ ）毫升。 21. 已知圆柱的底面半径为 r,高为 h，圆柱的体积的计算公式是（ ）。 22. 容器的容积和它的体积比较，容积（ ）体积。 二、判断： 1. 圆柱体的体积与圆锥体的体积比是3 1。 （ ） 2. 圆柱体的高扩大2倍，体积就扩大2倍。 （ ） 3. 等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积比圆锥的体积大2倍。( ) 4. 圆柱体的侧面积等于底面积乘以高。 （ ） 5. 圆柱体的底面直径是3厘米，高是9.42厘米，它的侧面展开后是一个正方形。 （ ） 三、选择：（填序号） 1. 圆柱体的底面半径扩大3倍,高不变,体积扩大（ ）。 A、3倍 B、9倍 C、6倍 2. 把一个棱长4分米的正方体木块削成一个最大的圆柱体，体积是（ ）立方分米。 A、50.24 B、100.48 C、64 3. 求长方体,正方体,圆柱体的体积共同的公式是（ ）。 A、V= abh B、V= a3 C、V= Sh 4. 把一个圆柱体的侧面展开得到一个边长4分米的正方形，这个圆柱体的体积是（ ）立方分米。 A、16 B、50.24 C、100.48 5. 把一团圆柱体橡皮泥揉成与它等底的圆锥体，高将 （ ）。 A、扩大3倍 B、缩小3倍 C、扩大6倍 D、缩小6倍 四、应用题： 1. 一个圆锥体的体积是15.7立方分米，底面积是3.14平方分米，它的高有多少分米。 2. 工地上运来 6 堆同样大小的圆锥形沙堆，每堆沙的底面积是18.84平方米，高是0.9米。这些沙有多少立方米？如果每立方米沙重1.7吨，这些沙有多少吨？ 3. 圆柱形无盖铁皮水桶的高与底面直径的比是32，底面直径是4分米。做这样的2只水桶要用铁皮多少平方分米？（得数保留整十平方分米） 4. 会议大厅里有10根底面直径0.6米，高6米的圆柱形柱子，现在要刷上油漆，每平方米用油漆0.5千克，刷这些柱子要用油漆多少千克？ 5. 从一根截面直径是6分米的圆柱形钢材上截下2米，每立方分米钢重7.8千克，截下的这段钢重多少千克？ 6. 一个圆柱形容器的底面半径是4分米，高6分米，里面盛满水，把水倒在棱长是8分米的正方体容器内，水深是多少分米？ 7. 压路机的前轮是圆柱形，轮宽1.5米，直径1.2米，前轮每分钟转动10周，每分钟前进多少米？每分钟压路多少平方米？ 8. 有一段钢可做一个底面直径8厘米，高9厘米的圆柱形零件。如果把它改制成高是12厘米的圆锥形零件，零件的底面积是多少平方厘米？ 9. 一个圆柱形油桶，从里面量的底面半径是20厘米，高是3分米。这个油桶的容积是多少？ 10. 一个圆柱，侧面展开后是一个边长9.42分米的正方形。这个圆柱的底面直径是多少分米？ 11. 一个圆柱铁皮油桶内装有半捅汽油，现在倒出汽油的 35 后，还剩12升汽油。如果这个油桶的内底面积是10平方分米，油桶的高是多少分米？ 圆柱、圆锥体积专项练习 1、一个圆柱形油桶，从里面量的底面半径是20厘米，高是3分米。这个油桶的容积是多少？ 2、一个圆柱，侧面展开后是一个边长9.42分米的正方形。这个圆柱的底面直径是多少分米？ 3、一个圆柱铁皮油桶内装有半捅汽油，现在倒出汽油的 35 后，还剩12升汽油。 如果这个油桶的内底面积是10平方分米，油桶的高是多少分米？ 3、一只圆柱性玻璃杯，内底面直径是8厘米，内装药水的深度是16厘米，恰好占整杯容量的45 。这只玻璃杯最多能盛药水多少毫升？4、有两个底面半径相等的圆柱，高的比是2：5。第二个圆柱的体积是175立方厘米，第二个圆柱的体积比第一个圆柱多多少立方厘米？ 5、一个圆柱和一个圆锥等底等高，体积相差6.28立方分米。圆柱和圆锥的体积各是多少？ 6、东风化工厂有一个圆柱形油罐，从里面量的底面半径是4米，高是20米。油罐内已注入占容积34 的石油。如果每立方分米石油重700千克，这些石油重多少 千克？ 7、一个无盖的圆柱形铁皮水桶，底面直径是30厘米，高是50厘米。做这样一个水桶，至少需用铁皮多少平方厘米？最多能盛水多少升？（得数保留整数） 8、把一个底面直径是16厘米、高是25厘米的圆柱形木块沿底面直径切开，分成形状、大小完全相同的两部分，它们的表面积比原来增加了多少平方厘米？ 9、一个圆锥形沙堆，高是1.8米，底面半径是5米，每立方米沙重1.7吨。这堆沙约重多少吨？（得数保留整数） 10、一堆小麦的体积为150立方米，将这堆小麦装入一个长方体仓库里这个仓库的底面为边长5米的正方形。小麦所占空间与仓库剩余容积的比3：1，求这个仓库内部的高？ 11、一个圆锥与一个圆柱的底面积相等。已知圆锥与圆柱的体积的比是 16 ，圆 锥的高是4。8厘米，圆柱的高是多少厘米？12、一个圆柱体和一个长方体高相等，它们底面积的比是5：3。已知圆柱的体积是80立方分米 ，长方体的体积比圆柱体少多少立方分米？ 13、把一个体积是282.6立方厘米的铁块熔铸成一个底面半径是6厘米的圆锥形机器零件，求圆锥零件的高？ 14、在一个直径是20厘米的圆柱形容器里，放入一个底面半径3里米的圆锥形铁块，全部浸没在水中，这是水面上升0.3厘米。圆锥形铁块的高是多少厘米？ 15、把一个底面半径是6厘米，高是10厘米的圆锥形容器灌满水，然后把水倒入一个底面半径是5厘米的圆柱形容器里，求圆柱形容器内水面的高度？ 16、做一种没有盖的圆柱形铁皮水桶，每个高3分米，底面直径2分米，投料时考虑到接头处和边角料要增加30%的用料。做50个这样的水桶需多少平方米铁皮？ 17、学校走廊上有10根圆柱形柱子，每根柱子底面半径是4分米，高是2.5分米，要油漆这些柱子，每平方米用油漆0.3千克，共需要油漆多少千克？ 18、校办工厂要在一块平坦的地面上起一个无盖圆柱形水池，水池深1米，内直径2米，壁厚0.2米，砌好后，底面 、内壁、外侧面和圆形环口都要抹上水泥，一共要抹多少平方米？（取3） 19、一个圆锥形的小麦堆，底面周长是 12.56米，高是2.7米，现在把这些小麦放到圆柱形的粮囤中去，恰好占这粮囤容积的78.5%。意志粮囤底面的周长是9.42米，求这个粮囤的高？（得数保留两位小数） 20、用弧长62.8厘米的扇形铁皮焊成一个圆锥形容器，它的容积是942立方厘米，求这个圆锥形容器的高是多少厘米？21、一个底面周长是43.96厘米，高为8厘米的直圆柱，沿着底面直径切成两个底面为半圆的柱体，表面积增加了多少？ 22、把一个长是9厘米、宽是7厘米、高是3厘米的长方体铁块和一个棱长是5厘米的正方体体铁块，熔化后铸成一个圆柱，这个圆柱的底面直径是10厘米，高为多少厘米？ 23、用铁皮制成一个高是5分米，底面周长是12.56分米的圆柱形水桶（没有盖），至少需要多少平方分米铁皮？若水桶里盛满水，共有多少升水？ 24、一个没有盖的圆柱形水桶，高5分米，底面周长是12.56分米，做2个这样的水桶大约要用多少铁皮？装45 桶的一担水有多重？（每立方分米水重1千克） 25、一根圆柱形钢材，截下1米。量的它的横截面的直径是20厘米，截下的体积占这根钢材的112 ，这根钢材原来的体积是多少立方分米？ 26、一根圆柱形钢材长2米，如果把它锯成两段，表面积比原来增加6.28平方分米，求这根2米长钢材的质量。（每立方分米钢重7.8千克） 27、一个底面积是125.6平方米的圆柱形蓄水池，容积是314立方米。如果再深挖0.5米，水池容积是多少立方米？ 28、一个圆柱底面周长是另一个圆锥底面周长的23 ，而这个圆锥的高是圆柱高的 25 ，问：圆锥体积是圆柱体积的几分之几？29、一个长方体木块，长15厘米，宽和高都是10厘米，若把它加工成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 30、一个钢件，上面是圆锥，下面是圆柱。已知钢件的底面周长是15.7厘米，总高是15厘米，圆锥的高与圆柱的高比是1：4。如果每立方厘米钢重7.8千克，这个钢件的质量是多少？（得数保留整数） 正比例与反比例练习题 知识梳理 1. 生活中存在着大量相互依存的变量，一种量变化，另一种量也随着变化。 2. 像正方形的周长与边长；速度一定时的路程与时间；单价一定时的总价与数量之间。一种量变化，另一种量 也随着变化，而且它们的比值（也就是商）一定，那么，我们说它们之间成正比例。这样的两种量叫作成正 比例的量，它们的关系叫作正比例关系。 3. 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量 就叫做成比例的量，它们的关系叫做反比例关系、 4. 判断比例的方法是 5. 表示正比例关系的两个相对应量中的各点在同一直线上，即正比例关系的图像是一条过原点的直线；当两个 量成反比例关系时，它们的图像是一条曲线。 例题讲解 一、按规律填数。 （1）（1，36），（2，18），（3，12），（4，_），（5，_）。 （2） 116 ，14 ，( )，4，16，（ ） （3）（48，8），（42，7），（36，6），（ ，5），（24， ）二、判断下面各题中的两种量是否成比例。如果成比例，成什么比例？ （ 1 ）一筐桃平均分给猴子，猴的只数和每只猴分桃的个数。（ ） （ 2 ）圆的面积和它的半径。（ ） （ 3 ) c = 4a , c 和 a 。（ ） ( 4 ）大米的总质量一定，卖出大米的质量和剩下大米的质量。（ ) ( 5 ）分子一定，分母和分数值。（ ) ( 6 ）圆锥的底面积和高。（ ) 三、解决问题 1.学校组织同学参观爱国主义图片展，每 60 名同学聘请 2 名讲解员作介绍。全校 990 名同学参观，需要聘请几名讲解员？ 2.有一堆煤， 3 辆卡车 8 次可以运完。如果要 6 次运完，需要安排几辆这样的卡车？ 3一个车间装配一批电视机，如果每天装50台，60天完成任务，如果要用40天完成任务，每天应装多少台？ 4.电视机厂要生产一批电视机，头30天生产180台，照这样计算，要生产1320台，需要多少天？ 5右图表示的是一根水管不停地向水箱注水，水箱内水 的体积的变化情况。 （1）看图填表： 注水时间/分 5 8 13 水的体 积/升 10 20 46 （2）图中的A点表示( )分钟时，注入水箱内水的 体积是（ ）升。B点表示（ ）。 （3）当22分钟时，水箱内有水（ ）升。 自主练习 一、判断题 1、正方形的边长和周长成正比例。（ ） 2、正方形的边长和面积成正比例。（ ） 3、a是b的5/7，数a和数b成正比例。（ ） 4、在比例里，如果两个内项的乘积是1，那么，组成比例外项的两个数一定互为倒数。（ ） 5、如果4a=3b,那么ab=34 。（ ） 6、圆的周长一定，直径和圆周率成反比例。（ ） 7、 8A=B，那么A和B成反比例。 （ ） 8、8 A=B，那么A和B成反比例（ ） 9、如果x 与y成反比例，那么3 x与y也成反比例。（ ） 二、填空题。 1总价一定，购买算草本的本数和单价成（ ）比例。 2工作效率一定，工作总量和工作时间成（ ）比例。 3除数不变，被除数和商成（ ）比例。 4汽车每千米耗油量一定，所行的路程和耗油总量成（ ）比例。 5有120吨货物，每次运的吨数和运的次数成（ ）比例。 6正方形的周长和边长成（ ）比例，正方形的面积和边长（ ）比例。 7圆的周长与直径成（ ）比例。 8时间一定，路程和速度成（ ）比例。 9正方形的面积和它的边长成（ ）比例。 10已知工作效率工作时间工作总量 如果工作总量一定，工作效率和工作时间成（ ）比例。 如果工作效率一定，（ ）和（ ）成（ ）比例。 如果工作时间一定，（ ）和（ ）成（ ）比例。 三、乘船的人数与所付船费为： （1）在坐标系上表示上表中的各数，横轴为人数。纵轴为船费。 （2）说说哪个量没有变？ （3）乘船人数与船费有什么关系？ （4）连接各点，你发现了什么？ 四、解决问题 1.一捆铅丝重520克，剪下20米，这捆铅丝少了130克，这捆铅丝还剩多少米？ 2产一批零件，计划每天生产160个，15天可以完成，实际每天超产80个，可以提前几天完成？ 3一堆煤用载重4吨的汽车运需20辆才能一次运完，如果改用载重5吨的汽车运，需要几辆才能运完？ 4学校食堂购进一批大米，如果每天吃80千克，可以吃6天。如果每天吃96千克，可以吃几天？（用比例知识解答 5.车队向灾区运送一批救灾物资，去时75km/小时，4小时到达灾区。返回时80km/小时，多少时间能够回到出发地点？ 6.根据下面的图像，回答以下3个问题