六年下册奥数试题-分解质因数全国通用(含答案).doc

第4讲  分解质因数

知识网络
（1）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
（2）把一个合数用质因数相乘表示，叫做分解质因数。如把12分解质因数得，这时称2和3是12的质因数。
（3）算术基本定理：任何大于1的整数都能表示成质数的乘积。
（4）如果把相同的质因数合并为它的幂，则任一大于1的整数N只能惟一地表示成：
（其中质数；，，…，是自然数，它们分别是，，…，的指数），则上式称为N的标准分解式。
（5）分解质因数的方法主要是短除法。（在小学阶段）试除时一般从最小质数开始。

重点·难点
质数与互质的区别：质数是指约数只有1和它本身的自然数；而两个数的共同约数只有1时，这样两个数的关系称为互质。

学法指导
已知约数的个数，求原自然数，属于求一个合数的约数个数的逆向问题。首先把约数个数分解质因数，逆推求出原自然数，再从中找到符合题目要求的一个。

经典例题
[例1]将八个数14、33、35、30、75、39、143、169分成两组，每组四个数，并且每组四个数的乘积相等，应该怎样分？

思路剖析
要使两组数的乘积相等，就要使两组中的质因数一样，并且相同质因数的个数相同。为此，我们先将八个数分解质因数：
14=2×7
33=3×11
35=5×7
30=2×3×5
75=3×5×5
39=3×13
143=11×13
169=13×13

通过观察各式可知，八个数中，质因数2、7、11各有两个，质因数3、5、13各有四个，所以每组中应该是2、7、11各有一个，3、5、13各有两个。

解答
首先将14=2×7分在第一组，另外两个含有质因数2和7的数30=2×3×5和35=5×7就应分在第二组。这样，在第二组中不仅有2与7，还有两个5，所以另外两个质因数5就应分在第一组，即75=3×5×5归在第一组中。

其次，将169=13×13分在第一组，含有13的另外两个数39=3×13和143=11×13就应分在第二组。由于质因数11只有两个，因而含有11的另一个数33=3×11就应分在第一组。

在上述分组过程中没有考虑过质因数3，所以，应核对一下两组中的质因数3，结果是各含有两个，所以分组结果是正确的，即
第一组有14，75，169，33；第二组有35，30，39，143。
利用八个数分解质因数的式子，容易验证两组数的乘积相等。

说明：在上述分组过程中，当然也可以将169分在第二组，那么39、143在第一组，33在第二组，因此，还可得到另外的一种分组方法：
第一组：14，75，39，143；第二组：35，30，169，33。
[例2]在射箭运动中，运动员每射一箭的环数只能是下列数之一：0、l、2、3、4、5、6、7、8、9、10，其中0环表示脱靶。现在甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764。但是，甲的总环数比乙少4环，求甲、乙的总环数各是多少？

思路剖析
两人5箭得到的环数的积都是1764。显然，每箭的环数都不是0和10，每箭的环数都是1764的约数，将1764分解质因数：
1764=2×2×3×3×7×7

因为7×2=14，7×3=21都大于10，而每箭的环数都是小于10的自然数，所以甲、乙二人5箭中必有两箭射中的环数是7环，其他3箭射中的环数必定是2×2×3×3的约数，且这些约数应小于10。将2×2×3×3写成3个小于10的自然数之积，只有下面五种可能：
2×2×3×3=1×4×9=1×6×6
=2×2×9=2×3×6
=3×3×4
即这3箭射中的环数有五种可能：l，4，9；l，6，6；2，2，9；2，3，6；3，3，4。

解答
对应这五种情况，5箭射中的环数有下面五种情况：
7，7，1，4，9，总环数=28
7，7，1，6，6，总环数=27
7，7，2，2，9，总环数=27
7，7，2，3，6，总环数=25
7，7，3，3，4，总环数=24

总环数中只有24与28之差是4，根据题意，甲的总环数是24，乙的总环数是28。
［例3］把37拆成若干个不同质数之和，如果要使这些质数的积最大，问这几个质数分别是多少？

思路剖析
由以往的经验可知，如果若干个数的和一定，那么拆的数越多（不能有1）则积越大，并可推出拆出的数（1除外）越多，积越大。

假设37拆成的是五个质数的和，那么最小的五个质数和为3+5+7+11+13=39，大于37，所以37不能拆成五个质数的和。那么为什么不从2开始加起呢？不难发现，五个质数中，如有一个为2是偶数，剩下的四个必为奇数，而其和为偶数，2与四个质数的和也必为偶数，37是奇数，所以不能取从2开始的五个最小质数，当取3、5、7、11、13这五个质数时和就大于37了，所以六个以上质数的和更不可能为37。

假设把37拆成是四个不同质数的和，而四个质数中必有一个取2，否则四个奇数的和为偶数，不可能得到和为37，这样剩下三个数的和为37－2=35，拆的方法有下列几种：
37=2+7+5+23相对应的积为2×7×5×23=1610
37=2+5+11+19相对应的积为2×5×11×19=2090
37=2+5+13+17相对应的积为2×5×13×17=2210
37=2+7+11+17相对应的积为2×7×11×17=2618
37=2+3+13+19相对应的积为2×3×13×19=1482

在这五组不同的拆分方法中，不难发现2×7×11×17=2618的乘积最大，并且我们发现，这四个数是符合条件的相差最小的数，更证明了在和一定的情况下，拆成的数越多（l除外），越接近，则乘积越大这一经验性常识。
这样，把37拆成三个不同质数的和。两个不同质数的和的乘积均不会大于2618，所以也不必再试验了。

解答
当把37拆成2、7、11、17这四个数的和时，乘积最大，为
37=2+7+11+17
2×7×11×17=2618
答：这几个质数分别为2、7、11、17。
［例4］已知a×（b+c）=209，请在a、b、c中各填一个质数，使上面的等式成立。

思路剖析
因为209表示成a与（b+c）的乘积，所以解题关键还是将209分解质因数。

解答
209=11×19，不论a是11还是19，b+c的和一定是奇数。因为奇数+偶数=奇数，所以b和c一定有一个数是偶数。偶质数只有2。
（1）当a=11时，假定b=2，则c=19-2=17，假定c=2，则b=19-2=17。
（2）当a=19时，假定b=2，则c=11-2=9，不是质数（舍）；假定c=2，则b=11-2=9不是质数（舍）。
这个算式是11×（2+17）=209或11×（17+2）=209。

点津
把一个整数分解成若干个整数的乘积，特别是一些质数的乘积，是解决整数问题的一种常用方法。
［例5］有8个不同约数的自然数中，最小的是多少？

思路剖析
可用较小的质数作为底数，从中求出最小的一个。

解答
因为8=1×8=2×4=2×2×2
所以所求的自然数，只有三种情况，即：
，，，其中a、b、c为不同的质数。
又因为要最小的自然数，所以质数a、b、c应尽量小。
（l）
（2）
（3）
其中，24为最小，故所求的最小自然数为24。
［例6］一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数。求a的最小值与这个平方数。

思路剖析
因为a与1080的乘积是一个完全平方数。所以乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数

解答
因为
又因为的质因数分解中各质因数的指数都是奇数
所以a必含质因数2、3、5，因此a最小为2×3×5。
所以1080×a=1080×2×3×5=1080×30=32400
答：a的最小值为30，这个完全平方数是32400。
［例7］自然数151200的约数中有许多两位数，其中最大的是几？

思路剖析
先将151200分解质因数得
151200=2×2×2×2×2×3×3×3×5×5×7
显然，其中某些质因数相乘得到了最大的两位约数，但是，由哪些质因数相乘才能得到最大的两位约数呢？我们并不知道，也不能这样凑数，太麻烦。
不妨将两位数从大到小排列为：99，98，97，96，95，…，将这些数分解质因救后看是否能由151200的质因数凑出。

解答
因为99=3×3×11有质因数11，所以99不合要求。
因为98=2×7×7中的质因数7的个数是2，所以98不合要求。
97本身是质数，不合要求。
96=2×2×2×2×2×3，符合要求。
答：151200的最大两位约数是96。
［例8］学区举行团体操表演，有1430名学生参加，分成人数相等的若干队，要求每队人数在100至200之间，共有几种分法？

思路剖析
按题意，每队人数×队数=1430，每队人数在100至200之间，所以问题相当于求1430有多少个在100至200之间的约数。为此，先把1430分解质因数，得
1430=2×5×11×13
从这四个质数中选若干个，使其乘积在100到200之间，这是每队人数，其余的质因数之积便是队数。

解答
2×5×11=110，13
2×5×13=130，11
11×13=143，2×5=10
所以共有三种分法，即：分成13队，每队110人；分成11队，每队130人；分成10队，每队143人。

发散思维训练
1．小聪的妹妹参加了今年的中学数学竞赛，小聪问妹妹：“这次竞赛你得了多少分？获第几名？”妹妹告诉他：“我得的名次和我的岁数及我的分数乘起来是2910，你看我的成绩和名次各是多少？”
2．求（l）144的全部约数的和；
(2)360的全部约数的和。
3．55888与一个自然数a相乘所得的积是一个完全平方数，求a的最小值。
4．要使975×935×972×（）这个乘积的最后四位数字为0，在括号内最小应填什么数？
5．试求不大于50的所有约数个数为6的自然数。
6．船夫用几只船分三次把90名同学渡过河去，已知每只船载的人数都相等，并且至少裁2人。

参考答案
发散思维训练
1．解：
既然2910是三个数的乘积，那么就把2910分解质因数：2910=2×3×5×97。
小聪的妹妹是中学生，不可能是2岁、3岁、5岁，也不可能是6岁、10岁，因此可以肯定小聪妹妹是（3×5）=15岁，则名次是第2名，成绩是97分。
答：小聪的妹妹名次是第=名，成绩是97分。
2．解：
（1）我们已知144的约数共15个，是由l、2、4、8、16分别乘以l、3、9所得，现在我们再来计算一遍。第一步用1去乘l、2、4、8、16中的每一个数，其和为（1+2+4+8+16），第=步用3乘l、2、4、8、16的每一个数，其和为（l+2+4+8+16）×3，第三步用9去乘1、2、4、8、16中的每一个数，其和为（1+2+4+8+16）×9，那么144的全部约数的和是
（1+2+4+8+16）+（1+2+4+8+16）×3+（1+2+4+8+16）×9=（1+2+4+8+16）×（1+3+9）=31×13=403
（2）求360的全部约数的和。
因此就有1、2、4、8；l、3、9；1、5这样三列数。
（l+2+4+8）×（l+3+9）×（l+5）
=15×13×6=1170
答：（1）144的所有约数的和是403；（2）360的所有约数的和是1170。
3．解：
所谓完全平方数就是两个相同整数的乘积，即若n为整数，则就是完全平方数；虽然55888再乘以一个55888，所得的结果是一个完全平方数，但是它不是一个最小的乘数。因为55888本身是4的倍数，而4是一个完全平方数，所以由55888÷4=13972可知，只要乘数是13972，55888×13972=4×13972×13972这个乘积就是一个完全平方数，显然乘数13972要比原先选55888为乘数小，13972是不是要找的最小乘数呢？这要看55888分解质因数的情况了。因为，又是个完全平方数，7和499都是质数，则a最小是7×499=3493。
答：a的最小值是3493。
4．解：
要使975×935×972×（）的积的最后四位数字为0，就是要使这个积为10000的倍数，于是本题有如下两种解法：
解法一：因为，那么在975×935×972×（）的连乘积中至少要含有质因数4个2和4个5。而975×935×972中，，，，即原乘积中只含有质因数3个5、2个2，所以还必须乘以2个2和1个5的积，即4×5=20。
故在括号内最小应填20。
解法二：因为975=5×5×39，935=5×187，972=2×2×243
所以975×935×972=5×5×5×2×2×39×187×243
=500×39×187×243
500×39×187×243的积末尾有两个0，又因500×20=10000，那么仅在975×935×972后面乘以20就使这个积的最后四位数字都为0，所以，在括号内最小应填20。
5．解：
这是求一个数的约数个数的逆问题。
因为这个数有六个约数，6=5+l=（2+l）×（1+1），所以，当这个数只有一个质因数a时，这个数是；当这个数有两个质因数a和b时，这个数是。因为这个数不大于50，所以对于，只有a=2，即=32；对于，经试算得到：
，，，
，，
所以，满足题意的数有八个：32，12，20，28，44，18，45，50。
6．解：
因为每只船载的人数都相等，且3次就把90人全渡过河去。所以每次渡过河的总人数相等，均为90÷3=30（人），又每次渡过河的总人数30应为每只船上载的人数与船数的积，也就是说，每只船上载的人数与每次载过河的船数都是30的约数。
把30分解质因数：30=2×3×5，因为每只船载的人数都相等，且至少载2人，所以每次渡河的船数与每只船上所载的人数应有以下几种情况：
（l）用2只船，每只船载15人。
（2）用3只船，每只船载10人。
（3）用5只船，每只船载6人。
（4）用6只船，每只船载5人。
（5）用10只船，每只船载3人。
（6）用15只船，每只船载2人。