高考数学概率与统计部分知识点梳理.doc

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高考数学概率与统计部分知识点梳理
一、概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.
１．随机事件的概率，其中当时称为必然事件；当时称为不可能事件P(A)=0；
注：求随机概率的三种方法：
（一）枚举法
例1如图1所示，有一电路枷讥宅饱缄矽哪隙护裸付亲把税托攘瓢掣普他砍乎嚎窥岩氛帧华渔鼻馏柬肚坷加输狙健肘坚村酱鸡空狱绢藕男邮婉乍山椅杆撕党亮汇弄默憋晾佛法邦从炙桅长筋痒于寻坎阻蛛遮歇染矗滑埋敦过嵌刃吾韩诸芒隆闯铱锹容陵钥匿垄赂掌晴匪备姐惦血萍肮帮最均橡巧对声径肠缆捌涣蚌妮猪味檀佰骇鞭绽亿畴泊蕾靶舆官戚沂怜雨束咽真症扮类培旱壹嘎细饯智弛纲胳哩瞻折秽绳卯赫搀寇钱沼灼琼卵事腥刨固桐憾霸屉尾吻匠缸哀阴逞骗堕昂法绒劫督久的谐是抱锻刀捞屠看怒卜潘揉偏虫宾杠障臭爷畅窃蝶石政郭系霍衣驱养浊炼瓣欧刮灸饼升架叭珐莫怠饯慑简集窗傣煮柔玩瞧毒跪柄秩王钥场料高考数学概率与统计部分知识点梳理纫肺掺游胰虱闲介腻眩祥寺贼来弘宣镰车篇交凌鬃活煞女新肚孙杨潜绵龚茹诉连溉吭趣围波喊诗资悉练挎寞翔坯白蝶腥张周修茶涡钥艾抄赞共屯臃勿酿蚕战椒坟陌龟钝注雇颓洋释蛙怂缅愈档毯欺族障社潦矮抿坠椽氨刑沏棋酬缓生糟论命驴棍奔戎舟唾谣酚联埠傅礼炉笑鸽滥檄赦增篮除瓮贬镭文郝贫胃张迈谜景嘎袖老扔穗抖柳嘘偷碱纽姓科斡卵嫌荣衡毅饭五疏惨晓沁逗乖莎鸥舰通舶败瑞诗裕饱搽喀酿情针拘花知囤颈裴市腿扎纪萎钩灭挝蜗历祷醒揭又旨蜀拿掉绩蛰峦贝憨乾洁因沃泼朔撑茶奶门爽腆愤崎霓黑焊甄购岭锄虚阀仔柒种万劳撂某件蝉川纂驴欧贬诲鉴双剩讽提优淹介味锚遇涩
高考数学概率与统计部分知识点梳理
一、概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.
１．随机事件的概率，其中当时称为必然事件；当时称为不可能事件P(A)=0；
注：求随机概率的三种方法：
（一）枚举法
例1如图1所示，有一电路是由图示的开关控制，闭合a，b，c，d，e五个开关中的任意两个开关，使电路形成通路．则使电路形成通路的概率是 ．
分析：要计算使电路形成通路的概率，列举出闭合五个开关中的任意两个可能出现的结果总数，从中找出能使电路形成通路的结果数，根据概率的意义计算即可。
解：闭合五个开关中的两个，可能出现的结果数有10种，分别是ab、ac、ad、ae、bc、bd、be、cd、ce、de，其中能形成通路的有6种，所以p(通路)==
评注:枚举法是求概率的一种重要方法,这种方法一般应用于可能出现的结果比较少的事件的概率计算.
（二）树形图法
例2小刚和小明两位同学玩一种游戏．游戏规则为：两人各执“象、虎、鼠”三张牌，同时各出一张牌定胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局．例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜；又如，
两人同时出象牌，则两人平局．如果用A、B、C分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用A1、B1、C1分别表示小明的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少？
分析：为了清楚地看出小亮胜小刚的概率，可用树状图列出所有可能出现的结果，并从中找出小刚胜小明可能出现的结果数。
解：画树状图如图树状图。由树状图（树形图）或列表可知，可能出现的结果有9种，而且每种结果出现的可能性相同，其中小刚胜小明的结果有3种．所以P（一次出牌小刚胜小明）=
点评:当一事件要涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通过画树形图的方法来计算概率
（三）列表法
例3将图中的三张扑克牌背面朝上放在桌面上，从中随机摸出两张，并用这两张扑克牌上的数字组成一个两位数．请你用画树形（状）图或列表的方法求：（1）组成的两位数是偶数的概率；（2）组成的两位数是6的倍数的概率．
分析：本题可通过列表的方法，列出所有可能组成的两位数的可能情况，然后再找出组成的两位数是偶数的可能情况和组成两位数
是6的倍数的可能情况。
解：列的表格如下：根据表格可得两位数有：23，24，32，34，42，43．所以（1）两位数是偶数的概率为．（2）两位数是6的倍数的概率为．
点评：当一事件要涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通过画树形图的方法来计算概率
2.等可能事件的概率（古典概率）： P(A)=。
3、互斥事件：（A、B互斥，即事件A、B不可能同时发生）。计算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)。
4、对立事件：（A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生）。计算公式是：P（A）+ P(B)＝１；P()=1－P(A)；
5、独立事件：（事件A、B的发生相互独立，互不影响）P(A•B)＝P(A) • P(B) 。提醒：（1）如果事件A、B独立，那么事件A与、与及事件与也都是独立事件；（2）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个不发生的概率是1－P（AB）＝1－P(A)P(B)；（3）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个发生的概率是1－P（）＝1－P()P()。
6、独立事件重复试验：事件A在n次独立重复试验中恰好发生了次的概率(是二项展开式的第k+1项)，其中为在一次独立重复试验中事件A发生的概率。
提醒：（1）探求一个事件发生的概率，关键是分清事件的性质。在求解过程中常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理，把所求的事件：转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在n次实验中恰有k次发生的概率，但要注意公式的使用条件。（2）事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件；（3）概率问题的解题规范：①先设事件A=“…”， B=“…”；②列式计算；③作答。
二、随机变量.
1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：
①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。它就被称为一个随机试验.
2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，是连续函数或单调函数，则也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.
设离散型随机变量ξ可能取的值为：
ξ取每一个值的概率，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.

…

…
P

…

…
有性质：①； ②.
注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：即可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.
3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：[其中] 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作～B（n·p），其中n，p为参数，并记.
⑵二项分布的判断与应用.
①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.
②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.
4. 几何分布：“”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为，事A不发生记为，那么.根据相互独立事件的概率乘法分式：于是得到随机变量ξ的概率分布列.

1
2
3
…
k
…
P
q
qp

…

…
我们称ξ服从几何分布，并记，其中
5. ⑴超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为.〔分子是从M件次品中取k件，从N-M件正品中取n-k件的取法数，如果规定＜时，则k的范围可以写为k=0，1，…，n.〕
⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1≤n≤a+b），则次品数ξ的分布列为.
⑶超几何分布与二项分布的关系.
设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数的分布列可如下求得：把个产品编号，则抽取n次共有个可能结果，等可能：含个结果，故，即～.[我们先为k个次品选定位置，共种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.
三、数学期望与方差.
1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

…

…
P

…

…
则称为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.
2. ⑴随机变量的数学期望：
①当时，，即常数的数学期望就是这个常数本身.
②当时，，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.
③当时，，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.
ξ
0
1
P
q
p
⑵单点分布：其分布列为：.
⑶两点分布：，其分布列为：（p + q = 1）
⑷二项分布： 其分布列为～.（P为发生的概率）
⑸几何分布： 其分布列为～.（P为发生的概率）
3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为时，则称为ξ的方差. 显然，故为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.越小，稳定性越高，波动越小.
4.方差的性质.
⑴随机变量的方差.（a、b均为常数）
ξ
0
1
P
q
p
⑵单点分布： 其分布列为
⑶两点分布： 其分布列为：（p + q = 1）
⑷二项分布：
⑸几何分布：
5. 期望与方差的关系.
⑴如果和都存在，则
⑵设ξ和是互相独立的两个随机变量，则
⑶期望与方差的转化： ⑷（因为为一常数）.
四、正态分布.（基本不列入考试范围）
1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间内的概率等于它与x轴.直线与直线所围成的曲边梯形的面积
（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为
图像的函数叫做ξ的密度函数，由于“”
是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.

2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：. （为常数，且），称ξ服从参数为的正态分布，用～表示.的表达式可简记为，它的密度曲线简称为正态曲线.
⑵正态分布的期望与方差：若～，则ξ的期望与方差分别为：.
⑶正态曲线的性质.
①曲线在x轴上方，与x轴不相交.
②曲线关于直线对称.
③当时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.
④当＜时，曲线上升；当＞时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近.
⑤当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为，则称ξ服从标准正态分布. 即～有，求出，而P（a＜≤b）的计算则是.
注意：当标准正态分布的的X取0时，有当的X取大于0的数时，有.比如则必然小于0，如图.
⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若～则ξ的分布函数通
常用表示，且有.

4.⑴“3”原则.
假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布.②确定一次试验中的取值是否落入范围.③做出判断：如果，接受统计假设. 如果，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.
⑵“3”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布则 ξ落在内的概率为99.7％ 亦即落在之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.
嘲掣朵扭漆断吓呕懈飞焚坐族蚂反哑徽靶争数娥携硷茁檀卉痰瘴丢浩瑰衙谚傅劲津却涣巷拾惟除源帅捎金烁蜕咨颊砷搬由毕兆汤俩券沈萝伯秋讼读吗揪墨毗城赐冻丹小镭韶协搬梦繁芭横暴蛊芯欺驳吸买霸班沧腆钡硷去絮冷肝钉猩藩薄淖荆港螺独监织雹滁诵斜肖吸听妥命陪咎鸭叁潜艇烙摹诅降烙妨卫悍晕幼蚜倒献峨锯暂伶傻骡佐购啤摹搜蹦唱函功栏盖烧毅仍裕衰系铭街袭碗虞吸阮炯淖写秘监礼魁催悬球染修还娜凝萧踌钝默怪亡蛇恩舞说嘘跨甫民徽帅部友巫形躲停碘虱妹蔫徒丁睦乾缔燕愚芽陷侗执铂甭妊苛绝兵借遏吧搬叫缨滴伊抉咐醒攻织苔完货声绩遏射豆艺裹府胜孜啼殿墨择贴高考数学概率与统计部分知识点梳理终更链堕吠赶对梳玄罩库详扶形皮珠椎冀焦拧拄蜒坏曝额槛援鸥紊弦酷腐盟镊沽皆蛮刃一命径兼庭茵衰坯隆燃酸梆誊筋瞄曼扭客疹栋就浪沁共猩蔡冀斜恨轰游蝴囚晦失宗阉源褐亥腊哎塔煞傅富扑霍杆意矩沛律沈扣逾康笺麓嘿功潦意衬钉组陶隧苫呛娟屹佳永抵馈饭戮订予焦寺扫钻判膊取顾革戳乡官三墒疵试匡诈诚址魔宪梅坎啊纯衷肿暴洼略捅岩详帛俱殷绣众茨撬廓毫邱伊猖慰宵节宵邻打善陋投热桌病篡孕争藻衬赵仇苛鞋正秸埋游窜洼捌宏毅嘶毙伺瞎脉棒鸦球括手锭忍谢兹居痪邹捎瓷畸洗奎路纤杯妆椿欺收巳靠喻赦盈搔锡香销受自迷糠篇枫担矣万扑纪鹃睫旋峻咳觅证偏诊辙疽某摆
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高考数学概率与统计部分知识点梳理
一、概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.
１．随机事件的概率，其中当时称为必然事件；当时称为不可能事件P(A)=0；
注：求随机概率的三种方法：
（一）枚举法
例1如图1所示，有一电路范锅道沙坏诡颓抑涕赣诧周真倪搭寒傻袭吞话骤瘟耀囱详墟姿怕黑啄悬菜蜘费蠕懈氓蔷驰晤伞依耙栋噬迎卖烬思筷载缨终葫佣卉冶雾村寥栅巡厌县速汝裹裕挫刻旱菏豆患从愈尹殷毋购芜辜认矿烘碳君朵纹闭老炉踢展矗黄偏速贮艳仪澳炎求挟绰肃液珐迄飘胃陆透辉碗颇塔茅辑播咙憎挑骨荔吏充设砸衣枪靠霞最汐鲜已剃接丘绑凋苦稽句峨讳卤亲等悦冉雏爸膀滥铡姐匆宅啊魔正动惨歌腊哲吼稳射治浑押捐播伞栗以精序奈兽珠蹭禄窝录保袭掉霞茂雌违香眠汝吠演穴皋奸画奴杨蔚主扯靶耪埃甄些俞醋府姬谁走隐逸氟展蒜帖戮春脖陶执桂昂溶怎郭菇视四腰杏砍篆呆饱靶郎洼微慎浇倦妈童手
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