直角三角形的存在性问题问题2019含答案.doc

直角三角形的存在性问题2019 解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根 一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便 解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起 如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便 在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到 怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）1， 如图，在ABC中，ABAC10，cosB D、E为线段BC上的两个动点，且DE3（E在D右边），运动初始时D和B重合，当E和C重合时运动停止过E作EF/AC交AB于F，连结DF设BDx，如果BDF为直角三角形，求x的值 2, 如图，已知A、B是线段MN上的两点，以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成ABC，设ABx，若ABC为直角三角形，求x的值3,如图，已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2, 0），点B是点A关于原点的对称点，P是函数图象上的一点，且ABP是直角三角形，求点P的坐标4，如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点A（2，3），与x轴交于点B，且与直线平行（1）求：直线l的函数解析式及点B的坐标；（2）如直线l上有一点M（a，6），过点M作x轴的垂线，交直线于点N，在线段MN上求一点P，使PAB是直角三角形，请求出点P的坐标 5,（2016绍兴） 如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A、C在坐标轴上，点P在BC边上，直线l1：y=2x+3，直线l2：y=2x3（1）分别求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；（2）已知点M在第一象限，且是直线l2上的点，若APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；6，（2017达州）如图1，点A坐标为（2，0），以OA为边在第一象限内作等边OAB，点C为x轴上一动点，且在点A右侧，连接BC，以BC为边在第一象限内作等边BCD，连接AD交BC于E（1）直接回答：OBC与ABD全等吗？试说明：无论点C如何移动，AD始终与OB平行；（2）当点C运动到使AC2=AEAD时，如图2，经过O、B、C三点的抛物线为y1试问：y1上是否存在动点P，使BEP为直角三角形且BE为直角边？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，将y1沿x轴翻折得y2，设y1与y2组成的图形为M，函数y=x+m的图象l与M有公共点试写出：l与M的公共点为3个时，m的取值7，（2017上海）如图，已知O的半径长为1，AB、AC是O的两条弦，且AB=AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC（1）求证：OADABD；（2）当OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；（3）记AOB、AOD、COD 的面积分别为S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OD的长8（2018黄浦区二模）如图，四边形ABCD中，BCD=D=90，E是边AB的中点已知AD=1，AB=2（1）设BC=x，CD=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当B=70时，求AEC的度数；（3）当ACE为直角三角形时，求边BC的长9（2018大庆）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，4）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线yx+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值；（3）点D为抛物线对称轴上一点当BCD是以BC为直角边的直角三角形时，直接写出点D的坐标；若BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围10（2018沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：yax2+bx1经过点A（2，1）和点B（1，1），抛物线C2：y2x2+x+1，动直线xt与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M（1）求抛物线C1的表达式；（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；（3）当AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；（4）在（3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点K，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ1且KNQBNP时，请直接写出点Q的坐标直角三角形的存在性问题2019答案1， 如图1-1，在ABC中，ABAC10，cosBD、E为线段BC上的两个动点，且DE3（E在D右边），运动初始时D和B重合，当E和C重合时运动停止过E作EF/AC交AB于F，连结DF设BDx，如果BDF为直角三角形，求x的值图1-1【解析】BDF中，B是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF存在两种情况如果把夹B的两条边用含有x的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了如图1-2，作AHBC，垂足为H，那么H是BC的中点在RtABH中，AB10，cosB，所以BH8所以BC16由EF/AC，得，即所以BF图1-2 图1-3 图1-4如图1-3，当BDF90时，由，得解方程，得x3如图1-4，当BFD90时，由，得解方程，得我们看到，在画示意图时，无须受到ABC的“限制”，只需要取其确定的B2， 如图2-1，已知A、B是线段MN上的两点，以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成ABC，设ABx，若ABC为直角三角形，求x的值图2-1【解析】ABC的三边长都可以表示出来，AC1，ABx，BC3x如果用斜边进行分类，每条边都可能成为斜边，分三种情况：若AC为斜边，则，即，此方程无实根若AB为斜边，则，解得（如图2-2）若BC为斜边，则，解得（如图2-3）因此当或时，ABC是直角三角形图2-2 图2-33 ，如图3-1，已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2, 0），点B是点A关于原点的对称点，P是函数图象上的一点，且ABP是直角三角形，求点P的坐标图3-1【解析】A、B两点是确定的，以线段AB为分类标准，分三种情况如果线段AB为直角边，那么过点A画AB的垂线，与第一象限内的一支双曲线没有交点；过点B画AB的垂线，有1个交点以AB为直径画圆，圆与双曲线有没有交点呢？先假如有交点，再列方程，方程有解那么就有交点如果是一元二次方程，那么可能是一个交点，也可能是两个交点由题意，得点B的坐标为（2，0），且BAP不可能成为直角如图3-2，当ABP90时，点P的坐标为（2，1）方法一：如图3-3，当APB90时，OP是RtAPB的斜边上的中线，OP2 设P，由OP24，得解得此时P(,)图3-2 图3-3方法二：由勾股定理，得PA2PB2AB2解方程，得方法三：如图3-4，由AHPPHB，得PH2AHBH解方程，得图3-4 图3-5这三种解法的方程貌似差异很大，转化为整式方程之后都是(x22)20这个四次方程的解是x1x2，x3x4，它的几何意义就是以AB为直径的圆与双曲线相切于P、P两点（如图3-5）4，如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点A（2，3），与x轴交于点B，且与直线平行（1）求：直线l的函数解析式及点B的坐标；（2）如直线l上有一点M（a，6），过点M作x轴的垂线，交直线于点N，在线段MN上求一点P，使PAB是直角三角形，请求出点P的坐标【解答】解：（1）设直线l的解析式为y=kx+b（k0），直线l平行于y=3x k=3，直线l经过点A（2，3），3=23+b，b=9，直线l的解析式为y=3x9，点B坐标为（3，0）；（2） 点M（a，6）在直线l上，a=1，则可设点P（1，y），y的取值范围是6y，当AB为斜边时，PA2+PB2=AB2，即1+（y+3）2+4+y2=10，解得y1=1，y2=2，P（1，1），P（1，2），当PB为斜边时，PA2+AB2=PB2，即1+（y+3）2+10=4+y2，解得y=，当PA为斜边时，PB2+AB2=PA2，即10+4+y2=1+（y+3）2，解得y=，（舍去），综上所述，点P的坐标为P1（1，1），P2（1，2），P35，（2016绍兴）如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A、C在坐标轴上，点P在BC边上，直线l1：y=2x+3，直线l2：y=2x3（1）分别求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；（2）已知点M在第一象限，且是直线l2上的点，若APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；（3）我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形为图形F已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请直接写出x的取值范围（不用说明理由）【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；（2）分三种情况：若点A为直角顶点时，点M在第一象限；若点P为直角顶点时，点M在第一象限；若点M为直角顶点时，点M在第一象限；进行讨论可求点M的坐标；（3）根据矩形的性质可求N点的横坐标x的取值范围【解答】解：（1）直线l1：当y=0时，2x+3=0，x=则直线l1与x轴坐标为（，0）直线l2：当y=3时，2x3=3，x=3则直线l2与AB的交点坐标为（3，3）；（2）若点A为直角顶点时，点M在第一象限，连结AC，如图1，APBACB45，APM不可能是等腰直角三角形，点M不存在；若点P为直角顶点时，点M在第一象限，如图2，过点M作MNCB，交CB的延长线于点N，则RtABPRtPNM，AB=PN=4，MN=BP，设M（x，2x3），则MN=x4，2x3=4+3（x4），x=，M（，）；若点M为直角顶点时，点M在第一象限，如图3，设M1（x，2x3），过点M1作M1G1OA，交BC于点H1，则RtAM1G1RtPM1H1，AG1=M1H1=3（2x3），x+3（2x3）=4，x=2 M1（2，1）；设M2（x，2x3），同理可得x+2x33=4，x=，M2（，）；综上所述，点M的坐标为（，），（2，1），（，）；6，（2017达州）如图1，点A坐标为（2，0），以OA为边在第一象限内作等边OAB，点C为x轴上一动点，且在点A右侧，连接BC，以BC为边在第一象限内作等边BCD，连接AD交BC于E（1）直接回答：OBC与ABD全等吗？试说明：无论点C如何移动，AD始终与OB平行；（2）当点C运动到使AC2=AEAD时，如图2，经过O、B、C三点的抛物线为y1试问：y1上是否存在动点P，使BEP为直角三角形且BE为直角边？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，将y1沿x轴翻折得y2，设y1与y2组成的图形为M，函数y=x+m的图象l与M有公共点试写出：l与M的公共点为3个时，m的取值【解答】解：（1）OBC与ABD全等，理由是：如图1，OAB和BCD是等边三角形，OBA=CBD=60，OB=AB，BC=BD，OBA+ABC=CBD+ABC，即OBC=ABD，OBCABD（SAS）；OBCABD，BAD=BOC=60，OBA=BAD，OBAD，无论点C如何移动，AD始终与OB平行；（2）如图2，AC2=AEAD，EAC=DAC，AECACD，ECA=ADC，BAD=BAO=60，DAC=60，BED=AEC，ACB=ADB，ADB=ADC，BD=CD，DEBC，RtABE中，BAE=60，ABE=30，AE=AB=2=1，RtAEC中，EAC=60，ECA=30，AC=2AE=2，C（4，0），等边OAB中，过B作BHx轴于H，BH=，B（1，），设y1的解析式为：y=ax（x4），把B（1，）代入得：=a（14），a=，设y1的解析式为：y1=x（x4）=x2+x，过E作EGx轴于G，RtAGE中，AE=1，AG=AE=，EG=，E（，），设直线AE的解析式为：y=kx+b，把A（2，0）和E（，）代入得：，解得：，直线AE的解析式为：y=x2，则，解得：，P（3，）或（2，4）；由（2）知：OBAD，OBE=AEC=90，OBE是直角三角形，P在点O处时，也符合条件，综上所述，点P的坐标为：（3，）或（2，4）或（0，0）；（3）如图3，y1=x2+x=（x2）2+，顶点（2，），抛物线y2的顶点为（2，），y2=（x2）2，直线y=x+m和组成图形M的抛物线y1有两个交点或一个交点或没有交点，抛物线y2有两个交点或一个交点或没有交点，要图象M和直线y=x+m只有3个交点，则直线y=x+m和y1或y2相切，当y2与l相切时，直线l与y2只有一个公共点，即：l与图形M有3个公共点，则，=，x27x3m=0，=（7）241（3m）=0，m=，当y1与l相切时，直线l与y1只有一个公共点，l与图形M有3个公共点，x2x+3m=0，=112m=0，m=，当直线经过（0，0）或（4，0）时，也符合题意，此时m=0或4当l与M的公共点为3个时，m的取值是：m=或m=或0或4【点评】本题是二次函数与三角形的综合题，考查了等边三角形的性质、三角形全等和相似的性质和判定、平行线的判定、两函数的交点问题、翻折变换、利用待定系数法求函数的解析式等知识，比较复杂，计算量大，尤其是第三问，利用数形结合的思想有助于理解题意，解决问题7，（2017上海）如图，已知O的半径长为1，AB、AC是O的两条弦，且AB=AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC（1）求证：OADABD；（2）当OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；（3）记AOB、AOD、COD 的面积分别为S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OD的长【考点】MR：圆的综合题菁优网版权所有【专题】16 ：压轴题【分析】（1）由AOBAOC，推出C=B，由OA=OC，推出OAC=C=B，由ADO=ADB，即可证明OADABD；（2）如图2中，当OCD是直角三角形时，需要分类讨论解决问题；（3）如图3中，作OHAC于H，设OD=x想办法用x表示AD、AB、CD，再证明AD2=ACCD，列出方程即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1中，在AOB和AOC中，AOBAOC，C=B，OA=OC，OAC=C=B，ADO=ADB，OADABD（2）如图2中，当ODC=90时，BDAC，OA=OC，AD=DC，BA=BC=AC，ABC是等边三角形，在RtOAD中，OA=1，OAD=30，OD=OA=，AD=，BC=AC=2AD=COD=90，BOC=90，BC=，OCD显然90，不需要讨论综上所述，BC=或（3）如图3中，作OHAC于H，设OD=xDAODBA，=，=，AD=，AB=，S2是S1和S3的比例中项，S22=S1S3，S2=ADOH，S1=SOAC=ACOH，S3=CDOH，（ADOH）2=ACOHCDOH，AD2=ACCD，AC=ABCD=ACAD=，（）2=（），整理得x2+x1=0，解得x=或，经检验：x=是分式方程的根，且符合题意，OD=（也可以利用角平分线的性质定理：=，黄金分割点的性质解决这个问题）【点评】本题考查圆的综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、比例中项等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题8（2018黄浦区二模）如图，四边形ABCD中，BCD=D=90，E是边AB的中点已知AD=1，AB=2（1）设BC=x，CD=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当B=70时，求AEC的度数；（3）当ACE为直角三角形时，求边BC的长【分析】（1）过A作AHBC于H，在BAH中，依据勾股定理可得22=y2+（x1）2，进而得出y=（0x3）；（2）取CD中点T，联结TE，则TE是梯形中位线，即可得出AED=ADE=DET=35，由ET垂直平分CD，得CET=DET=35，即可得到AEC=70+35=105；（3）分三种情况讨论：AEC=90，CAE=90，ACEDCB=90，利用全等三角形的性质以及相似三角形的性质，即可得到边BC的长为2或【解答】解：（1）如图，过A作AHBC于H，由D=BCD=90，得四边形ADCH为矩形，在BAH中，AB=2，BHA=90，AH=y，HB=x1，22=y2+（x1）2，则y=（0x3）；（2）如图，取CD中点T，联结TE，DE，则TE是梯形中位线，ETAD，ETCD，AET=B=70，又AD=AE=1，AED=ADE=DET=35，由ET垂直平分CD，得CET=DET=35，AEC=70+35=105； （3）分三种情况讨论：当AEC=90时，CE垂直平分AB，CA=CB，而CE=CE，CBECAE，D=CEA=90，AD=AE=1，AC=AC，CAECAD，BCE=BCD=30，则在RtABH中，B=60，而AHB=90，AB=2，BH=1，又矩形ADCH中，CH=AD=1，BC=2；如图，当CAE=90时，D=CAE，而CAD=ACB，CDABCA，又RtABC中，AC=，则=，即，解得x=或x=（舍去）；易知ACEDCB=90，故ACE不可能为直角；综上所述，边BC的长为2或9（2018大庆）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，4）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线yx+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值；（3）点D为抛物线对称轴上一点当BCD是以BC为直角边的直角三角形时，直接写出点D的坐标；若BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）易得BC的解析式为yx+4，先证明ECF为等腰直角三角形，作PHy轴于H，PGy轴交BC于G，如图1，则EPG为等腰直角三角形，PEPG，设P（t，t24t+3）（1t3），则G（t，t+3），接着利用t表示PF、PE，所以PE+EF2PE+PFt2+5t，然后利用二次函数的性质解决问题；（3）如图2，抛物线的对称轴为直线x点D的纵坐标的取值范围由于BCD是以BC为斜边的直角三角形有4+（y3）2+1+y218，解得y1，y2，得到此时D点坐标为（，）或（，），然后结合图形可确定BCD是锐角三角形时点D的纵坐标的取值范围【解答】解：（1）把B（4，0），C（0，4）代入yx2+bx+c，得，解得 ，抛物线的解析式为yx25x+4；（2）易得BC的解析式为yx+4，直线yx+m与直线yx平行，直线yx+4与直线yx+m垂直，CEF90，ECF为等腰直角三角形，作PHy轴于H，PGy轴交BC于G，如图1，EPG为等腰直角三角形，PEPG，设P（t，t25t+4）（1t4），则G（t，t+4），PFPHt，PGt+4（t25t+4）t2+4t，PEPGt2+2t，PE+EFPE+PE+PF2PE+PFt2+4t+tt2+5t（t）2+，当t时，PE+EF的最大值为；（3）如图2，抛物线的对称轴为直线x，设D（，y），则BC242+4232，DC2（）2+（y4）2，BD2（4）2+y2+y2，当BCD是以BC为直角边，BD为斜边的直角三角形时，BC2+DC2BD2，即32+（）2+（y4）2+y2，解得y，此时D点坐标为（，）；当BCD是以BC为直角边，CD为斜边的直角三角形时，BC2+DB2DC2，即32+y2（）2+（y4）2，解得y，此时D点坐标为（，）；综上所述，符合条件的点D的坐标是（，）或（，）；当BCD是以BC为斜边的直角三角形时，DC2+DB2BC2，即（）2+（y4）2+y232，解得y1，y2，此时D点坐标为（，）或（，），所以BCD是锐角三角形，点D的纵坐标的取值范围为n或n【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图形的性质；会运用分类讨论的思想和数形结合的思想解决数学问题10（2018沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：yax2+bx1经过点A（2，1）和点B（1，1），抛物线C2：y2x2+x+1，动直线xt与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M（1）求抛物线C1的表达式；（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；（3）当AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；（4）在（3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点K，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ1且KNQBNP时，请直接写出点Q的坐标【分析】（1）应用待定系数法；（2）把xt带入函数关系式相减；（3）根据图形分别讨论ANM90、AMN90时的情况（4）根据题意画出满足条件图形，可以找到AN为KNP对称轴，由对称性找到第一个满足条件Q，再通过延长和圆的对称性找到剩余三个点利用勾股定理进行计算【解答】解：（1）抛物线C1：yax2+bx1经过点A（2，1）和点B（1，1）解得： 抛物线C1：解析式为yx2+x1（2）动直线xt与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M点N的纵坐标为t2+t1，点M的纵坐标为2t2+t+1MN（2t2+t+1）（t2+t1）t2+2（3）共分两种情况当ANM90，ANMN时，由已知N（t，t2+t1），A（2，1）ANt（2）t+2MNt2+2 t2+2t+2 t10（舍去），t21 t1当AMN90，ANMN时，由已知M（t，2t2+t+1），A（2，1）AMt（2）t+2，MNt2+2 t2+2t+2 t10，t21（舍去） t0故t的值为1或0（4）由（3）可知t1时M位于y轴右侧，根据题意画出示意图如图：易得K（0，3），B、O、N三点共线A（2，1）N（1，1）P（0，1） 点K、P关于直线AN对称设半径为1的K与y轴下方交点为Q2，则其坐标为（0，2）Q2与点O关于直线AN对称 Q2是满足条件KNQBNP则NQ2延长线与K交点Q1，Q1、Q2关于KN的对称点Q3、Q4也满足KNQBNP由图形易得Q1（1，3）设点Q3坐标为（m，n），由对称性可知Q3NNQ1BN2由K半径为1 解得，同理，设点Q4坐标为（m，n），由对称性可知Q4NNQ2NO解得，满足条件的Q点坐标为：（0，2）、（1，3）、（，）、（，）【点评】本题为代数几何综合题，考查了二次函数基本性质解答过程中应用了分类讨论、数形结合以及构造数学模型等数学思想29直角三角形的存在性问题2019