江西师大附中2019-2020学年高一10月考数学试卷.doc

江西师大附中2019-2020高一年级10月月考数学试题
命题人：郑辉平 审题人：朱涤非
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
2．图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
3．给出下列关系式： ①； ②； ③； ④，其中正确关系式的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
4．下列集合中子集个数最多的是（ ）
A． B．是边长分别为的三角形
C． D．
【答案】D
5.下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
6.已知函数，且其对称轴为，则以下关系正确的是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据题意，函数，其对称轴为，其开口向上，
在上单调递增，则有，故选B.

7.若,则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得，
8.设，为的子集，若，(,
，则下列结论正确的是（ ）
A．3 B．3 C．3 D．3
【答案】C
9.若函数是减函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
10． 定义集合的商集运算为，已知集合，
，则集合元素的个数为(　　)
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【解析】由题意知，，，则，共有7个元素，选A.
11．已知，，，则的最值是（ ）
A.最大值为，最小值为 B.最大值为，无最小值
C.最大值为，无最小值 D.既无最大值，又无最小值
【答案】B【解析】如图实线部分可知，
有最大值为，无最小值，
故选B.
12．已知函数，则关于函数有如下说法：
①的图像关于轴对称； ②方程的解只有；
③任取一个不为零的有理数，对任意的恒成立；
④不存在三个点，,，使得为等边三
角形．
其中正确的个数是（　　）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
【答案】C
【解析】①∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，
∴对任意，都有，故①正确；
②∵当为有理数时，；当为无理数时，
∴当为有理数时，；当为无理数时，，
即不管是有理数还是无理数，均有，故②正确；
③若是有理数，则也是有理数； 若是无理数，则也是无理数
∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数，对恒
成立，故③正确；
④取，，，可得，，，
∴，，恰好为等边三角形，故④不正确．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知集合,,则________．
【答案】
14. 已知集合,,是从到的一个映射，若,则中的元素3的原象为________．
【答案】2
15.若函数的定义域为，值域为，则的取值范
围是________．
【答案】【解析】函数图象的对称轴为，且，
，由二次函数的图象知的取值范围为．
16．如图放置的边长为2的正三角形沿轴滚动，记滚动过程中顶点的横、纵坐标分别为和，设是的函数，记，则下列说法中：
①函数的图像关于轴对称；
②函数的值域是；
③函数在上是增函数；
④函数与在上有个交点.
其中正确说法的序号是___________.
说明：“正三角形ABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动指的是先以顶点B为中心顺时针旋转，当顶点C落在x轴上时，再以顶点C为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正三角形ABC可以沿x轴负方向滚动．
【答案】①④
【解析】点运动的轨迹如图所示：则函数图像关于轴对称，故①正确；
的值域为，故②不正确；
其增区间为和
，故③正不确；
由图像可知，函数每6个单位一个循环，
当，函数与有3个交点，
∴当，，有个交点，
有个交点，
∴当，有个交点，
∴当，有个交点，故④正确．故选①④．
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
已知全集，，
(1)求且；
(2)求.
【解答】(1)由题意知………………………………2分[来源
∴ ……………………………………4分[来源
(2)∵ ……………………………………6分[来源
………………………………………8分[来源
∴ ……………………………………10分[来源
18.(本小题满分12分)
已知集合,,,.
(1)求；
（2）若,求实数的取值范围.
【解答】(1)∵,,[来
∴……………………………………4分
∴……………………………………6分[来
(2)①若,则,即,∵,∴.……8分
②若,则,即,
∵或,∴或.…………………10分[
综上所述,实数的取值范围是.……………………12分[
19.(本小题满分12分)
已知函数
（1）求的值；
（2）当时，求的值域.
解：（1）当时，
所以.…………………4分
（2）①当时，，所以；
②当时，；
③当时，，所以.
故当时，函数的值域是.……………………12分
20.(本小题满分12分)
经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间（天）的函数，且日销售量近似满足（件），当日价格近似满足（元）.
（1）试写出该种商品的日销售额与时间的函数表达式；
（2）求该种商品的日销售额的最大值.
【解答】（1） ……………………4分
（2）当时，，
的取值范围是，在时，取得最大值为1225………7分
当时，，
的取值范围是，在时，取得最大值为1200 …… 10分
第5天，日销售额取得最大，为1225元.
答：日销售额最大为1225元. ………………………12 分
21.(本小题满分12分)
已知二次函数的最小值为1，且.
（1）求函数的解析式；
（2）若，试求的最小值；
（3）若在区间上，的图像恒在的图像上方，试确
定实数的取值范围.

【解析】（1）的对称轴为，
所以函数的解析式为………………………3分
（2）若，则在上单调递增，；
若，即，则在上单调递减；
；
若，即，则…………………6分
综上，…………………………7分
（3）由题意知，当时，，
即恒成立.
设，
因为当时，单调递减，所以，
因此有，得,即实数的取值范围是.……12分
22. (本小题满分12分)
已知定义在区间上的函数，
(1)判定函数在的单调性,并用定义证明；
(2)设方程有四个不相等的实根．
①证明：；
②在是否存在实数，使得函数在区间单调，且的取值范围为，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)在上单调递增.…………………1分
证明:任取,，且.
∵
……………………3分
其中，，，
∴
∴在上单调递增.…………………………4分
(2)①或
即或
∵为方程的四个不相等的实根
∴由根与系数的关系得………………………7分
②如图，可知，在区间、上均为单调函数
(i)当时，在上单调递增
则,即,在有两个不等实根
而令,则
作在的图像可知，………………………9分
(ii)当时，在上单调递减
则,两式相除整理得
∴,∴,∴
由,得
∴………………………11分

综上，的取值范围为………………………12分