0910上外招线性代数期末试题A卷答案.doc

暨南大学《线性代数引论》试卷 考生姓名、学号
暨 南 大 学 考 试 试 卷
教
师
填
写
20 09 - 20 10 学年度第 一 学期
课程名称： 线性代数引论
授课教师姓名： 张庆丰，朱蔚恒
考试时间: 2010 年 1 月 11 日
课程类别
必修[√] 选修[ ]
考试方式
开卷[ ] 闭卷[√]
试卷类别(A、B)
[ A ] 共 6 页
考
生
填
写

学院(校) 专业 班(级)

姓名 学号 内招[ ] 外招[√]

题 号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总 分
得 分

得分
评阅人
一、判断题（共6小题，对的打√，错的打X，请在答题框内答题，每小题1分，共6分）

1
2
3
4
5
6
X
√
X
√
X
√

1.已知A2=A，那么A=E或者A=0。

2.方阵A的秩小于其阶数，那么他对应的行列式值为0。

3. 两个n阶方阵相乘等于0矩阵，那么他们的秩都小于n。

4. 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数。

5. 若向量组a1，a2，…,an是线性相关的，那么a1可以由a2，…,an线性表示。

6. 除零向量外任意向量的范数都大于0。

得分
评阅人
二、单项选择题（请将最合适的选项填在答题框内，共10小题，每小题2分，共20分）

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
D
C
C
A
A
D
D
C
A

1. 设n阶方阵A、B、C满足ABC=E，则必有　　。
A．ACB=E B．CBA=E C．BAC=E D．BCA=E

2.下面说法正确的一项是　　。
A．若A2=0，那么A=0。
B．若A2=A，那么A=0或A=E。
C．若AX=AY，且A≠0，那么X=Y。
D．以上论断皆不正确。

3. 若是五阶行列式中带正号的一项，则i,j的值为　　。
A.i=1,j=3 B.i=2,j=3 C.i=1,j=2 D.i=2,j=1

4. 下面说法正确的一项是　　。
A. 向量空间的基是唯一的。
B. 向量空间对加法与矩阵乘法满足封闭性。
C．齐次线性方程组的全体解构成一个向量空间。
D．向量空间的最大无关组的秩小于向量空间的维数。

5. 用一初等矩阵左乘一矩阵B，等于对B施行相应的 　　。
A.行变换 B.列变换
C.既非行变换也非列变换 C.既是行变换也是列变换

6. 若n元齐次线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为r，则当　　时，方程组有无穷多解。
A.r<n B.r=n C.r≤n D. r=n且r>0

7. 设向量组，，，则t= 时，向量组线性相关。
A.0 B.-1 C.-2 D.-3

8. 阶方阵满足，是阶单位阵，则　　。
A. ，但 B. ，但
C. ，且 D. ，且

9. 设A，B均为n阶方阵，则下列结论正确的是　　。
A. A，B均可逆，则A+B可逆； B. A或B可逆，则AB可逆；
C. A或B不可逆，必有AB不可逆； D. A，B均不可逆，则A+B不可逆

10. 设 均为 维列向量， 阶方阵 ，
。如果 ，则 　　。
A.0 B.5 C.10 D.-5

得分
评阅人
三、计算题（共5小题，每小题10分，共50分）

1. 向量组α1=（5，6，7，7），α2=（2，0，0，0），α3=（0，1，1，1），
α4=（7，4，5，5）是否线性相关？如果线性相关，求出它们的相关表达式。
解：对向量组对应矩阵进行初等行变换得到行最简型

所以相关表达式为
α1+α2-2α3=α4

2. 设A=,且AB+E=A2+B,求B。
解：AB+E=A2+B →（A-E）B=(A2-E) →(A-E)B=(A-E)(A+E)
由于|A-E|=，所以（A-E）有逆，对(A-E)B=(A-E)(A+E)两边同时左乘（A-E）的逆，有B=A+E=

3. 使用初等变换法求下列方阵的逆阵。

解：

4. 计算4阶行列式
解:

5. 求线性方程组的解:

解：对方程组的增广矩阵进行初等变换
系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，所以原方程组无解。

得分
评阅人
四、证明题（共3小题，每题8分，共24分）

1. 设n阶矩阵A满足A2=A,E为n阶单位矩阵，证明R(A)+R(A-E)=n
证明：
R(A)+R(A-E) = R(A)+R(E-A)≥ R(A+E-A)=R(E)=n (1) -------4分
因为A*(A-E)= A2-E=O,所以R(A)+R(A-E) ≤ n (2) -------4分
由（1）（2）可得R(A)+R(A-E)=n

2.设方阵A满足A2-A-2E=0，证明A及A+2E都可逆，并求A-1及（A+2E）-1
证明：A2-A-2E=0 →A2-A=2E →A∙(A-E)=2E→A∙(A-E)/2=E 所以A可逆，A的逆为(A-E)/2 -------4分
A2-A-2E=0 →A2=A+2E→E=(A-1)2(A+2E),所以(A+2E)可逆，其逆为(A-1)2=((A-E)/2)2=(A2-2A+E)/4=(A2-A-2E-A+3E)/4=(3E-A)/4 -------4分

3.设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明：
(1) 若|A|=0，则|A*|=0;
(2) |A*|=|A|n-1
证明：（1）|A|=0 → A• A*=0, 所以 R(A)+ R(A*)≤n，对A分析，若A=0，那么有伴随矩阵的定义有A*=0，若A≠0，那么R(A)≥1,由R(A)+ R(A*)≤n可知，R(A*)<n，所以| A*|=0 -------4分
（2）A• A*=|A|•E，两边同时取行列式,
有|A• A*|=|A|n
若|A|≠0，那么由|A|•|A*|=|A• A*|=|A|n，可知|A*|=|A|n-1
若|A|=0，那么由(1)的结论|A*|=0可知|A*|=|A|n-1 -------4分
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