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计算方法（B）实验报告

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实验一 三对角方程组的求解
一、 实验目的
掌握三对角方程组求解的方法。
二、 实验内容
求三对角方程组的解，其中：
，
三、 算法组织
设系数矩阵为三对角矩阵

则方程组称为三对角方程组。
设矩阵T非奇异，T可分解为T=LU，其中L为下三角矩阵，U为单位上三角矩阵，记

可先依次求出中的元素后，令，先求解下三角方程组得出y，再求解上三角方程组。
追赶法的算法组织如下：
1.输入三对角矩阵和右端向量；
2.将压缩为四个一维数组，是T的三对角线性方程组的三个对角，是右端向量。将分解矩阵压缩为三个一维数组。
3.对做分解（也可以用分解）导出追赶法的计算步骤如下：

4.回代求解

5. 停止，输出结果。
四、 MATLAB 程序
MATLAB程序见附件1.
五、 结果及分析
实验结果为：

实验二 Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代解线性方程组
一、 实验目的
掌握Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代解线性方程组的方法。
二、 实验内容
用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代解电路电流方程组，使各部分电流误差均小于。

三、 算法组织
形如的方程组，用Jacobi迭代求解，算法组织如下：
1. 将系数矩阵分解成对角元、下三角部分元和上三角部分元,于是.
2. 由。
3. 从而构成形如迭代格式：

其中

4. 选取初始向量进行迭代计算。
5. 当迭代后的解满足题中的约束条件时迭代停止。

形如的方程组，用Gauss—Seidel迭代求解，算法组织如下：
1. 将系数矩阵分解成对角元、下三角部分元和上三角部分元,于是.
2. 由。
3. 从而构成形如迭代格式：

其中

4. 选取初始向量进行迭代计算。
5. 当迭代后的解满足题中的约束条件时迭代停止。
四、 MATLAB 程序
MATLAB程序见附件2，其中1为Jacobi迭代，2为Gauss—Seidel迭代。
五、 结果及分析
Jacobi迭代结果:
方程组的解为
迭代次数
Gauss—Seidel迭代结果：
方程组的解为
迭代次数
由以上结果可知,达到相同的计算精度，Gauss—Seidel迭代比Jacobi迭代的速度快，Gauss—Seidel迭代比Jacobi迭代次数少。

实验三 多项式插值及误差计算
一、实验目的
掌握多项式插值的原理和基本方法。
二、实验内容
已知，对
a. 计算函数在点处的值;
b. 求插值数据点的插值多项式和三次样条插值多项式;
c. 对，计算和相应的函数值;
d. 计算，，解释所得到结果。
三、 算法组织
（一）本题第一问是简单的用matlab程序可以计算，算法很简单。
（二） 本题在算法上第二问中的Newton插值多项式和三次样条插值多项式。计算两种插值多项式的算法如下：
1. 求Newton插值多项式，算法组织如下：
Newton插值多项式的表达式如下：

其中每一项的系数ci的表达式如下：

根据上述公式，为了得到系数需计算：
1) 一阶差商
2) 二阶差商
… … … …
3) n阶差商
4) n+1阶差商

2. 求三次样条插值多项式，算法组织如下：
所谓三次样条插值多项式是一种对区间进行分段的分段函数，然后在每一段上进行分析，即它在节点分成的每个小区间上是3次多项式，其在此区间上的表达式如下：

因此，只要确定了的值，就确定了整个表达式，的计算方法如下：
令：

则满足如下n-1个方程：

方程中有n+1个未知量，则令和分别为零，则由上面的方程组可得到的值，可得到整个区间上的三次样条插值多项式。
（三） 第三问和第四问的算法与第二问的算法类似，不再赘述。
四、 MATLAB 程序
MATLAB程序见附件3。
五、 结果及分析
第一问
当n=5时,各节点及f(x)值为：
x(0)=-1,y(0)=3.846154e-02
x(1)=-6.000000e-01,y(1)=1.000000e-01
x(2)=-2.000000e-01,y(2)=5.000000e-01
x(3)=2.000000e-01,y(3)=5.000000e-01
x(4)=6.000000e-01,y(4)=1.000000e-01
x(5)=1,y(5)=3.846154e-02
当n=10时,各节点及f(x)值为：
x(0)=-1,y(0)=3.846154e-02
x(1)=-8.000000e-01,y(1)=5.882353e-02
x(2)=-6.000000e-01,y(2)=1.000000e-01
x(3)=-4.000000e-01,y(3)=2.000000e-01
x(4)=-2.000000e-01,y(4)=5.000000e-01
x(5)=0,y(5)=1
x(6)=2.000000e-01,y(6)=5.000000e-01
x(7)=4.000000e-01,y(7)=2.000000e-01
x(8)=6.000000e-01,y(8)=1.000000e-01
x(9)=8.000000e-01,y(9)=5.882353e-02
x(10)=1,y(10)=3.846154e-02
当n=20时,各节点及f(x)值为：
x(0)=-1,y(0)=3.846154e-02
x(1)=-9.000000e-01,y(1)=4.705882e-02
x(2)=-8.000000e-01,y(2)=5.882353e-02
x(3)=-7.000000e-01,y(3)=7.547170e-02
x(4)=-6.000000e-01,y(4)=1.000000e-01
x(5)=-5.000000e-01,y(5)=1.379310e-01
x(6)=-4.000000e-01,y(6)=2.000000e-01
x(7)=-3.000000e-01,y(7)=3.076923e-01
x(8)=-2.000000e-01,y(8)=5.000000e-01
x(9)=-1.000000e-01,y(9)=8.000000e-01
x(10)=0,y(10)=1
x(11)=1.000000e-01,y(11)=8.000000e-01
x(12)=2.000000e-01,y(12)=5.000000e-01
x(13)=3.000000e-01,y(13)=3.076923e-01
x(14)=4.000000e-01,y(14)=2.000000e-01
x(15)=5.000000e-01,y(15)=1.379310e-01
x(16)=6.000000e-01,y(16)=1.000000e-01
x(17)=7.000000e-01,y(17)=7.547170e-02
x(18)=8.000000e-01,y(18)=5.882353e-02
x(19)=9.000000e-01,y(19)=4.705882e-02
x(20)=1,y(20)=3.846154e-02
第二问牛顿插值算法当n=5时
Newton插值多项式的系数分别为：
c[0]=3.846154e-02
c[1]=1.538462e-01
c[2]=1.057692e+00
c[3]=-1.923077e+00
c[4]=1.201923e+00
c[5]=-5.551115e-16
当n=10时
Newton插值多项式的系数分别为：
c[0]=3.846154e-02
c[1]=1.018100e-01
c[2]=2.601810e-01
c[3]=7.918552e-01
c[4]=2.686652e+00
c[5]=-6.363122e+00
c[6]=-1.767534e+01
c[7]=8.484163e+01
c[8]=-1.679157e+02
c[9]=2.209417e+02
c[10]=-2.209417e+02
当n=20时
Newton插值多项式的系数分别为：
c[0]=3.846154e-02
c[1]=8.597285e-02
c[2]=1.583710e-01
c[3]=2.860070e-01
c[4]=5.335952e-01
c[5]=1.037751e+00
c[6]=2.001902e+00
c[7]=2.796775e+00
c[8]=-7.543931e+00
c[9]=-1.011991e+02
c[10]=-6.439941e+01
c[11]=2.152780e+03
c[12]=-7.267934e+03
c[13]=1.139374e+04
c[14]=-3.538429e+03
c[15]=-2.830744e+04
c[16]=8.669152e+04
c[17]=-1.592293e+05
c[18]=2.237536e+05
c[19]=-2.601786e+05
c[20]=2.601786e+05
三次样条插值算法当n=5时，取边界条件为自然样条的三次样条插值多项式的系数分别为：

m =

0
4.1296
-3.8259
-3.8259
4.1296
0

当n=10时，取边界条件为自然样条的三次样条插值多项式的系数分别为：

m =

0
0.4101
1.4820
2.4856
18.5755
-46.7878
18.5755
2.4856
1.4820
0.4101
0

当n=20时，取边界条件为自然样条的三次样条插值多项式的系数分别为：

m =

0
0.3615
0.4543
0.7514
1.2681
2.2177
4.3438
7.7810
15.3016
-4.3719
-57.8141
-4.3719
15.3016
7.7810
4.3438
2.2177
1.2681
0.7514
0.4543
0.3615
0

第三问
当n=5时，给定点xi的f(xi),N(xi),S(xi),分别为:

x(1)=-9.800000e-01, f=3.998401e-02, N=1.369250e-02, S=3.604615e-02
x(2)=-9.600000e-01, f=4.159734e-02, N=-6.920000e-03, S=3.371336e-02
x(3)=-9.400000e-01, f=4.330879e-02, N=-2.359981e-02, S=3.154575e-02
x(4)=-9.200000e-01, f=4.512635e-02, N=-3.656615e-02, S=2.962591e-02
x(5)=-9.000000e-01, f=4.705882e-02, N=-4.603365e-02, S=2.803644e-02
x(6)=-8.800000e-01, f=4.911591e-02, N=-5.221231e-02, S=2.685992e-02
x(7)=-8.600000e-01, f=5.130836e-02, N=-5.530750e-02, S=2.617895e-02
x(8)=-8.400000e-01, f=5.364807e-02, N=-5.552000e-02, S=2.607611e-02
x(9)=-8.200000e-01, f=5.614823e-02, N=-5.304596e-02, S=2.663401e-02
x(10)=-8.000000e-01, f=5.882353e-02, N=-4.807692e-02, S=2.793522e-02
x(11)=-7.800000e-01, f=6.169031e-02, N=-4.079981e-02, S=3.006235e-02
x(12)=-7.600000e-01, f=6.476684e-02, N=-3.139692e-02, S=3.309798e-02
x(13)=-7.400000e-01, f=6.807352e-02, N=-2.004596e-02, S=3.712470e-02
x(14)=-7.200000e-01, f=7.163324e-02, N=-6.920000e-03, S=4.222510e-02
x(15)=-7.000000e-01, f=7.547170e-02, N=7.812500e-03, S=4.848178e-02
x(16)=-6.800000e-01, f=7.961783e-02, N=2.398769e-02, S=5.597733e-02
x(17)=-6.600000e-01, f=8.410429e-02, N=4.144635e-02, S=6.479433e-02
x(18)=-6.400000e-01, f=8.896797e-02, N=6.003385e-02, S=7.501538e-02
x(19)=-6.200000e-01, f=9.425071e-02, N=7.960019e-02, S=8.672308e-02
x(20)=-6.000000e-01, f=1.000000e-01, N=1.000000e-01, S=1.000000e-01
x(21)=-5.800000e-01, f=1.062699e-01, N=1.210925e-01, S=1.148885e-01
x(22)=-5.600000e-01, f=1.131222e-01, N=1.427415e-01, S=1.312696e-01
x(23)=-5.400000e-01, f=1.206273e-01, N=1.648156e-01, S=1.489844e-01
x(24)=-5.200000e-01, f=1.288660e-01, N=1.871877e-01, S=1.678737e-01
x(25)=-5.000000e-01, f=1.379310e-01, N=2.097356e-01, S=1.877783e-01
x(26)=-4.800000e-01, f=1.479290e-01, N=2.323415e-01, S=2.085393e-01
x(27)=-4.600000e-01, f=1.589825e-01, N=2.548925e-01, S=2.299974e-01
x(28)=-4.400000e-01, f=1.712329e-01, N=2.772800e-01, S=2.519935e-01
x(29)=-4.200000e-01, f=1.848429e-01, N=2.994002e-01, S=2.743686e-01
x(30)=-4.000000e-01, f=2.000000e-01, N=3.211538e-01, S=2.969636e-01
x(31)=-3.800000e-01, f=2.169197e-01, N=3.424463e-01, S=3.196192e-01
x(32)=-3.600000e-01, f=2.358491e-01, N=3.631877e-01, S=3.421765e-01
x(33)=-3.400000e-01, f=2.570694e-01, N=3.832925e-01, S=3.644763e-01
x(34)=-3.200000e-01, f=2.808989e-01, N=4.026800e-01, S=3.863595e-01
x(35)=-3.000000e-01, f=3.076923e-01, N=4.212740e-01, S=4.076670e-01
x(36)=-2.800000e-01, f=3.378378e-01, N=4.390031e-01, S=4.282397e-01
x(37)=-2.600000e-01, f=3.717472e-01, N=4.558002e-01, S=4.479184e-01
x(38)=-2.400000e-01, f=4.098361e-01, N=4.716031e-01, S=4.665441e-01
x(39)=-2.200000e-01, f=4.524887e-01, N=4.863540e-01, S=4.839577e-01
x(40)=-2.000000e-01, f=5.000000e-01, N=5.000000e-01, S=5.000000e-01
x(41)=-1.800000e-01, f=5.524862e-01, N=5.124925e-01, S=5.145385e-01
x(42)=-1.600000e-01, f=6.097561e-01, N=5.237877e-01, S=5.275466e-01
x(43)=-1.400000e-01, f=6.711409e-01, N=5.338463e-01, S=5.390243e-01
x(44)=-1.200000e-01, f=7.352941e-01, N=5.426338e-01, S=5.489717e-01
x(45)=-1.000000e-01, f=8.000000e-01, N=5.501202e-01, S=5.573887e-01
x(46)=-8.000000e-02, f=8.620690e-01, N=5.562800e-01, S=5.642753e-01
x(47)=-6.000000e-02, f=9.174312e-01, N=5.610925e-01, S=5.696316e-01
x(48)=-4.000000e-02, f=9.615385e-01, N=5.645415e-01, S=5.734575e-01
x(49)=-2.000000e-02, f=9.900990e-01, N=5.666156e-01, S=5.757530e-01
x(50)=0, f=1, N=5.673077e-01, S=5.765182e-01
x(51)=2.000000e-02, f=9.900990e-01, N=5.666156e-01, S=5.757530e-01
x(52)=4.000000e-02, f=9.615385e-01, N=5.645415e-01, S=5.734575e-01
x(53)=6.000000e-02, f=9.174312e-01, N=5.610925e-01, S=5.696316e-01
x(54)=8.000000e-02, f=8.620690e-01, N=5.562800e-01, S=5.642753e-01
x(55)=1.000000e-01, f=8.000000e-01, N=5.501202e-01, S=5.573887e-01
x(56)=1.200000e-01, f=7.352941e-01, N=5.426338e-01, S=5.489717e-01
x(57)=1.400000e-01, f=6.711409e-01, N=5.338463e-01, S=5.390243e-01
x(58)=1.600000e-01, f=6.097561e-01, N=5.237877e-01, S=5.275466e-01
x(59)=1.800000e-01, f=5.524862e-01, N=5.124925e-01, S=5.145385e-01
x(60)=2.000000e-01, f=5.000000e-01, N=5.000000e-01, S=5.000000e-01
x(61)=2.200000e-01, f=4.524887e-01, N=4.863540e-01, S=4.839577e-01
x(62)=2.400000e-01, f=4.098361e-01, N=4.716031e-01, S=4.665441e-01
x(63)=2.600000e-01, f=3.717472e-01, N=4.558002e-01, S=4.479184e-01
x(64)=2.800000e-01, f=3.378378e-01, N=4.390031e-01, S=4.282397e-01
x(65)=3.000000e-01, f=3.076923e-01, N=4.212740e-01, S=4.076670e-01
x(66)=3.200000e-01, f=2.808989e-01, N=4.026800e-01, S=3.863595e-01
x(67)=3.400000e-01, f=2.570694e-01, N=3.832925e-01, S=3.644763e-01
x(68)=3.600000e-01, f=2.358491e-01, N=3.631877e-01, S=3.421765e-01
x(69)=3.800000e-01, f=2.169197e-01, N=3.424463e-01, S=3.196192e-01
x(70)=4.000000e-01, f=2.000000e-01, N=3.211538e-01, S=2.969636e-01
x(71)=4.200000e-01, f=1.848429e-01, N=2.994002e-01, S=2.743686e-01
x(72)=4.400000e-01, f=1.712329e-01, N=2.772800e-01, S=2.519935e-01
x(73)=4.600000e-01, f=1.589825e-01, N=2.548925e-01, S=2.299974e-01
x(74)=4.800000e-01, f=1.479290e-01, N=2.323415e-01, S=2.085393e-01
x(75)=5.000000e-01, f=1.379310e-01, N=2.097356e-01, S=1.877783e-01
x(76)=5.200000e-01, f=1.288660e-01, N=1.871877e-01, S=1.678737e-01
x(77)=5.400000e-01, f=1.206273e-01, N=1.648156e-01, S=1.489844e-01
x(78)=5.600000e-01, f=1.131222e-01, N=1.427415e-01, S=1.312696e-01
x(79)=5.800000e-01, f=1.062699e-01, N=1.210925e-01, S=1.148885e-01
x(80)=6.000000e-01, f=1.000000e-01, N=1.000000e-01, S=1.000000e-01
x(81)=6.200000e-01, f=9.425071e-02, N=7.960019e-02, S=8.672308e-02
x(82)=6.400000e-01, f=8.896797e-02, N=6.003385e-02, S=7.501538e-02
x(83)=6.600000e-01, f=8.410429e-02, N=4.144635e-02, S=6.479433e-02
x(84)=6.800000e-01, f=7.961783e-02, N=2.398769e-02, S=5.597733e-02
x(85)=7.000000e-01, f=7.547170e-02, N=7.812500e-03, S=4.848178e-02
x(86)=7.200000e-01, f=7.163324e-02, N=-6.920000e-03, S=4.222510e-02
x(87)=7.400000e-01, f=6.807352e-02, N=-2.004596e-02, S=3.712470e-02
x(88)=7.600000e-01, f=6.476684e-02, N=-3.139692e-02, S=3.309798e-02
x(89)=7.800000e-01, f=6.169031e-02, N=-4.079981e-02, S=3.006235e-02
x(90)=8.000000e-01, f=5.882353e-02, N=-4.807692e-02, S=2.793522e-02
x(91)=8.200000e-01, f=5.614823e-02, N=-5.304596e-02, S=2.663401e-02
x(92)=8.400000e-01, f=5.364807e-02, N=-5.552000e-02, S=2.607611e-02
x(93)=8.600000e-01, f=5.130836e-02, N=-5.530750e-02, S=2.617895e-02
x(94)=8.800000e-01, f=4.911591e-02, N=-5.221231e-02, S=2.685992e-02
x(95)=9.000000e-01, f=4.705882e-02, N=-4.603365e-02, S=2.803644e-02
x(96)=9.200000e-01, f=4.512635e-02, N=-3.656615e-02, S=2.962591e-02
x(97)=9.400000e-01, f=4.330879e-02, N=-2.359981e-02, S=3.154575e-02
x(98)=9.600000e-01, f=4.159734e-02, N=-6.920000e-03, S=3.371336e-02
x(99)=9.800000e-01, f=3.998401e-02, N=1.369250e-02, S=3.604615e-02

当n=10时，给定点xi的f(xi),N(xi),S(xi),分别为:

x(1)=-9.800000e-01, f=3.998401e-02, N=1.230317e+00, S=4.022710e-02
x(2)=-9.600000e-01, f=4.159734e-02, N=1.804385e+00, S=4.200907e-02
x(3)=-9.400000e-01, f=4.330879e-02, N=1.958952e+00, S=4.382384e-02
x(4)=-9.200000e-01, f=4.512635e-02, N=1.845845e+00, S=4.568782e-02
x(5)=-9.000000e-01, f=4.705882e-02, N=1.578721e+00, S=4.761740e-02
x(6)=-8.800000e-01, f=4.911591e-02, N=1.240213e+00, S=4.962900e-02
x(7)=-8.600000e-01, f=5.130836e-02, N=8.880811e-01, S=5.173901e-02
x(8)=-8.400000e-01, f=5.364807e-02, N=5.604444e-01, S=5.396383e-02
x(9)=-8.200000e-01, f=5.614823e-02, N=2.802176e-01, S=5.631987e-02
x(10)=-8.000000e-01, f=5.882353e-02, N=5.882353e-02, S=5.882353e-02
x(11)=-7.800000e-01, f=6.169031e-02, N=-1.007243e-01, S=6.149562e-02
x(12)=-7.600000e-01, f=6.476684e-02, N=-2.012964e-01, S=6.437461e-02
x(13)=-7.400000e-01, f=6.807352e-02, N=-2.496082e-01, S=6.750337e-02
x(14)=-7.200000e-01, f=7.163324e-02, N=-2.546027e-01, S=7.092479e-02
x(15)=-7.000000e-01, f=7.547170e-02, N=-2.261963e-01, S=7.468173e-02
x(16)=-6.800000e-01, f=7.961783e-02, N=-1.743355e-01, S=7.881707e-02
x(17)=-6.600000e-01, f=8.410429e-02, N=-1.083152e-01, S=8.337369e-02
x(18)=-6.400000e-01, f=8.896797e-02, N=-3.631685e-02, S=8.839447e-02
x(19)=-6.200000e-01, f=9.425071e-02, N=3.487332e-02, S=9.392228e-02
x(20)=-6.000000e-01, f=1.000000e-01, N=1.000000e-01, S=1.000000e-01
x(21)=-5.800000e-01, f=1.062699e-01, N=1.553586e-01, S=1.066700e-01
x(22)=-5.600000e-01, f=1.131222e-01, N=1.987262e-01, S=1.139730e-01
x(23)=-5.400000e-01, f=1.206273e-01, N=2.292273e-01, S=1.219491e-01
x(24)=-5.200000e-01, f=1.288660e-01, N=2.471535e-01, S=1.306384e-01
x(25)=-5.000000e-01, f=1.379310e-01, N=2.537555e-01, S=1.400810e-01
x(26)=-4.800000e-01, f=1.479290e-01, N=2.510206e-01, S=1.503172e-01
x(27)=-4.600000e-01, f=1.589825e-01, N=2.414494e-01, S=1.613870e-01
x(28)=-4.400000e-01, f=1.712329e-01, N=2.278397e-01, S=1.733307e-01
x(29)=-4.200000e-01, f=1.848429e-01, N=2.130858e-01, S=1.861883e-01
x(30)=-4.000000e-01, f=2.000000e-01, N=2.000000e-01, S=2.000000e-01
x(31)=-3.800000e-01, f=2.169197e-01, N=1.911589e-01, S=2.149065e-01
x(32)=-3.600000e-01, f=2.358491e-01, N=1.887784e-01, S=2.314509e-01
x(33)=-3.400000e-01, f=2.570694e-01, N=1.946178e-01, S=2.502767e-01
x(34)=-3.200000e-01, f=2.808989e-01, N=2.099145e-01, S=2.720276e-01
x(35)=-3.000000e-01, f=3.076923e-01, N=2.353466e-01, S=2.973471e-01
x(36)=-2.800000e-01, f=3.378378e-01, N=2.710241e-01, S=3.268788e-01
x(37)=-2.600000e-01, f=3.717472e-01, N=3.165048e-01, S=3.612664e-01
x(38)=-2.400000e-01, f=4.098361e-01, N=3.708328e-01, S=4.011534e-01
x(39)=-2.200000e-01, f=4.524887e-01, N=4.325960e-01, S=4.471834e-01
x(40)=-2.000000e-01, f=5.000000e-01, N=5.000000e-01, S=5.000000e-01
x(41)=-1.800000e-01, f=5.524862e-01, N=5.709536e-01, S=5.597038e-01
x(42)=-1.600000e-01, f=6.097561e-01, N=6.431626e-01, S=6.242233e-01
x(43)=-1.400000e-01, f=6.711409e-01, N=7.142283e-01, S=6.909440e-01
x(44)=-1.200000e-01, f=7.352941e-01, N=7.817471e-01, S=7.572512e-01
x(45)=-1.000000e-01, f=8.000000e-01, N=8.434074e-01, S=8.205306e-01
x(46)=-8.000000e-02, f=8.620690e-01, N=8.970803e-01, S=8.781675e-01
x(47)=-6.000000e-02, f=9.174312e-01, N=9.409023e-01, S=9.275474e-01
x(48)=-4.000000e-02, f=9.615385e-01, N=9.733459e-01, S=9.660558e-01
x(49)=-2.000000e-02, f=9.900990e-01, N=9.932776e-01, S=9.910782e-01
x(50)=0, f=1, N=1.000000e+00, S=1
x(51)=2.000000e-02, f=9.