资源描述
2009年普通高等学校全国统一考试(江苏卷)
数学学科全解全析学
科网09高考全解全析09高考09高考全解全析编委会
【试卷总体评价】本试卷难度适中,覆盖了考纲要求的主体内容,试卷的创新性高,第14题立意新颖,考查了学生利用数学知识解决实际问题的能力。第19题,紧跟社会实际的试题背景,突出考查主干知识和基本数学思想,突出在知识网络交汇处设计试题,强调知识的综合性。其他的题型也都很固定,没有出现偏题怪题,应该说,本次高考题的难度,区分度都非常恰当.整个试题稳中求变,稳中求“活”。注重基础,注重素质。注重考察学生对知识的灵活应用,注重对学生数学素养的考察,注重对学生分析问题和解决问题的考察。
体现新课标理念,实现平稳过渡。试卷紧扣江苏考试大纲,新增内容的考查主要是对基本概念、基本公式、基本运算的考查,难度不大。对传统内容的考查在保持平稳的基础上进行了适度创新。关注通性通法。试卷淡化了特殊的技巧,全面考查通性通法,体现了以知识为载体,以方法为依托,以能力考查为目的的命题要求。体现数学应用,关注社会生活。第19题以“满意度”学生都熟悉的内容为背景,体现试卷设计问题背景的公平性,对推动数学教学中关注身边的数学起到良好的导向。附加题部分,前四道选做题对知识点的考查单一,方法清晰,学生入手较易。两道必做题对数学符号、数学语言以及数学思想方法有较高的要求,相对较难。
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共4页,包含填空题(第1题——第14题)、解答题(第15题——第20题)。本卷满分160分,考试时间为120分钟。考试结束后,请将本卷和答题卡一并交回。
2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效。作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整,笔迹清楚。
5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。
6.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损。
参考公式:
样本数据的方差
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.学科
5.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2
6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习,每人投10次,投中的次数如下表:
学生
1号
2号
3号
4号
5号
甲班
6
7
7
8
7
乙班
6
7
6
7
9
8.在平面上,若两个正三角形的边长的比为1:2,则它们的面积比为1:4,类似地,在空间,若两10.已知,函数,若实数满足,则的大小关系为 ★ .
【答案】m<n
【解析】因为,指数函数为单调减函数,由,则m<n.
【考点定位】本题考查指数函数的单调性,当底数时,函数是单调减函数。
11.已知集合,,若则实数的取值范围是, 13.如图,在平面直角坐标系中,为椭圆的四个顶点,为其右焦点,直线与直线相交于点T,线段与椭圆的交点恰为线段的中点,则该椭圆的离心率为 ★ .
x
y
A1
B2
A2
O
T
M
·
·
14.设是公比为的等比数列,,令若数列有连续四项在集合中,则 ★
二、解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
设向量
(1)若与垂直,求的值;
(2)求的最大值;
(3)若,求证:∥.
16.(本小题满分14分)
如图,在直三棱柱中,分别是的中点,点在上,
A
B
C
A1
B1
C1
E
F
D
求证:(1)∥
(2)
17.(本小题满分14分)
设是公差不为零的等差数列,为其前项和,满足
(1)求数列的通项公式及前项和;
(2)试求所有的正整数,使得为数列中的项.
18.(本小题满分16分)
在平面直角坐标系中,已知圆和圆学
(1)若直线过点,且被圆截得的弦长为,求直线的方程;
(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂的直线,它们分别与圆和圆相交,且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.
x
y
O
1
1
.
.
【答案】(1) 或,
(2)P在以C1C2的中垂线上,且与C1、C2等腰直角三角形,利用几何关系计算可得点P坐标为或。
故有:,
19.(本小题满分16分)
按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为元,如果他卖出该产品的单价为元,则他的满意度为;如果他买进该产品的单价为元,则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和,则他对这两种交易的综合满意度为.
现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元,乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元,设产品A、B的单价分别为元和元,甲买进A与卖出B的综合满意度为,乙卖出A与买进B的综合满意度为.
(1) 求和关于、的表达式;当时,求证:=;
(2) 设,当、分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满意度为多少?
(3) 记(2)中最大的综合满意度为,试问能否适当选取、的值,使得和同时成立,但等号不同时成立?试说明理由。
综上,不存在满足条件的、的值.
【考点定位】本小题主要考查函数的应用、不等式等基础知识,考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力。这是一道新信息题,主要考查我们对新知识的阅读和理解能力,解决的关键是通过阅读题意,明确所给出新概念的本质意义,再转化为具体的问题解决.
20.(本小题满分16分)
设为实数,函数.
(1) (1)若,求的取值范围;
(2) (2)求的最小值;
(3) (3)设函数,直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解
(4)
·
·
21、[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分。解答时
应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
A、选修4-1:几何证明选讲
如图,四边形ABCD中,.求证:AB//CD
C、选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线C的参数方程为 (t为参数,t>0)。
【答案】
【解析】因为,所以,故曲线C的普通方程为:
【考点定位】本题主要考查参数方程和普通方程的基本知识,考查转化问题的能力。
D、选修4-5:不等式选讲
设,求证:
922.(本题满分10分)
在平面直接坐标系xoy中,抛物线C的顶点在原点,经过点A(2,2),其焦点F在x轴上。
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)求过点F,且与直线OA垂直的直线方程;
(3)设过点M(m,0)(m>0)的直线交抛物线C于D,E两点,ME=2DE,记D和E两点间的距离为f(m),求f(m)关于m的表达式。
【答案】(1) (2)
【解析】(1)由题意,可设抛物线C的标准方程为.因为点A(2,2)在抛物线C上,所以p=1.
923.(本题满分10分)
对于正整数,用表示关于x的一元二次方程有实数根是有序数组(a,b)
的组数,其中a,b对于随机选取的a,b,记为关于x的一元二次方程有实数根的概率。
(1)求及;
(2)求证:对任意正整数,有。
高考真题第14页(共14页)
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