概率论中的大数定律及中心极限定理.pdf

1概率论中的大数定律及中心极限定理唐南南摘要摘要 概率论是从数量上研究随机现象的规律的学科，概率论的特点是先提出数学模型，然后去研究它的性质，特点和规律。它在自然科学，技术科学和社会科学等科学中有广泛的应用。而大数定律和中心极限定理的内容是概率论中极限理论极为重要的一部分内容。在这篇文章中，我们从贝努力试验中的频率出发，讨论了独立随机变量和分布的极限问题。在一定条件下，这些分布弱收敛于退化分布，这就是大数定律。在另一些条件下，这些分布弱收敛于 N(0,1)分布,这一类收敛于 N(0,1)分布的定理统称为中心极限定理.大数定律说明了随机现象都具有稳定性而中心极限定理是研究相互独立随机变量序列的部分和的分布，在适当条件下向正态分布收放的问题。ixniinxS1在这篇文章里，我们只介绍了一些定理的提出，内容以证明以及在其他学科上的应用，而大数定律和中心极限定理还有许多更深入，更广泛的内容，限于篇幅这里就不再介绍了。掌握定理的结论是重要的，这些结论一方面使频率稳定于概率，n 次观察的算术平均值稳定于数学期望都有了明确的含义和理论依据；另一方面，又将给数理统计中大样本的统计推断等提供理论依据。关键词关键词 大数定律 中心极限定理 随机现象 随机变量引言大数定律和中心极限定理是概率论中重要的一部分内容，但对读者来说，多数人对于这部分内容感到很难掌握，这篇文章就是对这部分内容进行浅入的分析，但对其内容进行详细的说明，而且进行了归纳性的总结，指出了各定律之间的联系及其差别，希望通过本篇文章内容的介绍，能使读者对于这部分知识有一个清晰的印象，能整体地把握这部分内容。一、大数定律（一）、问题的提法（大数定律的提法）重复实验中事件的频率的稳定性，是大量随机现象的统计规律性的典型表现。人们在实践中认识到频率具有稳定性，进而由频率的稳定性预见概率的存在；由频率的性质推断概率的性质，并在实际应用中（当2n 充分大时）用频率的值来估计概率的值。这些都是概率的公理化定义的实际背景。概率的概念以及在此基础上建立的理论应该与实际相符合。因此，我们需要对频率的稳定性这一实际作理论的说明。其实，在大量的随机现象中，不但事件的频率具有稳定性，而且大量随机现象的平均结果一般也具有这稳定性：单个现象的行为对大量随机现象共同产生的总平均效果几乎不发生影响，这就是说，尽管单个随机现象的具体实现不可避免地引起随机偏差，然而在大量随机现象共同作用时，由于这些随机偏差互相抵消，补偿和拉平，致使总的平均结果趋于稳定。例如，在分析天平上称量一质量为 u 的物品，以，表21,n示 n 次重复测量的结果。经验告诉我们，当 n 充分大时，它们的算术平均值对 u 的偏差却很小，而且一般 n 越大，这种偏差越小。niinn11如果把一连串的观察结果，看成随机变量，则上述直观现实21,n表明，当 n 充分大时，在一顶的收敛意义下，有，它就是大量unnii11随机现象的平均结果稳定性的数学表达式。频率的稳定性也可以表达成这种形式。为此令unnii11 i=1,2，n。次试验中不出现若在第次试验中出现若在第iii,0,1那么，是 n 次试验中 A 出现的频数。频率的稳定性指的是随 niinAu1着 n 无限增大，频率趋于稳定概率附近，即在一定的收敛意义 APn AP下。概率论中，一切关于大量随机现象的平)(1)(1APnnAuAPniinn均结果稳定性的定理，统称为大数定律，按收敛性的含义不同，大数定3律有弱大数定律和强大数定律之分。（二）、大数定律的内容及证明1、在证大数定理时，我们经常用到著名的切比雪夫不定式，首先我们来讲这个不定式。2设随机变量 X 有期望和方差，则对于任意 0,有 xE xD或 2xDxExP 21xDxExP 证明：（1）：x 是离散型随机变量的情形。（）22222xDxEXPXEXxxPxExPkxExkkkxExkkKKPXxP（2）x 是连续随机变量的情形。设 x 的密度函数是，则有 xP xExxExP dxxP积分区域如图：P(x)E(x)-E(x)E(x)+由于 ,)(,xExxExxEx所以即 于是有 .,xExxEx 222221xDdxxPxExdxxPxExdxxPxExPxExxEx切比雪夫不定式给出了在随机变量 x 的分布未知的情况下，对事件X 4 xEx（或事件的概率的一种估计方法。例如在式子 xEx中令，并令，则有 21xDxExP43、uxE（）8889.03uxP8889.09891229375.04uxP式子给出了离差不小于 的概率的上界，而式子 2xDxExP给出了离差不小于 的概率的下界，而且二个式子 21xDxExP对任何具有方差的随机变量都成立。从第二个式子中又可以看到，越小，概率就越大，说明 x 取值集中于其期望周围的 xD xExP程度越高；越大，概率就越小，说明 x 取值集中于平 xD xExP均值附近的程度越低，这就使我们方差定义的含义有了进一步的理解。例 1 对小麦品种做发芽试验，种子发芽的概率未知，问要用多少颗小麦做试验才能认为发芽的概率与 P 相差不超过 1/10 的概率达到 95%？解：用 Sn表示试验的 n 颗种子中发芽的颗数，则发芽的频率是，我nSn们要确定 n，使得 n 满足或。%95101 PnSPn%510nnPSPn因为 Sn服从二项分布，所以，E(Sn)=nP,D(Sn)=nP(1-P).又因为 P(1-P)=-P2+P=-(P-)2+故 p(1-p)214141nnpnpnnPSPn2510)1(1025说明所选的 n 要满足5%，即 n 500n252、现在再讲述一种常见的大数定律的数学定义 假设，是随机变量的序列，令=，如果12nnnnL21存在这样的一种常数序列 1，2，n，对任意的，恒有 则称序列（接算术平均值）服从大数定律。nlim,1nnap n必须指出，更加一般地描述大数定律的形式是：对于随机变量序列，n令n（1，2，n），这里n是（）的对称的函nf iL,2,1i数。如果存在常数列序列 1，2，n，对任意的，成立，则称这种随机变量的序列按函数 fn服从大数定律。nlim,1nnap3、下面具体介绍几个大数定律的内容及证明。（1）切比雪夫大数定律。、定义 设 X1，X2，Xn，是一个随机变量序列，若存在常数 a，使得对任意，都有则称随机变量序列0nlim,1aXpn依概率收敛于 a，记作。nXaXpn、定义 设 X1，X2，Xn，是一个随机变量序列，数学期望存在，使得对于任意，都有,.2,1ixE0nlim，则称随机变量序列服从大数定律。,11111niiniiXEnXnp nX服从大数定律，实质是说。nX01111PniiniiXnXn、定理 若独立随机变量序列 X1，X2，Xn，各有数学期望，方差,则对于任意,iiuXE 无关的常数是与icicXDi.,2,106有。nlim11111niiniiunXnp、证明：令，由于 Xi相互独立，所以niinXnX11 niinunXE11由式子可以得到 niinncncnnXD122211 21xDxEXP 2211ncXDXEXPnnn当 n时，取极限使得但由于概率不可能大nlim,1nnXEXp于 1，所以nlim,1nnXEXp结论：这个定理表明，在定理成立的条件下，当 n 充分大时，n个独立随机变量 X1，X2，Xn，的算术平均数这一随机变量的分布，nX对于它的数学期望的附近，而当 n 充分大时，与其期望之差依 niiXEn11概率收敛到 0。此处所谓大数的“大”是指定理中极限等式右端的“1”。推论：若 X1，X2，Xn，是独立在同分布的随机变量序列，且 E（Xi）=u，D（Xi）=（i=1，2，），则对于任意的，都有20nlim111uXnpnii这一推论使我们关于算术平均值的法则有了理论依据，经过算术平均后得到的随机变量，其分布随着 n 的增大越来越紧密地聚niinXnX11集在它的期望附近。切比雪夫定理为我们提供了关于用抽样算术平均数估计总体平均数（期望）的理论依据。假如在相同的条件下进行 n 次重复抽样，得到 n 个不同的值 X1，X2，Xn，我们可把这些结果看成独立同分布的随机变量 X1，X2，Xn的试验数值，且 E（Xi）=u，7D（Xi）=。由这个推论可知，当 n 充分大时，取作为 u 的2niinXnX11估计值，其误差一般是很小的，这就是说，对于同一随机变量 X 进行 n次独立观察，则所有观察值的平均数依概率收敛于 X 的期望值，即，因此在实际中我们用抽样算术平均数来估计总体期望uXpnniiXn11u。下面举出一些切比雪夫大数定律的一些重要的特例。（2）贝努里大数定律。X 0 1 Px1 1-P P 定理 X1，X2，Xn为随机变量序列，Xk有分布列 i=1，2，若 X 是 n 次试验中时间 A 发生的次数，则有，即对于任意给定PnxP的有，0nlim1pnxp证明：Xi为第 i 次试验中事件 A 发生的次数。由于 niPPXDPXEii,.2,111,又因为 X1，X2，Xn相互独立，且 X=，再由切比雪夫定理的推论niiX1可以得到，即，亦即PnxPnlim111pXnpniinlim1pnxp说明：我们在叙述重复试验中事件 A 出现的规律时可知事件 A的频率具有稳定性，贝努里大数定律对于之一事实作了理论上的说明。8设时间 A 的概率为 p，Xk为第 k 次独立重复试验中事件 A 出现的次数，则 Xk有分布列 Xi 0 1 i=1，2，根据贝努里大数定律 Pxi 1-P PpXnnxPnii11就是说，独立重复试验中事件 A 出现的频率稳定性是指依概率收敛于它的概率。由贝努里定理知道，当试验次数很大时，事件出现的频率与概率有较大的偏差的可能性很小。由实际推断原理，当试验次数很大时，便可以用频率来代替概率。例如，某工厂的产品的次品品率为 p，产品中抽出 n 件产品，出现次品数为 u，频率 u/n 与次品率 p 之间的偏差是。pnu当 n 很大时，概率的实际意义是：进行 N 次抽样9999.002.0 pnup每次抽 n 件产品，在 n 次抽样中使成立的有 M 次，当 n 充分02.0 pnu大时，有。9999.0 pNM贝努里定理是在试验的条件不改变时来讨论频率的，而实际上进行多次试验的条件不可能是绝对不变的。例如电话打不通的概率（称为损失率）白天和晚上就不一样。虽然如此，仍然能发现频率的稳定性。我们有下述的普哇松定理。（3）普哇松定理。定理：在一个独立试验序列中，事件 A 在第 k 次试验中出现的概9率为 Pk，且设 u 是起初 n 次试验中事件 A 出现的次数，则nlim1.21npppnupn证明：作随机变量 uk：第 k 次试验时如果事件 A 出现，它为 1，反之为 0，则 u=u1+u2+un。易知 Muk=Pk，411kkkPPDu再由切比雪夫定理可得到本定理。（4）辛钦大数定律定理：设均为相互独立相同分布的随机变量，且具有,.,.,21n有限的数学期望（），则对任意的，有,.2,1,nMan0nlim。111anpnkk证明：在证明之前先介绍在证明中要用到的定理及该定理的系。定理 如果随机变量序列 依概率收敛于随机变量，则该,.,.,21n序列，分布函数序列弱收敛于 的分布函数定理的系。n)(XFn)(XF依概率收敛于常数 C 的充要条件是的分布函数 Fn(x)弱 nnn收敛于退化分布 F(x)=下面证明辛钦大数定理。cxcx,1,0由于具有相同分布，故有一特征函数，设为。因为数,.,.,21nt字期望存在，故可以展成。而的t taittott101nkkn11特征函数显然为，对于任意固定的 t，=nntnnt。而 eait为的特征函数，其对应的分布nennaitaitn11a函数弱收敛于 G(x)=。依特征函数的逆极限定理，的分布axax,0,1nkkn1110函数弱收敛于 G(x)，从而由前面的系，依概率收敛于 a，即nkkn1111lim1anpnkkn说明：贝努里大数定律成立时，要求 D(xi)存在，若 D(xi)不存在时，则可应用辛钦大数定律。（三）加强大数定律的内容及证明到现在为止还不能从贝努里定理作出：“当试验次数无限增加时，频率趋于概率”的推断。事实上,贝努里定理只能肯定对任意小的正数，使得对充分大的 n 成立着，因而并不是绝对和1pnupnu趋向于 p，这个结论只告诉我们，当 n 充分大时，不等式成立 pnu是小概率事件，这事件虽然在一次试验中可以认为不出现，但在多次重复下就会出现，特别是在现代电子计算机的运算中，它在极短的时间内可以进行大量的计算，在一次计算中可以认为计算结果与真数相差较大的情况不会出现，但在大量的重复计算中，可以出现与真数相差很大的情况。因此，为了避免因大量运算中造成结果相差很大的情况出现，以概率为 1 地保证在试验次数不断增加时使运算结果愈加精确就显得极为重要了。而加强大数定律，就是研究这类问题的。为了讨论加强大数定律，我们先引进一个重要的概念随机变量序列的收敛性，即对于任意的，有。00limnnp如果对于一个随机变量序列及随机变量，有，则 n1np称随机变量序列以概率 1 收敛于。所谓一个随机变量序列是服 n n11从加强大数定律的是指该序列满足下列关系式：n101111nkknkkMnnp1、波莱尔强大数定律（1）定理：假设 un是 n 重伯努利试验中某事件 A 出现的次数，已知每次试验中 A 出现的概率为 p(0p1)，那么，以概率 1，有pnunnlim（2）证明：由于对于任意，满足则随机变量01nnp序列以概率 1 收敛于随机变量，又由于,.,21，可见，只要证明上面的级数对于任意11nnnnnnpuppnup收敛。为此，我们估计概率。由马尔科夫不等式，知0 npupn；又由曾经做过的题可知4441npuEnnnpupnn，于是又由式子16731231224npqpqnpqnnpqnpuEn可得4441npuEnnnpupnn124414411116711nnnnnnnnnpuEnnnpuppnup（3）说明：波莱尔强大数定律是伯努利大数定律的加强。它说明在重复试验中，当试验次数无限增大时，事件的频率以概率 1 收敛于它的概率。2、柯尔莫戈洛夫强大数定律。（1）定理：假设相互独立，而且有有穷方差，,.,21,.2,1iDi那么，如果，则随机变量服从强大数定律，即12nnnD,.,2112。101lim1niiinEnp（2）、证明：令 u=E，对于任意 m 1，记 Sm=，由于ii112maxmniiinu对任意 n，存在 m1。使 2mn2m+1，而且这时，；mmniiiSun211因此只需要证明，由柯尔莫戈洛夫不等式，知对于任意和102limmmnSp0m1，有，从而有 121222mnnmmmDSp12212221221121316411414141211nnnnnmmnnnnmmmmmnDnDDDSpmm因此，又由已知的推论可证得定理。（3）说明此定理是马尔科夫定理的推广。而且又有三个推论分别是切比雪夫大数定律，贝努里大数定律和普哇松大数定律的推广。内容是：如果相互独立，而且存在常数 c，使，则服,.,21,.2,1ncDn,.,21从强大数定律。假设是 n 重贝努里试验中某事件 A 出现的次数，已知每次试验nu中 A 出现的概率为 p(0p1)，那么。1limpnupnn假设是 n 次独立随机试验中某事件 A 出现的次数，已知在第 Inu次试验中 A 出现的概率为 pi(0p1),i=1,2,那么13101lim1niinnpnnup（四）、大数定律的应用大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质平均结果的稳定性。它是随机现象统计规律性的具体表现，因此大数定律在理论和实践中（例如，在数学分析，数理统计和近似计算中），都有广泛的应用例 1（在近似计算中的应用）1假设需要计算定积分，其中 g(x)是连续函数，现在，向区间 dxxgba均匀地连接投掷 n 个随机点。那么，它们的坐标是 n 个ba,.,.,21n独立并在上均匀分布的随机变量。显然，ba,。由辛钦定理知：nidxxgabEgbai,.2,1,1。（由柯尔莫戈洛夫大数定理知，上面的式 baniindxxgabgnp11lim1子实际上为以概率 1 收敛）。于是，当 n 充分大时，得近似计算公式：。niibagnabdxxg1有趣的是该式右边很象普通的积分和，不过这里是在,.,.,21n上均匀分布的独立随机变量。ba,例 2、用大数定律可以证明数学分析一著名定理关于用多项式列一致逼近连续函数的维尔斯特拉斯定理：假设f(x)在闭区间上是连续函数。那么，存在一列多项式 B1（x），ba,B2（x），一致收敛于函数 f(x)，x。ba,证明：不妨设 a=0，b=1，因为否则就可以引进新的自变量14u：x=（b-a）u+a，使 u。这样假设 f(x)，x，是连续函数，1,0 1,0那么，f(x)在上一致连续并且有界：对于任意，0 x1，x21,1,00存在，使得。此外，对于一切0 2121,2xxxfxf只要0 x1，有（常数）。现在建立一列多项式：kxf （*）mnmnmmnnnxxnmfnEfxBc10其中服从二项分布，参数为 n1，而 x。显然，有 Bn（0）n 1,0=f（0），Bn（1）=f（1）。由贝努里大数定律知x。,limxnpnn 1,0现证明一致收敛于 f(x)，x。nEfxBnn 1,0由于，可见，110mnmnmmnxxc mnmmnnmnxxxfnmfxfxBc10由此可见，xnkpxxkxxxfnmfxxxfnmfxxxfnmfxfxBnmnxnmmmnmnxnmmmnmnmmnxnmmnmmnnmncccc221221110由于对任意 x，可见存在一个 N 使当 nN 时 1,0 xnpn，从而当 nN 时，对于一切 x，有kxnpn4 1,0。22422kkxfxBn即一致收敛于 f（x）。10，关于 xxBn二、中心极限定理15我们已经知道，概率论可被理解的价值是建立在对大量随机变量上的研究上，并从中揭示出大量随机现象在其集体的行动中所服从的确定而非偶然的规律。从数学的角度来讲，只有通过极限的理论才能显示出概率论的价值。而在概率论的发展史上，中心极限定理是最重要的也是最出色的成果之一。凡是在一定条件下断定随机变量之和的极限分布是正态分布的定理，在概率论中统称为中心极限定理，也就是中心极限定理所回答的问题是，（独立或弱相依），随机变量之和的极限分布在什么条件下是正态的，它揭示产生正态分布的源泉。（一）、中心极限定理的提法。如果一个随机变量决定于大量随机因素的总和，其中每个随机因素的单位作用微不足道，而且各隐私的作用相对均匀，那么它就服从或近似地服从正态分布。在实际中这类例子是很多的。现在，我们用严格的数学形式来表述这一直观。1、随机变量之和。在许多情况下，一随机变量 可以表示为或近似地表示为大量独立随机变量之和。这里每一个直观上表示n.1i一种随机因素的效应。假设上式包含了决定 的充分多的随机因素的效应（即 n 充分大），则 的分布就近似于的分布。中心极限定理就是1ii要说明，在什么条件下，当 n 充分大时，独立随机变量之和的极限分布是正态的。例如，在分析天平上重复称量某物品，第 j 次称得的结果，其中 u 为被称量的物品，为随机误差，令,.2,1jeujjje16，要求 n 充分大时的分布。故可以求当 n 充分大njjnjjnenun1111n时，随机变量和的极限分布。n2、独立随机变量的规范和。由于许多问题都可以归结为求独立随机变量之和规范化。为此假设都有有穷数学期望和分差。njj1njj,.,2,1令。那么，如果 n 充分大时，njjnjjnjjnjjBDMMuE12221,;,近似地服从正态分布。，则显然近似地njj1BnnMN2,21njnjjnBu服从标准正态分布 N(0,1)。反之亦然。因此，我们以后研究 n时的极限分布，并称为独立随机变量的规范和。nnn.1记号：考虑独立随机变量列。假设和.,21jjuE（j=1,2,）有穷。对于任意 n1，1jn，记2jjD；，；xpxFjjnjjnB122 xpxFBunjnjniinj,njitnjEetf，。njjjnnjnjnuB111 nitnnnEetgxpxG,显然，1,01njnjnnDDE定义，称随机变量列有渐近正态分布 N（u,）,如果相应,.,212的分布函数列 Fn1（x），Fn2（x），。弱收敛于正态分布 N（u，）2的分布函数，即 duexFxunn22221lim定义。假设是一独立随机变量列。那么，（）对于任意.,21n1，称随机变量为的规范性；（）称服从中心极限定nn,.1.,2117理。如果响应的规范和列有渐近核准正态分布 N（0,1）即.,21，其中 Gn(x)=duexxxGxun2221lim,.2,1,nxpn由于，如果二项分布函数 F1（x）和 F2（x）有同一特征函数，则F1（x）F2（x）。故可以知道，式子中的收 duexxxGxunn2221lim敛关于 x。为一致收敛。这样，如果服从中心极限定理，,.,21则当 n 充分大时，有duexxBpxujjjn212211（二）、中心极限定理的内容。中心极限定理的名称最早是由卜里耶提出来的，而其定理的一般形式最早是由切比雪夫提出来的。下面我们将介绍三个主要定理以同分布为条件的列维林德伯格定理以及它的特殊情形隶美弗.,21拉普拉斯积分定理；林德伯格定理李亚普诺夫定理。1、列维林德伯格定理。（1）、定理：对于独立同分布随机变量，如果它们的方差有穷，.,21则关于x一致地有其中,duexnpxunjjin212211lim,.2,1,2jDEjj（2）、证明：令 f(t)为的特征函数。那么，的特征函,.2,1jjjn数.由条件知，从而，因此，f（t）有一nnntftgjDjE阶和二阶导数，并且，于是，由泰 2220,00 ifiEfj勒公式知对于任意 t，有,18，从而 nntnntfntffntf12112000222，因为,1212nnnnntntftg222121limlimtnnnnennttggn(t)收敛于标准正态分布的特征函数，所以由定理（连续性定理）可知 xPxGnn弱收敛于标准正态分布函数。由于是连续函数，故向 x x xGn的收敛关于 xx一致收敛。,（3）、特殊情况隶美弗拉普拉斯积分定理。假设n(n=1,2,)表示 n 重贝努里试验中成功的次数，已知每次试验成功的概率为 p(0P0，有 则它服从于中心极限定理。01lim122njBnxjjnnjxdFxB19（2）证明路线定理的证明基于特征函数和分布函数对应的连续性定理在林德伯格条件下，证明当时，有，n,lim22tetgtnn其中是规范和的特征函数，而 fnj(t)是的特njnjntftg1njnjnt1nj征函数。由于是标准正态分布的特征函数，故弱收敛于标准正态22te xGn分布函数，即服从中心极限定理。xn.,213、李亚普诺夫定理（1）定理：假设是独立随机变量列，那么，如果对于某个.,21有=0 其中则,02121limnjjjnnEB,.2,1,12njEDBjjnjjn服从中心极限定理.,21n（2）证明：假设=0 成立，即存在，使2121limnjjjnnEB,0，其次，对于任意 0，有0112221njjjnnjnjEBE。其中 xnj是的表011211221njnjnjjnjnjnjnjnjExExEnj示性函数。由此可见，林德伯德条件成立，从而服从中心极限定.,21理（三）、中心极限定理的应用4上述的中心极限定理在实际中应用广泛，因为在考虑那些随机因素总和的极限分布时，只要那些因素对总的影响均匀地小，同时又是独立的，并且总和在个数上是 15 个以上的，则一般都可以认为它的分布律20是正态的。例一、某检查员逐个地检查某种产品，每次花 10 秒钟检查一个，但也可能有的产品需要再花 10 秒钟重复检查一次，假设每个产品需要复检的概率为 0.5，求在 8 小时内检查员检查的产品个数多于 1600 个的概率。解：引入随机变量 xi表示第 i 个产品花费的时间。Xi=个需重复检查第个不需重复检查第ii2010则 X=检查 1600 个产品所花时间16001iXi于是 E（Xi）=100.5+200.5=15 D（Xi）=E（Xi2）-E（Xi）2=1020.5+2020.5-152=25由列维一林德伯格定理可知 124245401516005160015160036008516001516003600836008xpxpnxnEnxnExpxpii例 2，对敌人防御地段进行 100 次的射击，在每次射击中，炮弹的命中数的数学期望为，而命中的数的均方差为 1.5，求当射击 100 次时，有 380 颗到 240 颗炮弹命中目标的概率的近似值。解：总命中数等于各次命中数的和 100110012ii这里表示第 i 次射击中炮弹的命中数，由于这时随机变量i 的个数足够多，同时又是同分布的，它100,.,2,1ii们有有限的方差，并且我们可以把各次射击看成是彼此独立的。因此，21可以应用中心极限定理。由 mx=Dx=（1.5）2=225niim14001001niiD所以 8164.0211520225400152042038022115201520depp因此射击 100 次时，有 380 颗到 420 颗炮弹命中目标的概率的近似值为0.8164参考文献：参考文献：1 周概容.概率论与数理统计.北京:高等教育出版社，1984 年 3 月第 1 版 374-3962 李英杰.概率论与数理统计.能源出版社，1990 年 3 月第 1 版 363-3813 廖昭,杨文礼.概率论与数理统计.北京:北京师范大学出版社，1988 年 11 月第 1 版236-2494 郑绍濂,吴立德,陶宗英,汪嘉.概率论与数理统计.上海:上海科学技术出版社，1961 年 8 月第 2 版 132-154TheThe LawLaw OfOf largelarge NumberNumber andand TheThe CentralCentral LimitLimit TheoremTheorem InIn ProbilityProbility TheoryTheoryTang nannan (Department of Mathematic Bohai Univercity Liaoning Jinzhou 121000 China)SummarySummary Probility theory is a discipline which researches law of random phenomenon from quantitivity,and its characteristic is that it first intrduces mathematical model,then researches its quality,characteristic and law.It has a extensive application in natural science,technological science and societal science,etc.The contents of law of large numbers and central limit theorem is the most important part of the utmost limit theory in probility theory.This article which is based on frequency in Bernoulli experiment discusses limit questions of independent random variability and distribution.Under certain condition,these 22distributions weakly converge retrograde distribution,those are law of large numbers;well,under other condition,these distributions weakly converge N(0,1)distribution.This kind of theorems which converge N(0,1)distribution are uniformly called central limit theorem.Law of large numbers shows that random phenomenon prossess stability,and central limit theorem researches the distribution of Sn=which is the part sum of inter-indispendent sequence of random variablity nixi1converges at normal distribution under appropriate conditions.In this article,we only introduce extract contents,provenance and application in other disciplines.However,law of large numbers and central limit theorem also have deeper and more extensive contents,we cannot introduce the because of the limit space of this article.To master the conclusion of the theorem is important,for one thing,these conclusions make frequency stabilizes probility and arithmetic expection mean of n orders observation stabilizes mathematical expection have exact meaning and theoretical accordance;for the other thing,they will supply theoretical accordance for statistical inference,etc,of large sample in mathematical statistics.KeywordsKeywords law of large numbers central limit theorem random phenomenon random variablity 23目目 录录引言(1)一 大数定律(1)(一)大数定律问题的提法(1)(二)大数定律的内容及证明(3)(三)加强大数定律的内容及证明(10)(四)大数定律的应用(12)二 中心极限定理(14)(一)中心极限定理问题的提法(15)(二)中心极限定理的内容及证明(17)(三)中心极限定理的应用(19)24参考文献(21)