高考立体几何大题及答案(理).pdf

1.如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SD 底面ABCD，2AD，2DCSD，点M在侧棱SC上，oABM=60。（I）证明：M是侧棱SC的中点；求二面角SAMB的大小。2.如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1中，ABAC,D、E 分别为 AA1、B1C 的中点，DE平面BCC1（）证明：AB=AC （）设二面角 A-BD-C 为 60,求 B1C 与平面 BCD 所成的角的大小 3.如图，DC 平面ABC，/EBDC，22ACBCEBDC，120ACBo，,P Q分别为,AE AB的中点（I）证明：/PQ平面ACD；（II）求AD与平面ABE所成角的正弦值ACBA1B1C1DE4.如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PDABCD 底面，点 E 在棱 PB 上.（）求证：平面AECPDB 平面；（）当2PDAB且 E 为 PB 的中点时，求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小.5.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA 平面ABCD，4PAAD，2AB 以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M（1）求证：平面ABM平面PCD；（2）求直线PC与平面ABM所成的角；（3）求点O到平面ABM的距离6.如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形，,45ABAE FAFEAEF（I）求证：EFBCE 平面；（II）设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：PMBCE平面OAPBCMD（III）求二面角FBDA的大小。7.如图，四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形，SD平面 ABCD,SDADa,点 E 是 SD 上的点，且DEa(01).()求证：对任意的（0、1），都有 ACBE:()若二面角 C-AE-D 的大小为 600C，求的值。8.如图 3，在正三棱柱111ABCABC中，AB=4,17AA,点 D 是 BC 的中点，点 E 在 AC 上，且 DE1AE.（）证明：平面1ADE平面11ACC A;（）求直线 AD 和平面1ADE所成角的正弦值。9.如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形，,45ABAE FAFEAEF（I）求证：EFBCE 平面；（II）设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：PMBCE平面（III）求二面角FBDA的大小。10.如题（18）图，在五面体ABCDEF中，ABDC，2BAD，2CDAD，四边形ABFE为平行四边形，FA 平面ABCD，3,7FCED求：（）直线AB到平面EFCD的距离；（）二面角FADE的平面角的正切值11如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，DAB60，AB2AD，PD底面 ABCD(1)证明：PABD；(2)设 PDAD，求二面角 APBC 的余弦值12（本小题满分 12 分）如图，已知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形，ABPCD,ACBD，垂足为 H，PH 是四棱锥的高，E 为 AD 中点（1）证明：PEBC（2）若APB=ADB=60，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值参考答案参考答案1、【解析】（I）解法一：作MNSD交CD于 N，作NEAB交AB于 E，连 ME、NB，则MN 面ABCD，MEAB,2NEAD设MNx，则NCEBx,在RT MEB中，Q60MBE3MEx。在RT MNE中由222MENEMN2232xx解得1x，从而12MNSD M 为侧棱SC的中点 M.解法二:过M作CD的平行线.（II）分析一分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。过M作MJCD交SD于J,作SHAJ交AJ于H,作HKAM交AM于K,则JMCD,JM 面SAD,面SAD面MBA,SH 面AMBSKH即为所求二面角的补角.法二法二：利用二面角的定义。在等边三角形ABM中过点B作BFAM交AM于点F，则点F为 AM 的中点，取 SA 的中点 G，连 GF，易证GFAM，则GFB即为所求二面角.解法二、解法二、分别以 DA、DC、DS 为 x、y、z 轴如图建立空间直角坐标系 Dxyz，则)2,0,0(),2,0,0(),0,2,2(),0,0,2(SCBA。（）设)0,0)(,0(babaM，则)2,0(),2,2(),0,2,0(baSMbaBMBA，)2,2,0(SC，由题得 SCSMBMBA/21,cos，即 )2(22212)2(2)2(222babaa解之个方程组得1,1 ba即)1,1,0(M所以M是侧棱SC的中点。法 2：设MCSM ，则)12,12,2(),12,12,0(MBM又oABMBAB60,),0,2,0(故oABMBABMB60cos|，即22)12()12(214 ，解得1 ，所以M是侧棱SC的中点。（）由（）得)1,1,2(),1,1,0(MAM，又)2,0,2(AS，)0,2,0(AB，设),(),(22221111zyxnzyxn 分别是平面SAM、MAB的法向量，则SABCDMzxy 0011ASnMAn且 0012ABnMAn，即 0220211111zxzyx且 02022222yzyx分别令221 xx得2,0,1,12211 zyyz，即)2,0,2(),1,1,2(21 nn，3662202,cos21 nn 二面角SAMB的大小36arccos 。2、解法一：（）取 BC 中点 F，连接 EF，则 EF121B B，从而 EFDA。连接 AF，则 ADEF 为平行四边形，从而 AF/DE。又 DE平面1BCC，故 AF平面1BCC，从而 AFBC，即 AF 为 BC 的垂直平分线，所以 AB=AC。（）作 AGBD，垂足为 G，连接 CG。由三垂线定理知 CGBD，故AGC 为二面角 A-BD-C的平面角。由题设知，AGC=600.设 AC=2，则 AG=23。又 AB=2，BC=2 2，故 AF=2。由AB ADAG BD得 2AD=222.23AD，解得 AD=2。故 AD=AF。又 ADAF，所以四边形 ADEF 为正方形。因为 BCAF，BCAD，AFAD=A，故 BC平面 DEF，因此平面 BCD平面 DEF。连接 AE、DF，设 AEDF=H，则 EHDF，EH平面 BCD。连接 CH，则ECH 为1BC与平面 BCD 所成的角。.因 ADEF 为正方形，AD=2，故 EH=1，又 EC=112BC=2，所以ECH=300，即1BC与平面 BCD 所成的角为 300.解法二：（）以 A 为坐标原点，射线 AB 为 x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系 Axyz。设 B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则1B（1，0，2c）,E（12，2b，c）.于是DE=（12，2b，0），BC=（-1，b,0）.由 DE平面1BCC知 DEBC，DE BC=0，求得 b=1，所以 AB=AC。（）设平面 BCD 的法向量(,),ANx y z则0,0.AN BCAN BD又BC=（-1，1，0），BD=（-1，0，c）,故00 xyxcz 令 x=1,则 y=1,z=1c,AN=(1,1,1c).又平面ABD的法向量AC=（0，1，0）由二面角CBDA为 60知，ACAN，=60，故 60cosACANACAN，求得21c 于是 ），（211AN，），211(1CB21cos111CBANCBANCBAN，601CBAN，所以CB1与平面BCD所成的角为 303、（）证明：连接CQDP,，在ABE中，QP,分别是ABAE,的中点，所以BEPQ21/，又BEDC21/，所以DCPQ/，又PQ平面 ACD，DC平面 ACD，所以/PQ平面 ACD（）在ABC中，BQAQBCAC,2，所以ABCQ 而 DC平面 ABC，DCEB/，所以EB平面 ABC 而EB平面 ABE，所以平面 ABE平面 ABC，所以CQ平面 ABE由（）知四边形 DCQP 是平行四边形，所以CQDP/所以DP平面 ABE，所以直线 AD 在平面 ABE 内的射影是 AP，所以直线 AD 与平面 ABE 所成角是DAP 在APDRt中，5122222DCACAD，1sin2CAQCQDP所以5551sinADDPDAP4、【解法解法 1】（）四边形 ABCD 是正方形，ACBD，PDABCD 底面，PDAC，AC平面 PDB，平面AECPDB 平面.（）设 ACBD=O，连接 OE，由（）知 AC平面 PDB 于 O，AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角，O，E 分别为 DB、PB 的中点，OE/PD，12OEPD，又PDABCD 底面，OE底面 ABCD，OEAO，在 RtAOE 中，1222OEPDABAO，45AOE，即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为45.【解法解法 2】如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz，设,ABa PDh则,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,A aB a aCaDPh，（）,0,0,0,0ACa aDPhDBa a uuu ruuu ruuu r，0,0AC DPAC DBuuu r uuu ruuu r uuu r，ACDP，ACDB，AC平面 PDB，平面AECPDB 平面.（）当2PDAB且 E 为 PB 的中点时，1120,0,2,222PaEaaa，设 ACBD=O，连接 OE，由（）知 AC平面 PDB 于 O，AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角，1122,0,0,2222EAaaaEOauu u ruuu r，2cos2EA EOAEOEAEOuu u r uuu ruu u ruuu r，45AOE，即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为45.多面体 ABCDEF 的体积为 VEABCDVEBCF=2 25、解：方法（一）：（1）证：依题设，在以为直径的球面上，则.因为平面，则，又，所以平面，则，因此有平面，所以平面平面.（）设平面与交于点，因为，所以平面，则，由（1）知，平面，则 MN 是 PN 在平面 ABM 上的射影，所以 PNM就是PC与平面ABM所成的角，ONAPBCMDzxy且PNMPCD tantan2 2PDPNMPCDDC 所求角为arctan2 2（3）因为 O 是 BD 的中点，则 O 点到平面 ABM 的距离等于 D 点到平面 ABM 距离的一半，由（1）知，平面于 M，则|DM|就是 D 点到平面 ABM 距离.因为在 RtPAD 中，4PAAD，PDAM，所以M为PD中点，2 2DM，则 O点到平面 ABM 的距离等于2。方法二：（1）同方法一；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A，(0,0,4)P，(2,0,0)B，(2,4,0)C，(0,4,0)D，(0,2,2)M，设平面ABM的一个法向量(,)nx y zr，由,nAB nAMruuu r ruuuu r可得：20220 xyz，令1z ，则1y，即(0,1,1)n r.设所求角为，则2 2sin3PC nPC nuuu r ruuu r r，所求角的大小为2 2arcsin3.（3）设所求距离为h，由(1,2,0),(1,2,0)OAO uuu r，得：2AO nhnuuu r rr6、【解析解析】解法一：因为平面 ABEF平面 ABCD，BC平面 ABCD，BCAB，平面 ABEF平面 ABCD=AB，所以 BC平面 ABEF.所以 BCEF.因为ABE 为等腰直角三角形，AB=AE，所以AEB=45，又因为AEF=45,所以FEB=90，即 EFBE.因为 BC平面 ABCD,BE平面 BCE,BCBE=B所以EFBCE 平面 6 分（II）取 BE 的中点 N,连结 CN,MN,则 MN12ABPC PMNC 为平行四边形,所以 PMCN.CN 在平面 BCE 内,PM 不在平面 BCE 内,PM平面 BCE.8 分（III）由 EAAB,平面 ABEF平面 ABCD,易知 EA平面 ABCD.作 FGAB,交 BA 的延长线于 G,则 FGEA.从而 FG平面 ABCD,作 GHBD 于 H,连结 FH,则由三垂线定理知 BDFH.FHG 为二面角 F-BD-A 的平面角.FA=FE,AEF=45,AEF=90,FAG=45.设 AB=1,则 AE=1,AF=22,则1FGAF si n FAG2在 RtBGH 中,GBH=45,BG=AB+AG=1+12=32,323 2G HBG si n G BH224,在 RtFGH 中,FG2t an FH GG H3,二面角FBDA的大小为2arc t an3 12 分 解法二:因ABE等腰直角三角形，AEAB，所以ABAE 又因为平面ABABCDABEF平面，所以AE平面ABCD，所以ADAE 即AEABAD、两两垂直；如图建立空间直角坐标系,(I)设1AB，则1AE，)0,1,1(),1,0,0(),0,0,1(),0,1,0(CEDB45,AEFFEFA，090AFE，从而），（21210F )21,21,0(EF，)0,0,1(),1,1,0(BCBE于是021210BEEF，0BCEF EFBE,EFBC BE平面BCE，BC平面BCE，BBEBC EFBCE 平面（II）)0,21,1(),21,0,0(PM，从而)21,21,1(PM 于是041410)21,21,0()21,21,1(EFPM PMEF，又EF平面BCE，直线PM不在平面BCE内，故PM平面BCE（III）设平面BDF的一个法向量为1n，并设1n（),zyx )21,23,0(),0,1,1(BFBD 0011BFnBDn 即021230zyyx 取1y，则1x，3z，从而1n（1，1，3）取平面ABDD 的一个法向量为)1,0,0(2n 111131113cos212121nnnnnn、故二面角FBDA的大小为11113arccos7、（）证发 1：连接 BD，由底面是正方形可得 ACBD。QSD平面，BD 是 BE 在平面 ABCD 上的射影，由三垂线定理得 ACBE.(II)解法 1：QSD平面 ABCD，平面，SDCD.又底面是正方形，DD，又IAD=D，CD平面 SAD。过点 D 在平面 SAD 内做 DFAE 于 F，连接 CF，则 CFAE，故CFD 是二面角 C-AE-D 的平面角，即CFD=60在 RtADE 中，QAD=a,DE=a，AE=a12。于是，DF=12aAEDEAD在 RtCDF 中，由cot60=12CDDF得3312，即332=3 (0,1，解得=228、解:（）如图所示，由正三棱柱111ABCABC的性质知1AA平面ABC.又 DE平面 ABC，所以 DE1AA.而 DE1AE，111AAAEAI,所以 DE平面11ACC A.又 DE 平面1ADE，故平面1ADE平面11ACC A.（）解法解法 1:过点 A 作 AF 垂直1AE于点F,连接 DF.由（）知，平面1ADE平面11ACC A，所以 AF平面1ADE,故ADF是直线 AD 和平面1ADE所成的角。因为 DE11ACC A，所以 DEAC.而ABC 是边长为 4 的正三角形，于是 AD=2 3，AE=4-CE=4-12CD=3.又因为17AA，所以1AE=2211AEAAAE22(7)3=4,113 74AE AAAFAE,21sin8AFADFAD.即直线 AD 和平面1ADE所成角的正弦值为218 .解法解法 2:如图所示，设 O 是 AC 的中点，以 O 为原点建立空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是 A(2,0,0,),1A(2,0,7),D(-1,3,0),E(-1,0,0).易知1ADuuu u r=（-3，3，-7），DEuuu r=（0，-3，0），ADuuu r=（-3，3，0）.设(,)nx y zr是平面1ADE的一个法向量，则130,3370.n DEyn ADxyz r uuu vr uuu v解得7,03xz y.故可取(7,0,3)n r.于是 cos,n ADn ADnADr uuu rr uuu rruuu r=3 72184 2 3 .由此即知，直线 AD 和平面1ADE所成角的正弦值为218 .所以 ME 与 BN 不共面，它们是异面直线。.12 分9、【解析解析】解法一：因为平面 ABEF平面 ABCD，BC平面 ABCD，BCAB，平面 ABEF平面 ABCD=AB，所以 BC平面 ABEF.所以 BCEF.因为ABE 为等腰直角三角形，AB=AE，所以AEB=45，又因为AEF=45,所以FEB=90，即 EFBE.因为 BC平面 ABCD,BE平面 BCE,BCBE=B所以EFBCE 平面 6 分（II）取 BE 的中点 N,连结 CN,MN,则 MN12ABPC PMNC 为平行四边形,所以 PMCN.CN 在平面 BCE 内,PM 不在平面 BCE 内,PM平面 BCE.8 分（III）由 EAAB,平面 ABEF平面 ABCD,易知 EA平面 ABCD.作 FGAB,交 BA 的延长线于 G,则 FGEA.从而 FG平面 ABCD,作 GHBD 于 H,连结 FH,则由三垂线定理知 BDFH.FHG 为二面角 F-BD-A 的平面角.FA=FE,AEF=45,AEF=90,FAG=45.设 AB=1,则 AE=1,AF=22,则1FGAF si n FAG2在 RtBGH 中,GBH=45,BG=AB+AG=1+12=32,323 2G HBG si n G BH224,在 RtFGH 中,FG2t an FH GG H3,二面角FBDA的大小为2arc t an312 分 解法二:因ABE等腰直角三角形，AEAB，所以ABAE 又因为平面ABABCDABEF平面，所以AE平面ABCD，所以ADAE 即AEABAD、两两垂直；如图建立空间直角坐标系,(I)设1AB，则1AE，)0,1,1(),1,0,0(),0,0,1(),0,1,0(CEDB45,AEFFEFA，090AFE，从而），（21210F )21,21,0(EF，)0,0,1(),1,1,0(BCBE于是021210BEEF，0BCEF EFBE,EFBC BE平面BCE，BC平面BCE，BBEBC EFBCE 平面（II）)0,21,1(),21,0,0(PM，从而)21,21,1(PM 于是041410)21,21,0()21,21,1(EFPM PMEF，又EF平面BCE，直线PM不在平面BCE内，故PM平面BCE（III）设平面BDF的一个法向量为1n，并设1n（),zyx )21,23,0(),0,1,1(BFBD 0011BFnBDn 即021230zyyx 取1y，则1x，3z，从而1n（1，1，3）取平面ABDD 的一个法向量为)1,0,0(2n 111131113cos212121nnnnnn、故二面角FBDA的大小为11113arccos10、解法一:（）,ABDC DC QP平面EFCD,AB 到面EFCD的距离等于点 A 到面ABCDEFxyzGEFCD的距离，过点 A 作AGFD于 G，因2BADABDC，故CDAD；又QFA 平面ABCD，由三垂线定理可知，CDFD，故CDFAD面，知CDAG，所以AG 为所求直线 AB 到面EFCD的距离。在RtABC中，22945FDFCCD由FA 平面ABCD，得FA AD，从而在RtFAD中，22541FAFDAD22 555FA ADAGFD。即直线AB到平面EFCD的距离为2 55。（）由己知，FA 平面ABCD，得FA AD，又由2BAD，知ADAB，故AD 平面 ABFEDAAE，所以，FAE为二面角FADE的平面角，记为.在RtAED中,22743AEEDAD,由ABCDY得,FEBAP,从而2AFE在RtAEF中,223 12FEAEAF ,故tan2FEFA所以二面角FADE的平面角的正切值为2.解法二:（）如图以 A 点为坐标原点,AB AD AFuuu r uuu r uuu r的方向为,x y z的正方向建立空间直角坐标系数,则A(0,0,0)C(2,2,0)D(0,2,0)设00(0,0,)(0)Fzz 可得0(2,2,)FCzuuu r,由|3FC uuu r.即2220223z,解得(0,0,1)F QABDC，DC 面EFCD,所以直线 AB 到面EFCD的距离等于点 A 到面EFCD的距离。设 A 点在平面EFCD上的射影点为111(,)G xy z,则111(,)AGxy zuuu r 因0AG DFuuu r uuu r且0AG CDuuu r uuu r,而(0,2,1)DF uuu r(2,0,0)CD uuu r,此即1112020yzx 解得10 x,知 G 点在yoz面上,故 G 点在 FD上.GFDFuuu ruuu rP,111(,1)GFxyz uuu r故有1112yz 联立,解得,2 4(0,)5 5G.|AGuuu r为直线 AB 到面EFCD的距离.而2 4(0,)5 5AG uuu r 所以2 5|5AG uuu r（）因四边形ABFE为平行四边形,则可设00(,0,1)(0)E xx,0(2,1)EDx uuu r.由|7ED uuu r得220217x ,解得02x .即(2,0,1)E.故(2,0,1)AE uuu r由(0,2,0)AD uuu r,(0,0,1)AF uuu r因0AD AEuuu r uuu r,0AD AFuuu r uuu r,故FAE为二面角FADE的平面角，又Q(2,0,0)EF uuu r,|2EF uuu r,|1AF uuu r,所以|tan2|EFFAEFAuuu ruu u r 111111.解：(1)因为DAB60，AB2AD，由余弦定理得.3BDAD从而 BD2AD2AB2，故 BDAD又 PD底面 ABCD，可得 BDPD所以 BD平面 PAD故 PABD(2)如图，以 D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 Dxyz.则 A(1，0，0)，B(0，0)，C(1，0)，P(0，0，1)33(1，0)，(0，1)，(1，0，0)ABuuu r3PBuu u r3BCuuu r设平面 PAB 的法向量为 n(x，y，z)，则00n ABn PBuuu ruu u r即3030 xyyz 因此可取 n(，1，)33设平面 PBC 的法向量为 m，则00m PBm BCuu u ruuu r可取 m(0，1，)，.342 7cos,72 7m n 故二面角 A-PB-C 的余弦值为.2 7712.解：以H为原点，,HA HB HP 分别为,x y z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则(1,0,0),(0,1,0)AB （）设(,0,0),(0,0,)(0,0)C mPn mnpf则 1(0,0),(,0).2 2mDmE可得 1(,),(,1,0).2 2mPEn BCm因为0022mmPE BC所以 PEBC（）由已知条件可得 33,1,33mnC 故(,0,0)313(0,0),(,0),(0,0,1)326DEP 设(,)nx y x为平面PEH的法向量 则 ,n HEon HPo 即130260 xyz因此可以取(1,3,0)n，由(1,0,1)PA uu u r，可得 2cos,4PAnuuu r所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为24