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求函数值域（最值）的方法大全
函数是中学数学的一个重点,而函数值域(最值)的求解方法更是一个常考点, 对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，因此能熟练掌握其值域(最值)求法就显得十分的重要，求解过程中若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文旨在通过对典型例题的讲解来归纳函数值域(最值)的求法，希望对大家有所帮助。
一、值域的概念和常见函数的值域
函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域.
常见函数的值域：
一次函数的值域为R.
二次函数，当时的值域为，当时的值域为.，
反比例函数的值域为.
指数函数的值域为.
对数函数的值域为R.
正，余弦函数的值域为，正，余切函数的值域为R.
二、求函数值域（最值）的常用方法
1. 直接观察法
适用类型：根据函数图象.性质能较容易得出值域(最值)的简单函数
　　　 　例1、求函数y=的值域
　　 解： 显然函数的值域是：
　例2、求函数y=2－的值域。
解： ≥0 －≤0 2－≤2
故函数的值域是：[-∞，2]

2、配方法
适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。对于形如或类的函数的值域问题，均可用配方法求解.
例3、求函数y=-2x+5，x[-1，2]的值域。
解：将函数配方得：y=（x-1）+4，x[-1，2]，由二次函数的性质可知：
当x=1时，y =4
当x=-1，时=8
故函数的值域是：[4，8]
例4、求函数的值域：
解：设，则原函数可化为：.又因为，所以，故，，所以，的值域为.

3、判别式法
适用类型：分子.分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为的形式，再利用判别式加以判断。
例5、求函数的值域
解：恒成立，函数的定义域为R.
由 得 。
① 当即时，；
② 当即时，时，方程恒有实根. 且.
原函数的值域为.
例6、 求函数y=x+的值域。
解：两边平方整理得：2-2（y+1）x+y=0（1）
xR，△=4（y+1）-8y≥0
解得：1-≤y≤1+
但此时的函数的定义域由x（2-x）≥0，得：0≤x≤2。
由△≥0，仅保证关于x的方程：2-2（y+1）x+y=0在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由△≥0求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为[，]。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
0≤x≤2，y=x+≥0，
=0，y=1+代入方程（1），解得：=[0，2]，即当=时，原函数的值域为：[0，1+]。
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4、反函数法
适用类型：分子.分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型),也可用于其它易反解出自变量的函数类型。
例7、求函数的值域。
分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出x,从而便于求出反函数。
反解得 即
知识回顾：反函数的定义域即是原函数的值域。
故函数的值域为：。

5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
适用类型：一般用于三角函数型，即利用等。
例8、求函数y=的值域。
解：由原函数式可得：=
＞0，＞0
解得：-1＜y＜1。
故所求函数的值域为(-1,1).
例9、求函数y=的值域。
解：由原函数式可得：ysinx-cosx=3y
可化为：sinx（x+β）=3y
即 sinx（x+β）=
∵x∈R，∴sinx（x+β）∈[-1，1]。即-1≤≤1
解得：-≤y≤ 故函数的值域为[-，]。

6、函数单调性法
适用类型：一般能用于求复合函数的值域或最值。（原理：同增异减）
例10、求函数的值域。
分析与解：由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令：配方得：由复合函数的单调性（同增异减）知：。
例11、 求函数y= （2≤x≤10）的值域
解：令y=，=，则 y ，在[2，10]上都是增函数。
　所以y= y +在[2，10]上是增函数。
　当x=2时，y =+=，
　　 当x=10时，= +=33。
故所求函数的值域为：[，33]。
例12、求函数y=-的值域。
解：原函数可化为： y=
令y =，= ，显然y，在[1，+∞）上为无上界的增函数，所以y= y +在[1，+∞）上也为无上界的增函数。
所以当x=1时，y=y +有最小值，原函数有最大值=。
显然y＞0，故原函数的值域为(0,]。

7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。
适用类型:无理函数、三角函数（用三角代换）等。
例13、求函数y=x+的值域。
解：令x-1=t，（t≥0）则x=+1
∵y=+t+1=+，又t≥0，由二次函数的性质可知
当t=0时，y=1，当t→0时，y→+∞。
故函数的值域为[1，+∞）。
例14、求函数y=x+2+的值域
解：因1-≥0，即≤1
故可令x+1=cosβ，β∈[0，∏]。
∴y=cosβ+1+=sinβ+cosβ+1 =sin（β+∏/4）+1
∵0≤β≤∏，0≤β+∏/4≤5∏/4
∴ -≤sin（β+∏/4）≤1
∴ 0≤sin（β+∏/4）+1≤1+。
故所求函数的值域为[0，1+]。
例15、求函数 y=的值域
解：原函数可变形为：y=-
可令x=tgβ，则有=sin2β，=cos2β
∴y=-sin2β cos2β=-sin4β
当β=k∏/2-∏/8时，=。
当β=k∏/2+∏/8时，y=-
而此时tgβ有意义。
故所求函数的值域为[-，]。
例16、求函数y=（sinx+1）（cosx+1），x∈[-∏/12∏/2]的值域。
解：y=（sinx+1）（cosx+1）=sinxcosx+sinx+cosx+1
令sinx+cosx=t，则sinxcosx=（-1）
y=（-1）+t+1=
由t=sinx+cosx=sin（x+∏/4）且x∈[-∏/12，∏/2]
可得：≤t≤
∴当t=时，=+，当t=时，y=+
故所求函数的值域为[+，+]。
例17、求函数y=x+4+的值域
解：由5-x≥0，可得∣x∣≤
故可令x=cosβ，β∈[0，∏]
y=cosβ+4+sinβ=sin（β+∏/4）+4
∵0≤β≤∏， ∴ ∏/4≤β+∏/4≤5∏/4
当β=∏/4时，=4+，当β=∏时，y=4-。
故所求函数的值域为：[4-，4+]。

8 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
适用类型:函数本身可和其几何意义相联系的函数类型.
例18、求函数y=+的值域。
解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣
上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。
由上图可知：当点P在线段AB上时，
y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，
y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10
故所求函数的值域为：[10，+∞）
例19、求函数y=+ 的值域
解：原函数可变形为：y=+

上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2，-1）的距离之和，
由图可知当点P为线段与x轴的交点时， y=∣AB∣==，
故所求函数的值域为[，+∞）。
例20、求函数y=-的值域
解：将函数变形为：y=-

上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B（-2，1）到点P（x，0）的距离之差。即：y=∣AP∣-∣BP∣
由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P¹，则构成△ABP¹，根据三角形两边之差小于第三边，
有 ∣∣AP¹∣-∣BP¹∣∣＜∣AB∣==
即：-＜y＜
（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有
∣∣AP∣-∣BP∣∣=∣AB∣= 。
综上所述，可知函数的值域为：（-，-]。 注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A，B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点A，B在x轴的同侧。
如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），（-2，-1），在x轴的同侧；
例18的A，B两点坐标分别为：（3，2），（2，-1），在x轴的同侧。
例21、求函数的值域.
分析与解:看到该函数的形式,我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式,将原函数视为定点(2,3)到动点的斜率,又知动点满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点（2，3）到单位圆连线的斜率问题,作出图形观察易得的最值在直线B
x
和圆上点的连线和圆相切时取得,从而解得:

9 、不等式法
适用类型：能利用几个重要不等式及推论来求得最值。（如：）
其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例22、 求函y=（sinx+1/sinx）+（cosx+1/cosx）的值域
解：原函数变形为：
y=（+）+1/+1/
=1+ +=3++
≥3+2 =5
当且仅当tgx=ctgx，即当x=k∏±∏/4时（k∈z），等号成立。
故原函数的值域为：[5，+∞）。
例23、求函数y=2sinxsin2x的值域
解：y=2sinxsinxcosx=4cosx
=16
=8（2-2）
≤8（++2- ）
=8[（++2- ）/3]
=
当且当=2-2，即当=时，等号成立。
由≤，可得：-≤y≤
故原函数的值域为：[-，）。
例24、当时，求函数的最值，并指出取最值时的值。
分析与解：因为可利用不等式即：所以当且仅当即时取”=”当时取得最小值12。
例25、双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是（ ）。
A B 4 C 2 D
分析与解：根据双曲线的离心率公式易得：，我们知道所以（当且仅当时取“=”）而故（当且仅当时取“=”）。

10、导数法
设函数在上连续，在上可导，则在上的最大值和最小值为在内的各极值与，中的最大值与最小值。
要求三次及三次以上的函数的最值,以及利用其他方法很难求的函数似的最值,通常都用该方法。导数法往往就是最简便的方法,应该引起足够重视。
例26、求函数,的最大值和最小值。
解: ,令,方程无解.
函数在上是增函数.
故当时, ，当时,
例27、求函数的最值.
解析: 函数是定义在一个开区间上的可导函数,
令
得的唯一驻点即为最点.
时，，函数递增,
时，，函数递减,
故有最大值.
【说明】 本函数是二次函数的复合函数，用配方法求最值也很简便.
,等号成立条件是.
注：最值寻根的导数判定
若定义在一个开区间上的函数有导函数存在，那么是否有最值的问题可转化为的导函数是否有最根的问题来研究：
（1）若导函数无根，即，则无最值；
（2）若导函数有唯一的根，即，则有最值.此时，导函数的根即是函数最根.
（3）若导函数有多个的根，则应从多个驻点中依次判定极点、最点的存在性.

11、多种方法综合运用
例28、求函数y=的值域
解：令t= （t≥0），则x+3=+1
（1） 当t＞0时，y==≤， 当且仅当t=1，即x=-1时取等号
所以0＜y≤。
（2） 当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为：[0，]。
注：先换元，后用不等式法。
例29、求函数y=的值域。
解：y=+=+
令x=tg，则=，=sin，
∴y=+sin=-+ sin+1
=-+
∴当sin=时，=。当sin=-1时，y=-2。
此时tg都存在，故函数的值域为：［－2，］。
注：此题先用换元法。后用配方法，然后再运用sin的有界性。
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

学生巩固练习
1 函数y=x2+ (x≤－)的值域是( )
A(－∞,－ B［－,+∞　C［,+∞　D(－∞,－］
2 函数y=x+的值域是( )[来源:学+科+网Z+X+X+K]
A (－∞,1 B (－∞,－1　　　C R D ［1,+∞
3 一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车间距离不得小于()2千米 ，那么这批物资全部运到B市，最快需要_________小时(不计货车的车身长)
4 设x1、x2为方程4x2－4mx+m+2=0的两个实根，当m=_________时，x12+x22有最小值_________
5 某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)=5x－x2(万元)(0≤x≤5),其中x是产品售出的数量(单位 百台)
(1)把利润表示为年产量的函数；
(2)年产量多少时，企业所得的利润最大？
(3)年产量多少时，企业才不亏本？
6 已知函数f(x)=lg［(a2－1)x2+(a+1)x+1］[来源:学科网]
(1)若f(x)的定义域为(－∞,+∞)，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域为(－∞,+∞),求实数a的取值范围
7 某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台 已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表
家电名称
空调器
彩电
冰箱
工时

产值(千元)
4
3
2
问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？(以千元为单位)
8 在Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB所在直线为轴将△ABC旋转一周生成两个圆锥，设这两个圆锥的侧面积之积为S1，△ABC的内切圆面积为S2，记=x
(1)求函数f(x)=的解析式并求f(x)的定义域
(2)求函数f(x)的最小值

参考答案
1 解析 ∵m1=x2在(－∞,－）上是减函数，m2=在(－∞,－）上是减函数，∴y=x2+在x∈(－∞,－)上为减函数,
∴y=x2+ (x≤－)的值域为［－，+∞
答案 B
2 解析 令=t(t≥0),则x=
∵y=+t=－ (t－1)2+1≤1
∴值域为(－∞,1
答案 A
3 解析 t=+16×()2/V=+≥2=8
答案 8
4 解析 由韦达定理知 x1+x2=m,x1x2=,[来源:Zxxk.Com]
∴x12+x22=(x1+x2)2－2x1x2=m2－=(m－)2－,
又x1,x2为实根，∴Δ≥0 ∴m≤－1或m≥2，
y=(m－)2－在区间(－∞,1）上是减函数，在［2，+∞上是增函数，又抛物线y开口向上且以m=为对称轴 故m=1时，
ymin=
答案 －1
5 解 (1）利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入R(x)与其总成本C(x)之差，由题意，当x≤5时，产品能全部售出，当x>5时，只能销售500台，所以
y=
(2）在0≤x≤5时，y=－x2+4 75x－0 5,当x=－=4 75(百台）时，ymax=10 78125(万元），当x>5(百台）时，y＜12－0 25×5=10 75(万元），
所以当生产475台时，利润最大 
(3）要使企业不亏本，即要求
解得5≥x≥4 75－≈0 1(百台）或5＜x＜48(百台）时，即企业年产量在10台到4800台之间时，企业不亏本
6 解 (1）依题意(a2－1）x2+(a+1)x+1>0对一切x∈R恒成立，当a2－1≠0时，其充要条件是，
∴a＜－1或a>
又a=－1时，f(x)=0满足题意，a=1时不合题意
故a≤－1或a>为所求
(2）依题意只要t=(a2－1)x2+(a+1)x+1能取到(0，+∞）上的任何值，则f(x)的值域为R，故有,解得1＜a≤,又当a2－1=0即a=1时，t=2x+1符合题意而a=－1时不合题意，∴1≤a≤为所求
7 解 设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x台、y台、z台，由题意得
x+y+z=360 　　①
　　②
x>0,y>0,z≥60 　　③
假定每周总产值为S千元，则S=4x+3y+2z,在限制条件①②③之下，为求目标函数S的最大值，由①②消去z,得
y=360－3x 　　　　　　　　　　　　④
将④代入①得 x+(360－3x)+z=360,∴z=2x ⑤
∵z≥60,∴x≥30 ⑥
再将④⑤代入S中，得S=4x+3(360－3x)+2·2x,即S=－x+1080
由条件⑥及上式知，当x=30时，产值S最大，最大值为[来源:学§科§网]
S=－30+1080=1050(千元）
得x=30分别代入④和⑤得y=360－90=270,z=2×30=60
∴每周应生产空调器30台，彩电270台，冰箱60台，才能使产值最大，最大产值为1050千元
8 解 (1）如图所示 设BC=a,CA=b,AB=c,则斜边AB上的高h=,
∴S1=πah+πbh=,
∴f(x)= ①
又
代入①消c，得f(x)=
在Rt△ABC中，有a=csinA,b=ccosA(0＜A＜,则
x==sinA+cosA=sin(A+) ∴1＜x≤
(2)f(x)= +6,
设t=x－1,则t∈(0, －1),y=2(t+)+6
在(0，－1上是减函数，
∴当x=(－1)+1=时，f(x)的最小值为6+8