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2019聊城数学中考真题(解析版)

学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________

一、单选题（共12小题）

1.﹣的相反数是（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．

2.如图所示的几何体的左视图是（　　）

A． B．
C． D．

3.如果分式的值为0，那么x的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．1或0

4.在光明中学组织的全校师生迎“五四”诗词大赛中，来自不同年级的25名参赛同学的得分情况如图所示．这些成绩的中位数和众数分别是（　　）

A．96分、98分 B．97分、98分 C．98分、96分 D．97分、96分

5.下列计算正确的是（　　）
A．a6+a6＝2a12
B．2﹣2÷20×23＝32
C．（﹣ab2）•（﹣2a2b）3＝a3b3
D．a3•（﹣a）5•a12＝﹣a20

6.下列各式不成立的是（　　）
A．﹣＝ B．＝2
C．＝+＝5 D．＝﹣

7.若不等式组无解，则m的取值范围为（　　）
A．m≤2 B．m＜2 C．m≥2 D．m＞2

8.如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为（　　）

A．35° B．38° C．40° D．42°

9.若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为（　　）
A．k≥0 B．k≥0且k≠2 C．k≥ D．k≥且k≠2

10.某快递公司每天上午9：00﹣10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为（　　）

A．9：15 B．9：20 C．9：25 D．9：30

11.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F时，下列结论中错误的是（　　）

A．AE+AF＝AC B．∠BEO+∠OFC＝180°
C．OE+OF＝BC D．S四边形AEOF＝S△ABC

12.如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且＝，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（　　）

A．（2，2） B．（，） C．（，） D．（3，3）

二、填空题（共5小题）

13.计算：（﹣﹣）÷＝　﹣　　　　　．

14.如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据（单位：cm），计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为　　　　．

15.在阳光中学举行的春季运动会上，小亮和大刚报名参加100米比赛，预赛分A，B，C，D四组进行，运动员通过抽签来确定要参加的预赛小组，小亮和大刚恰好抽到同一个组的概率是　　　　　　．

16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，DE为△ABC的中位线，延长BC至F，使CF＝BC，连接FE并延长交AB于点M．若BC＝a，则△FMB的周长为　　　　　　．

17.数轴上O，A两点的距离为4，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An．（n≥3，n是整数）处，那么线段AnA的长度为　﹣　　　　　（n≥3，n是整数）．

三、解答题（共8小题）

18.计算：1﹣（+）÷．

19.学习一定要讲究方法，比如有效的预习可大幅提高听课效率．九年级（1）班学习兴趣小组为了了解全校九年级学生的预习情况，对该校九年级学生每天的课前预习时间（单位：min）进行了抽样调查，并将抽查得到的数据分成5组，下面是未完成的频数、频率分布表和频数分布扇形图：
组别
课前预习时间t/min
频数（人数）
频率
1
0≤t＜10
2

2
10≤t＜20
a
0.10
3
20≤t＜30
16
0.32
4
30≤t＜40
b
c
5
t≥40
3

请根据图表中的信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为　　　，表中的a＝　　，b＝　　　，c＝　　　　；
（2）试计算第4组人数所对应的扇形圆心角的度数；
（3）该校九年级共有1000名学生，请估计这些学生中每天课前预习时间不少于20min的学生人数．

20.某商场的运动服装专柜，对A，B两种品牌的运动服分两次采购试销后，效益可观，计划继续采购进行销售．已知这两种服装过去两次的进货情况如下表：

第一次
第二次
A品牌运动服装数/件
20
30
B品牌运动服装数/件
30
40
累计采购款/元
10200
14400
（1）问A，B两种品牌运动服的进货单价各是多少元？
（2）由于B品牌运动服的销量明显好于A品牌，商家决定采购B品牌的件数比A品牌件数的倍多5件，在采购总价不超过21300元的情况下，最多能购进多少件B品牌运动服？

21.在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF．
求证：（1）△ABF≌△DAE；
（2）DE＝BF+EF．

22.某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图①所示，CD部分），在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45°，底端D点的仰角为30°，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B处，测得顶端C的仰角为63.4°（如图②所示），求大楼部分楼体CD的高度约为多少米？（精确到1米）
（参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，≈1.41，≈1.73）

23.如图，点A（，4），B（3，m）是直线AB与反比例函数y＝（x＞0）图象的两个交点，AC⊥x轴，垂足为点C，已知D（0，1），连接AD，BD，BC．
（1）求直线AB的表达式；
（2）△ABC和△ABD的面积分别为S1，S2．求S2﹣S1．

24.如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作⊙O的切线CE，交OF于点E．
（1）求证：EC＝ED；
（2）如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的长．

25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标；
（3）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．

2019聊城数学中考真题(解析版)
参考答案

一、单选题（共12小题）

1.【解答】 解：﹣的相反数是，
故选：D．
【知识点】实数的性质

2.【解答】 解：从左向右看，得到的几何体的左视图是．
故选：B．
【知识点】简单组合体的三视图

3.【解答】 解：根据题意，得
|x|﹣1＝0且x+1≠0，
解得，x＝1．
故选：B．
【知识点】分式的值为零的条件

4.【解答】 解：98出现了9次，出现次数最多，所以数据的众数为98分；
共有25个数，最中间的数为第13数，是96，所以数据的中位数为96分．
故选：A．
【知识点】条形统计图、中位数、众数

5.【解答】 解：A、a6+a6＝2a6，故此选项错误；
B、2﹣2÷20×23＝2，故此选项错误；
C、（﹣ab2）•（﹣2a2b）3＝（﹣ab2）•（﹣8a6b3）＝4a7b5，故此选项错误；
D、a3•（﹣a）5•a12＝﹣a20，正确．
故选：D．
【知识点】单项式乘单项式、零指数幂、合并同类项、负整数指数幂、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方

6.【解答】 解：﹣＝3﹣＝，A选项成立，不符合题意；
＝＝2，B选项成立，不符合题意；
＝＝，C选项不成立，符合题意；
＝＝﹣，D选项成立，不符合题意；
故选：C．
【知识点】二次根式的混合运算

7.【解答】 解：解不等式＜﹣1，得：x＞8，
∵不等式组无解，
∴4m≤8，
解得m≤2，
故选：A．
【知识点】解一元一次不等式组

8.【解答】 解：连接CD，如图所示：
∵BC是半圆O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝20°，
∴∠DOE＝2∠ACD＝40°，
故选：C．

【知识点】圆周角定理

9.【解答】 解：（k﹣2）x2﹣2kx+k﹣6＝0，
∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，
∴，
解得：k≥且k≠2．
故选：D．
【知识点】根的判别式、一元二次方程的定义

10.【解答】 解：设甲仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y1＝k1x+40，根据题意得60k1+40＝400，解得k1＝6，
∴y1＝6x+40；
设乙仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y2＝k2x+240，根据题意得60k2+240＝0，解得k2＝﹣4，
∴y2＝﹣4x+240，
联立，解得，
∴此刻的时间为9：20．
故选：B．
【知识点】一次函数的应用

11.【解答】 解：连接AO，如图所示．
∵△ABC为等腰直角三角形，点O为BC的中点，
∴OA＝OC，∠AOC＝90°，∠BAO＝∠ACO＝45°．
∵∠EOA+∠AOF＝∠EOF＝90°，∠AOF+∠FOC＝∠AOC＝90°，
∴∠EOA＝∠FOC．
在△EOA和△FOC中，，
∴△EOA≌△FOC（ASA），
∴EA＝FC，
∴AE+AF＝AF+FC＝AC，选项A正确；
∵∠B+∠BEO+∠EOB＝∠FOC+∠C+∠OFC＝180°，∠B+∠C＝90°，∠EOB+∠FOC＝180°﹣∠EOF＝90°，
∴∠BEO+∠OFC＝180°，选项B正确；
∵△EOA≌△FOC，
∴S△EOA＝S△FOC，
∴S四边形AEOF＝S△EOA+S△AOF＝S△FOC+S△AOF＝S△AOC＝S△ABC，选项D正确．
故选：C．

【知识点】等腰直角三角形、旋转的性质

12.【解答】 解：∵在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），
∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，
∵＝，点D为OB的中点，
∴BC＝3，OD＝BD＝2，
∴D（2，0），C（4，3），
作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，
则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），
∵直线OA 的解析式为y＝x，
设直线EC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线EC的解析式为y＝x+2，
解得，，
∴P（，），
故选：C．

【知识点】轴对称-最短路线问题、坐标与图形变化-平移

二、填空题（共5小题）

13.【解答】 解：原式＝（﹣）×＝﹣，
故答案为：﹣．
【知识点】有理数的混合运算

14.【解答】 解：∵圆锥的底面半径为1，
∴圆锥的底面周长为2π，
∵圆锥的高是2，
∴圆锥的母线长为3，
设扇形的圆心角为n°，
∴＝2π，
解得n＝120．
即圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为120°．
故答案为：120°．
【知识点】圆锥的计算、由三视图判断几何体

15.【解答】 解：如下图所示，

小亮和大刚两人恰好分在同一组的情况有4种，共有16种等可能的结果，
∴小亮和大刚两人恰好分在同一组的概率是＝，
故答案为：．
【知识点】列表法与树状图法

16.【解答】 解：在Rt△ABC中，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∴AB＝2a，AC＝a．
∵DE是中位线，
∴CE＝a．
在Rt△FEC中，利用勾股定理求出FE＝a，
∴∠FEC＝30°．
∴∠A＝∠AEM＝30°，
∴EM＝AM．
△FMB周长＝BF+FE+EM+BM＝BF+FE+AM+MB＝BF+FE+AB＝．
故答案为．
【知识点】三角形中位线定理、含30度角的直角三角形、相似三角形的判定与性质

17.【解答】 解：由于OA＝4，
所有第一次跳动到OA的中点A1处时，OA1＝OA＝×4＝2，
同理第二次从A1点跳动到A2处，离原点的（）2×4处，
同理跳动n次后，离原点的长度为（）n×4＝，
故线段AnA的长度为4﹣（n≥3，n是整数）．
故答案为：4﹣．
【知识点】规律型：图形的变化类、数轴、两点间的距离

三、解答题（共8小题）

18.【解答】 解：原式＝1﹣•
＝1﹣
＝﹣
＝．
【知识点】分式的混合运算

19.【解答】 解：（1）16÷0.32＝50，a＝50×0.1＝5，b＝50﹣2﹣5﹣16﹣3＝24，c＝24÷50＝0.48；
故答案为：50，5，24，0.48；
（2）第4组人数所对应的扇形圆心角的度数＝360°×0.48＝172.8°；
（3）每天课前预习时间不少于20min的学生人数的频率＝1﹣﹣0.10＝0.86，
∴1000×0.86＝860，
答：这些学生中每天课前预习时间不少于20min的学生人数是860人．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量、扇形统计图、用样本估计总体、频数（率）分布表

20.【解答】 解：（1）设A，B两种品牌运动服的进货单价各是x元和y元，根据题意可得：
，
解得：，
答：A，B两种品牌运动服的进货单价各是240元和180元；

（2）设购进A品牌运动服m件，购进B品牌运动服（m+5）件，
则240m+180（m+5）≤21300，
解得：m≤40，
经检验，不等式的解符合题意，
∴m+5≤×40+5＝65，
答：最多能购进65件B品牌运动服．
【知识点】一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用

21.【解答】 证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AD∥BC，
∴∠BPA＝∠DAE，
∵∠ABC＝∠AED，
∴∠BAF＝∠ADE，
∵∠ABF＝∠BPF，∠BPA＝∠DAE，
∴∠ABF＝∠DAE，
∵AB＝DA，
∴△ABF≌△DAE（ASA）；
（2）∵△ABF≌△DAE，
∴AE＝BF，DE＝AF，
∵AF＝AE+EF＝BF+EF，
∴DE＝BF+EF．

【知识点】菱形的性质、全等三角形的判定与性质

22.【解答】 解：设楼高CE为x米，
∵在Rt△AEC中，∠CAE＝45°，
∴AE＝CE＝x，
∵AB＝20，
∴BE＝x﹣20，
在Rt△CEB中，CE＝BE•tan63.4°≈2（x﹣20），
∴2（x﹣20）＝x，
解得：x＝40（米），
在Rt△DAE中，DE＝AEtan30°＝40×＝，
∴CD＝CE﹣DE＝40﹣≈17（米），
答：大楼部分楼体CD的高度约为17米．

【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

23.【解答】 解：（1）由点A（，4），B（3，m）在反比例函数y＝（x＞0）图象上
∴4＝
∴n＝6
∴反比例函数的解析式为y＝（x＞0）
将点B（3，m）代入y＝（x＞0）得m＝2
∴B（3，2）
设直线AB的表达式为y＝kx+b
∴
解得
∴直线AB的表达式为y＝﹣；
（2）由点A、B坐标得AC＝4，点B到AC的距离为3﹣＝
∴S1＝×4×＝3
设AB与y轴的交点为E，可得E（0，6），如图：

∴DE＝6﹣1＝5
由点A（，4），B（3，2）知点A，B到DE的距离分别为，3
∴S2＝S△BDE﹣S△AED＝×5×3﹣×5×＝
∴S2﹣S1＝﹣3＝．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题

24.【解答】 （1）证明：连接OC，

∵CE与⊙O相切，为C是⊙O的半径，
∴OC⊥CE，
∴∠OCA+∠ACE＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∴∠ACE+∠A＝90°，
∵OD⊥AB，
∴∠ODA+∠A＝90°，
∵∠ODA＝∠CDE，
∴∠CDE+∠A＝90°，
∴∠CDE＝∠ACE，
∴EC＝ED；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△DCF中，∠DCE+∠ECF＝90°，∠DCE＝∠CDE，
∴∠CDE+∠ECF＝90°，
∵∠CDE+∠F＝90°，
∴∠ECF＝∠F，
∴EC＝EF，
∵EF＝3，
∴EC＝DE＝3，
∴OE＝＝5，
∴OD＝OE﹣DE＝2，
在Rt△OAD中，AD＝＝2，
在Rt△AOD和Rt△ACB中，
∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠AOD，
∴Rt△AOD∽Rt△ACB，
∴，
即，
∴AC＝．
【知识点】相似三角形的判定与性质、勾股定理、切线的性质

25.【解答】 解：（1）将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8；
（2）∵点A（﹣2，0）、C（0，8），∴OA＝2，OC＝8，
∵l⊥x轴，∴∠PEA＝∠AOC＝90°，
∵∠PAE≠∠CAO，
∴只有当∠PEA＝∠AOC时，PEA△∽AOC，
此时，即：，
∴AE＝4PE，
设点P的纵坐标为k，则PE＝k，AE＝4k，
∴OE＝4k﹣2，
将点P坐标（4k﹣2，k）代入二次函数表达式并解得：
k＝0或（舍去0），
则点P（，）；
（3）在Rt△PFD中，∠PFD＝∠COB＝90°，
∵l∥y轴，∴∠PDF＝∠COB，∴Rt△PFD∽Rt△BOC，
∴，
∴S△PDF＝•S△BOC，
而S△BOC＝OB•OC＝＝16，BC＝＝4，
∴S△PDF＝•S△BOC＝PD2，
即当PD取得最大值时，S△PDF最大，
将B、C坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y＝﹣2x+8，
设点P（m，﹣m2+2m+8），则点D（m，﹣2m+8），
则PD＝﹣m2+2m+8+2m﹣8＝﹣（m﹣2）2+4，
当m＝2时，PD的最大值为4，
故当PD＝4时，∴S△PDF＝PD2＝．
【知识点】二次函数综合题