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2019淄博数学中考真题（解析版）

学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________

一、单选题（共12小题）

1.比﹣2小1的数是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3

2.国产科幻电影《流浪地球》上映17日，票房收入突破40亿元人民币，将40亿用科学记数法表示为（　　）
A．40×108 B．4×109 C．4×1010 D．0.4×1010

3.下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是（　　）
A． B．
C． D．

4.如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处，则∠ABC等于（　　）

A．130° B．120° C．110° D．100°

5.解分式方程＝﹣2时，去分母变形正确的是（　　）
A．﹣1+x＝﹣1﹣2（x﹣2） B．1﹣x＝1﹣2（x﹣2）
C．﹣1+x＝1+2（2﹣x） D．1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2）

6.与下面科学计算器的按键顺序：

对应的计算任务是（　　）
A．0.6×+124 B．0.6×+124
C．0.6×5÷6+412 D．0.6×+412

7.如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B．2 C．2 D．6

8.如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B．若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为（　　）

A．2a B．a C．3a D．a

9.若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　）
A．x2﹣3x+2＝0 B．x2+3x﹣2＝0 C．x2+3x+2＝0 D．x2﹣3x﹣2＝0

10.从某容器口以均匀地速度注入酒精，若液面高度h随时间t的变化情况如图所示，则对应容器的形状为（　　）

A． B． C． D．

11.将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位．若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是（　　）
A．a＞3 B．a＜3 C．a＞5 D．a＜5

12.如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…均在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．则y1+y2+…+y10的值为（　　）

A．2 B．6 C．4 D．2

二、填空题（共5小题）

13.单项式a3b2的次数是　　．

14.分解因式：x3+5x2+6x＝　　　　　　　　．

15.如图，在正方形网格中，格点△ABC绕某点顺时针旋转角α（0＜α＜180°）得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则α＝　　　度．

16.某校欲从初三级部3名女生，2名男生中任选两名学生代表学校参加全市举办的“中国梦•青春梦“演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是　　　　　　．

17.如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF．

如图1，当CD＝AC时，tanα1＝；
如图2，当CD＝AC时，tanα2＝；
如图3，当CD＝AC时，tanα3＝；
……
依此类推，当CD＝AC（n为正整数）时，tanαn＝　　　　　　．

三、解答题（共7小题）

18.解不等式+1＞x﹣3．

19.已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠E＝∠C．

20.文明交流互鉴是推动人类文明进步和世界和平发展的重要动力．2019年5月“亚洲文明对话大会”在北京成功举办，引起了世界人民的极大关注．某市一研究机构为了了解10～60岁年龄段市民对本次大会的关注程度，随机选取了100名年龄在该范围内的市民进行了调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示：
组别
年龄段
频数（人数）
第1组
10≤x＜20
5
第2组
20≤x＜30
a
第3组
30≤x＜40
35
第4组
40≤x＜50
20
第5组
50≤x＜60
15

（1）请直接写出a＝　　　，m＝　　　，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是　　　度．
（2）请补全上面的频数分布直方图；
（3）假设该市现有10～60岁的市民300万人，问40～50岁年龄段的关注本次大会的人数约有多少？

21.“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的A，B两种产品在欧洲市场热销．今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元，总利润为1020万元（利润＝售价﹣成本）．其每件产品的成本和售价信息如下表：

A
B
成本（单位：万元/件）
2
4
售价（单位：万元/件）
5
7
问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？

22.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．
（1）求证：①BC是⊙O的切线；
②CD2＝CE•CA；
（2）若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积．

23.如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，且AB＝2BC，取EF的中点M，连接MD，MG，MB．
（1）试证明DM⊥MG，并求的值．
（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设∠EAB＝2α（0＜α＜90°），其它条件不变，问（1）中的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含α的式子表示）；若无变化，说明理由．

24.如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）问在y轴上是否存在一点P，使得△PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值．

2019淄博数学中考真题（解析版）
参考答案

一、单选题（共12小题）

1.【解答】 解：﹣2﹣1＝﹣（1+2）＝﹣3．
故选：A．
【知识点】有理数的减法

2.【解答】 解：40亿用科学记数法表示为：4×109，
故选：B．
【知识点】科学记数法—表示较大的数

3.【解答】 解：A、圆柱的主视图和左视图都是矩形，但俯视图也是一个圆形，不符合题意；
B、三棱柱的主视图和左视图、俯视图都不相同，不符合题意；
C、长方体的主视图和左视图是相同的，都为一个长方形，但是俯视图是一个不一样的长方形，不符合题意；
D、球的三视图都是大小相同的圆，符合题意．
故选：D．
【知识点】简单组合体的三视图

4.【解答】 解：如图：

∵小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处，
∴∠DAB＝40°，∠CBF＝20°，
∵向北方向线是平行的，即AD∥BE，
∴∠ABE＝∠DAB＝40°，
∵∠EBF＝90°，
∴∠EBC＝90°﹣20°＝70°，
∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝40°+70°＝110°，
故选：C．
【知识点】方向角

5.【解答】 解：去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2），
故选：D．
【知识点】解分式方程

6.【解答】 解：与下面科学计算器的按键顺序对应的计算任务是0.6×+124，
故选：B．
【知识点】有理数的混合运算、计算器—有理数

7.【解答】 解：由题意可得，
大正方形的边长为＝2，小正方形的边长为，
∴图中阴影部分的面积为：×（2﹣）＝2，
故选：B．
【知识点】二次根式的应用

8.【解答】 解：∵∠CAD＝∠B，∠ACD＝∠BCA，
∴△ACD∽△BCA，
∴＝（）2，即＝，
解得，△BCA的面积为4a，
∴△ABD的面积为：4a﹣a＝3a，
故选：C．
【知识点】相似三角形的判定与性质

9.【解答】 解：∵x12+x22＝5，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，
而x1+x2＝3，
∴9﹣2x1x2＝5，
∴x1x2＝2，
∴以x1，x2为根的一元二次方程为x2﹣3x+2＝0．
故选：A．
【知识点】根与系数的关系

10.【解答】 解：根据图象可知，容器大致为：容器底部比较粗，然后逐渐变细，然后又逐渐变粗，最后又变得细小，并且最后非常细，推断可能是C容器．
故选：C．
【知识点】函数的图象

11.【解答】 解：∵y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2﹣4+a，
∴将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的函数解析式为y＝（x﹣2+1）2﹣4+a+1，即y＝x2﹣2x+a﹣2，
将y＝2代入，得2＝x2﹣2x+a﹣2，即x2﹣2x+a﹣4＝0，
由题意，得△＝4﹣4（a﹣4）＞0，解得a＜5．
故选：D．
【知识点】二次函数图象与几何变换

12.【解答】 解：过C1、C2、C3…分别作x轴的垂线，垂足分别为D1、D2、D3…
其斜边的中点C1在反比例函数y＝，∴C（2，2）即y1＝2，
∴OD1＝D1A1＝2，
设A1D2＝a，则C2D2＝a 此时C2（4+a，a），代入y＝得：a（4+a）＝4，
解得：a＝，即：y2＝，
同理：y3＝，
y4＝，
……
∴y1+y2+…+y10＝2+++……＝，
故选：A．

【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征

二、填空题（共5小题）

13.【解答】 解：单项式a3b2的次数是3+2＝5．
故答案为5．
【知识点】单项式

14.【解答】 解：x3+5x2+6x，
＝x（x2+5x+6），
＝x（x+2）（x+3）．
【知识点】因式分解-十字相乘法等

15.【解答】 解：如图，
连接CC1，AA1，作CC1，AA1的垂直平分线交于点E，连接AE，A1E

∵CC1，AA1的垂直平分线交于点E，
∴点E是旋转中心，
∵∠AEA1＝90°
∴旋转角α＝90°
故答案为：90
【知识点】旋转的性质

16.【解答】 解：画树状图为：

共20种等可能的结果数，其中选中一男一女的结果数为12，
∴恰好选中一男一女的概率是＝，
故答案为：．
【知识点】列表法与树状图法

17.【解答】 解：观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，2n+1，
分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，2n+1，，中的中间一个．
∴tanαn＝＝．
故答案为：．
【知识点】规律型：图形的变化类、翻折变换（折叠问题）、等腰直角三角形、解直角三角形

三、解答题（共7小题）

18.【解答】 解：将不等式两边同乘以2得，
x﹣5+2＞2x﹣6
解得x＜3．
【知识点】解一元一次不等式

19.【解答】 证明：∵∠BAE＝∠DAC
∴∠BAE+∠CAE＝∠DAC+∠CAE
∴∠CAB＝∠EAD，且AB＝AD，AC＝AE
∴△ABC≌△ADE（SAS）
∴∠C＝∠E
【知识点】全等三角形的判定与性质

20.【解答】 解：（1）a＝100﹣5﹣35﹣20﹣15＝25，
m%＝（20÷100）×100%＝20%，
第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是：360°×＝126°，
故答案为：25，20，126；
（2）由（1）值，20≤x＜30有25人，
补全的频数分布直方图如右图所示；
（3）300×＝60（万人），
答：40～50岁年龄段的关注本次大会的人数约有60万人．

【知识点】用样本估计总体、频数（率）分布直方图、频数（率）分布表、扇形统计图

21.【解答】 解：设A，B两种产品的销售件数分别为x件、y件；
由题意得：，
解得：；
答：A，B两种产品的销售件数分别为160件、180件．
【知识点】二元一次方程组的应用

22.【解答】 解：（1）①连接OD，

∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠DAO，
∵OD＝OA，∴∠DAO＝∠ODA，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴DO∥AB，而∠B＝90°，
∴∠ODB＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
②连接DE，
∵BC是⊙O的切线，∴∠CDE＝∠DAC，
∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD，
∴CD2＝CE•CA；
（2）连接DE、OE、DF、OF，设圆的半径为R，
∵点F是劣弧AD的中点，∴是OF是DA中垂线，
∴DF＝AF，∴∠FDA＝∠FAD，
∵DO∥AB，∴∠ODA＝∠DAF，
∴∠ADO＝∠DAO＝∠FDA＝∠FAD，
∴AF＝DF＝OA＝OD，
∴△OFD、△OFA是等边三角形，
∴∠C＝30°，
∴OD＝OC＝（OE+EC），而OE＝OD，
∴CE＝OE＝R＝3，
S阴影＝S扇形DFO＝×π×32＝．
【知识点】圆的综合题

23.【解答】 （1）证明：如图1中，延长DM交FG的延长线于H．

∵四边形ABCD，四边形BCFG都是正方形，
∴DE∥AC∥GF，
∴∠EDM＝∠FHM，
∵∠EMD＝∠FMH，EM＝FM，
∴△EDM≌△FHM（AAS），
∴DE＝FH，DM＝MH，
∵DE＝2FG，BG＝DG，
∴HG＝DG，
∵∠DGH＝∠BGF＝90°，MH＝DM，
∴GM⊥DM，DM＝MG，
连接EB，BF，设BC＝a，则AB＝2a，BE＝2a，BF＝a，
∵∠EBD＝∠DBF＝45°，
∴∠EBF＝90°，
∴EF＝＝a，
∵EM＝MF，
∴BM＝EF＝a，
∵HM＝DM，GH＝FG，
∴MG＝DF＝a，
∴＝＝．

（2）解：（1）中的值有变化．
理由：如图2中，连接BE，AD交于点O，连接OG，CG，BF，CG交BF于O′．

∵DO＝OA，DG＝GB，
∴GO∥AB，OG＝AB，
∵GF∥AC，
∴O，G，F共线，
∵FG＝AB，
∴OF＝AB＝DF，
∵DF∥AC，AC∥OF，
∴DE∥OF，
∴OD与EF互相平分，
∵EM＝MF，
∴点M在直线AD上，
∵GD＝GB＝GO＝GF，
∴四边形OBFD是矩形，
∴∠OBF＝∠ODF＝∠BOD＝90°，
∵OM＝MD，OG＝GF，
∴MG＝DF，设BC＝m，则AB＝2m，
易知BE＝2OB＝2•2m•sinα＝4msinα，BF＝2BO°＝2m•cosα，DF＝OB＝2m•sinα，
∵BM＝EF＝＝，GM＝DF＝m•sinα，
∴＝＝．
【知识点】菱形的性质、相似三角形的判定与性质、列代数式

24.【解答】 解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（3，0），B（﹣1，0）
∴ 解得：
∴这条抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3

（2）在y轴上存在点P，使得△PAM为直角三角形．
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4
∴顶点M（1，4）
∴AM2＝（3﹣1）2+42＝20
设点P坐标为（0，p）
∴AP2＝32+p2＝9+p2，MP2＝12+（4﹣p）2＝17﹣8p+p2
①若∠PAM＝90°，则AM2+AP2＝MP2
∴20+9+p2＝17﹣8p+p2
解得：p＝﹣
∴P（0，﹣）
②若∠APM＝90°，则AP2+MP2＝AM2
∴9+p2+17﹣8p+p2＝20
解得：p1＝1，p2＝3
∴P（0，1）或（0，3）
③若∠AMP＝90°，则AM2+MP2＝AP2
∴20+17﹣8p+p2＝9+p2
解得：p＝
∴P（0，）
综上所述，点P坐标为（0，﹣）或（0，1）或（0，3）或（0，）时，△PAM为直角三角形．

（3）如图，过点I作IE⊥x轴于点E，IF⊥AD于点F，IH⊥DG于点H
∵DG⊥x轴于点G
∴∠HGE＝∠IEG＝∠IHG＝90°
∴四边形IEGH是矩形
∵点I为△ADG的内心
∴IE＝IF＝IH，AE＝AF，DF＝DH，EG＝HG
∴矩形IEGH是正方形
设点I坐标为（m，n）
∴OE＝m，HG＝GE＝IE＝n
∴AF＝AE＝OA﹣OE＝3﹣m
∴AG＝GE+AE＝n+3﹣m
∵DA＝OA＝3
∴DH＝DF＝DA﹣AF＝3﹣（3﹣m）＝m
∴DG＝DH+HG＝m+n
∵DG2+AG2＝DA2
∴（m+n）2+（n+3﹣m）2＝32
∴化简得：m2﹣3m+n2+3n＝0
配方得：（m﹣）2+（n+）2＝
∴点I（m，n）与定点Q（，﹣）的距离为
∴点I在以点Q（，﹣）为圆心，半径为的圆在第一象限的弧上运动
∴当点I在线段CQ上时，CI最小
∵CQ＝
∴CI＝CQ﹣IQ＝
∴CI最小值为．

【知识点】二次函数综合题