广东省深圳市2018-2019学年高三第二次(4月)调研考试数学(文)试题.doc

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深圳市2018-2019学年高三年级第二次调研考试
数学（文科）
第Ⅰ卷（共60分）最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.设为虚数单位，则复数（ ）
A． B． C． D．
3.袋中装有外形相同的四个小球，四个球上分别标有2,3,4,6四个数，现从袋中随机取出两个球，则两球上数字之差的绝对值不小于2的概率为（ ）
A． B． C． D．
4.如图，在三棱柱中，侧棱底面，且是正三角形，若点是上底面内的任意一点，则三棱锥的正视图与侧视图的面积之比为（ ）
（注：以垂直于平面的方向为正视图方向）

A． B． C． D．
5.设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
6.九连环是我国一种传统的智力玩具，其构造如图：

要将9个圆环全部从框架上解下（或套上），无论是那种情形，都需要遵循一定的规则．解下（或套上）全部9个圆环所需的最少移动次数可由如图所示的程序框图得到，执行该程序框图，则输出结果为（ ）

A． B． C． D．
7.设函数，若曲线在点处的切线经过坐标原点，则（ ）
A． B． C． D．
8.设为双曲线：（，）的右焦点，是双曲线右支上一点，且满足，线段的垂直平分线经过坐标原点，设是线段的中点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9.已知，则函数为（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既非奇函数也非偶函数
10.已知直线经过不等式组所表示的平面区域，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11.如图，在矩形中，，，、分别为边、的中点，为和的交点，则以、为长轴端点，且经过的椭圆的标准方程为（ ）

A． B． C． D．
12.对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量，，若，则 ．
14.在中，，，，以为轴将旋转一周，所得几何体的外接球的表面积为 ．
15.已知数列是一个各项均为正数的等比数列，且，若，则数列的前2018项的和为 ．
16.如图，，为某市的两个旅游中心，海岸线可看做一条直线，且与所在直线平行，现计划将两个旅游中心与海岸线连接起来，由于地势原因，需在以为直径的半圆上选定一点，修建，，三段公路，其中，，两平行直线与之间的距离为，公路和段的造价均为6千万元/，公路段的造价为5千万元/，为便于筹备充足资金，需要计算该项工程的最大预算，根据以上信息，这三段公路总造价的最大值为 千万．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在中，记内角，，所对的边分别为，，，已知为锐角，且．
（1）求角；
（2）若，延长线段至点，使得，且的面积为，求线段的长度．
18.耐盐碱水稻俗称“海水稻”，是一种可以长在滩涂和盐碱地的水稻．海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉．某试验基地为了研究海水浓度（‰）对亩产量（吨）的影响，通过在试验田的种植实验，测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表：
绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量与海水浓度之间的相关关系，用最小二乘法计算得与之间的线性回归方程为．
（1）求，并估计当浇灌海水浓度为8‰时该品种的亩产量；
（2）（i）完成下列残差表：

（ii）统计学中常用相关指数来刻画回归效果，越大，模型拟合效果越好，如假设，就说明预报变量的差异有是由解释变量引起的．请计算相关指数（精确到0.01），并指出亩产量的变化多大程度上是由浇灌海水浓度引起的？
（附：残差公式，相关指数）
19.在四棱锥中，侧棱底面，，，是的中点，在线段上，且，已知，．　

（1）证明：平面；
（2）将过，，三点的平面与侧棱的交点记为，
（i）确定点的位置，并说明理由；
（ii）求四棱锥的体积．
20.直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于，两点，抛物线在，两点处的切线分别与轴交于点，．
（1）证明：；
（2）记和的面积分别为和，求的最小值．
21.设函数，其中为自然对数的底数．
（1）若，求的单调区间；
（2）若，求证：无零点．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），圆的参数方程为（为参数），圆的参数方程为（为参数）．若直线分别与圆和圆交于不同于原点的点和．
（1）以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求圆和圆的极坐标方程；
（2）求的面积．
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数，．
（1）求不等式的解集；
（2）若恒成立，求的取值范围．

深圳市2018年高三年级第二次调研考试数学（文科）答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12：
二、填空题
13. 14. 15.1009 16.222
三、解答题
17.解：（1）由正弦定理可知：，
∴，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，，
∴，即，
∴．
（2）设，，
∴，，
∴，，，
∴，即．①
在中，由余弦定理可得，即．②
联立①②可解得，即．
18.解：（1）经计算，，，
由可得，，
当时，，
所以当海水浓度为8‰时，该品种的亩产量为0.24吨．
（2）（ii）由（1）知，从而有

（ii），
所以亩产量的变化有是由海水引起的．
19.（1）证明：取的中点，连接，．　
∴，，，，
∴，，即四边形为平行四边形，
∴．　
∴，是的中点，
∴，
∴平面，
∴，
∴，，
∴平面，
∴，
∵，
∴平面，即平面.

（2）解：（i）∵为的中点，
∴，，，∴，
又∵平面，平面平面，
∴，
∵为的中点，
∴是的中点．
（ii）由（1）知，，
∴，
∵，，
∴，
∴梯形的面积．
设点到平面的距离为，则由，可得，
即，故，
∴．

20.解：（1）不妨设，，其中，，
由导数知识可知，抛物线在点处的切线的斜率，
则切线的方程为，令，可得，
∵，∴直线的斜率，
∴，∴．
（2）由（1）可知，
其中，，
∴，同理可得．
∴．
设直线的方程为，联立方程可得，
∴，
∴，
∴，当且仅当时，等号成立，
∴的最小值为1．
21.解：（1）若，则，
∴．
令，则，
当时，，即单调递增，
又，
∴当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增．
∴的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）当时，显然成立．
当时，
（i）当时，，，显然成立．
（ii）当时，易证：，
∴，
∴．
综上，恒成立，
∴没有零点．
22.解：（1）由题意可知，圆的直角坐标方程为，即，
∴极坐标方程为，
由题意可知，圆的直角坐标方程为，即，
∴极坐标方程为．
（2）直线的极坐标方程为（），
∵直线与圆，交于不同于原点的点，，
∴，，
∴，
又点到直线的距离为，
∴，
∴的面积为．
23.解：（1）由题意可知，，
①当时，原式可化为，即或，∴；
②当时，原式可化为，即或，∴无解；
③当时，原式可化为，即或，∴；
综上所述，．
（2）由题意可知，，
当时，等号成立，
又，当且仅当时，等号成立，
令，当时，取到最小值为，
由题意可知，故．