南京师范大学2013-2014大一上学期(第一学期)高数期末考试题.doc

南京师范大学2013-2014大一上学期高数期末考试及解答（根据试卷整理）一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. .（A） （B）（C） （D）不可导.2. . （A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B）是等价无穷小； （C）是比高阶的无穷小； （D）是比高阶的无穷小. 3. 若，其中在区间上二阶可导且，则（ ）.（A）函数必在处取得极大值；（B）函数必在处取得极小值；（C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点；（D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。4.（A） （B）（C） （D）.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. .6. .7. .8. .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数由方程确定，求以及.10.11.12. 设函数连续，且，为常数. 求并讨论在处的连续性.13. 求微分方程满足的解. 四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x 轴围成平面图形D.(1) 求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，.17. 设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示：设）解答 一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. . 6.7. . 8.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 解：方程两边求导 ，10. 解：11. 解：12. 解：由，知。 ，在处连续。13. 解： ，四、 解答题（本大题10分）14. 解：由已知且， 将此方程关于求导得特征方程：解出特征根：其通解为代入初始条件，得故所求曲线方程为：五、解答题（本大题10分）15. 解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程：由于切线过原点，解出，从而切线方程为：则平面图形面积（2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）16. 证明：故有： 证毕。17.证：构造辅助函数：。其满足在上连续，在上可导。，且由题设，有，有，由积分中值定理，存在，使即综上可知.在区间上分别应用罗尔定理，知存在和，使及，即. 5