河北省衡水中学2016届高三模拟考试数学(理)试题汇编.doc

2015—2016学年度模拟考试高三数学
(理科试卷)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则( )
A． B． C． D．
2．如果复数是实数，则实数( )
A.      B.  C.    D.
3．焦点为（0，6）且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是（ ）
A. B . C. D.
4. 在中，角所对的边分别为,若，，，则角的大小为( )
A． B． C． D．
5. 如图，设是图中边长为的正方形区域，是内函数图象下方的点构成的区域。在中随机取一点，则该点在中的概率为（ ）

A． B． C． D．
6. 利用如图所示的程序框图在直角坐标平面上打印一系列的点，则打印的点落在坐标轴上的个数是（ ）

A.0 B. 1 C. 2 D. 3
7．在中, ， ,点在上且满足,则等于( )
A． B． C． D．
8. 函数（）的部分图像如图所示，如果，且，则（ ）

A．　 B． C． D．1
9. 如图，正方体的棱长为1，过点作平面的垂线，垂足为．则以下命题中，错误的命题是（ ）

A．点是的垂心 B．垂直平面
C．的延长线经过点 D．直线和所成角为
10.已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A.（0， B.（） C.（0，） D.（，1）
11．函数为定义在上的减函数，函数的图像关于点（1,0）对称， 满
足不等式，，为坐标原点，则当时，
的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，把函数的零点按从小到大的顺序排
列成一个数列，则该数列的前n项的和,则＝（ ）
A．15 B．22 C．45 D． 50
二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分。）
13.直线相切于点（2，3），则b的值为 。
14.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的体积为_______________.

15.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为 .
16.设，，…，是各项不为零的（）项等差数列，且公差．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对所组成的集合为________．
三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）[来源:学§科§网]
17.（本小题满分12分）
在中，，，分别是三内角A，B，C所对的三边，已知．
（1）求角A的大小；
（2）若，试判断的形状．

18.（本小题满分12分）
现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对 “楼市限购令”赞成人数如下表．
月收入（单位百元）
[15,25
[25，35
[35，45
[45，55
[55，65
[65,75
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
8
12
5
2
1
（Ⅰ）由以上统计数据填下面2乘2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点对“楼市限购令” 的态度有差异；

月收入不低于55百元的人数
月收入低于55百元的人数
合计
赞成

不赞成

合计

（Ⅱ)若对月收入在[15，25） ，[25，35）的被调查人中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“楼市限购令”人数为 ，求随机变量的分布列及数学期望.
参考数据：

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828

（19）（本小题满分12分）
如图，几何体中，四边形为菱形，，，面∥面,、、都垂直于面,且，为的中点，为的中点.
（Ⅰ）求证：为等腰直角三角形；（Ⅱ）求二面角的余弦值.

20.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知点，向量，点B为直线上的动点，点C满足，点M满足.[来源:Z§xx§k.Com]
(1)试求动点M的轨迹E的方程；
(2)设点P是轨迹E上的动点，点R、N在轴上，圆内切于，求 的面积的最小值.

21.（本小题满分12分）
已知函数．
（1）当时，求在区间上的最大值和最小值；
（2）如果函数，，，在公共定义域D上，满足，那么就称为为的“活动函数”．已知函数，．若在区间上，函数是，的“活动函数”，求的取值范围。

22.如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为弧BD中点，连结AG分别交⊙O、BD于点E、F连结CE．
（1）求证：；（2）求证：[来源:学科网]
·
·
A
B
C
D
G
E
F
O
M

23.在直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数），曲线P在以该直角坐标系的原点O的为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为.
（Ⅰ）求曲线C的普通方程和曲线P的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C和曲线P的交点为A、B，求|AB|.

24.设函数．
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ），使，求实数的取值范围．

2012—2013学年度下学期第六次模拟考试高三数学
(理科答案)
一、选择题
1.【答案】D
试题分析：，，所以，选D。
2．【答案】A[来源:学§科§网]
试题分析：是实数，则虚部为 0，所以
，选A
3．【答案】B
试题分析：设双曲线方程为，又因为焦点为（0,6），则，选B。
4.【答案】B
试题分析：由得，即，因为，所以，又因为，，所以在中，由正弦定理得：，解得，又，所以，所以。
5.【答案】C
试题分析：，所以，选C。
6.【答案】B
7．【答案】D
试题分析：由题意易知：M是BC的中点，P是三角形ABC的重心，因为，所以，，所以=。故选D.
8.【答案】C
试题分析：由图像可知代入得

9.【答案】D
10.【答案】D
试题分析：根据正弦定理得，所以由可得，即，所以，又
，即，因为，
(不等式两边不能取等号，否则分式中的分母为0，无意义)所以，
即，所以，即，所以，
解得，即，选D.
11． 【答案】D

试题分析：因为函数的图像关于点（1,0）对称，所以
的图象关于原点对称，即函数为奇函数，
由得
，
所以，
所以，即，
画出可行域如图，可得=x+2y∈[0，12]．故选D．
12．【答案】C
试题分析：根据函数的解析式，画出图像，由图像易知这10 个零点为0,1,2,3，……，9，所以＝45.

二．填空题：
13.【答案】—15
14．【答案】
15.【答案】600
试题分析：甲、乙两名同学只有一人参加时，有=480；甲、乙两人均参加时，有=120。
共有600种。
16. 【答案】
满足题意的数列只能有4项，若删掉，则，，若删掉，则，，所以所有数对所组成的集合为
17.（本小题满分12分）
解析：（1），所以，得到 …4分
（2）∵ ∵∴，……6分
即，得到， ……………8分

为等边三角形 …………12分
18.（本小题满分12分）
【解析】(I)先列出列联表
然后利用公式,计算出值,再根据k值是否大于6.635,来确定是不是有没有99%的把握认为月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异.
(II)先确定所有可能取值有0,1,2,3,然后求出每个值对应的概率,列出分布列,求出期望值.
（Ⅰ）2乘2列联表

月收入不低于55百元人数
月收入低于55百元人数
合计
赞成

32
不赞成

18
合计
10
40
50

所以没有99%的把握认为月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异. ……（6分）
（Ⅱ）所有可能取值有0,1,2,3，，

所以的分布列是

0
1
2
3

所以的期望值是. ………………………………（12分）
19.（本小题满分12分）
解：（I）连接，交于，因为四边形为菱形，，所以
因为、都垂直于面,，又面∥面,
所以四边形为平行四边形 ,则………………………………………2分
因为、、都垂直于面,则

…4分
所以
所以为等腰直角三角形 ………………………………………………………5分
（II）取的中点，因为分别为的中点，所以∥以分别为轴建立坐标系，

则
所以 ……………………7分
设面的法向量为，
则，即且
令，则 ……………………………………………………………………9分
设面的法向量为，
则即且
令，则 …………………………………………………………11分
则,则二面角的余弦值为 …………12分
20.（本小题满分12分）
解：(1)设，则，
由得，所以动点M的轨迹E的方程为；……………4分
(2)设，且，，
即，由相切得，注意到，化简得
，
同理得，
所以是方程的两根，………………………………………………8分
所以，
有，当时的面积的最小值为8. …12分
21.（本小题满分12分）
解：（1）当时，，；
对于[1, e]，有，∴在区间[1, e]上为增函数
∴，．………………………………………… 3 分
（2）在区间（1，+∞）上，函数是的“活动函数”，则
令，对恒成立，
且 =对恒成立，……………… 5分
∵ （*）
1） 若，令，得极值点，，
当，即时，在（，+∞）上有，此时在区间（，+∞）上是增函数，并且在该区间上有∈（，+∞），不合题意；
当，即时，同理可知，在区间（1，+∞）上，有∈（，+∞），也不
合题意； 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 7分
2） 若，则有，此时在区间（1，+∞）上恒有，从而在区间（1，+∞）
上是减函数；要使在此区间上恒成立，只须满足，
所以a．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 9分
又因为h/（x）= –x+2a–= <0, h（x）在（1, +∞）上为减函数，
h（x）<h（1）= +2a0， 所以a综合可知的范围是[,]． 12分
另解：（接在（*）号后）先考虑h（x）, h`（x） = – x + 2a =,
h（x）在（1,+¥）递减，只要h（1） £ 0, 得，解得． 。。。。。。。。。。。8分
而p`（x）=对xÎ（1,+¥） 且有p`（x） <0．
只要p（1） £ 0, ，解得,所以． 。。。。。。。。。。。。12分
·
·
A
B
C
D
G
E
F
O
M
22．证明：（1）连结，，
∵为圆的直径，∴，
∴为圆的直径, ∴,
∵，∴,
∵为弧中点，∴，
∵,∴,
∴∽，∴，
………………………………………………………………5分
（2）由（1）知，,
∴∽,∴,
由（1）知，∴． ……………………………………………10分
23. 【解析】
（Ⅰ）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为． …………………………………………………………………………………………………5分
（Ⅱ）曲线可化为，表示圆心在，半径的圆，
则圆心到直线的距离为，所以．………………10分
24. 【解析】
解：（1），…………………………………………………………2分
当
当
当
综上所述 ……………………………………………………………………5分
（2）易得，若都有恒成立，
则只需解得…………………………………………………10分
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