微分学的几何应用.pptx

第六节复习 目录 上页 下页 返回 结束 一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用 第八章 一、一、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法法机动 目录 上页 下页 返回 结束 位置.空间光滑曲线在点 M 处的切线切线为此点处割线的极限平面平面.1.曲线方程为参数方程的情况曲线方程为参数方程的情况切线方程切线方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 此处要求也是法平面的法向量,切线的方向向量:称为曲线的切向量切向量.如个别为0,则理解为分子为 0.机动 目录 上页 下页 返回 结束 不全为0,因此得法平面方程法平面方程 例例1.求圆柱螺旋线 对应点处的切线方程和法平面方程.切线方程法平面方程即即解解:由于对应的切向量为在机动 目录 上页 下页 返回 结束,故2.曲线为一般式的情况曲线为一般式的情况光滑曲线当曲线上一点,且有时,可表示为处的切向量为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则在点切线方程切线方程法平面方程法平面方程有或机动 目录 上页 下页 返回 结束 也可表为法平面方程法平面方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.2.求曲线求曲线在点在点处的切线和法平面处的切线和法平面解解：切线：切线：法平面：法平面：机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:方程组两边对方程组两边对 x 求导求导,得得曲线在点曲线在点 M(1,2,1)处有处有:切向量切向量解得解得例例3.求曲线求曲线在点在点M(1,2,1)处的切线方程与法平面方程处的切线方程与法平面方程.切线方程切线方程即即法平面方程法平面方程即即点点 M(1,2,1)处的处的切向量切向量机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 设设 有有光滑曲面光滑曲面通过其上定点通过其上定点对应点对应点 M,切线方程为切线方程为不全为不全为0.则则 在在且且点点 M 的的切向量切向量为为任意任意引一条光滑曲线引一条光滑曲线下面证明下面证明:此平面称为此平面称为 在该点的在该点的切平面切平面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 上过点上过点 M 的任何曲线在该点的切线都的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.证证:机动 目录 上页 下页 返回 结束 在在 上上,得得令令由于曲线由于曲线 的任意性的任意性,表明这些切线都在以表明这些切线都在以为法向量的平面上的平面上,从而切平面存在.曲面 在点 M 的法向量法向量法线方程法线方程切平面方程切平面方程复习 目录 上页 下页 返回 结束 曲面时,则在点则在点故当函数故当函数 法线方程法线方程令特别特别,当光滑曲面当光滑曲面 的方程为显式的方程为显式 在点在点有连续偏导数时,切平面方程切平面方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 xz y0 PQMN x yABdz=AB:切面立标的增量切面立标的增量z=f(x,y)z=AN：曲面立标的增量曲面立标的增量过点过点M的切平面的切平面：即即：dz z=AB+BN.dz=AB用切面立标的增量近似曲面立标的增量用切面立标的增量近似曲面立标的增量dz 全微分的几何意义全微分的几何意义法向量法向量用用将将法向量的方向余弦：法向量的方向余弦：表示法向量的方向角表示法向量的方向角,并假定法向量方向分别记为分别记为则则向上向上,复习 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.求球面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解解:所以球面在点(1,2,3)处有:切平面方程切平面方程 即法线方程法线方程法向量令机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:设设(x x0 0,y y0 0,z z0 0)为曲面上的切点为曲面上的切点,曲面在该点曲面在该点处的法向量为处的法向量为:切平面方程为切平面方程为:依题意依题意,切平面平行于已知平面切平面平行于已知平面x x+4+4y y+6+6z z=0,=0,得得 例例5 5:求曲面求曲面 x x2 2+2+2y y2 2+3+3z z2 2=21=21平行于平面平行于平面 x x+4+4y y+6+6z z=0=0 的切平面方程的切平面方程.即即因为因为(x x0 0,y y0 0,z z0 0)是曲面上的切点是曲面上的切点,故满足方程故满足方程因此所求切点为因此所求切点为:(1,2,2):(1,2,2)和和(1,1,2,2,2).2).所求切平面方程为所求切平面方程为:x x0 02 2+2+2y y0 02 2+3+3z z0 02 2=21,=21,即即 x x0 02 2+2(2+2(2x x0 0)2 2+3(2+3(2x x0 0)2 2=21,=21,得得,x x0 0=1,1,和和即即和和例例6.确定正数 使曲面在点解解:二曲面在 M 点的法向量分别为二曲面在点 M 相切,故又点 M 在球面上,于是有相切.与球面机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此有1.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 切线方程切线方程法平面方程法平面方程1)参数式情况参数式情况.空间光滑曲线切向量切向量内容小结内容小结机动 目录 上页 下页 返回 结束 切线方程切线方程法平面方程法平面方程空间光滑曲线切向量切向量2)一般式情况一般式情况.机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间光滑曲面曲面 在点法线方程法线方程1)隐式情况.的法向量法向量切平面方程切平面方程2.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间光滑曲面切平面方程切平面方程法线方程法线方程2)显式情况显式情况.法线的方向余弦方向余弦法向量法向量机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.如果平面与椭球面相切,提示提示:设切点为则机动 目录 上页 下页 返回 结束(二法向量平行)(切点在平面上)(切点在椭球面上)证明 曲面上任一点处的切平面都通过原点.提示提示:在曲面上任意取一点则通过此 作业作业 P45 2，3，4，5，8，9，102.设 f(u)可微,第七节 目录 上页 下页 返回 结束 证明原点坐标满足上述方程.点的切平面为 1.证明曲面与定直线平行,证证:曲面上任一点的法向量取定直线的方向向量为则(定向量)故结论成立.的所有切平面恒备用题备用题机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.求曲线在点(1,1,1)的切线解解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为因此切线的方向向量为由此得切线:法平面:即与法平面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P45 2，3，4，5，6，8，9