资源描述
课时作业(十九)
[19.1 多边形内角和]
一、选择题
1．八边形的内角和为( )
A．180° B．360° C．1080° D．1440°
2．正十边形的每个外角都等于( )
A．18° B．36° C．45° D．60°
3．2018·乌鲁木齐 一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是 ( )
A．4 B．5 C．6 D．7
4．从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点．若把这个n边形分割成6个三角形，则n的值是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
5．设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是( )
A．a>b B．a＝b
C．a<b D．b＝a＋180°
6．若一个多边形有9条对角线，则这个多边形的边数是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
7．2018·济宁 如图K－19－1，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P的度数为( )
A．50° B．55° C．60° D．65°
图K－19－1
图K－19－2
8．如图K－19－2所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°……照这样走下去，她第一次回到出发地A点时，一共走的路程是( )
A．140米 B．150米
C．160米 D．240米
9．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为( )
A．7 B．7或8
C．8或9 D．7或8或9
二、填空题
10．五边形的内角和是________．
11．2018·怀化 一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是________．
12．学校门口的电动伸缩门能伸缩的几何原理是四边形具有________．
13．若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是________．
14．若n边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引出对角线的条数是________．
15．如图K－19－3，∠1是五边形ABCDE的一个外角．若∠1＝60°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D的度数为________．
图K－19－3
图K－19－4
16．如图K－19－4，在四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN.若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝________°.
三、解答题
17．在四边形ABCD中，∠D＝60°，∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C的度数．
18．如果一个正多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，求这个正多边形的内角和及对角线的总条数.
19．若一个多边形的外角和与内角和之比为2∶9，求这个多边形的边数及内角和.
20．如图K－19－5，五边形ABCDE的内角都相等，DF⊥AB于点F，求∠CDF的度数．
图K－19－5
21．已知n边形的内角和θ＝(n－2)·180°.
(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n；若不对，说明理由．
(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.
请仔细观察下列各辅助线的作法，从图K－19－6中任选一个，证明多边形内角和定理：n边形的内角和等于(n－2)·180°(n为不小于3的整数)．下面已给出已知、求证，请把你选择的方法及证明多边形内角和定理的过程写出来．
图K－19－6
方法一：如图①，在n边形A1A2A3A4A5…An内任取一点O，连接O与各个顶点；
方法二：如图②，作过顶点A1的所有对角线；
方法三：如图③，在n边形的边A1A2上任取一点P(点P与点A1，A2不重合)，连接P与各顶点．
已知：n边形A1A2A3A4A5…An.
求证：n边形A1A2A3A4A5…An的内角和等于(n－2)·180°(n为不小于3的整数)．
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] C 根据多边形的内角和公式(n－2)·180°，将n＝8代入公式，可知C选项正确．
2．[解析] B 360°÷10＝36°，所以正十边形的每个外角都等于36°.故选B.
3．[答案] C
4．[解析] C 由题意，得n－2＝6，解得n＝8.故选C.
5．[解析] B ∵四边形的内角和等于a，∴a＝(4－2)·180°＝360°.∵五边形的外角和等于b，∴b＝360°，∴a＝b.故选B.
6．[解析] A 设这个多边形有n条边，则＝9，解得n1＝6，n2＝－3(舍去)，故这个多边形的边数为6.故选A.
7．[解析] C ∵在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，∴∠EDC＋∠BCD＝240°.
又∵DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，
∴∠PDC＋∠PCD＝120°，
∴在△CDP中，∠P＝180°－(∠PDC＋∠PCD)＝180°－120°＝60°.
故选C.
8．[解析] B ∵多边形的外角和为360°，而每一个外角均为24°，∴多边形的边数为360°÷24°＝15，∴小华一共走了15×10＝150(米)．故选B.
9．[解析] D 设切去一个角后的多边形为n边形，根据题意，有(n－2)·180°＝1080°，解得n＝8.而一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能(如图)：比原多边形边数多1、与原多边形边数相等、比原多边形边数少1，故原多边形的边数可能为8－1＝7，8，8＋1＝9.故选D.
10．[答案] 540°
[解析] 五边形的内角和是(5－2)·180°＝540°.
11．[答案] 10
[解析] ∵一个多边形的每个外角都等于36°，
∴多边形的边数为360°÷36°＝10.
12．[答案] 不稳定性
13．[答案] 8
[解析] 设这个多边形的边数是n，则(n－2)·180°＝3×360°，解得n＝8.
14．[答案] 6
[解析] 由多边形内角和公式知(n－2)·180°＝1260°，解得n＝9.所以从一个顶点出发引出的对角线条数是n－3＝6.
15．[答案] 420°
[解析] ∵∠1＝60°，
∴∠AED＝120°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝540°－∠AED＝420°.
16．[答案] 95
[解析] ∵MF∥AD，FN∥DC，
∴∠BMF＝∠A＝100°，∠BNF＝∠C＝70°.
∵△BMN沿MN翻折得△FMN，
∴∠BMN＝∠BMF＝×100°＝50°，∠BNM＝∠BNF＝×70°＝35°.
在△BMN中，∠B＝180°－(∠BMN＋∠BNM)＝180°－(50°＋35°)＝180°－85°＝95°.故答案为95.
17．解： 设∠A＝x，则∠B＝x＋20°，∠C＝2x.
由四边形的内角和为360°，得x＋(x＋20°)＋2x＋60°＝360°，解得x＝70°.
∴∠A＝70°，∠B＝90°，∠C＝140°.
18．解：设这个正多边形每个外角的度数为x°，根据题意，得x°＋4x°＋30°＝180°，解得x＝30.360°÷30°＝12，
∴这个正多边形的边数为12.
则这个正多边形的内角和为(12－2)×180°＝1800°，对角线的总条数为＝54.
答：这个正多边形的内角和为1800°，对角线的总条数为54.
19．解：∵任何一个多边形的外角和都等于360°，
这个多边形外角和与内角和的比为2∶9，
∴这个多边形的内角和等于360°÷2×9＝1620°.
设这个多边形的边数是n，
则(n－2)×180°＝1620°，
∴n＝11.
故这个多边形的边数为11，内角和为1620°.
20．解：∵五边形ABCDE的内角都相等，
∴∠C＝∠B＝180°×(5－2)÷5＝108°.
∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°，
∴∠CDF＝360°－90°－108°－108°＝54°.
21．解：(1)甲的说法对，乙的说法不对．∵θ＝360°，∴(n－2)·180°＝360°，解得n＝4.即内角和为360°的多边形的边数为4.
∵θ＝630°，∴(n－2)·180°＝630°，解得n＝.∵n为整数，∴θ不能取630°.
(2)依题意，得(n－2)·180°＋360°＝(n＋x－2)·180°，解得x＝2.
[素养提升]
证明：答案不唯一．(1)选择图①所示的方法一．在n边形内任取一点O，连接O与各个顶点的线段把n边形分成n个三角形．因为n个三角形的内角和等于n·180°，以点O为公共顶点的n个角的和为360°，所以n边形的内角和为n·180°－360°＝(n－2)·180°(n为不小于3的整数)．
(2)选择图②所示的方法二．作过顶点A1的所有对角线．因为过n边形A1A2A3A4A5…An的顶点A1的所有对角线把n边形分成了(n－2)个三角形，且三角形的内角和为180°，所以n边形A1A2A3A4A5…An的内角和为(n－2)·180°(n为不小于3的整数)．
(3)选择图③所示的方法三．在A1A2上任取一点P(点P与点A1，A2不重合)，连接P与各顶点的所有线段把n边形分成(n－1)个三角形，所以这(n－1)个三角形的内角和为(n－1)·180°.又因为点P在A1A2上，以点P为顶点的所有角的和为180°，所以n边形的内角和为(n－1)·180°－180°＝(n－2)·180°(n为不小于3的整数)．
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