弯曲变形正式.pptx

1第六章第六章第六章第六章 弯曲变形弯曲变形弯曲变形弯曲变形 6-1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形 6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形6-2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程6-5 超静定梁的解法超静定梁的解法6-6 提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施2 6-1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题一、工程实例一、工程实例一、工程实例一、工程实例要求变形小，满足精度要求要求变形小，满足精度要求3 但有时却要求具有较大的弹性变形但有时却要求具有较大的弹性变形但有时却要求具有较大的弹性变形但有时却要求具有较大的弹性变形,以满足特定的工作以满足特定的工作以满足特定的工作以满足特定的工作需要需要需要需要.例如例如例如例如,车辆上的板弹簧车辆上的板弹簧车辆上的板弹簧车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形要求有足够大的变形要求有足够大的变形要求有足够大的变形,以缓解车辆受以缓解车辆受以缓解车辆受以缓解车辆受到的冲击和振动作用到的冲击和振动作用到的冲击和振动作用到的冲击和振动作用.41.1.1.1.挠度挠度挠度挠度二、基本概念二、基本概念二、基本概念二、基本概念w挠度挠度CCAB w x 横截面形心横截面形心横截面形心横截面形心 C C（即轴线上的点）在垂直于（即轴线上的点）在垂直于（即轴线上的点）在垂直于（即轴线上的点）在垂直于 x x 轴方向的线位移轴方向的线位移轴方向的线位移轴方向的线位移,称为该截面的挠度称为该截面的挠度称为该截面的挠度称为该截面的挠度.用用用用w w表示表示表示表示.52.2.2.2.转角转角转角转角转角转角 ACCwB xw挠度（挠度（横截面对其原来位置的角位移横截面对其原来位置的角位移横截面对其原来位置的角位移横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的转角称为该截面的转角称为该截面的转角称为该截面的转角.用用用用 表示表示表示表示63.3.3.3.挠曲线挠曲线挠曲线挠曲线 ：梁变形后的轴线称为挠曲线：梁变形后的轴线称为挠曲线：梁变形后的轴线称为挠曲线：梁变形后的轴线称为挠曲线 .式中：式中：式中：式中：x x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标为梁变形前轴线上任一点的横坐标为梁变形前轴线上任一点的横坐标为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w w 为该点的挠度为该点的挠度为该点的挠度为该点的挠度.挠曲线挠曲线wAB x转角转角 w挠度（挠度（CC 挠曲线方程为挠曲线方程为挠曲线方程为挠曲线方程为74.4.4.4.挠度与转角的关系挠度与转角的关系挠度与转角的关系挠度与转角的关系wAB x转角转角 w挠度挠度CC挠曲线挠曲线挠度和转角是度量弯曲变形的两个基本量。挠度和转角是度量弯曲变形的两个基本量。挠度和转角是度量弯曲变形的两个基本量。挠度和转角是度量弯曲变形的两个基本量。85.5.5.5.挠度和转角符号的规定挠度和转角符号的规定挠度和转角符号的规定挠度和转角符号的规定 挠度向上为正挠度向上为正挠度向上为正挠度向上为正,向下为负向下为负向下为负向下为负.转角转角转角转角自自自自x x 转至切线方向转至切线方向转至切线方向转至切线方向,逆时针转为正逆时针转为正逆时针转为正逆时针转为正,顺时针转为负顺时针转为负顺时针转为负顺时针转为负.wAB x转角转角 w挠度挠度CC挠曲线挠曲线96-2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程一、公式推导一、公式推导一、公式推导一、公式推导纯弯曲时纯弯曲时纯弯曲时纯弯曲时曲率曲率曲率曲率与弯矩的关系与弯矩的关系与弯矩的关系与弯矩的关系 横力弯曲时横力弯曲时横力弯曲时横力弯曲时,MM 和和和和 都是都是都是都是x x的函数的函数的函数的函数.略去剪力对梁的位移的影略去剪力对梁的位移的影略去剪力对梁的位移的影略去剪力对梁的位移的影响响响响,则则则则10纯弯曲的梁：纯弯曲的梁：纯弯曲的梁：纯弯曲的梁：d dxdx APOBA又：又：小变形下，挠曲线平缓，小变形下，挠曲线平缓，小变形下，挠曲线平缓，小变形下，挠曲线平缓，与与与与1 1 1 1相比很小：相比很小：相比很小：相比很小：另：另：此式称为此式称为此式称为此式称为 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程 ds11 近似原因近似原因近似原因近似原因 :（1 1）略去了剪力的影响略去了剪力的影响略去了剪力的影响略去了剪力的影响;（2 2）略去了略去了略去了略去了 项项项项;（3 3）横力弯曲梁：横力弯曲梁：横力弯曲梁：横力弯曲梁：12 6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形一、微分方程的积分一、微分方程的积分一、微分方程的积分一、微分方程的积分 若为等截面直梁若为等截面直梁若为等截面直梁若为等截面直梁,其抗弯刚度其抗弯刚度其抗弯刚度其抗弯刚度EIEI为一常量上式可改写成为一常量上式可改写成为一常量上式可改写成为一常量上式可改写成13 2.2.2.2.再积分一次再积分一次再积分一次再积分一次,得挠度方程得挠度方程得挠度方程得挠度方程二、积分常数的确定二、积分常数的确定二、积分常数的确定二、积分常数的确定 1.1.1.1.边界条件：支座特点、对称特点边界条件：支座特点、对称特点边界条件：支座特点、对称特点边界条件：支座特点、对称特点 2.2.2.2.连续条件：挠曲线是一条光滑的曲线，有唯一确定连续条件：挠曲线是一条光滑的曲线，有唯一确定连续条件：挠曲线是一条光滑的曲线，有唯一确定连续条件：挠曲线是一条光滑的曲线，有唯一确定的挠度和转角。的挠度和转角。的挠度和转角。的挠度和转角。1.1.1.1.积分一次得转角方程积分一次得转角方程积分一次得转角方程积分一次得转角方程14AB 在简支梁中在简支梁中在简支梁中在简支梁中,左右两铰支座处的左右两铰支座处的左右两铰支座处的左右两铰支座处的挠度挠度挠度挠度和和和和都等于都等于都等于都等于0 0。在悬臂梁中在悬臂梁中在悬臂梁中在悬臂梁中,固定端处的挠度固定端处的挠度固定端处的挠度固定端处的挠度和转角和转角和转角和转角都应等于都应等于都应等于都应等于0 0。AB在弯曲变形对称点，转角为在弯曲变形对称点，转角为在弯曲变形对称点，转角为在弯曲变形对称点，转角为0 0。15若若B支座改为弹簧支撑，则：支座改为弹簧支撑，则：若若B支座改为拉杆支撑，则：支座改为拉杆支撑，则：ALFCabBEAhDALFCabkBxw16ABxFw w例题例题例题例题1 1 1 1 图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为 EI EI 的悬臂梁的悬臂梁的悬臂梁的悬臂梁,在自由端受一集中力在自由端受一集中力在自由端受一集中力在自由端受一集中力 F F 作作作作用用用用.试求梁的挠曲线方程和转角方程试求梁的挠曲线方程和转角方程试求梁的挠曲线方程和转角方程试求梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度并确定其最大挠度并确定其最大挠度并确定其最大挠度 和最大转角和最大转角和最大转角和最大转角 17（1 1）弯矩方程为弯矩方程为弯矩方程为弯矩方程为解：解：解：解：（2 2）挠曲线的近似微分方程为挠曲线的近似微分方程为挠曲线的近似微分方程为挠曲线的近似微分方程为xwABxF 对挠曲线近似微分方程进行积分对挠曲线近似微分方程进行积分对挠曲线近似微分方程进行积分对挠曲线近似微分方程进行积分18 梁的转角方程和挠曲线方程分别为梁的转角方程和挠曲线方程分别为梁的转角方程和挠曲线方程分别为梁的转角方程和挠曲线方程分别为 边界条件边界条件边界条件边界条件 将边界条件代入（将边界条件代入（将边界条件代入（将边界条件代入（3 3 3 3）（）（）（）（4 4 4 4）两式中）两式中）两式中）两式中,可得可得可得可得wAB xF19BxyAF（）都发生在自由端截面处都发生在自由端截面处都发生在自由端截面处都发生在自由端截面处和和和和（）20例题例题例题例题2 2 图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为 EI EI 的简支梁的简支梁的简支梁的简支梁,在全梁上受集度为在全梁上受集度为在全梁上受集度为在全梁上受集度为q q 的的的的均布荷载作用均布荷载作用均布荷载作用均布荷载作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程试求此梁的挠曲线方程和转角方程试求此梁的挠曲线方程和转角方程试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其并确定其并确定其并确定其和和和和ABql l21 解解解解:由对称性可知由对称性可知由对称性可知由对称性可知,梁的两梁的两梁的两梁的两个支反力为个支反力为个支反力为个支反力为ABql lFRAFRBx 此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为22梁的转角方程和挠曲线方程分别为梁的转角方程和挠曲线方程分别为梁的转角方程和挠曲线方程分别为梁的转角方程和挠曲线方程分别为 边界条件边界条件边界条件边界条件x x=0=0 和和和和 x x=l l 时时时时,xABql lFRAFRB A B 在在在在 x x=0=0 和和和和 x x=l l 处转角的绝对值相等且都是最大值，处转角的绝对值相等且都是最大值，处转角的绝对值相等且都是最大值，处转角的绝对值相等且都是最大值，最大转角和最大挠度分别为最大转角和最大挠度分别为最大转角和最大挠度分别为最大转角和最大挠度分别为wmax 在在在在梁跨中点处梁跨中点处梁跨中点处梁跨中点处有有有有最大挠度值最大挠度值最大挠度值最大挠度值解得解得:23例题例题例题例题3 3 图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为EIEI的简支梁的简支梁的简支梁的简支梁,在在在在D D点处受一集中力点处受一集中力点处受一集中力点处受一集中力F F的作的作的作的作用用用用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程试求此梁的挠曲线方程和转角方程试求此梁的挠曲线方程和转角方程试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并求其最大挠度和最大转并求其最大挠度和最大转并求其最大挠度和最大转并求其最大挠度和最大转角角角角.ABFDabl l24解解解解:梁的两个支反力为梁的两个支反力为梁的两个支反力为梁的两个支反力为FRAFRBABFDabl l12xx 两段梁的弯矩方程分别为两段梁的弯矩方程分别为两段梁的弯矩方程分别为两段梁的弯矩方程分别为25 两段梁的挠曲线方程分别为两段梁的挠曲线方程分别为两段梁的挠曲线方程分别为两段梁的挠曲线方程分别为 （a a）（）（）（）（0 0 x x a a）挠曲线方程挠曲线方程挠曲线方程挠曲线方程 转角方程转角方程转角方程转角方程 挠度方程挠度方程挠度方程挠度方程26 挠曲线方程挠曲线方程挠曲线方程挠曲线方程 转角方程转角方程转角方程转角方程 挠度方程挠度方程挠度方程挠度方程 （b b）（）（）（）（a a x x l l ）27 D D点的连续条件点的连续条件点的连续条件点的连续条件 边界条件边界条件边界条件边界条件 在在在在 x x=a a 处处处处 在在在在 x x=0=0 处处处处,在在在在 x x=l l 处处处处,代入方程可解得代入方程可解得代入方程可解得代入方程可解得:ABFDab12FRAFRB28 （a a）（）（）（）（0 0 x x a a）（b b）（）（）（）（a a x x l l ）29 将将将将 x x=0=0 和和和和 x x=l l 分别代入转角方程，左右两支座处截面分别代入转角方程，左右两支座处截面分别代入转角方程，左右两支座处截面分别代入转角方程，左右两支座处截面的转角的转角的转角的转角 当当当当 a a b b 时时时时,右支座处截面的转角绝对值为最大右支座处截面的转角绝对值为最大右支座处截面的转角绝对值为最大右支座处截面的转角绝对值为最大30 简支梁的最大挠度应在简支梁的最大挠度应在简支梁的最大挠度应在简支梁的最大挠度应在处处处处 先研究第一段梁先研究第一段梁先研究第一段梁先研究第一段梁,令令令令得得得得 当当当当 a a b b时时时时,b/a1,b/a1，所以，所以，所以，所以x x1 1 a a ，即，即，即，即最大挠度确实在第一段最大挠度确实在第一段最大挠度确实在第一段最大挠度确实在第一段梁中梁中梁中梁中31 梁中点梁中点梁中点梁中点 处的挠度为：处的挠度为：处的挠度为：处的挠度为：结论结论结论结论:在简支梁中在简支梁中在简支梁中在简支梁中,不论它受什么荷载作用不论它受什么荷载作用不论它受什么荷载作用不论它受什么荷载作用,只要挠曲线上无只要挠曲线上无只要挠曲线上无只要挠曲线上无 拐点拐点拐点拐点,其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替,其精确度其精确度其精确度其精确度是能满足工程要求的（误差是能满足工程要求的（误差是能满足工程要求的（误差是能满足工程要求的（误差2.65%2.65%）.2）力作用在端点时，最大挠度在：）力作用在端点时，最大挠度在：1）当力作用在中点时，最大挠度在中点处。）当力作用在中点时，最大挠度在中点处。32讨论：讨论：讨论：讨论：（1 1）凡载荷有突变处（包括中间支座），应作为分段点；）凡载荷有突变处（包括中间支座），应作为分段点；（2 2）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；（3 3）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两 部分之间的相互作用力，故应作为分段点；部分之间的相互作用力，故应作为分段点；ABlaCM33ABlaCM（4 4）凡分段点处应列出连续条件凡分段点处应列出连续条件，根据梁的变形的连，根据梁的变形的连 续性，续性，对同一截面只可能有唯一确定的挠度和转对同一截面只可能有唯一确定的挠度和转 角；在中间铰两侧虽然转角不同，但挠度却是唯角；在中间铰两侧虽然转角不同，但挠度却是唯 一的。一的。34F3FaaaFaFa(+)(-)拐点拐点下凸下凸上凸上凸直线直线注意：注意：注意：注意：（1 1 1 1）正弯矩使梁下凸，负弯矩）正弯矩使梁下凸，负弯矩）正弯矩使梁下凸，负弯矩）正弯矩使梁下凸，负弯矩 使梁上凸；使梁上凸；使梁上凸；使梁上凸；（2 2 2 2）在转角为零处，挠度出现）在转角为零处，挠度出现）在转角为零处，挠度出现）在转角为零处，挠度出现 极值。在挠度最大处，截极值。在挠度最大处，截极值。在挠度最大处，截极值。在挠度最大处，截 面的转角不一定为零，在面的转角不一定为零，在面的转角不一定为零，在面的转角不一定为零，在 弯矩最大处，挠度不一定弯矩最大处，挠度不一定弯矩最大处，挠度不一定弯矩最大处，挠度不一定 最大。最大。最大。最大。35 64 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形 梁的变形微小梁的变形微小梁的变形微小梁的变形微小,且梁在线弹性范围内工作时且梁在线弹性范围内工作时且梁在线弹性范围内工作时且梁在线弹性范围内工作时,梁在几项荷载梁在几项荷载梁在几项荷载梁在几项荷载(可以是集中力可以是集中力可以是集中力可以是集中力,集中力偶或分布力集中力偶或分布力集中力偶或分布力集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转角同时作用下的挠度和转角同时作用下的挠度和转角同时作用下的挠度和转角,就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。一、叠加原理一、叠加原理一、叠加原理一、叠加原理36 1.1.1.1.载荷叠加：载荷叠加：载荷叠加：载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和.2.2.2.2.结构形式叠加（逐段刚化法）结构形式叠加（逐段刚化法）结构形式叠加（逐段刚化法）结构形式叠加（逐段刚化法）将梁分成几段，首先分别计算各段梁在所求截面引起的位移将梁分成几段，首先分别计算各段梁在所求截面引起的位移将梁分成几段，首先分别计算各段梁在所求截面引起的位移将梁分成几段，首先分别计算各段梁在所求截面引起的位移（挠度和转角），然后计算其总和（代数和或矢量和），即（挠度和转角），然后计算其总和（代数和或矢量和），即（挠度和转角），然后计算其总和（代数和或矢量和），即（挠度和转角），然后计算其总和（代数和或矢量和），即得需求的位移。在分析各段梁的变形在所求截面引起的位移得需求的位移。在分析各段梁的变形在所求截面引起的位移得需求的位移。在分析各段梁的变形在所求截面引起的位移得需求的位移。在分析各段梁的变形在所求截面引起的位移时，除所研究的梁段发生变形外，其余各段梁均视为刚体。时，除所研究的梁段发生变形外，其余各段梁均视为刚体。时，除所研究的梁段发生变形外，其余各段梁均视为刚体。时，除所研究的梁段发生变形外，其余各段梁均视为刚体。37 按叠加原理求按叠加原理求按叠加原理求按叠加原理求A A点转角和点转角和点转角和点转角和C C点挠度点挠度点挠度点挠度.解解解解:（a a）载荷分解如图载荷分解如图载荷分解如图载荷分解如图（b b）由梁的简单载荷变形表由梁的简单载荷变形表由梁的简单载荷变形表由梁的简单载荷变形表,查简查简查简查简单载荷引起的变形单载荷引起的变形单载荷引起的变形单载荷引起的变形.BqFACaaF=AB+ABq38（c c）叠加叠加叠加叠加qFF=+AAABBBCaaq39例题例题例题例题4 4 一抗弯刚度为一抗弯刚度为一抗弯刚度为一抗弯刚度为EIEI的简支梁受荷载如图所示的简支梁受荷载如图所示的简支梁受荷载如图所示的简支梁受荷载如图所示.试按叠加原理试按叠加原理试按叠加原理试按叠加原理求梁跨中点的挠度求梁跨中点的挠度求梁跨中点的挠度求梁跨中点的挠度 w wC C和支座处横截面的转角和支座处横截面的转角和支座处横截面的转角和支座处横截面的转角 A A ,B B。ABCq qMMe el l40 解解解解:将梁上荷载分为两将梁上荷载分为两将梁上荷载分为两将梁上荷载分为两项简单的荷载项简单的荷载项简单的荷载项简单的荷载,如图所示如图所示如图所示如图所示ABCqMMe e(a)l lBAMe(c)l lAq(b)Bl lC CC()()()41例题例题例题例题5 5 试试试试利用叠加法，求利用叠加法，求利用叠加法，求利用叠加法，求图所示抗弯刚度为图所示抗弯刚度为图所示抗弯刚度为图所示抗弯刚度为EIEI的简的简的简的简支梁跨中点的挠度支梁跨中点的挠度支梁跨中点的挠度支梁跨中点的挠度 w wC C 和两和两和两和两端截面的转角端截面的转角端截面的转角端截面的转角 A A 、B B 。ABCql ll/2ABCq/2CABq/2q/2 解解解解:可视为正对称荷载可视为正对称荷载可视为正对称荷载可视为正对称荷载与反对称荷载两种情况的叠与反对称荷载两种情况的叠与反对称荷载两种情况的叠与反对称荷载两种情况的叠加加加加.42（1 1）正对称荷载作用下）正对称荷载作用下）正对称荷载作用下）正对称荷载作用下ABCq/2CABq/2q/2（2 2）反对称荷载作用下）反对称荷载作用下）反对称荷载作用下）反对称荷载作用下 在跨中在跨中在跨中在跨中C C截面处截面处截面处截面处,挠度挠度挠度挠度 w wC C等于零等于零等于零等于零,弯矩也等于零但弯矩也等于零但弯矩也等于零但弯矩也等于零但 转角不等于转角不等于转角不等于转角不等于零。零。零。零。可将可将可将可将ACAC段和段和段和段和BCBC段分别视为受均布线荷载作用且长度为段分别视为受均布线荷载作用且长度为段分别视为受均布线荷载作用且长度为段分别视为受均布线荷载作用且长度为l l /2/2 的的的的简支梁简支梁简支梁简支梁43CABq/2q/2可得到：可得到：可得到：可得到：Bq/2ACq/2将相应的位移进行叠加将相应的位移进行叠加将相应的位移进行叠加将相应的位移进行叠加,即得即得即得即得()()()44例题例题例题例题6 6 一抗弯刚度为一抗弯刚度为一抗弯刚度为一抗弯刚度为 EI EI 的外伸梁受荷载如图所示的外伸梁受荷载如图所示的外伸梁受荷载如图所示的外伸梁受荷载如图所示,试按叠加原理试按叠加原理试按叠加原理试按叠加原理并利用表并利用表并利用表并利用表6-1,6-1,求截面求截面求截面求截面B B的转角的转角的转角的转角 B B以及以及以及以及A A端和端和端和端和BCBC中点中点中点中点D D的挠度的挠度的挠度的挠度w wA A 和和和和w wD D .ABCDaa2a2qq45解：将外伸梁沿解：将外伸梁沿解：将外伸梁沿解：将外伸梁沿B B截面截成两截面截成两截面截成两截面截成两段，将段，将段，将段，将AB AB 段看成段看成段看成段看成B B端端端端固定的固定的固定的固定的悬臂梁，悬臂梁，悬臂梁，悬臂梁，BCBC段看成简支梁。段看成简支梁。段看成简支梁。段看成简支梁。ABCDaa2a2qqBCDq2qa2qAB2qaB B截面两侧的相互作用为：截面两侧的相互作用为：截面两侧的相互作用为：截面两侧的相互作用为：46 简支梁简支梁简支梁简支梁BCBC的受力情况与的受力情况与的受力情况与的受力情况与外伸梁外伸梁外伸梁外伸梁AC AC 的的的的BCBC段的受力情段的受力情段的受力情段的受力情况相同况相同况相同况相同 由简支梁由简支梁由简支梁由简支梁BCBC求得的求得的求得的求得的 B B,w wD D就是外伸梁就是外伸梁就是外伸梁就是外伸梁ACAC的的的的 B B,w,wD D2qaBCDqqBCDBCD 简支梁简支梁简支梁简支梁BCBC的变形是均布的变形是均布的变形是均布的变形是均布荷载荷载荷载荷载q q和和和和MMB B分别引起变形的叠分别引起变形的叠分别引起变形的叠分别引起变形的叠加加加加.47由叠加原理得由叠加原理得由叠加原理得由叠加原理得:DBC2qaBCDqDBC（1 1）求）求）求）求 B B ,w wD D2a48（2 2）求求求求w wA A 由于简支梁上由于简支梁上由于简支梁上由于简支梁上B B截面的转动截面的转动截面的转动截面的转动,带动带动带动带动ABAB段一起作刚体运动段一起作刚体运动段一起作刚体运动段一起作刚体运动,使使使使A A端产生挠度端产生挠度端产生挠度端产生挠度w w1 1 悬臂梁悬臂梁悬臂梁悬臂梁ABAB本身的弯曲变形本身的弯曲变形本身的弯曲变形本身的弯曲变形,使使使使A A端产生挠度端产生挠度端产生挠度端产生挠度w w2 2A2qB2qaAC2qaBDq 因此因此因此因此,A A端的总挠度应为端的总挠度应为端的总挠度应为端的总挠度应为 由表由表由表由表6-16-16-16-1查得查得查得查得49 例例例例7 7 7 7：用：用：用：用叠加法求叠加法求叠加法求叠加法求ABAB梁上梁上梁上梁上E E处的处的处的处的挠度挠度挠度挠度.50wE 21、考虑、考虑AB段（段（BCD视作刚体）视作刚体）2、考虑、考虑BCD段（段（AB视作刚体）视作刚体）再以叠加法求再以叠加法求 。叠加得：叠加得：wE 151BC段看作悬臂梁（段看作悬臂梁（DC视作刚体）视作刚体）DC段看作悬臂梁（段看作悬臂梁（BC视作刚体）视作刚体）压缩变形压缩变形52因此因此()53二、刚度条件二、刚度条件二、刚度条件二、刚度条件1.1.1.1.数学表达式数学表达式数学表达式数学表达式2.2.2.2.刚度条件的应用刚度条件的应用刚度条件的应用刚度条件的应用（1 1）校核刚度校核刚度校核刚度校核刚度（2 2）设计截面尺寸设计截面尺寸设计截面尺寸设计截面尺寸（3 3）求许可载荷求许可载荷求许可载荷求许可载荷 是构件的许可挠度和转角是构件的许可挠度和转角是构件的许可挠度和转角是构件的许可挠度和转角.和和和和工程中，工程中，ww常用梁的计算跨度常用梁的计算跨度l 的若干分之一表示，例如：的若干分之一表示，例如：对土建工程：对土建工程：对机械中的主要的轴：对机械中的主要的轴：对传动轴在支座处的许用转角为：对传动轴在支座处的许用转角为：55例例例例8 8 下图为一空心圆杆下图为一空心圆杆下图为一空心圆杆下图为一空心圆杆,内外径分别为内外径分别为内外径分别为内外径分别为:d d=40mm=40mm,D D=80mm=80mm,杆的杆的杆的杆的E E=210GPa=210GPa,工工工工程规定程规定程规定程规定C C点的点的点的点的 w w/L L=0.0001=0.0001,B B点的点的点的点的 =0.001=0.001弧度弧度弧度弧度,试试试试核此杆的刚度核此杆的刚度核此杆的刚度核此杆的刚度.l=400mmF2=2kNACa=100mm200mmDF1=1kNBF2BCDA=+F2BCaF2BCDAM=+F1=1kNADCF2=2kNCABB56解解解解:（1 1 1 1）结构变换结构变换结构变换结构变换,查表求简单载查表求简单载查表求简单载查表求简单载荷变形荷变形荷变形荷变形.l=400mmF2=2kNACa=100mm200mmDF1=1kNB+F2BC图图2图图3+F2BCDAM=图图1F1=1kNDC57（2 2）叠加求复杂载荷下的变形叠加求复杂载荷下的变形叠加求复杂载荷下的变形叠加求复杂载荷下的变形F2=2kN=+图图1图图2l=400mmACa=100mm200mmDF1=1kNBF1=1kNDBC图图3F2BDAMACCF258（3 3）校核刚度校核刚度校核刚度校核刚度:（radrad）满足变形要求满足变形要求59一、基本概念一、基本概念一、基本概念一、基本概念 1.1.1.1.超静定梁超静定梁超静定梁超静定梁超静定超静定梁的解法梁的解法 单凭静力平衡方程不能求出单凭静力平衡方程不能求出单凭静力平衡方程不能求出单凭静力平衡方程不能求出全部支反力的梁全部支反力的梁全部支反力的梁全部支反力的梁,称为超静定梁称为超静定梁称为超静定梁称为超静定梁FABABCFFRAFRBFRC静定梁静定梁超静定梁超静定梁602.2.2.2.“多余多余多余多余”约束约束约束约束 多于维持其静力平衡所必需的多于维持其静力平衡所必需的多于维持其静力平衡所必需的多于维持其静力平衡所必需的约束约束约束约束3.3.3.3.“多余多余多余多余”反力反力反力反力 “多余多余多余多余”与与与与相应的支座反力相应的支座反力相应的支座反力相应的支座反力FRBABCFFABFRAFRC4.4.4.4.超静定次数超静定次数超静定次数超静定次数 超静定梁的超静定梁的超静定梁的超静定梁的“多余多余多余多余”约束约束约束约束的数目就等于其超静定次数的数目就等于其超静定次数的数目就等于其超静定次数的数目就等于其超静定次数.n n=未知力的个数未知力的个数未知力的个数未知力的个数 -独立平衡方程的数目独立平衡方程的数目独立平衡方程的数目独立平衡方程的数目61二、求解超静定梁的步骤二、求解超静定梁的步骤二、求解超静定梁的步骤二、求解超静定梁的步骤1.1.1.1.选静定基，选静定基，选静定基，选静定基，画静定相当系统画静定相当系统画静定相当系统画静定相当系统：将可动绞链支座作看将可动绞链支座作看将可动绞链支座作看将可动绞链支座作看多余约束多余约束多余约束多余约束,解除多余约束代之以约束反力解除多余约束代之以约束反力解除多余约束代之以约束反力解除多余约束代之以约束反力 R RB B.得到原超静定梁的基本静定系得到原超静定梁的基本静定系得到原超静定梁的基本静定系得到原超静定梁的基本静定系.2.2.2.2.列列列列几何方程几何方程几何方程几何方程变形协调方程变形协调方程变形协调方程变形协调方程 超静定梁在多余约束处的约超静定梁在多余约束处的约超静定梁在多余约束处的约超静定梁在多余约束处的约束条件束条件束条件束条件,梁的梁的梁的梁的 变形协调条件：变形协调条件：变形协调条件：变形协调条件：ABqqABFRB 根据变形协调条件得变形几何方程根据变形协调条件得变形几何方程根据变形协调条件得变形几何方程根据变形协调条件得变形几何方程:变形几何方程为变形几何方程为变形几何方程为变形几何方程为62 3.3.3.3.列列列列物理方程物理方程物理方程物理方程变形与力的关系变形与力的关系变形与力的关系变形与力的关系 查表得查表得查表得查表得qAB将力与变形的关系代入将力与变形的关系代入将力与变形的关系代入将力与变形的关系代入变形几何方程得补充方程变形几何方程得补充方程变形几何方程得补充方程变形几何方程得补充方程4.4.4.4.建立补充方程建立补充方程建立补充方程建立补充方程BAFRBqABFRB63补充方程补充方程补充方程补充方程由该式解得由该式解得由该式解得由该式解得5.5.5.5.求解其它问题（反力求解其它问题（反力求解其它问题（反力求解其它问题（反力,应力应力应力应力,变形等）变形等）变形等）变形等）qABFRBFRAMA求出该梁固定端的两个支反力求出该梁固定端的两个支反力求出该梁固定端的两个支反力求出该梁固定端的两个支反力qABBAFRB64 代以与其相应的多余反代以与其相应的多余反代以与其相应的多余反代以与其相应的多余反力偶力偶力偶力偶 MMA A 得基本静定系得基本静定系得基本静定系得基本静定系.变形相容条件为变形相容条件为变形相容条件为变形相容条件为 请同学们自行完成请同学们自行完成请同学们自行完成请同学们自行完成 ！方法二方法二方法二方法二 取支座取支座取支座取支座 A A 处阻止梁转动处阻止梁转动处阻止梁转动处阻止梁转动的约束为多余约束的约束为多余约束的约束为多余约束的约束为多余约束.ABqlABqlMA65例题例题例题例题9 9 梁梁梁梁ACAC如图所示如图所示如图所示如图所示,梁的梁的梁的梁的A A端用一钢杆端用一钢杆端用一钢杆端用一钢杆ADAD与梁与梁与梁与梁ACAC铰接铰接铰接铰接,在梁受在梁受在梁受在梁受荷载作用前荷载作用前荷载作用前荷载作用前,杆杆杆杆ADAD内没有内力内没有内力内没有内力内没有内力,已知梁和杆用同样的钢材制成已知梁和杆用同样的钢材制成已知梁和杆用同样的钢材制成已知梁和杆用同样的钢材制成,材材材材料的弹性模量为料的弹性模量为料的弹性模量为料的弹性模量为E E,钢梁横截面的惯性矩为钢梁横截面的惯性矩为钢梁横截面的惯性矩为钢梁横截面的惯性矩为I I,拉杆横截面的面积为拉杆横截面的面积为拉杆横截面的面积为拉杆横截面的面积为A A,其余尺寸见图其余尺寸见图其余尺寸见图其余尺寸见图,试求钢杆试求钢杆试求钢杆试求钢杆ADAD内的拉力内的拉力内的拉力内的拉力F FN N.a2aABCq2qDl这是一次超静定问题这是一次超静定问题这是一次超静定问题这是一次超静定问题66CADBq2qAFNFN A A点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于A A点点点点.即即即即解解解解:将将将将ADAD杆与梁杆与梁杆与梁杆与梁ACAC之间的连结绞看作多余约束之间的连结绞看作多余约束之间的连结绞看作多余约束之间的连结绞看作多余约束.拉力拉力拉力拉力F FN N为多余反为多余反为多余反为多余反力力力力.基本静定系如图基本静定系如图基本静定系如图基本静定系如图ADBCq2qFNFNA A1 167变形几何方程为变形几何方程为变形几何方程为变形几何方程为根据叠加法根据叠加法根据叠加法根据叠加法A A端的挠度为端的挠度为端的挠度为端的挠度为BCq2qFNBCq2q在例题在例题在例题在例题 中已求得中已求得中已求得中已求得CFNB本题便于分析，取挠度向下为正本题便于分析，取挠度向下为正68拉杆拉杆拉杆拉杆 ADAD 的伸长为的伸长为的伸长为的伸长为:补充方程为补充方程为补充方程为补充方程为:由此解得由此解得由此解得由此解得:ADBCq2qFNFN69例题例题例题例题 10 10 求图示梁的支反力求图示梁的支反力求图示梁的支反力求图示梁的支反力,并绘梁的剪力图和弯矩图并绘梁的剪力图和弯矩图并绘梁的剪力图和弯矩图并绘梁的剪力图和弯矩图.已知已知已知已知 EIEI=5 =5 10 103 3 kNmkNm3 3.4m3m2mABDC30kN20kN/m70解解解解:这是一次超静定问题这是一次超静定问题这是一次超静定问题这是一次超静定问题 取支座取支座取支座取支座 B B 截面上的相截面上的相截面上的相截面上的相对转动约束为多余约束对转动约束为多余约束对转动约束为多余约束对转动约束为多余约束.基本静定系为在基本静定系为在基本静定系为在基本静定系为在 B B 支支支支座截面上安置铰的静定梁座截面上安置铰的静定梁座截面上安置铰的静定梁座截面上安置铰的静定梁,如图所示如图所示如图所示如图所示.4m3m2mABDC30kN20kN/m4m3m2mABDC30kN20kN/m 多余反力为分别作用于多余反力为分别作用于多余反力为分别作用于多余反力为分别作用于简支梁简支梁简支梁简支梁AB AB 和和和和 BC BC 的的的的 B B端端端端处的一对弯矩处的一对弯矩处的一对弯矩处的一对弯矩 MMB B.变形相容条件为，简变形相容条件为，简变形相容条件为，简变形相容条件为，简支梁支梁支梁支梁ABAB的的的的 B B 截面转角和截面转角和截面转角和截面转角和 BCBC梁梁梁梁 B B 截面的转角相等截面的转角相等截面的转角相等截面的转角相等.MB71由表中查得由表中查得由表中查得由表中查得:4m3m2mABDC30kN20kN/mDAB30kN20kN/mMBC72补充方程为补充方程为补充方程为补充方程为:解得解得解得解得:负号表示负号表示负号表示负号表示B B截面弯截面弯截面弯截面弯矩与假设相反矩与假设相反矩与假设相反矩与假设相反.4m3m2mABDC30kNDAB30kN20kN/m20kN/mMBC73 由基本静定系的平衡方程由基本静定系的平衡方程由基本静定系的平衡方程由基本静定系的平衡方程可求得其余反力可求得其余反力可求得其余反力可求得其余反力 在基本静定系上绘出剪力图在基本静定系上绘出剪力图在基本静定系上绘出剪力图在基本静定系上绘出剪力图和弯矩图和弯矩图和弯矩图和弯矩图.4m3m2mABDC30kN20kN/m+-32.0547.9518.4011.64+-25.6831.8023.281.603m-+74 6-6 提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施 影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关,而且而且而且而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关.所以所以所以所以,要想提高要想提高要想提高要想提高弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度,就应从上述各种因素入手就应从上述各种因素入手就应从上述各种因素入手就应从上述各种因素入手.一、增大梁的抗弯刚度一、增大梁的抗弯刚度一、增大梁的抗弯刚度一、增大梁的抗弯刚度EIEI 工程中常采用工字形、箱形截面工程中常采用工字形、箱形截面工程中常采用工字形、箱形截面工程中常采用工字形、箱形截面75 设法缩短梁的跨长设法缩短梁的跨长设法缩短梁的跨长设法缩短梁的跨长,将能显著地减小其挠度和转角，这是提将能显著地减小其挠度和转角，这是提将能显著地减小其挠度和转角，这是提将能显著地减小其挠度和转角，这是提高梁的刚度的一个很又效的措施高梁的刚度的一个很又效的措施高梁的刚度的一个很又效的措施高梁的