山东省临沂市蒙阴县2017届中考数学一模试卷(含解析).doc

2017年山东省临沂市蒙阴县中考数学一模试卷
一、选择题
1．如图在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=，则BC等于（　　）

A．45 B．5 C． D．
2．已知⊙0的半径为1，圆心0到直线l的距离为2，过l上任一点A作⊙0的切线，切点为B，则线段AB的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．2
3．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（　　）

A． m B．4 m C．4 m D．8 m
4．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A，B，如果OP=4，PA=2，那么∠APB等于（　　）

A．90° B．100° C．110° D．60°
5．函数y=﹣x2+2（m﹣1）x+m+1的图象如图，它与x轴交于A，B两点，线段OA与OB的比为1：3，则m的值为（　　）

A．或2 B． C．1 D．2
6．如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（　　）

A．π m2 B．π m2 C．π m2 D．π m2
7．某商人将单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，已知这种商品每提高2元，其销量就要减少10件，为了使每天所赚利润最多，该商人应将销售价（为偶数）提高（　　）
A．8元或10元 B．12元 C．8元 D．10元
8．如图，△ABC中，cosB=，sinC=，AC=5，则△ABC的面积是（　　）

A． B．12 C．14 D．21
9．如图，射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从Q出发，沿射线QN以每秒1cm 的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心， cm为半径与△ABC的边相切（切点在边上），则t（单位：秒）可以取的一切值为（　　）

A．t=2 B．3≤t≤7
C．t=8 D．t=2或3≤t≤7或t=8
10．如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是（　　）

A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形
B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC
C．当PO⊥AC时，∠ACP=30°
D．当∠ACP=30°时，△BPC是直角三角形

二、填空题
11．已知锐角A满足关系式2sin2A﹣3sinA+1=0，则sinA的值为　　．
12．若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为　　．
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连结PA，PB．若PB=4，则PA的长为　　．
14．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，若∠CEA=28°，则∠ABD=　　度．

15．如图，已知AB是⊙O的直径，BC为弦，∠ABC=30度．过圆心O作OD⊥BC交BC于点D，连接DC，则∠DCB=　　度．

16．⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，则图中的三个扇形（即阴影部分）的面积之和为　　．

17．如图，抛物线y=x2沿直线y=x向上平移个单位后，顶点在直线y=x上的M处，则平移后抛物线的解析式为　　．

18．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为　　．

三、解答题（共66分）
19．（8分）计算：
（1）﹣sin60°（1﹣cos30°）；
（2）﹣+tan45°．
20．（8分）如图，一大桥的桥拱为抛物线形，跨度AB=50米，拱高（即顶点C到AB的距离）为20米，求桥拱所在抛物线的表达式．

21．（8分）如图所示，体育场内一看台与地面所成夹角为30°，看台最低点A到最高点B的距离为10，A，B两点正前方有垂直于地面的旗杆DE．在A，B两点处用仪器测量旗杆顶端E的仰角分别为60°和15°（仰角即视线与水平线的夹角）
（1）求AE的长；
（2）已知旗杆上有一面旗在离地1米的F点处，这面旗以0.5米/秒的速度匀速上升，求这面旗到达旗杆顶端需要多少秒？

22．（10分）如图，P为正比例函数y=x图象上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为（x，y）．
（1）求⊙P与直线x=2相切时点P的坐标．
（2）请直接写出⊙P与直线x=2相交、相离时x的取值范围．

23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB．
（1）求证：AT是⊙O的切线；
（2）连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC．

24．（12分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x（米），与桌面的高度为y（米），运行时间为t（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：
t（秒）
0
0.16
0.2
0.4
0.6
0.64
0.8
…
X（米）
0
0.4
0.5
1
1.5
1.6
2
…
y（米）
0.25
0.378
0.4
0.45
0.4
0.378
0.25
…
（1）当t为何值时，乒乓球达到最大高度？
（2）乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？
（3）乒乓球落在桌面上弹起后，y与x满足y=a（x﹣3）2+k．
①用含a的代数式表示k；
②球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米．若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A，求a的值．

2017年山东省临沂市蒙阴县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析

一、选择题
1．如图在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=，则BC等于（　　）

A．45 B．5 C． D．
【考点】T7：解直角三角形．
【分析】根据锐角三角函数的概念sinA=，代入已知数据计算即可．
【解答】解：∵sinA=，
∴BC=AB•sinA
=15×
=5，
故选：B．
【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．

2．已知⊙0的半径为1，圆心0到直线l的距离为2，过l上任一点A作⊙0的切线，切点为B，则线段AB的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．2
【考点】MC：切线的性质．
【分析】先连接OB，易知△AOB是直角三角形，再利用勾股定理即可求出AB．
【解答】解：如右图所示，OA⊥l，AB是切线，连接OB，
∵OA⊥l，
∴OA=2，
又∵AB是切线，
∴OB⊥AB，
在Rt△AOB中，AB===．
故选C．

【点评】本题考查了切线的性质、勾股定理．解题的关键是连接OB，构造直角三角形．

3．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（　　）

A． m B．4 m C．4 m D．8 m
【考点】KO：含30度角的直角三角形．
【分析】过C作CM⊥AB于M，求出∠CBM=30°，根据含30度的直角三角形性质求出CM即可．
【解答】解：
过C作CM⊥AB于M
则CM=h，∠CMB=90°，
∵∠ABC=150°，
∴∠CBM=30°，
∴h=CM=BC=4m，
故选B．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形性质的应用，构造直角三角形是解此题的关键所在，题目比较好，难度也不大．

4．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A，B，如果OP=4，PA=2，那么∠APB等于（　　）

A．90° B．100° C．110° D．60°
【考点】MC：切线的性质．
【分析】由切线长定理可得∠AOP=∠BOP．可求得sin∠AOP的值，所以可知∠AOP=60°，从而求得∠AOB的值，进而可求出∠APB的度数．
【解答】解：
∵PA，PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，∠OPA=∠OPB，
∴∠AOP=∠BOP，
∵OP=4，PA=2，
∴sin∠AOP==，
∴∠AOP=60°．
∴∠AOB=120°，
∴∠APB=60°，
故选D．
【点评】本题考查了切线的性质以及三角函数，根据三角函数求得∠AOP的度数是解题的关键．

5．函数y=﹣x2+2（m﹣1）x+m+1的图象如图，它与x轴交于A，B两点，线段OA与OB的比为1：3，则m的值为（　　）

A．或2 B． C．1 D．2
【考点】HA：抛物线与x轴的交点．
【分析】设点A的坐标为（﹣a，0），点B的坐标为（3a，0）然后利用根与系数的关系列出关于m的方程，从而可求得m的值．
【解答】解：设点A的坐标为（﹣a，0），点B的坐标为（3a，0），且a＞0．
由根与系数的关系可知：﹣a+3a=2（m﹣1），﹣a•3a=﹣（m+1），
整理得：a=m﹣1，3a2=m+1
将a=m﹣1代入得：3（m﹣1）2=m+1．
解得：m=2或m=（舍去）．
故选D．
【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，利用根与系数的关系得到关于m的方程是解题关键．

6．如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（　　）

A．π m2 B．π m2 C．π m2 D．π m2
【考点】MO：扇形面积的计算．
【分析】小羊的最大活动区域是一个半径为5、圆心角为90°和一个半径为1、圆心角为60°的小扇形的面积和．所以根据扇形的面积公式即可求得小羊的最大活动范围．
【解答】解：大扇形的圆心角是90度，半径是5，
所以面积==m2；
小扇形的圆心角是180°﹣120°=60°，半径是1m，
则面积==（m2），
则小羊A在草地上的最大活动区域面积=+=π（m2）．
故选D．

【点评】本题考查了扇形的面积的计算，本题的关键是从图中找到小羊的活动区域是由哪几个图形组成的，然后分别计算即可．

7．某商人将单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，已知这种商品每提高2元，其销量就要减少10件，为了使每天所赚利润最多，该商人应将销售价（为偶数）提高（　　）
A．8元或10元 B．12元 C．8元 D．10元
【考点】HE：二次函数的应用．
【分析】每件利润为（x﹣8）元，销售量为（100﹣10×），根据利润=每件利润×销售量，得出销售利润y（元）与售单价x（元）之间的函数关系；再根据函数关系式，利用二次函数的性质求最大利润．
【解答】解：（1）依题意，得y=（x﹣8）•（100﹣10×）=﹣x2+190x﹣1200
=﹣5（x﹣19）2+605，﹣5＜0，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
即当x=19时，y的最大值为605，
∵售价为偶数，
∴x为18或20，
当x=18时，y=600，
当x=20时，y=600，
∴x为18或20时y的值相同，
∴商品提高了18﹣10=8（元）或20﹣10=10（元）
故选A．
【点评】本题考查了二次函数的应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．

8．如图，△ABC中，cosB=，sinC=，AC=5，则△ABC的面积是（　　）

A． B．12 C．14 D．21
【考点】T7：解直角三角形．
【分析】根据已知作出三角形的高线AD，进而得出AD，BD，CD，的长，即可得出三角形的面积．
【解答】解：过点A作AD⊥BC，
∵△ABC中，cosB=，sinC=，AC=5，
∴cosB==，
∴∠B=45°，
∵sinC===，
∴AD=3，
∴CD==4，
∴BD=3，
则△ABC的面积是：×AD×BC=×3×（3+4）=．
故选A．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的知识，作出AD⊥BC，进而得出相关线段的长度是解决问题的关键．

9．如图，射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从Q出发，沿射线QN以每秒1cm 的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心， cm为半径与△ABC的边相切（切点在边上），则t（单位：秒）可以取的一切值为（　　）

A．t=2 B．3≤t≤7
C．t=8 D．t=2或3≤t≤7或t=8
【考点】MC：切线的性质；KK：等边三角形的性质．
【分析】根据⊙Q以每秒2cm的速度向左移动，△ABC也沿射线PN以每秒1cm的速度向左移动，确定⊙Q的相对速度，根据已知条件结合图形，求出t可取的一切值．
【解答】解：⊙Q以每秒2cm的速度向左移动，△ABC也沿射线PN以每秒1cm的速度向左移动，
相当于△ABC静止，Q以每秒1cm的速度向左移动，
①当⊙Q与AC相切时，因为半径为，所以QF=2，
则PQ=2，即t=2，
②作CD⊥PN，BH⊥PN，
∵BE=2，
∴BH=，HE=1，
同理CD=，DF=1，
∴当⊙Q在由D到H的过程中与BC相切，此时3≤t≤7，
③当⊙Q与AB相切时，因为半径为，所以GE=2，即t=8，
综上所述，t=2或3≤t≤7或t=8．
故选：D．

【点评】本题考查的是切线的性质，等边三角形的性质，能够分析出所有相切的情形是解题的关键，解答过程中注意圆心到直线距离与圆的半径相等时，直线与圆相切．

10．如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是（　　）

A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形
B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC
C．当PO⊥AC时，∠ACP=30°
D．当∠ACP=30°时，△BPC是直角三角形
【考点】MA：三角形的外接圆与外心；KK：等边三角形的性质；M2：垂径定理；M5：圆周角定理．
【分析】根据直径是圆中最长的弦，可知当弦PB最长时，PB为⊙O的直径，由圆周角定理得出∠BAP=90°，再根据等边三角形的性质及圆周角定理得出AP=CP，则△APC是等腰三角形，判断A正确；
当△APC是等腰三角形时，分三种情况：①PA=PC；②AP=AC；③CP=CA；确定点P的位置后，根据等边三角形的性质即可得出PO⊥AC，判断B正确；
当PO⊥AC时，由垂径定理得出PO是AC的垂直平分线，点P或者在图1中的位置，或者与点B重合．如果点P在图1中的位置，∠ACP=30°；如果点P在B点的位置，∠ACP=60°；判断C错误；
当∠ACP=30°时，点P或者在P1的位置，或者在P2的位置．如果点P在P1的位置，易求∠BCP1=90°，△BP1C是直角三角形；如果点P在P2的位置，易求∠CBP2=90°，△BP2C是直角三角形；判断D正确．
【解答】解：A、如图1，当弦PB最长时，PB为⊙O的直径，则∠BAP=90°．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，AB=BC=CA，
∵点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，BP是直径，
∴BP⊥AC，
∴∠ABP=∠CBP=∠ABC=30°，
∴AP=CP，
∴△APC是等腰三角形，
故本选项正确，不符合题意；
B、当△APC是等腰三角形时，分三种情况：
①如果PA=PC，那么点P在AC的垂直平分线上，则点P或者在图1中的位置，或者与点B重合（如图2），所以PO⊥AC，正确；
②如果AP=AC，那么点P与点B重合，所以PO⊥AC，正确；
③如果CP=CA，那么点P与点B重合，所以PO⊥AC，正确；
故本选项正确，不符合题意；
C、当PO⊥AC时，PO平分AC，则PO是AC的垂直平分线，点P或者在图1中的位置，或者与点B重合．
如果点P在图1中的位置，∠ACP=30°；
如果点P在B点的位置，∠ACP=60°；
故本选项错误，符合题意；
D、当∠ACP=30°时，点P或者在P1的位置，或者在P2的位置，如图3．
如果点P在P1的位置，∠BCP1=∠BCA+∠ACP1=60°+30°=90°，△BP1C是直角三角形；
如果点P在P2的位置，∵∠ACP2=30°，
∴∠ABP2=∠ACP2=30°，
∴∠CBP2=∠ABC+∠ABP2=60°+30°=90°，△BP2C是直角三角形；
故本选项正确，不符合题意．
故选：C．

【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，难度适中，利用数形结合、分类讨论是解题的关键．

二、填空题
11．已知锐角A满足关系式2sin2A﹣3sinA+1=0，则sinA的值为　　．
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；T1：锐角三角函数的定义．
【分析】设sinA=x，利用换元法即可求出x的值．
【解答】解：设sinA=x，
∴2x2﹣3x+1=0，
∴（2x﹣1）（x﹣1）=0，
∴x=，x=1（舍去）
∴sinA=x=，
故答案为：
【点评】本题考查一元二次方程的综合问题，解题的关键是利用换元法设sinA=x，本题属于中等题型．

12．若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为　y=﹣x2+4x﹣3　．
【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式．
【分析】设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1，将点B（1，0）代入解析式即可求出a的值，从而得到二次函数解析式．
【解答】解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1，
将B（1，0）代入y=a（x﹣2）2+1得，
a=﹣1，
函数解析式为y=﹣（x﹣2）2+1，
展开得y=﹣x2+4x﹣3．
故答案为y=﹣x2+4x﹣3．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，知道二次函数的顶点式是解题的关键．

13．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连结PA，PB．若PB=4，则PA的长为　3或　．
【考点】M8：点与圆的位置关系；KQ：勾股定理；M2：垂径定理．
【分析】连结CP，PB的延长线交⊙C于P′，如图，先计算出CB2+PB2=CP2，则根据勾股定理的逆定理得∠CBP=90°，再根据垂径定理得到PB=P′B=4，接着证明四边形ACBP为矩形，则PA=BC=3，然后在Rt△APP′中利用勾股定理计算出P′A=，从而得到满足条件的PA的长为3或．
【解答】解：连结CP，PB的延长线交⊙C于P′，如图，
∵CP=5，CB=3，PB=4，
∴CB2+PB2=CP2，
∴△CPB为直角三角形，∠CBP=90°，
∴CB⊥PB，
∴PB=P′B=4，
∵∠C=90°，
∴PB∥AC，
而PB=AC=4，
∴四边形ACBP为矩形，
∴PA=BC=3，
在Rt△APP′中，∵PA=3，PP′=8，
∴P′A==，
∴PA的长为3或．
故答案为3或．

【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了垂径定理和勾股定理．

14．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，若∠CEA=28°，则∠ABD=　28　度．

【考点】M2：垂径定理；M5：圆周角定理．
【分析】本题关键是理清弧的关系，找出等弧，则可根据“同圆中等弧对等角”求解．
【解答】解：由垂径定理可知，又根据在同圆或等圆中相等的弧所对的圆周角也相等的性质可知∠ABD=∠CEA=28度．
故答案为：28．
【点评】本题综合考查了垂径定理和圆周角的求法及性质．解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．

15．如图，已知AB是⊙O的直径，BC为弦，∠ABC=30度．过圆心O作OD⊥BC交BC于点D，连接DC，则∠DCB=　30　度．

【考点】M5：圆周角定理；M2：垂径定理．
【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出∠BOD，再根据圆周角定理∠DCB=∠BOD．
【解答】解：∵OD⊥BC交弧BC于点D，∠ABC=30°，
∴∠BOD=90°﹣∠ABC=90°﹣30°=60°，
∴∠DCB=∠BOD=30°．
【点评】本题的关键是利用直角三角形两锐角互余和圆周角定理．

16．⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，则图中的三个扇形（即阴影部分）的面积之和为　cm2　．

【考点】MO：扇形面积的计算．
【分析】由于三角形的内角和为180度，所以三个阴影扇形的圆心角的和为180°，由于它们的半径都为0.5cm，因此可根据扇形的面积公式直接求出三个扇形的面积和．
【解答】解：S阴影==cm2．
故答案为cm2．
【点评】本题利用了三角形内角和定理，扇形的面积公式求解．

17．如图，抛物线y=x2沿直线y=x向上平移个单位后，顶点在直线y=x上的M处，则平移后抛物线的解析式为　y=（x﹣1）2+1　．

【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
【分析】根据抛物线y=x2沿直线y=x向上平移个单位后，顶点在直线y=x上，可得抛物线向右平移1个单位，向上平移一个单位，可得答案．
【解答】解：抛物线y=x2沿直线y=x向上平移个单位后，顶点在直线y=x上的M处，则平移后抛物线的解析式为y=（x﹣1）2+1，
故答案为：y=（x﹣1）2+1．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律是右减左加，上加下减．

18．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为　　．

【考点】M2：垂径定理；P2：轴对称的性质．
【分析】A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值
【解答】解：连接OB，OC，作CH垂直AB于H．
根据垂径定理，得到BE=AB=4，CF=CD=3，
∴OE===3，
OF===4，
∴CH=OE+OF=3+4=7，
BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，
在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=7，
则PA+PC的最小值为．
故答案为：

【点评】正确理解BC的长是PA+PC的最小值，是解决本题的关键．

三、解答题（共66分）
19．计算：
（1）﹣sin60°（1﹣cos30°）；
（2）﹣+tan45°．
【考点】2C：实数的运算；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
（2）原式利用特殊角的三角函数值，以及二次根式性质计算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式=﹣×（1﹣）=+﹣+=1+﹣；
（2）原式=﹣2++1=3+﹣2++1=2++．
【点评】此题考查了实数的运算，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．如图，一大桥的桥拱为抛物线形，跨度AB=50米，拱高（即顶点C到AB的距离）为20米，求桥拱所在抛物线的表达式．

【考点】HE：二次函数的应用．
【分析】根据题意，可得顶点坐标，A点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式．
【解答】解：由题意，得
C点坐标为（25，0），A（0，﹣20），
设函数解析式为y=a（x﹣25）2，
将A点坐标代入，得
a×252=﹣20，
解得a=﹣，
桥拱所在抛物线的解析式y=﹣（x﹣25）2．
【点评】本题考查了二次函数的应用，把函数解析式设为顶点式函数解析式是解题关键．

21．如图所示，体育场内一看台与地面所成夹角为30°，看台最低点A到最高点B的距离为10，A，B两点正前方有垂直于地面的旗杆DE．在A，B两点处用仪器测量旗杆顶端E的仰角分别为60°和15°（仰角即视线与水平线的夹角）
（1）求AE的长；
（2）已知旗杆上有一面旗在离地1米的F点处，这面旗以0.5米/秒的速度匀速上升，求这面旗到达旗杆顶端需要多少秒？

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】（1）先求得∠ABE和AEB，利用等腰直角三角形即可求得AE；
（2）在RT△ADE中，利用sin∠EAD=，求得ED的长，即可求得这面旗到达旗杆顶端需要的时间．
【解答】解：（1）∵BG∥CD，
∴∠GBA=∠BAC=30°，
又∵∠GBE=15°，
∴∠ABE=45°，
∵∠EAD=60°，
∴∠BAE=90°，
∴∠AEB=45°，
∴AB=AE=10，
故AE的长为10米．
（2）在RT△ADE中，sin∠EAD=，
∴DE=10×=15，
又∵DF=1，
∴FE=14，
∴时间t==28（秒）．
故旗子到达旗杆顶端需要28秒．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，此类问题的解决关键是建立数学建模，把实际问题转化成数学问题，利用数学知识解决．

22．（10分）（2006•长春）如图，P为正比例函数y=x图象上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为（x，y）．
（1）求⊙P与直线x=2相切时点P的坐标．
（2）请直接写出⊙P与直线x=2相交、相离时x的取值范围．

【考点】MB：直线与圆的位置关系；F5：一次函数的性质．
【分析】（1）根据直线和圆相切应满足圆心到直线的距离等于半径，首先求得点P的横坐标，再根据直线的解析式求得点P的纵坐标．
（2）根据（1）的结论，即可分析出相离和相交时x的取值范围．
【解答】解：（1）过P作直线x=2的垂线，垂足为A；
当点P在直线x=2右侧时，AP=x﹣2=3，得x=5；
∴P（5，）；
当点P在直线x=2左侧时，PA=2﹣x=3，得x=﹣1，
∴P（﹣1，﹣），
∴当⊙P与直线x=2相切时，点P的坐标为（5，）或（﹣1，﹣）；

（2）当﹣1＜x＜5时，⊙P与直线x=2相交
当x＜﹣1或x＞5时，⊙P与直线x=2相离．

【点评】掌握直线和圆的不同位置关系应满足的数量关系．根据数量关系正确求解．

23．如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB．
（1）求证：AT是⊙O的切线；
（2）连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC．

【考点】MD：切线的判定；T7：解直角三角形．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质求得∠TAB=90°，得出TA⊥AB，从而证得AT是⊙O的切线；
（2）作CD⊥AT于D，设OA=x，则AT=2x，根据勾股定理得出OT=x，TC=（﹣1）x，由CD⊥AT，TA⊥AB得出CD∥AB，根据平行线分线段成比例定理得出==，即==，从而求得CD=（1﹣）x，AD=2x﹣2（1﹣）x=x，然后解正切函数即可求得．
【解答】解：（1）∵∠ABT=45°，AT=AB．
∴∠TAB=90°，
∴TA⊥AB，
∴AT是⊙O的切线；
（2）作CD⊥AT于D，
∵TA⊥AB，TA=AB=2OA，
设OA=x，则AT=2x，
∴OT=x，
∴TC=（﹣1）x，
∵CD⊥AT，TA⊥AB
∴CD∥AB，
∴==，即==，
∴CD=（1﹣）x，TD=2（1﹣）x，
∴AD=2x﹣2（1﹣）x=x，
∴tan∠TAC===．

【点评】本题考查了切线的判定，勾股定理的应用，平行线的判定和性质，解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．

24．（12分）（2014•青岛）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（2017•蒙阴县一模）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x（米），与桌面的高度为y（米），运行时间为t（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：
t（秒）
0
0.16
0.2
0.4
0.6
0.64
0.8
…
X（米）
0
0.4
0.5
1
1.5
1.6
2
…
y（米）
0.25
0.378
0.4
0.45
0.4
0.378
0.25
…
（1）当t为何值时，乒乓球达到最大高度？
（2）乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？
（3）乒乓球落在桌面上弹起后，y与x满足y=a（x﹣3）2+k．
①用含a的代数式表示k；
②球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米．若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A，求a的值．

【考点】HE：二次函数的应用．
【分析】（1）由表中数据可直接得出；
（2）建立坐标系后，根据顶点坐标（1，0.45），设解析式为y=m（x﹣1）2+0.45，将（0，0.25）代入即可求得其解析式，再令y=0求得x即可；
（3）①将（2）中所得点的坐标（2.5，0）代入即可；
②由球网高度及球桌的长度可知其扣杀路线解析式为y=x，若要击杀则有a（x﹣3）2﹣a=x，根据有唯一的击球点即该方程有唯一实数根即可求得a的值，继而根据对应x的值取舍可得．
【解答】解：（1）由表格中数据可知，当t=0.4秒时，乒乓球达到最大高度．

（2）以点A为原点，桌面中线为x轴，乒乓球水平运动方向为正方向建立直角坐标系．
由表格中数据可判断，y是x的二次函数，且顶点为（1，0.45），
所以可设y=m（x﹣1）2+0.45，
将（0，0.25）代入，得：0.25=m（0﹣1）2+0.45，
解得：m=﹣0.2，
∴y=﹣0.2（x﹣1）2+0.45．
当y=0时，﹣0.2（x﹣1）2+0.45=0，
解得：x=2.5或x=﹣0.5（舍去）．
∴乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是2.5米．

（3）①由（2）得，乒乓球落在桌面时的坐标为（2.5，0）．
∴将（2.5，0）代入y=a（x﹣3）2+k，得0=a（2.5﹣3）2+k，
化简整理，得：k=﹣a．
②由题意可知，扣杀路线在直线y=x上，
由①得y=a（x﹣3）2﹣a，
令a（x﹣3）2﹣a=x，整理，得20ax2﹣（120a+2）x+175a=0．
当△=（120a+2）2﹣4×20a×175a=0时，符合题意，
解方程，得a1=，a2=．
当a=时，求得x=﹣，不合题意，舍去；
当a=时，求得x=，符合题意．
答：当a=时，可以将球沿直线扣杀到点A．
【点评】本题主要考查二次函数的实际应用，由实际问题建立起二次函数的模型并将二次函数的问题转化为一元二次方程求解是解题的关键．