必修四平面向量专题.doc

平面向量的基本概念与线性运算

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1、了解向量、向量的相等、共线向量等概念；
2、掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．
3、熟练掌握向量的线性运算法则：加法法则，减法法则，数乘法则.

*创设情境 兴趣导入
如图7－1所示，用100N①的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？

图7－1
一、 平面向量的概念：
1、平面向量：在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．
平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作．

a
A
B

图7－2
2、 向量的模长：向量的大小叫做向量的模．向量a, 的模依次记作，．
3、 零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．
4、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．
5、 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．
规定：0与任一向量平行．
6、 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．
7、相反向量：与向量a长度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．
二、 平面向量的基本运算：
一般地，a＋b叫做a, b的一个线性组合（其中,均为系数）．如果l ＝a＋ b，则称l可以用a，b线性表示．
向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算．
1、 三角形法则：
位移叫做位移与位移的和，记作=+．
图7－7
A
C
B
a
b
a+b
a
b

一般地，设向量a与向量b不共线，在平面上任取一点A(如图7－6)，依次作=a, =b，则向量叫做向量a与向量b的和，记作a＋b ，即
a＋b =＋= （7．1）
求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则．
2、平行四边形法则：如图7－9所示， ABCD为平行四边形，由于=，根据三角形法则得
图7－9

A
D
C
B

＋=＋=

这说明，在平行四边形ABCD中， 所表示的向量就是与的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则．
平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：
（1）a＋0 = 0＋a = a； a＋（−a）= 0；（2）a＋b=b＋a；（3）（a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．
3、平面向量减法法则：
与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差．即
a −b = a＋(−b)．设a，b ，则．
即 = （7．2）
观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a、 b，其差a－b仍然是一个向量，叫做a与b的差向量，其起点是减向量b的终点，终点是被减向量a的终点．
a
A
a-b
B
b
O
图7－13

一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的模为
（7．3）
若0，则当＞0时，a的方向与a的方向相同，当＜0时，a的方向与a的方向相反．
由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当时，有
（7．4）
一般地，有
0a= 0, 0 = 0 ．　　　　
数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于任意向量a, b及任意实数，向量数乘运算满足如下的法则：

题型1　平面向量的基本概念
例1　给出下列六个命题：
① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
② 若|a|＝|b|，则a＝b；
③ 若＝，则A、B、C、D四点构成平行四边形；
④ 在ABCD中，一定有＝；
⑤ 若m＝n，n＝p，则m＝p；
⑥ 若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中错误的命题有________．(填序号)

例2 在平行四边形ABCD中（图7－5），O为对角线交点．
A
D
C
B
图7－5
O
（1）找出与向量相等的向量；
（2）找出向量的负向量；
（3）找出与向量平行的向量．

练习：
1． 如图，ABC中，D、E、F分别是三边的中点，试写出
（1）与相等的向量；（2）与共线的向量．
F
A
D
B
E
C
（练习题1．1．1第2题图）
第1题图
E
F
A
B
C
D
O
（图1－8）
第2题图

2．如图，O点是正六边形ABCDEF的中心，试写出
（1）与相等的向量； （2）的负向量； （3）与

题型2　向量的线性表示
A
B
D
C
图7－10
例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5 km/h，求该船的实际航行速度．

F1
F2
k

图7－11
*例4 用两条同样的绳子挂一个物体（图7－11）．设物体的重力为k，两条绳子与垂线的夹角为，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力与的大小．

练习：
1． 如图，已知a，b，求a＋b．
（图1－15）
b
b
a
a
（1）
（2）
第1题图
2．填空（向量如图所示）：
（1）a＋b =_____________ ,
（2）b＋c =_____________ ,
（3）a＋b＋c =_____________ ．
3．计算：
（1）＋＋； （2）＋＋．

例5 已知如图7－14（1）所示向量a 、b ，请画出向量a－b．
B
b
O
a
A
b
a
（1）
（2）
图7－14

练习：
1．填空：（1）=_______________，
（2）=______________，
（3）=______________．
2．如图，在平行四边形ABCD中，设= a,= b，试用a, b表示向量、、．

图7－16
例6 在平行四边形ABCD中，O为两对角线交点如图7－16，＝a ，＝b，试用a, b表示向量、．

练习：
1． 计算：（1）3（a −2 b）－2（2 a＋b）；
（2）3 a −2（3 a −4 b）＋3（a −b）．

图7－16
2．设a, b不共线，求作有向线段，使＝（a＋b）．
解：

例7　平行四边形OADB的对角线交点为C，＝，＝，＝a，＝b，用a、b表示、、.

练习：
练习：在△ABC中，E、F分别为AC、AB的中点，BE与CF相交于G点，设＝a，＝b，试用a，b表示.

题型3　共线向量
例8　设两个非零向量a与b不共线．
(1) 若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A、B、D三点共线；
(2) 试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

练习：
已知a、b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ、μ∈R)，当A、B、C三点共线时λ、μ满足的条件为________．

题型4　向量共线的应用
例4　如图所示，设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△AOB与△AOC的面积之比为________．

练习：
如图，△ABC中，在AC上取一点N，使AN＝AC；在AB上取一点M，使得AM＝AB；在BN的延长线上取点P，使得NP＝BN；在CM的延长线上取点Q，使得＝λ时，＝，试确定λ的值．

一、选择题
1．在下列判断中，正确的是(　　)
①长度为0的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③单位向量的长度都相等；
④单位向量都是同方向；
⑤任意向量与零向量都共线．
A．①②③ B．②③④ C．①②⑤ D．①③⑤
2．向量(＋)＋(＋)＋等于(　　)
A． B．
C． D．
3．若a、b为非零向量，则下列说法中不正确的是(　　)
A．若向量a与b方向相反，且|a|>|b|，则向量a＋b与a的方向相同
B．若向量a与b方向相反，且|a|<|b|，则向量a＋b与a的方向相同
C．若向量a与b方向相同，则向量a＋b与a的方向相同
D．若向量a与b方向相同，则向量a＋b与b的方向相同
4．已知下列各式：①＋＋；②＋＋＋；③＋＋＋.其中结果为零向量的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
二、填空题
5．等腰梯形ABCD两腰上的向量与的关系是________．
6．如图所示，已知梯形ABCD，AD∥BC，则＋＋＝________.

三、解答题
7．如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形．在图中所示的向量中：

(1)分别写出，相等的向量；
(2)写出与共线的向量；
(3)写出与的模相等的向量；
(4)向量与是否相等？
8.梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，M、N分别是CD和AB的中点，若=a，=b，试用a、b表示和，则=________，=______.

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基础巩固
一、选择题
1．把平面上一切单位向量平移到共同始点，那么这些向量的终点构成的图形是(　　)
A．一条线段　　　　　　　　 B．一段圆弧
C．两个孤立的点 D．一个圆
2．把所有相等的向量平移到同一起点后，这些向量的终点将落在(　　)
A．同一个圆上 B．同一个点上
C．同一条直线上 D．以上都有可能
4．有下列说法：
①时间、摩擦力、重力都是向量；
②向量的模是一个正实数；
③相等向量一定是平行向量；
④共线向量一定在同一直线上．
其中，正确说法的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
5．下列说法错误的是(　　)
A．作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量
B．向量可以用有向线段表示，但有向线段并不是向量
C．只有零向量的模等于0
D．零向量没有方向
6．如图所示，圆O上有三点A、B、C，则向量、、是(　　)
A．有相同起点的相等向量
B．单位向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
9．a、b、a＋b为非零向量，且a＋b平分a与b的夹角，则(　　)
A．a＝b B．a⊥b
C．|a|＝|b| D．以上都不对

10．△ABC中，D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，则下面结论正确的是(　　)

A．＝＋ B．＋＝0
C．＋＋≠0 D．＋＋≠0
12．在四边形ABCD中，＝＋，则四边形ABCD一定是(　　)
A．矩形 B．菱形
C．正方形 D．平行四边形
二、填空题
12．若D、E、F分别是△ABC的三边AB、BC、AC的中点，则与向量相等的向量为________．
16．根据右图填空：
b＋c＝________；
a＋d＝________；
b＋c＋d＝________；
f＋e＝________；
e＋g＝________.
三、解答题
17．某人从A点出发，向东走到B点，然后，再向正北方向走了60m到达C点．已知||＝120m，求的方向和A、B的距离．

18．两个力F1和F2同时作用在一个物体上，其中F1＝40N，方向向东，F2＝40N，方向向北，求它们的合力．

能力提升
一、选择题
1．若a为任一非零向量，b为其单位向量，下列各式：
①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1；⑤＝b.
其中正确的是(　　)
A．①④⑤ B．③
C．①②③⑤ D．②③⑤
2．如图四边形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是(　　)

A．||＝|| B．与共线 C．＝ D．与共线
3．如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则下列说法中错误的是(　　)

A．图中所标出的向量中与相等的向量只有1个(不含本身)
B．图中所标出的向量中与的模相等的向量有4个(不含本身)
C．的长度恰为长度的倍
D．与不共线
4．四边形ABCD中，若与是共线向量，则四边形ABCD是(　　)
A．平行四边形 B．梯形
C．平行四边形或梯形 D．不是平行四边形也不是梯形
5．已知向量a表示“向东航行1km”向量b表示“向南航行1km”则a＋b表示(　　)
A．向东南航行km B．向东南航行2km
C．向东北航行km D．向东北航行2km

6．在平行四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，＝d，则下列各式中不成立的是(　　)
A．a＋b＝c B．a＋d＝b C．b＋d＝a D．|a＋b|＝|c|
7．已知正方形ABCD的边长为1，＝a、＝b、＝c，则|a＋b＋c|等于(　　)
A．0 B．3 C． D．2
8．下列命题中正确的个数为(　　)
①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a、b之一的方向相同；
②在△ABC中，必有＋＋＝0；
③若＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；
④若a、b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．
A．0 B．1
C．2 D．3
二、填空题
9．若||＝||，且＝，则四边形ABCD的形状为________．
10．已知A、B、C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.
已知||＝|a|＝3，||＝|b|＝3，∠AOB＝90°，则|a＋b|＝________.
11．已知在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，若||＝2，则|＋|＝________.
三、解答题
8．一位模型赛车手摇控一辆赛车，沿直线向正东方向前行1m，逆时针方向旋转α度，继续沿直线向前行进1m，再逆时针旋转α度，按此方法继续操作下去．
(1)按1100的比例作图说明当α＝60°时，操作几次赛车的位移为零．
(2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？请写出其中两个．

9．如图所示，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA边上的点，已知＝，＝，试推断向量与是否为相等向量，说明你的理由．

7．如图所示，在△ABC中，P、Q、R分别为BC、CA、AB边的中点，求证＋＋＝0.

8．轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40n mile(海里)到达B处，再由B处沿正北方向行驶40n mile到达C处．求此时轮船关于A港的相对位置．

9．已知下图中电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力F1＝24N；绳BO与墙壁垂直，所受拉力F2＝12N.求F1和F2的合力．

教师备选题目：

1. 如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设＝a，＝b，若＝2，则＝________．(用向量a和b表示)

2. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________．

3. 设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，AD＝AB，BE＝DC，若＝λ1＋λ2(λ1、λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________．
4. 已知点P在△ABC所在的平面内，若2＋3＋4＝3，则△PAB与△PBC的面积的比值为__________．

1. 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________．
2. 已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，且＝x＋y，则x＋y＝________．
3. 设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________．
4. 已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．
(1) 求＋＋；
(2) 若PQ过△ABO的重心G，且＝a，＝b，＝ma，＝nb，求证：＋＝3.

平面向量基本定理与坐标运算

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1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;
2.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.
3.会用坐标表示平面向量共线的条件，进而解决一些相关问题.
4.了解平面向量的基本定理及其意义.

一、平面向量基本定理：
1．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个_____不共线_____不共线向量，那么对于这一平面内的__任一__向量，有且只有_一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2
特别提醒：
(1)我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一 λ1，λ2是被，，唯一确定的数量

二、平面向量的坐标表示：
如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个__单位向量_ 、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得…………，
我们把叫做向量的（直角）坐标，记作
…………
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示
与相等的向量的坐标也为
特别地，，，
特别提醒：设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示
三、平面向量的坐标运算：
（1） 若，，则=，
=
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差
（2） 若，，则
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标
（3）若和实数，则
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
（4）向量平行的充要条件的坐标表示：设=(x1, y1) ，=(x2, y2) 其中¹
∥ (¹)的充要条件是

类型一　平面向量基本定理的应用
【1】 如图所示，在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.

应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．
【训练1】 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若＝x＋y，则x＝________，y＝________.

[例1] 在△OAB中，，AD与BC交于点M，设=，=，用,表示.
B
C
A
O
M
D

练习：1．若已知、是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( )
A．与— B．3与2 C．＋与— D．与2
2．在△ABC中,已知 AM︰AB =1︰3, AN︰AC =1︰4，BN与CM交于点P,且
,试 用表示.
B
A
C
P
N
M

类型二　平面向量的坐标运算
【例2】 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2.求M，N的坐标和.

利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标．
【训练2】 在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．(－2，－4) B．(－3，－5)
C．(3,5) D．(2,4)
3． 若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则-2=
4．若M(3, -2) N(-5, -1) 且 , 求P点的坐标；
类型三　平面向量共线的坐标运算
【例3】►已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，是否存在实数k，使得ka＋b与a－3b共线，且方向相反？

向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值．
【训练3】 已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝(　　)．
A. B. C. D.
9．已知,当实数取何值时,＋2与2—4平行？

一、选择题
1．设e1、e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是(　　)
A．e1＋e2和e1－e2　　　 B．3e1－2e2和4e2－6e1
C．e1＋2e2和e2＋2e1 D．e2和e1＋e2
2．下面给出了三个命题：
①非零向量a与b共线，则a与b所在的直线平行；
②向量a与b共线的条件是当且仅当存在实数λ1、λ2，使得λ1a＝λ2b；
③平面内的任一向量都可用其它两个向量的线性组合表示．
其中正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
3．给出下列结论：①若a≠b，则|a＋b|<|a|＋|b|；②非零向量a、b共线，则|a＋b|>0；③对任意向量a、b，|a－b|≥0；④若非零向量a、b共线且反向，则|a－b|>|a|.其中正确的有(　　)个．(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
4．已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(x－y)e1＋(2x＋y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值等于(　　)
A．3 B．－3
C．6 D．－6

5．设一直线上三点A，B，P满足＝λ(λ≠±1)，O为平面内任意一点，则用、表示为(　　)
A．＝＋λ B．＝λ＋(1＋λ)
C．＝ D．＝＋
6． 已知向量a＝(1,2)、b＝(3,1)，则b－a＝(　　)
A．(－2,1) B．(2，－1)
C．(2,0) D．(4,3)
7．若向量＝(2,3)、＝(4,7)，则＝(　　)
A．(－2，－4) B．(2,4)
C．(6,10) D．(－6，－10)
8． 已知向量a＝(2,4)、b＝(－1,1)，则2a－b＝(　　)
A．(5,7) B．(5,9)
C．(3,7) D．(3,9)
9．已知＝(5，－3)、C(－1,3)、＝2，则点D的坐标是(　　)
A．(11,9) B．(4,0)
C．(9,3) D．(9，－3)
10．已知△ABC中，点A(－2,3)、点B(－3，－5)，重心M(1，－2)，则点C的坐标为(　　)
A．(－4,8) B．
C．(8，－4) D．(7，－2)
11．已知i、j分别是方向与x轴正方向、y轴正方向相同的单位向量，O为原点，设＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则点A位于(　　)
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三象限 D．第四象限
二、填空题
12．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a、b表示)．
13．已知向量a与b不共线，实数x、y满足等式3xa＋(10－y)b＝(4y＋7)a＋2xb，则x＝________，y＝________.
14．若点O(0,0)、A(1,2)、B(－1,3)，且＝2，＝3，则点A′的坐标为________．点B′的坐标为________，向量的坐标为________．
15．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝________.

三、解答题
16．如图，已知△ABC中，M、N、P顺次是AB的四等分点，＝e1，＝e2，试用e1、e2表示、、.

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基础巩固
一、选择题
1．已知a＝(－1,3)、b＝(x，－1)，且a∥b，则x等于(　　)
A．－3 B．－
C． D．3
2． 若A(3，－6)、B(－5,2)、C(6，y)三点共线，则y＝(　　)
A．13 B．－13
C．9 D．－9
3．向量a＝(3,1)、b＝(1,3)、c＝(k,7)，若(a－c)∥b，则k等于(　　)
A．3 B．－3
C．5 D．－5
4．设e1、e2是两个不共线的向量，向量a＝e1＋λe2(λ∈R)与向量b＝－(e2－2e1)共线，则(　　)
A．λ＝0 B．λ＝－1
C．λ＝－2 D．λ＝－
5．已知向量a＝(3,4)、b＝(cosα，sinα)，且a∥b，则tanα＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
6． 若向量b与向量a＝(2,1)平行，且|b|＝2，则b＝(　　)
A．(4,2) B．(－4,2)
C．(6，－3) D．(4,2)或(－4，－2)
二、填空题
7．设i、j分别为x、y轴方向的单位向量，已知＝2i，＝4i＋2j，＝－2，则点C的坐标为________．
8．设向量a＝(4sinα，3)、b＝(2,3sinα)，且a∥b，则锐角α＝________.
三、解答题
9．设向量＝(k,12)、＝(4,5)、＝(10，k)，当k为何值时，A、B、C三点共线．

能力提升
一、选择题
1．已知向量e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若向量a与b共线，则(　　)
A．λ＝0 B．e2＝0
C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0
2．已知平面向量a＝(1,2)、b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝(　　)
A．(－2，－4) B．(－3，－6)
C．(－4，－8) D．(－5，－10)
3．已知平面向量a＝(x,1)、b＝(－x，x2)，则向量a＋b(　　)
A．平行于x轴 B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴 D．平行于第二、四象限的角平分线
4．已知向量a＝(1,0)、b＝(0,1)、c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么(　　)
A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向
二、填空题
5．已知a＝(－2,3)，b∥a，b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则B点坐标为________．
6．已知点A(，1)、B(0,0)、C(，0)．设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有＝λ，其中λ等于________．
三、解答题
7．平面内给定三个向量a＝(3,2)、b＝(－1,2)、c＝(4,1)，
(1)求满足a＝mb＋nc的实数m、n；
(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.

8．已知A、B、C三点的坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且＝，＝，
求证：∥.

9．已知直角坐标平面上四点A(1,0)、B(4,3)、C(2,4)、D(0，2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形．

平面向量的数量积

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1掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示.
2平面向量数量积的应用.

一、平面向量数量积的物理背景及定义：
以物理学中的做功为背景引入
问题：观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量？什么影响了功的大小？如何精确的给出数学中的定义？
力做的功：W = |F|×|s|cosq，q是F与s的夹角
q

1、两个非零向量夹角的概念：
已知非零向量与，作＝，＝，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角
说明：
（1）当θ＝０时，与同向；
（2）当θ＝π时，与反向；
（3）当θ＝时，与垂直，记⊥；
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0°≤q≤180°
C

2、平面向量数量积（内积）的定义：
已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||cosq叫与的数量积，记作×，即有× = ||||cosq，（０≤θ≤π）并规定与任何向量的数量积为0

3、两个向量的数量积的性质：
设、为两个非零向量，是与同向的单位向量
①× = × =||cosq
②^ Û× = 0
③ × = ||2或
④cosq =
⑤|×| ≤ ||||
4、向量数量积满足的运算率：
①；
②；
③
二、 向量数量积的坐标运算
1、已知两个向量，,则.
2、设，则.
3、平面内两点间的距离公式 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为
、，那么.
4、向量垂直的判定 两个非零向量，，则 .
5、两向量夹角的余弦 cosq = （）.
6、向量在轴上的正射影：
作图

定义：||cosq叫做向量在所在轴上的正射影
正射影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时正射影为正值；当q为钝角时正射影为负值；当q为直角时正射影为0；当q = 0°时正射影为||；当q = 180°时正射影为-||

类型一、平面向量数量积的运算：
例题1 已知下列命题:
①; ②; ③; ④
其中正确命题序号是 .

例题2 已知; (2) ;(3) 的夹角为,分别求.

练习：已知,求

类型二、夹角问题：
例题3 若,且,则向量与向量的夹角为 ( )
A. B. C. D.
练习：① 已知,求向量与向量的夹角.
② 已知,夹角为,则 .
练习:已知是两个非零向量,同时满足,求的夹角.

类型三、向量模的问题
例题4 已知向量满足,且的夹角为,求.

练习 :
①已知向量,若不超过5,则的取值范围 ( )
A. B. C. D.
② 已知的夹角为,, ,则 等于( )
A 5 B. 4 C. 3 D. 1

类型四、平面向量数量积的综合应用
例题5 已知向量.
(1) 若 ; (2)求的最大值 .

例题6已知向量,且满足,
(1) 求证 ; (2)将与的数量积表示为关于的函数;
(3)求函数的最小值及取得最小值时向量与向量的夹角.

一、选择题
1．若a·c＝b·c(c≠0)，则(　　)
A．a＝b
B．a≠b
C．|a|＝|b|
D．a在c方向上的正射影的数量与b在c方向上的正射影的数量必相等
2．若|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，则a与b的夹角等于(　　)
A．150° B．120°
C．60° D．30°
3．若|a|＝4，|b|＝2，a和b的夹角为30°，则a在b方向上的投影为(　　)
A．2 B．
C．2 D．4
4．|m|＝2，m·n＝8，<m，n>＝60°，则|n|＝(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
5．向量a的模为10，它与x轴的夹角为150°，则它在x轴上的投影为(　　)
A．－5 B．5
C．－5 D．5
6．若向量a、b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b·b＋a·b等于(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
二、填空题
7．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝____.
8．若|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为135°，则a在b方向上的投影为________．
三、解答题
9．已知正六边形P1P2P3P4P5P6的边长为2，求下列向量的数量积．
(1)·；
(2)·；
(3)·；
(4)·.

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基础巩固
一、选择题
1．已知a＝(2,1)、b＝(1，－2)，则向量a与b的夹角为(　　)
A． B． C． D．
2．已知点A(1,2)、B(2,3)、C(－2,5)，则·等于(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
3．已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)、B(4,1)、C(0，－1)，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．以上均不正确
4．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为(　　)
A．－ B． C．－ D．
5．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝(　　)
A． B． C．5 D．25
6． 已知向量a＝(k,3)、b＝(1,4)、c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝(　　)
A．－ B．0 C．3 D．
二、填空题
7． 已知向量a＝(－4,3)、b＝(－3,4)，b在a方向上的投影是________．
8．设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2