数学：第一章《计数原理》测试(1)(新人教A版选修2-3)-(3).doc

第1章计数原理 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数()A40 B74C84 D200解析：分三类：第一类，前5个题目的3个，后4个题目的3个，第二类，前5个题目的4个，后4个题目的2个，第三类，前5个题目的5个，后4个题目的1个，由分类加法计数原理得C53C43C54C42C55C4174.答案：B2在24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有()A3项 B4项C5项 D6项解析：Tr1C24r24rrC24rx12r，所求x的幂指数是整数的项必须满足r为整数且0r24，故r0,6,12,18,24，所求项共有5项答案：C3某次文艺汇演，要将A、B、C、D、E、F这六个不同节目编排成节目单，如下表：序号123456节目如果A、B两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，那么节目单上不同的排序方式有()A144种 B192种C96种 D72种解析：第一步，将C、D、E、F全排，共有A44种排法，产生5个空，第二步，将A、B捆绑有2种方法，第三步，将A、B插入除2号空位和3号空位之外的空位，有C31种，所以一共有144种方法答案：A4若(2x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则(a0a2a4)2(a1a3)2的值为()A2 B1C0 D1解析：(a0a2a4)2(a1a3)2(a0a1a2a3a4)(a0a1a2a3a4)(2)4(2)41.答案：D5用4种不同的颜色涂入图中的矩形A、B、C、D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同涂法有()ABCDA.72种 B48种C24种 D12种解析：涂A共4种涂法，则B有3种涂法，C有2种涂法，D有3种涂法共有432372种涂法答案：A6有两排座位，前排11个座位，后排10个座位现安排2人就坐，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是()A234 B276C350 D363解析：采用间接法：因为前排中间的3个座位不能坐，所以共有A182306种不同的坐法，其中2人左右相邻的坐法有15A2230种不同的坐法不同排法的种数是30630276种答案：B7(13x)n(其中nN且n6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n()A6 B7C8 D9解析：注意到二项式(13x)n的展开式的通项是Tr1Cnr1nr(3x)rCnr3rxr，于是依题意有Cn535Cn636，即3(n6)，由此解得n7.答案：B8在(1x)n的展开式中，奇数项之和为p，偶数项之和为q，则(1x2)n等于()A0 BpqCp2q2 Dp2q2解析：由于(1x)n与(1x)n展开式中奇数项相同，偶数项互为相反数，因此(1x)npq，所以(1x2)n(1x)n(1x)n(pq)(pq)p2q2.答案：C9直线l1l2，l1上有4个点，l2上有6个点，以这些点为端点连成线段，他们在l1与l2之间最多的交点个数是()A24 B45C80 D90解析：因为在直线l1和l2上分别取2个点构成四边形的个数为C42C6290，又因为每一个四边形的对角线有1个交点，故交点的个数最多为90个答案：D10若n展开式中含项的系数与含项的系数之比为5，则n等于()A4 B6C8 D10解析：展开式通项为Tk1Cnk(2x)nkk(1)k2nkCnkxn2k.选项A中若n4，k4，则Tk1(1)k24kC4kx42k，当42k2时，k3，当42k4时，k4，则T4(1)3243C43x28x2，T5(1)420C44x4x4，此时系数比不是5.选项B中若n6，则Tk1(1)k26kC6kx62k，当62k2时，k4，当62k4时，k5，则T5(1)422C64x260x2，T6(1)521C65x412x4，此时系数比为5，所以B正确，同理可以验证C、D选项不正确答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中横线上)11设二项式6(a0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B4A，则a的值是_解析：6展开式的通项为Tr1C6rx6rr(a)rC6rx6当r2时，x3的系数A(a)2C6215a2，当r4时，常数项B(a)4C6415a4，B4A，得15a4415a2，a0，得a2.答案：212在由数字0,1,2,3,4,5组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_个解析：所有由0,1,2,3,4,5组成的4位数，共有A51A53300个，末尾为0的有A5360个，末尾为5的有A41A4248(个)故满足题意的数共有3006048192(个)答案：19213如图是由12个小正方形组成的34矩形网格，一质点沿网格线从点A到点B的不同路径之中，最短路径有_条解析：把质点沿网格线从点A到点B的最短路径分为七步，其中四步向右，三步向下，不同走法的区别在于哪三步向下，因此，本题的结论是：C7335.答案：3514(x1)3(x2)8a0a1(x1)a2(x1)2a8(x1)8则a6_.解析：(x1)3(x2)8(x1)23(x1)18a6(x1)6C82(x1)6(1)228(x1)6a628.答案：28三、解答题(本大题共4小题，共50分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)某班有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会(1)若学校分配给该班1名代表，则有多少种不同的选法？(2)若学校分配给该班2名代表，且男、女生代表各1名，则有多少种不同的选法？解析：(1)选出1名代表，可以选男生，也可以选女生，因此完成“选1名代表”这件事分2类：第1类，从男生中选出1名代表，有28种不同方法；第2类，从女生中选出1名代表，有20种不同方法根据分类加法计数原理，共有282048种不同的选法(2)完成“选出男、女生代表各1名”这件事，可以分2步完成：第1步，选1名男生代表，有28种不同方法；第2步，选1名女生代表，有20种不同方法根据分步乘法计数原理，共有2820560种不同的选法16(本小题满分12分)若n的第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是143，求展开式中的常数项解析：由题意有Cn4Cn2143，解得n10(n5舍去)Tr1C10r()10rrC10rxrx2rrC10rx2r，令2r0，r2.常数项为2C1025.17(本小题满分12分)有6本不同的书，分给甲、乙、丙三个人(1)如果每人得两本，有多少种不同的分法？(2)如果一个人得1本，一个人得2本，一个人得3本，有多少种不同的分法？(3)如果把这6本书分成三堆，每堆两本有多少种不同分法？解析：(1)假设甲先拿，则甲从6本不同的书中选取2本有C6215种方法，不论甲取走的是哪两本书，乙再去取书时只能有C426种，此时剩下的两本书自然给丙，就只有C221种方法，由分步乘法计数原理得一共有C62C42C2290种不同分法(2)先假设甲得1本，乙得2本，丙得3本，则有C61C52C33种方法，一共有C61C52C33A336106360种不同分法(3)把6本书分成三堆，每堆2本，与次序无关所以一共有15种不同分法18(本小题满分14分)若(x23x2)5a0a1xa2x2a10x10.(1)求a2；(2)求a1a2a10；(3)求(a0a2a4a6a8a10)2(a1a3a5a7a9)2.解析：(1)方法一：(x23x2)5(x1)5(x2)5，(x1)5展开式的通项公式为C5r(1)rx5r(0r5)；(x2)5展开式的通项公式为C5s(2)sx5s(0s5)，所以(x23x2)5展开式的通项公式为C5rC5s(1)rs2sx10rs，令rs8，得或或.所以展开式中x2的系数为C53C5525C54C5424C55C5323800，即a2800.方法二：(x23x2)5的本质是5个x23x2相乘，由多项式的乘法法则，产生含x2的项有两种可能： 5个x23x2中有一个取含x2的项，其他的取常数项，得到的系数是C512480； 5个x23x2中有两个取x的项，其他的取常数项，得到的系数是C52(3)223720，展开式中含x2的项的系数是80720800，即a2800.(2)令f(x)(x23x2)5a0a1xa2x2a10x10，a0f(0)2532，a0a1a2a10f(1)0，a1a2a1032.(3)(a0a2a4a6a8a10)2(a1a3a5a7a9)2(a0a1a2a10)(a0a1a2a10)f(1)f(1)0.