弹性力学---绪论.pptx

1弹性力学弹性力学 蒋玉川蒋玉川 2011.3.192 2教师：蒋玉川教师：蒋玉川单位：建环学院、土木系单位：建环学院、土木系职称：教授职称：教授 3主要内容主要内容主要内容主要内容v第第1 1章章 绪论及预备知识绪论及预备知识v第第2章章 应力分析应力分析v第第3章章 应变分析应变分析v第第4章章 Hook Hook 定律定律v第第5 5章章 弹性力学问题的解法弹性力学问题的解法v第第6 6章章 柱体的扭转柱体的扭转v第第7 7章章 平面问题直角坐标解平面问题直角坐标解v第第8 8章章 平面问题极坐标解平面问题极坐标解v第第9 9章章 能量原理及其变分法能量原理及其变分法v第第1010章章 薄板弯曲薄板弯曲 1-1 弹性力学的任务和研究对象弹性力学的任务和研究对象 1-2 弹性力学的研究方法弹性力学的研究方法 1-3 弹性力学的基本假设弹性力学的基本假设 1-4 弹性力学的发展史弹性力学的发展史 1-5 弹性力学的经典问题弹性力学的经典问题 1-6 张量简介张量简介第第第第1 1 1 1章章章章 绪论绪论绪论绪论及预备知识及预备知识及预备知识及预备知识5u1-1 1-1 弹性力学的任务和研究对象弹性力学的任务和研究对象u 弹弹性性力力学学又又称称弹弹性性理理论论，是是固固体体力力学学的的一一门门重重要要的的学学科科，它它的的任任务务是是研研究究固固体体在在弹弹性性变变形形时时的的力力学学行行为为,即即在在力力和和温温度度等等外外部部因因素素作作用用下下发发生生弹弹性性变变形形时时的的应应力力和和应应变变规规律律，为为工工程程结结构构及及其其构构件件的的强强度度、刚刚度、稳定性的设计提供理论基础。度、稳定性的设计提供理论基础。6u 弹弹性性力力学学的的研研究究对对象象是是一一般般弹弹性性固固体体，既既粗粗短短杆杆、板板、壳壳，块块体体，即即使使是是细细长长杆杆，材材料料力力学学关关于于平平截截面面基基本本假假设设也也不不再再适适用用，弹弹性性力力学学还还研研究究非非圆圆截截面面杆杆的的扭扭转转、弯弯曲曲，孔孔洞洞的的应应力力集集中中，弹弹性性波波等问题。等问题。(a)材料力学材料力学(b)弹性力学弹性力学7材料力学的研究对象是杆件，平面假设确定材料力学的研究对象是杆件，平面假设确定横截面变形。横截面变形。一维数学问题一维数学问题，求解的基本方程是常微，求解的基本方程是常微分方程。分方程。弹性力学的弹性力学的研究对象研究对象是是完全弹性体完全弹性体。只能从只能从微分单元体微分单元体入手，入手，三维数学问题三维数学问题，综合分析的结果是，综合分析的结果是偏微分方偏微分方程边值问题程边值问题。8u 弹弹性性力力学学是是一一门门技技术术基基础础课课，它它不不仅仅是是固固体体力力学学的的一一门门重重要要基基础础学学科科，即即，它它是是固固体体力力学学的的其其它它分分支支学学科科，如如塑塑性性力力学学，有有限限单单元元法法，板板壳壳力力学学，断断裂裂力力学学，复复合合材材料料力力学学，实实验验力力学学等等的的基基础础，而而且且又又是是学学习习土土建建、水水利利、桥桥梁梁、机机械械、航航空空等等专专业业课课程程所所必必备备的的理理论论基基础础。如如土土力力学学、岩岩石石力力学学中中广泛地用到弹性力学的理论。广泛地用到弹性力学的理论。91-2 1-2 弹性力学的研究方法弹性力学的研究方法 弹弹性性力力学学的的研研究究方方法法遵遵循循如如下下规规律律，即即从从工工程程结结构构中中抽抽象象、简简化化成成用用以以代代替替研研究究对对象象或或工工程程结结构构物物的的理理想想化化的的分分析析对对象象即即力学模型力学模型.在在此此基基础础上上，建建立立相相应应的的数数学学模模型型，并并寻寻求求数数学学方方程程的的求求解解方方法法，因因此此势势必必依依赖赖于于数数学学工工具具对对力力学学模模型型及及其其响响应应(如如位位移移应应力力和和应应变变)建建立立起起描描述述变变化化规规律律的的数学方程，即数学方程，即数学模型数学模型.10 求解弹性力学问题归纳为以下三种方法：求解弹性力学问题归纳为以下三种方法：1解解析析法法：弹弹性性力力学学问问题题的的求求解解从从本本质质上上可可以以视视为为一一个个内内部部超超静静定定问问题题，其其求求解解可可以以归归纳纳为为一一个个偏偏微微分分方方程程的的边边值值问问题题，常常用用的的方方法法为为分分离离变变量量法法，即即运运用用力力学学概概念念设设法法分分离离变变量量，将将偏偏微微分分方方程程组组解解耦耦并并化化为为常常微微分分方方程程，另另外外还还有有级级数数解解法法，复复变变函函数数解解法法，积积分分变变换换等等，其解答为封闭的精确解。其解答为封闭的精确解。112数值法 由由于于人人类类思思维维的的局局限限，使使人人们们无无法法将将复复杂的宇宙万物只用简单的表达式来概括。杂的宇宙万物只用简单的表达式来概括。事事实实上上，工工程程上上的的实实际际问问题题真真正正能能获获得得解解析析解解的的情情况况实实属属少少数数，因因此此，基基于于能能量量变变分分原原理理的的直直接接解解法法，开开创创了了近近似似求求解解弹弹性性理理论论问问题题的的新新途途径径，随随着着电电子子计计算算机机的的发发展展，有有限限差差分分法法，有有限限单单元元法法、边边界界单单元元法法、无无网网格格法法等等各各种种有有效效的的数数值值计计算算方方法法迅迅速速发发展展起起来来，现现在在要要对对各各种种复复杂杂工工程程结构进行弹性分析已没有原则上的困难。结构进行弹性分析已没有原则上的困难。123.实验方法实验方法二者结合的方法二者结合的方法弹性力学的基本方程弹性力学的基本方程偏微分方程的边偏微分方程的边值问题值问题，求解的方法有解析法和近似解法。，求解的方法有解析法和近似解法。解析法在数学上难度极大，因此仅适用于解析法在数学上难度极大，因此仅适用于个别特殊边界条件问题。个别特殊边界条件问题。近似解法对于弹性力学有重要意义。近似解法对于弹性力学有重要意义。1314圆孔应力集中的单元划分圆孔应力集中的单元划分15圆孔应力集中的圆孔应力集中的FEMFEM解解16圆孔等应力线图圆孔等应力线图17 1-3 弹性力学的基本假设陈述如下：一、连续性假设一、连续性假设(continuity)所所谓谓连连续续性性指指的的是是构构成成物物体体的的材材料料是是密密实实无无间间的的连连续续介介质质。按按此此假假设设，无无论论是是整整个个弹弹性性体体还还是是其其内内部部任任何何一一个个构构成成单单元元以以及及单单元元的的界界面面之之间间，也也无无论论是是在在加加载载之之前前还还是是在在变变形形之之后后，材材料料都都是是连连续续的的，因因而而可可以以认认为为物物体体内内任任何何点点处处的的位位移移，应应力力和和应应变变等等力力学学量也都是空间位置的连续函数量也都是空间位置的连续函数.18二二、均均匀匀(uniformity)与与各各向向同同性性(isotropy)假设假设 所所谓谓均均质质性性指指的的是是物物体体内内各各处处材材料料的的力力学学性性质都相同，与各点的空间位置无关，质都相同，与各点的空间位置无关，所所谓谓各各向向同同性性在在在在各各各各个个个个方方方方向向向向的的的的力力力力学学学学性性性性能能能能都都都都一一一一样样样样的的的的材料称为各向同性材料材料称为各向同性材料材料称为各向同性材料材料称为各向同性材料.钢钢材材，陶陶瓷瓷，甚甚至至混混凝凝土土，均均可可以以认认为为是是均均匀匀和和各各向向同同性性的的，但但竹竹木木等等纤纤维维材材料料以以及及现现代代复复合合材材料料等等，它它们们的的力力学学性性质质随随方方向向不不同同而而有有明明显显差异，则为各向异性材料。差异，则为各向异性材料。19 各向异性各向异性(an-isotropy)在各个方向力学性能不一样的材料称为在各个方向力学性能不一样的材料称为在各个方向力学性能不一样的材料称为在各个方向力学性能不一样的材料称为各向异性材料各向异性材料各向异性材料各向异性材料.20三、小变形假设三、小变形假设（Small deformations)经经典典弹弹性性力力学学只只限限于于研研究究小小变变形形情情况况，即即弹弹性性体体的的位位移移将将远远远远小小于于其其宏宏观观尺尺寸寸，弹弹性性体体的的线线应应变变及及角角应应变变将将远远远远小小于于1 1，在在小小变变形形情情况况下下，由由于于物物体体在在变变形形后后的的尺尺寸寸与与变变形形前前相相比比相相差差甚甚小小，外外力力的的作作用用方方向向和和分分布布状状况况的的变变化化也也很很小小，故故在在考考虑虑物物体体及及其其任任何何微微单单元元在在变变形形后后的的平平衡衡条条件件时时，仍仍可可以以用用原原始始尺尺寸寸为为基基础础，小小变变形形假假设设又又称称为为几几何何线线性性变变形形假假设设，反反之之，则则称为几何非线性或有限变形问题。称为几何非线性或有限变形问题。21 二阶微量可以忽略二阶微量可以忽略 可以在未变形的构形中进行计算可以在未变形的构形中进行计算h hhb bbL LLh hhb bbL LLv vvmaxmaxmax22四、弹性假设四、弹性假设 线线弹弹性性假假设设认认为为弹弹性性应应力力与与变变形形的的关关系系(本本构构关关系系),为为理理想想的的线线性性关关系系，即即根根据据大大量量的的实实验验结结果果，对对于于钢钢，铜铜等等金金属属材材料料，在在弹弹性性变变形形范范围围内内应应力力为为线线性性关关系系，这这就就是是有有名名的的虎虎克克（Hooke）定定律律。因因此此，服服从从虎虎克克定定律律的的材材料料称称为为线线性性弹弹性性材材料料或或者者线线弹弹性性体体，但但也也有有一一些些材材料料，如如橡橡胶胶，混混凝凝土土，其其应应力力与与变变形形的的关关系系为为非非线线性性，称为材料非线性弹性问题。称为材料非线性弹性问题。23五、初始无应力应变的假设五、初始无应力应变的假设 假假设设物物体体在在未未受受荷荷载载之之前前处处于于一一种种无无应应力力和和应变状态，称为应变状态，称为初始无应力，应变状态。初始无应力，应变状态。实实际际上上物物体体如如金金属属材材料料，通通常常是是要要经经过过各各种种加加工工过过程程，如如冷冷轧轧，热热处处理理，焊焊接接等等而而成成形形的的，从从而而材材料料早早在在受受载载之之前前其其内内部部就就不不可可避避免免地地存存在在着着应应力力，然然而而，在在一一般般情情况况下下，构构件件的的破破坏坏主主要要是是由由外外载载引引起起的的，所所产产生生的的应应力力远远非非初初应应力力可可比比，因因此此，在在建建立立弹弹性性力力学学理理想想模模型型时时采采用用“初初始始无无应应力力，应应变变”的的假假设设是是必必要要而而合合理理的的。另另外外,地地应应力力是是存存在在于于地地层层中中的的天天然然应应力力，称称为为岩岩体体初初始始应应力力，它它对对于于岩岩石石地地下下工工程程的的稳稳定性起着重要的作用。定性起着重要的作用。24 在上述假设基础上建立起来的在上述假设基础上建立起来的弹性理论称为线弹性理论。弹性理论称为线弹性理论。1.41.4 弹性力学的发展史弹性力学的发展史弹性力学的发展史弹性力学的发展史25 弹性力学是一门有悠久历史的学科，早弹性力学是一门有悠久历史的学科，早期研究可以追溯到期研究可以追溯到16781678年，胡克年，胡克（R.HookeR.Hooke）发现胡克定律。）发现胡克定律。这一时期的研究工作主要是通过实验方这一时期的研究工作主要是通过实验方法探索物体的受力与变形之间的关系。法探索物体的受力与变形之间的关系。2626近代弹性力学的研究是近代弹性力学的研究是从从1919世纪开始的。世纪开始的。柯西柯西18281828年提出应力、年提出应力、应变概念，建立了平衡微应变概念，建立了平衡微分方程，几何方程和广义分方程，几何方程和广义胡克定律。胡克定律。柯西的工作是近代弹性柯西的工作是近代弹性力学的一个起点，使得弹力学的一个起点，使得弹性力学成为一门独立的固性力学成为一门独立的固体力学分支学科。体力学分支学科。柯西（柯西（A.L.CauchyA.L.Cauchy）27而后，世界各国的而后，世界各国的一批学者相继进入一批学者相继进入弹性力学研究领域，弹性力学研究领域，使弹性力学进入发使弹性力学进入发展阶段。展阶段。18561856年，圣维南年，圣维南（A.J.Saint-A.J.Saint-VenantVenant）建立了柱）建立了柱体扭转和弯曲的基体扭转和弯曲的基本理论；本理论；圣维南圣维南（A.J.Saint-VenantA.J.Saint-Venant）2818621862年，艾瑞年，艾瑞（G.B.AiryG.B.Airy）发表了关于弹）发表了关于弹性力学的平面理论；性力学的平面理论；18811881年，赫兹建立了接触年，赫兹建立了接触应力理论；应力理论；赫兹（赫兹（H.HertzH.Hertz）2918681868年，基尔霍夫建立年，基尔霍夫建立了平板理论了平板理论;1824年年生生於於德德国国，1887年年逝逝世世。曾曾在在海海登登堡堡大大学学和和柏柏林林大大学学任任物物理理学学教教授授，他他发发现现了了电电学学中中的的“基基尔尔霍霍夫夫定定理理”，同同时时也也对对弹弹性性力力学学，特特别别是是薄薄板板理理论论的的研研究究作作出重要贡献。出重要贡献。基尔霍夫基尔霍夫(G.R.Kirchoff)(G.R.Kirchoff)3019301930年，年，MuskhelishviliMuskhelishvili等等发展了应用复变函数发展了应用复变函数理论求解弹性力学问题的方法等。理论求解弹性力学问题的方法等。另一个重要理论成果是建立一种能量原理；另一个重要理论成果是建立一种能量原理；提出一系列基于能量原理的近似计算方法。提出一系列基于能量原理的近似计算方法。许多科学家许多科学家.像拉格朗日像拉格朗日(J.L.Lagrange)，乐甫，乐甫(A.E.H.Love)，铁木辛柯铁木辛柯(S.P.Timoshenko)做出了做出了贡献。贡献。中国科学家钱伟长，钱学森，徐芝伦，胡海昌中国科学家钱伟长，钱学森，徐芝伦，胡海昌,等等在弹性力学的发展，特别是在中国的推广应用做出在弹性力学的发展，特别是在中国的推广应用做出了重要贡献。了重要贡献。31钱伟长钱学森胡海昌1.3 发展与研究方法发展与研究方法732徐芝伦杨桂通1.3 发展与研究方法发展与研究方法833弹性力学弹性力学促进数学和自然科学基本理论的建促进数学和自然科学基本理论的建立和发展；立和发展；广泛工程应用广泛工程应用造船、建筑、航空和机械制造造船、建筑、航空和机械制造等。等。发展发展形成了一些专门的分学科；形成了一些专门的分学科；现代科学技术和工程技术现代科学技术和工程技术仍然提出新的理论仍然提出新的理论和工程问题。和工程问题。对于现代工程技术和科研工作者的培养对于现代工程技术和科研工作者的培养对于对于专业基础，思维方法以及独立工作能力都有不可专业基础，思维方法以及独立工作能力都有不可替代的作用。替代的作用。1.3 发展与研究方法发展与研究方法9建筑工程 水利工程航空航天工程船舶机械工程381-5 1-5 经典弹性力学问题经典弹性力学问题经典弹性力学问题经典弹性力学问题u 数学弹性力学的建立数学弹性力学的建立(1).平衡微分方程平衡微分方程(Navier方程方程)提出者提出者:法国工业学院的数学、力学教授纳维埃法国工业学院的数学、力学教授纳维埃(Navier,1785-Navier,1785-18351835于于18211821年发表的年发表的”弹性固体的平衡与运动的研究报告弹性固体的平衡与运动的研究报告”.39(2).(2).几何方程几何方程(Cauchy(Cauchy方程方程)提出者提出者:法国工业学院的数学、力学教授柯西法国工业学院的数学、力学教授柯西(Cauchy,1789-1857)(Cauchy,1789-1857)于于18221822年发表的论文年发表的论文.40(3).物理方程物理方程广义虎克定律广义虎克定律提出者提出者:扬扬(Thoms Young,1773-1829),(Thoms Young,1773-1829),英国物理学家英国物理学家和考古学家和考古学家,他利用罗赛塔石他利用罗赛塔石(Rosetta)(Rosetta)辨认了辨认了埃及的象形文字埃及的象形文字.他给出了应力应变间的定量数值他给出了应力应变间的定量数值关系关系,从而使弹性力学正式成为一门科学从而使弹性力学正式成为一门科学.41薄板横向弯曲方程基本方程的应用基本方程的应用-经典弹性力学问题经典弹性力学问题提出者提出者 泊松泊松(Poisson S.D.1781-1840)(Poisson S.D.1781-1840)法国工业法国工业学院的数学教授学院的数学教授yxzob42厚壁圆筒解答厚壁圆筒解答提出者提出者:拉梅拉梅(G.Lame,1795-1870)(G.Lame,1795-1870)法国工业学院毕业后赴俄法国工业学院毕业后赴俄国任教国任教,此解答在其此解答在其18331833发表的研究报告发表的研究报告“均质固定的均质固定的内部平衡内部平衡”中发表中发表.43半空间体、半平面体表面受集中力的解答半空间体、半平面体表面受集中力的解答提出者提出者:圣圣维维南南的的学学生生,巴巴黎黎大大学学力力学学教教授授包包辛辛乃乃斯斯克克(J.V.Boussinesq(J.V.Boussinesq 1842-1929)1842-1929)在在他他的的著著作作“弹弹性性固固体体的平衡和运动中的能的应用的平衡和运动中的能的应用”中发表的中发表的.44楔形体解答yx提出者提出者 法国中央制造工艺学院力学教授列维法国中央制造工艺学院力学教授列维(M.Levy,1838-(M.Levy,1838-1910),1910),他还提出了薄板弯曲的单级数解答他还提出了薄板弯曲的单级数解答.45二维弹性力学问题-应力函数引入应力函数引入应力函数提出者提出者 英国剑桥大学数学教授艾雷英国剑桥大学数学教授艾雷(G.R.Airy,1801-1892).(G.R.Airy,1801-1892).46柱体的弯曲与扭转柱体的弯曲与扭转图6-1提出者提出者 法法国国数数学学、力力学学家家圣圣维维南南(Saint-Venan,1797-(Saint-Venan,1797-1886),18531886),1853年年给给出出柱柱体体的的弯弯曲曲与与扭扭转转的的半半逆逆解解法法.1853.1853年在向法国科学院的报告中年在向法国科学院的报告中,提出著名的原理提出著名的原理.47复变函数复变函数法 提出者提出者:H.N.:H.N.穆斯海里什维利穆斯海里什维利“数学弹性力数学弹性力学中的几个基本问题学中的几个基本问题”.将平面问题的应力函数以及应力、位移均用将平面问题的应力函数以及应力、位移均用复变函数表示复变函数表示,借助应力边界条件、位移边界条借助应力边界条件、位移边界条件、应力有限大等定解条件件、应力有限大等定解条件,确定复变函数确定复变函数.适合解孔口应力集中适合解孔口应力集中,裂纹附近的应力集中裂纹附近的应力集中.48变分法变分法-极小势能原理极小势能原理 在给定的外力作用下在给定的外力作用下,在满足位移边界条件的所在满足位移边界条件的所有各组位移中间有各组位移中间,实际存在的位移使总势能成为极实际存在的位移使总势能成为极值值.它将解微分方程的问题转变成解泛函极值问题它将解微分方程的问题转变成解泛函极值问题.提出者提出者:雷来雷来-里兹里兹,伽辽金伽辽金,拉格朗日等拉格朗日等.如如:伽伽辽辽金金(B.G.Galerkin,1871-1945),(B.G.Galerkin,1871-1945),俄俄国国科科学学院院院院士士,彼彼得得堡堡技技术术学学院院应应用用力力学学教教研研室室主主任任.他他在在弹弹性性力力学学的的板板壳壳问问题题、弹弹性性稳稳定定等等方方面面有有重重要要成成果果.1930.1930它它给给出出的的近近似似计计算算方方法法称称为为伽伽辽金加权残量法辽金加权残量法.491.6 1.6 张张 量量 简简 介介 在在弹弹性性力力学学、塑塑性性力力学学和和有有限限单单元元法法中中，经经常常采采用用矢矢量量和和张张量量，其其特特点点是是简简洁洁扼扼要要，全全部部列列出出所所有有分分量量而而不不遗遗漏漏，而而且且排排列列有有序序，便便于于公公式式推推导导和和编编制制计计算算机机程程序序。因因此此，掌掌握握指指标标符符号号、求求和和约约定定以以及及张张量量的的基基本本知知识识对对于于学学习习弹弹性性力力学学及及有有限限单单元元法法是是十十分分重重要要的的。下下面面将将具具体体介介绍绍指指标标符符号号、求求和和约约定定以以及及矢矢量量、张张量量的的基基本本知识。知识。501.5.1 1.5.1 指标符号与求和约定指标符号与求和约定求和式为求和式为:可以应用求和符号写成可以应用求和符号写成:我我们们约约定定，当当在在同同一一项项中中有有一一个个下下标标出出现现两两次次时时，则则对对此此下下标标从从1到到n求求和和，这这叫叫做做求求和和约约定定，也也称称为为爱爱因因斯斯坦坦求求和和约约定定。并并且且我我们们把把同同一一项项中中重重复复出出现现的的指指标标称称为为哑指标哑指标哑指标哑指标。51因此，因此，上上式可以写成式可以写成:例如例如:52可以写成可以写成 :式中：式中：i i为为自由指标自由指标，同一项中只出现一次，同一项中只出现一次，同一方程中，各项的自由指标应相同。同一方程中，各项的自由指标应相同。j j为为哑指标哑指标，表示求和，同一项中重复出现。表示求和，同一项中重复出现。一方面通过哑指标对求和起缩写的作用，另一一方面通过哑指标对求和起缩写的作用，另一方面，通过自由指标可将方程组缩写为一个指标方面，通过自由指标可将方程组缩写为一个指标符号方程。符号方程。1.5.2 1.5.2 克罗内克符号克罗内克符号ij与符号与符号eijkKronecker符号的定义是符号的定义是:53定义式表明它的指标定义式表明它的指标i i和和j j是对称的，即是对称的，即克罗内克符号写成矩阵形式为克罗内克符号写成矩阵形式为:符号符号ij在运算中其到在运算中其到指标置换指标置换的作用，当的作用，当ij的某的某一指标与任意一个指标符号的一个指标构成哑指标一指标与任意一个指标符号的一个指标构成哑指标时，所起的作用是将该指标符号的这个指标换成时，所起的作用是将该指标符号的这个指标换成ij的另一指标。的另一指标。54且：且：所以所以,ij也称为换标符号。也称为换标符号。另另一一个个常常用用的的特特定定指指标标符符号号是是排排列列符符号号eijk，最最常用的三指标的排列符号，指标取值范围为常用的三指标的排列符号，指标取值范围为123123。55 eijk适适用用于于三三阶阶行行列列式式的的展展开开，如如将将行行列列式式的的元元素素记记作作amn，则三阶行列式的展开式简写为，则三阶行列式的展开式简写为:123123是是这这三三个个数数的的顺顺序序排排列列，其其中中任任意意两两数数交交换换一一次次称称为为一一次次置置换换。由由顺顺序序排排列列经经奇奇数数次次置置换换所所得得称称为为奇奇排排列列，如如213213是是奇奇排排列列，由由顺顺序序排排列列经经偶偶数数次次置置换换所所得得称称为为偶偶排排列列，如如：312312为为偶偶排排列列。其其它它所所有有不不能能由由顺顺序序排排列列经经置置换换得到的称为非排列序列，如：得到的称为非排列序列，如：121121，111111。561.5.3 1.5.3 矢量的坐标变换矢量的坐标变换 矢矢量量A的的分分量量在在新新坐坐标标系系中中的的分分量量Ai与与在在旧旧坐坐标标系中的分量系中的分量Ai有如下关系式：有如下关系式：ai j 表示表示x i和和xj之间的方向余弦之间的方向余弦:x1x2x3x1x2x3图图图图1-11-11-11-1o57上式可以写成：上式可以写成：或者反过来写成：或者反过来写成：式中式中aij,aji代表方向余弦，即代表方向余弦，即(1-15)(1-15)(1-15)(1-15)(1-16)(1-16)(1-16)(1-16)x1x2x3x1x2x3图图图图1-11-11-11-1o58 应应用用克克罗罗内内克克符符号号ij，任任何何一一个个矢矢量量的的分分量量可以写成可以写成(1-18)(1-18)从方程从方程(1-15)(1-15)和和(1-16)(1-16)，可以得到，可以得到(1-19)(1-19)将将(1-19)(1-19)式代入式代入(1-18)(1-18)式可以得到下列形式式可以得到下列形式:1.5.4 1.5.4 正交关系正交关系59同理可得：同理可得：(1-(1-22)22)方程方程(1-21)(1-21)和和(1-22)(1-22)称为方向余弦之间的正交关系称为方向余弦之间的正交关系 由于矢量的分量由于矢量的分量Aj的任意性，于是得到如下的任意性，于是得到如下正交关系：正交关系：(1-21)(1-21)(1-20)(1-20)601.5.5 1.5.5 直角坐标张量直角坐标张量1.1.张量的坐标变换定义：张量的坐标变换定义：张张量量即即某某些些依依赖赖坐坐标标轴轴方方向向选选择择的的量量，随随坐坐标标的的方方向向变变换以某种指定的形式作变换，则这些量的总称为张量。换以某种指定的形式作变换，则这些量的总称为张量。张量对应于每一个坐标方向具有一个低一阶的张量分量，张量对应于每一个坐标方向具有一个低一阶的张量分量，而且必须满足坐标变换关系。而且必须满足坐标变换关系。现现在在分分析析二二阶阶张张量量，如如物物体体中中一一点点的的应应力力状状态态ij为为二二阶阶张张量量，共共有有9 9个个分分量量，对对应应于于每每一一个个坐坐标标方方向向有有3 3个个分分量量，如如在在x轴轴方方向向有有11、21、31三三个个分分量量为为一一阶阶张张量量，ij在在两两个个不不同的直角坐标系间的坐标变换用张量表示为：同的直角坐标系间的坐标变换用张量表示为：61(1-23)(1-23)当当坐坐标标变变换换时时，服服从从一一定定坐坐标标变变换换的的数数所所定定义义的的量量称称为为张张量量。式式(1-23)(1-23)称称为为二二阶阶张张量量的的解解析析定定义义式式。式中lim、ljn为为新新老老坐坐标标之之间间的的方方向向余余弦弦，这这种种坐坐标标变变换换可可以以推推广广到到更更高高阶张量，即阶张量，即(1-24)(1-24)(1-25)(1-25)张张量量的的阶阶数数就就是是自自由由指指标标的的个个数数，如如式式(1-24)(1-24)中中，自自由由指指标标为为共共三三个个，所所以以，为为三三阶阶张张量量。在在三三维维空空间间中中，张张量量的分量数分别为。的分量数分别为。621.1.张量的性质张量的性质张量相等是指各相应分量相等，记为张量相等是指各相应分量相等，记为 同阶张量的和与差仍为同阶张量，记为同阶张量的和与差仍为同阶张量，记为张量相乘，自由指标数目增加，即张量张量相乘，自由指标数目增加，即张量增阶增阶，如：，如：式式(1-28)(1-28)中中，一一阶阶张张量量与与二二阶阶张张量量相相乘乘，变变为为三三阶张量。这种增阶的张量相乘称为张量的阶张量。这种增阶的张量相乘称为张量的外积外积。(1-28)(1-28)63 张张量量相相乘乘遇遇到到相相同同指指标标，即即哑哑指指标标时时，张量张量缩阶缩阶，如，如 缩阶是由于有这种相同指标，故这种张量缩阶是由于有这种相同指标，故这种张量相乘称为张量的相乘称为张量的内积内积。例如例如:极端各向异性的广义极端各向异性的广义HookeHooke定理定理64 (1-30)(1-30)这里这里n ni i表示了面积上的单位法向矢量的分量。方表示了面积上的单位法向矢量的分量。方程右边的程右边的“，”表示对求表示对求x xi i偏导数。偏导数。1.5.6 1.5.6 格林理论格林理论 如如果果B表表示示的的是是任任意意标标量量或或矢矢量量、张张量量的的标标量量分分量量，格格林林理理论论的的线线、面面积积分分转转换换的的关关系系式式(又又称称为为奥奥-高公式高公式)为为65 另另外外，方方程程(1-30)(1-30)也也可可以以应应用用于于矢矢量量的的分量分量Bi和二阶张量的分量和二阶张量的分量Bji，即，即和和 (1-31)(1-31)(1-32)(1-32)展开形式展开形式66