数学：2.4.2空间两点的距离公式--学案二(新人教B版必修2).doc

空间两点间的距离公式
¤学习目标：通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式.
¤知识要点：
1. 空间两点、间的距离公式：.
2. 坐标法求解立体几何问题时的三个步骤：①在立体几何图形中建立空间直角坐标系；②依题意确定各相应点的坐标 ；③通过坐标运算得到答案.
3. 对称问题，常用对称的定义求解. 一般地，点P(x, y, z) 关于坐标平面xOy、yOz、zOx的对称点的坐标分别为(x, y,- z)、(-x, y, z)、(x, -y, z)；关于x轴、y轴、z轴的对称点的坐标分别为(x, -y,- z)、(-x, y, -z)、(-x, -y, z)；关于原点的对称点的坐标为(-x,- y,- z).
¤例题精讲：
【例1】已知A(x,2,3)、B(5,4,7)，且|AB|=6，求x的值.
解：|AB|=6，∴， 
即，解得x=1或x=9.
【例2】求点P(1,2,3)关于坐标平面xOy的对称点的坐标.
解：设点P关于坐标平面xOy的对称点为，连交坐标平面xOy于Q，
则坐标平面xOy，且|PQ|=|Q|，
∴在x轴、y轴上的射影分别与P在x轴、y轴上的射影重合， 在z轴上的射影与P在z轴上的射影关于原点对称，
∴与P的横坐标、纵坐标分别相同，竖坐标互为相反数，
∴ 点P(1,2,3)关于坐标平面xOy的对称点的坐标为(1,2,-3).
【例3】在棱长为a的正方体-中，求异面直线间的距离. [来源:学科网ZXXK]
解：以D为坐标原点，从D点出发的三条棱所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设P、Q分别是直线和上的动点，其坐标分别为(x, y, z)、(0，)，则由正方体的对称性，显然有x=y.  要求异面直线间的距离，即求P、Q两点间的最短距离.
 设P在平面AC上的射影是H，由在中，，所以，∴x=a-z，
∴ P的坐标为(a-z, a-z, z)
∴ |PQ|==
∴ 当时，|PQ|取得最小值，最小值为.
∴ 异面直线间的距离为.
点评：通过巧设动点坐标，得到关于两点间距离的目标函数，由函数思想得到几何最值. 注意这里对目标函数最值的研究，实质就是非负数最小为0.
【例4】在四面体P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，设PA=PB=PC=a，求点P到平面ABC的距离.
解：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz，[来源:学,科,网]
则P(0,0，0)，A（a,0,0），B（0,a,0），C（0,0,a）.
过P作PH平面ABC，交平面ABC于H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离.
PA=PB=PC,∴H为ABC的外心，[来源:学#科#网]
又 ABC为正三角形，[来源:学科网ZXXK]
∴H为ABC的重心，可得H点的坐标为.[来源:Zxxk.Com]
∴|PH|=,
∴点P到平面ABC的距离为
点评：重心H的坐标，可以由比例线段得到. 通过建立空间直角坐标系，用代数方法来计算点面距离. 本题也可以用几何中的等体积法来求解.

对应练习 空间两点间的距离公式
※基础达标
1．点到的距离相等，则x的值为（    ）.
    A.       B.  1       C.          D. 2
2．设点B是点关于xOy面的对称点，则=（    ）.
    A. 10      B.      C.        D. 38
3．到点，的距离相等的点的坐标满足（    ）.
    A.     B.     C.     D.
4．已知，在y轴上求一点B，使，则点B的坐标为（    ）.
    A.         B. 或
    C.         D. 或
5．已知三角形ABC的顶点A（2，2，0），B（0，2，0），C(0，1，4)，则三角形ABC是（    ）.
    A．直角三角形      B．锐角三角形    C．钝角三角形     D．等腰三角形
6．在空间直角坐标系下，点满足，则动点P表示的空间几何体的表面积是              .
7．点到x轴的距离为             .
※能力提高
8．（1）已知A(2,5，-6)，在y轴上求一点B，使得|AB|=7；
（2）求点P(5,-2，3)关于点A(2,0，-1)的对称点的坐标.

9．已知、，在平面内的点M到A点与B点等距离，求点M的轨迹.

※探究创新
10．点P在坐标平面xOy内，A点的坐标为(-1,2，4)，问满足条件|PA|=5的点P的轨迹是什么？

答案：
1～5  BABBA；  6. ；  7.  .
8. 解：（1）B(0,2，0)或B(0,8，0).
（2）(-1,2，-5)
9. 解：设点M的坐标为，则有
，
化简得，即.
所以，点M的轨迹是平面内的一条直线.
10. 解：设点P的坐标为(x, y, z)， 点P在坐标平面xOy内，∴z=0.
|PA|=5，∴，即=25，
∴点P在以点A为球心，半径为5的球面上，
∴点P的轨迹是坐标平面xOy与以点A为球心，半径为5的球面的交线，即在坐标平面xOy内的圆，且此圆的圆心即为A点在坐标平面xOy上射影(-1,2，0).
点A到坐标平面xOy的距离为4，球面半径为5，
∴在坐标平面xOy内的圆的半径为3，
∴点P的轨迹是圆=9，z=0.