南京市2015-2016学年度第一学期期末高一数学调研.doc

南京市2015－2016学年度第一学期期末学情调研
高 一 数 学 2016.01
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为100分，考试时间为100分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．
一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．函数f (x)＝ 的定义域是 ▲ ．
2．集合{0，1}的子集的个数为 ▲ ．
3．求值：log345－log35＝ ▲ ．
4．已知角a 的终边经过点P(2，－1)，则sina 的值为 ▲ ．
5．已知扇形的半径为3cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为 ▲ cm2．
6．函数f (x)＝cos (x－)，xÎ[0，]的值域是 ▲ ．
7．三个数a＝0.32，b＝log20.3，c＝20.3之间的大小关系是 ▲ （用a，b，c表示，并用“＜”连结）．
A
B
C
D
E
F
（第9题）
8．将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式是 ▲ ．
9．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，AD＝2，
且＝，＝，则·＝ ▲ ．

10．已知函数f (x)＝－log2x的零点为x0，若x0Î(k，k＋1)，其中k为整数，则k＝ ▲ ．
11．已知函数f (x)＝其中e为自然对数的底数，则f [f()]＝ ▲ ．
12．已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间[0，＋¥)上是单调增函数，且f (lgx)＜f (1)，
则x的取值范围是 ▲ ．
13．若函数f (x)＝m·4x－3×2x＋1－2的图象与x轴有交点，则实数m的取值范围是 ▲ ．
14．若函数f (x)＝sin(ωx＋) (ω＞0))在区间[0，2p]上取得最大值1和最小值－1的x的值均唯一，则ω的取值范围是 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分8分）
已知sin x＝，其中0≤x≤．
（1）求cos x的值；
（2）求的值．

16．（本小题满分10分）
已知向量a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，c＝(3，4) ．
（1）求a· (b＋c)；
（2）若(a＋lb)∥c，求实数l的值．

17．（本小题满分10分）
经市场调查，某商品在过去20天的日销售量和日销售价格均为销售时间t(天)的函数，日销售量(单位：件)近似地满足：f (t)＝－t＋30(1≤t≤20，tÎN*)，日销售价格(单位：元)近似地满足：g(t)＝
（1）写出该商品的日销售额S关于时间t的函数关系；
（2）当t等于多少时，日销售额S最大？并求出最大值．

18．（本小题满分10分）
已知函数f (x)＝Asin(wx＋j)（A＞0，w＞0，0＜j＜2p）的部分图象如图所示，

y
x
O
–2
（第18题）
●
●
且f (0)＝f ()．
（1）求函数f (x)的最小正周期；
（2）求f (x)的解析式，并写出它的单调增区间．

19．（本小题满分10分）
已知| a |＝，| b |＝，a·b＝－5，c＝x a＋(1－x) b．
（1）当b ^ c时，求实数x的值；
（2）当| c |取最小值时，求向量a与c的夹角的余弦值．

20．（本小题满分10分）
对于定义在[0，＋¥)上的函数f (x)，若函数y=f (x)－(ax＋b)满足：①在区间[0，＋¥)上单调递减；②存在常数p，使其值域为(0，p]，则称函数g (x)＝ax＋b为f (x)的“渐近函数”．
（1）证明：函数g(x)＝x＋1是函数f (x)＝，xÎ[0，＋¥)的渐近函数，并求此时实数p的值；
（2）若函数f (x)＝，xÎ[0，＋¥)的渐近函数是g (x)＝ax，求实数a的值，并说明
理由．

南京市2015－2016学年度第一学期期末学情调研
高一数学参考答案 2016.01
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．
1． (3，＋¥) 2．4 3．2 4．－
5． 9 6．[，1] 7．b＜a＜c 8． y＝sin(2x－)
9． －4 10．2 11． 12．(，10)
13． (0，＋¥) 14．[，)
二、解答题：本大题共6小题，共58分．
15．解（1）因为sin 2x ＋cos2 x＝1，
所以cos 2x＝1－sin2 x＝1－()2＝． ……………………… 2分
又因为0≤x≤，故cos x≥≤0，所以cos x＝． ………………… 4分
（2）原式＝
＝ ……………………… 7分
＝＝． ……………………… 8分
16．解（1）因为b＋c＝(3，－2)＋(3，4)＝(6，2)， ……………………… 2分
所以a·(b＋c)＝(2，－1)·(6，2)＝12－2＝10． ……………………… 5分
（2）因为a＋lb＝(2，－1)＋(3l，－2l)＝(2＋3l，－1－2 l)，
又(a＋lb)//c，
所以4(2＋3 l)＝3(－1－2 l)， ……………………… 8分
解得l＝－． ……………………… 10分
17．解（1）由题意知，S＝f (t)·g(t)
＝ ………… 4分
（2）当1≤t≤10，tÎN*时，
S＝(2t＋40)(－t＋30)＝－2 t2＋20t＋1200＝－2 (t－5)2＋1250．
因此，当t＝5时，S最大值为1250； ……………………… 7分
当11≤t≤20，tÎN*时，
S＝15(－t＋30)＝－15t＋450为减函数，
因此，当t＝11时，S最大值为285． ……………………… 9分
综上，S的最大值为1250．
答：当t＝5 时，日销售额S最大，最大值为1250元． …………… 10分
18．解（1）由题意知，函数图象的一条对称轴为x＝＝， ………… 2分
则 ＝－＝， 即T＝p．
所以函数的最小正周期是π． ……………………… 4分
（2）由图可知，A＝2，因为T＝p，所以w＝＝2． ……………………… 6分
又f()＝－2，所以2 sin(＋j)＝－2，即sin(＋j)＝－1，
因此＋j＝2kp－，即j＝2kp－，k∈Z．
因为0＜j＜2p，所以j＝．
所以函数的解析式为f (x)＝2sin(2x＋)． ……………………… 8分
由2kp－≤2x＋≤2kp＋，k∈Z，
解得kp－≤x≤kp－，k∈Z，
所以函数的单调增区间为[kp－， kp－]，k∈Z．……………… 10分
19．解（1）b·c＝b·[xa＋(1－x) b]
＝x b·a＋(1－x) b 2
＝x×(－5)＋(1－x)×5＝0，解得x＝． ……………… 4分
（2）| c |2＝[xa＋(1－x) b]2＝x2a2＋2x(1－x) a·b＋(1－x)2 b 2
＝10x2－10x(1－x)＋5(x－1)2
＝25x2－20x＋5
＝25(x－)2＋1．
所以，当x＝时，| c |2有最小值1，即| c |有最小值1． …………… 7分
此时，c＝a＋b．
又a·c＝a·（a＋b）
＝a2＋a·b＝×10＋×(－5)＝1．
设向量a，c的夹角为q ，
则cosq ＝ ＝＝． ……………………… 10分
20．解（1）由题意知，f (x)－x－1＝－x－1＝ ＝ ．
易知，函数y＝在[0，＋¥)上单调递减，且值域为(0，2]．
所以，函数g(x)＝x＋1是函数f (x)＝，xÎ[0，＋¥)的渐近函数，
此时p＝2． ……………………… 3分
（2）①当a＞1时，考察函数y＝－ax，
令y＝0，得＝ax，两边平方得x2＋1＝a2x2，所以x2＝，
因为x≥0，所以x＝，即x＝时，函数y＝－ax的值为0．
因此，函数y＝－ax的值域不是(0，p]．
所以g(x)＝ax不是函数f (x)＝的渐近函数． ………………… 5分
②当a＝1时，考察函数y＝－x，
由于－x＝，下面考察t＝＋x．
任取x1，x2Î[0，＋¥)，且x1＜x2，
则t1－t2＝＋x1－－x2
＝－＋x1－x2＝ ＋x1－x2
＝(x1－x2)(＋1)＜0，
所以函数t＝＋x在[0，＋¥)上单调递增，
又当x无限增大时，t的值也无限增大，所以t的取值范围是[1，＋¥)．
因为函数y＝在(0，＋¥）单调递减，
从而函数y＝－x在[0，＋¥）单调递减，且值域为(0，1] ．
所以g(x)＝x是f (x)＝的渐近函数． ………………… 8分
③当0＜a＜1时，
方法（一）y＝－ax＝(－x)＋(1－a)x
因为－xÎ(0，1]，所以y＞(1－a)x．
假设y＝ax是f (x)＝的渐近函数，
则y＝－ax的值域为(0，p]，故y的最大值为p．
设(1－a)x＝p，则x＝，当x＞时，必有y＞p，矛盾．
所以，此时g(x)＝ax不是函数f (x)的渐近函数． ……………………… 9分
方法（二）记F(x)＝－ax，则F(0)＝1，
由－ax＝1，即＝ax＋1，解得x＝＞0，即F(0)＝F()，
所以函数y＝－ax在[0，＋¥)上不单调，
所以g(x)＝ax不是函数f (x)的渐近函数． ……………………… 9分
④若a≤0，则函数y＝－ax在[0，＋¥)上单调递增，不合题意．
综上可知，当且仅当a＝1时，g(x)＝x是函数f (x)＝的渐近函数．
……………………… 10分

高一数学期末调研 第 9 页 共 9 页