13年华科高等代数考研真题.doc

华科2013年高代真题
一、设阶行列式

(1) 求
(2) 计算,其中表示相应元素的代数余子式。
二、设齐次线性方程组 （1）
（2）
（i）分别给出方程组（1）与（2）的一个基础解系
（ii）给出（1）和（2）的全部公共解。

三、 设是阶幂等矩阵（即）
并且可逆，证明：

四、 设是域上所有n阶矩阵所构成的维线性空间，固定定义映射.
(1) 证明是线性空间的线性变换。
(2) 为对角矩阵，并且，求的核
(3) 令为对角矩阵，取的基

求关于这组基下的矩阵。

五、 设是阶方阵，并且

(1) 证明：对于的任一特征值 ,均有并且1是的特征值.
(2) 若可逆，求的每行之和。

六、 设阶矩阵的个特征值两两不同，
证明：（1）与有相同的特征向量
　　　（2），可对角化

七．设，都是阶实对称矩阵，并且是正定矩阵。
证明：存在可逆矩阵使得，并且是对角矩阵

八．设是欧氏空间的向量，并且
（1）如果证明并且
（2）如果证明，证明
（3）试说明（1）与(2)的几何含义