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小升初数学专线训练-几何-答案
小升初专项训练——几何篇
一、解答题

2．从一个长为8厘米，宽为7厘米，高为6厘米的长方体中截下一个最大的正方体，剩下的几何体的表面积是　220　平方厘米．

最大正方体的棱长为6厘米，根据切割方法可知：切割后剩下表面积就是少了两个面积为6×6的，所以现在的面积为（8×7+8×6+7×6）×2﹣6×6×2=220平方厘米．3
解：（8×7+8×6+7×6）×2﹣6×6×2=（56+48+42）×2﹣72=220（平方厘米）；
答：剩下的几何体的表面积是220平方厘米．

3．有一个棱长为1米的立方体，沿长、宽、高分别切二刀、三刀、四刀后，成为60个小长方体（如图）．这60个小长方体的表面积总和是　24　平方米．

根据正方体的切割方法可得：每切一次就增加2个正方体的面，一共切了2+3+4=9次，所以一共增加了2×9=18个面，一个面的面积是1×1=1平方米，所以切割后的表面积总和=正方体原来的表面积+增加的9个面的面积之和．
解：1×1×6+1×1×（2+3+4）×2=6+18=24（平方米）；
答：60个小长方体的表面积总和是24平方米．

5．1000个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个边长为10厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被油漆涂过的数目是多少个？

表面涂漆的小正方体都在大正方体的表面上，由此可以先求得内部没有涂色的小正方体的个数，再利用小正方体的总个数﹣没有涂色的即可解答．
解：共有小正方体：10×10×10=1000（个），
其中没有涂色的为：（10﹣2）×（10﹣2）×（10﹣2）=8×8×8=512（个），
所以至少有一面被油漆漆过的小正方体为1000﹣512=488（个）．
答：至少有一面被油漆漆过的小正方体为488个．
涂色的小正方体都在大正方体的表面上．

8．如图，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差．

（1）只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解．较大面积的阴影部分是图形1；小阴影部分是图形2；长方形中的不规则白色部分是图形3；
（2）图形1+3的面积等于大扇形减去小扇形；而图形2+3的面积等于长方形的面积；所以图形1+3﹣（图形2+3）=图形1﹣图形2的面积=大扇形减去小扇形，再减去长方形．
解：π（42﹣22）﹣4×2=×3.14×12﹣8=9.42﹣8=1.42（平方厘米），
答：两个阴影部分的面积差是1.42平方厘米．

10．如图，AB与CD是两条垂直的直径，圆O的半径为15厘米，是以C为圆心，AC为半径的圆弧，求阴影部分的面积．

由图意可知：如图所示，连接AC、BC，则阴影部分的面积=半径为15厘米的圆面积的﹣（半径为AC的圆的面积﹣三角形ABC的面积），又因AB=30厘米，OC=15厘米，从而可以依据三角形ABC的面积求出AC的长度，进而求得阴影部分的面积．
解：因为三角形ABC的面积为：=，所以AC2=30×15；
阴影部分的面积=﹣（πAC2×﹣30×15×）=﹣（﹣），
=﹣（）=225=225（平方厘米）；
答：阴影部分的面积是225平方厘米．

15．一个高为30厘米，底面为边长是10厘米的正方形的长方体水桶，其中装有容积的水，现在向桶中投入边长为2厘米×2厘米×3厘米的长方体石块，问需要投入多少块这种石块才能使水面恰与桶高相齐？
由题意可知：所装入石块的体积应等于桶的容积的一半，用水桶的体积的除以每块石块的体积，就是所投入的石块的块数．
解：（10×10×30）× ÷（2×2×3）=3000× ÷12=1500÷12=125（块）．
答：需要投入125块这种石块才能使水面恰与桶高相齐．
所装入石块的体积应等于桶的容积的一半，用水桶的体积的除以每块石块的体积，就是所投入的石块的块数．

16．如图是由22个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成的长方体有多少个？

解答此题，应注意分类解决．
（1）在求共有多少个正方体时，分为两种情况，由1个小正方体构成的正方体；由8个小正方体构成的正方体．
（2）在求由两个小正方体组成的长方体时，根据方向来推算，可分为上下位、左右位、前后位三种．
解：（1）正方体只可能有两种：
由1个小正方体构成的正方体，有22个；由8个小正方体构成的2×2×2的正方体，有4个．所以共有正方体：22+4=26（个）．
答：共有26个大大小小的正方体．
（2）由两个小正方体组成的长方体，可分为上下位、左右位、前后位三种，其中上下位有13个，左右位有13个，前后位有14个，共有13+13+14=40（个）．
答：由两个小正方体组成的长方体有40个．

17．有甲、乙、丙3种大小的正方体，棱长比是1：2：3．如果用这三种正方体拼成尽量小的一个正方体，且每种都至少用一个，则最少需要这三种正方体共多少？

设甲的棱长为1，则乙的棱长为2，丙的棱长为3．
显然，大正方体棱长不可能是4，否则无法放下乙和丙各一个．于是，大正方体的棱长至少是5．
事实上，用甲、乙、丙三种木块可以拼成棱长为5的大正方体，其中丙种木块只能用1块；乙种木块至多用7块（使总的块数尽可能少）；甲种木块需用5×5×5﹣3×3×3﹣7×2×2×2=42（块）．因此，用甲、乙、丙三种木块拼成体积最小的大正方体，至少需要这三种木块一共1+7+42=50（块）．
解：设甲的棱长为1，则乙的棱长为2，丙的棱长为3，则大正方体的棱长至少为5，
用甲、乙、丙三种木块可以拼成棱长为5的大正方体，其中丙种木块只能用1块；
乙种木块至多用7块（使总的块数尽可能少）；
甲种木块需用5×5×5﹣3×3×3﹣7×2×2×2=125﹣27﹣56=42（块），
所以，用甲、乙、丙三种木块拼成体积最小的大正方体，至少需要这三种木块一共：1+7+42=50（块）．
答：至少需要三种木块50块．

18．现有一个长，宽，高都为1cm的正方体，一个长，宽，为1cm，高为2cm的长方体，三个长，宽为1cm，高为3cm的长方体．下列图是把这五个立体图形合并成某一立体图形时，从上面，前面，侧面所看到的图形．试利用下面三个图形把合并成的立体图形如（例）的样子画出来，并求出其表面积．

先根据三视图得到立体图形的形状如右图所示：
再根据面积公式分别求得从上面和下面看到的形状面积，从两个侧面看到的形状面积，从前面和后面看到的形状面积和隐藏着的面积，相加即可求解．
解：立体图形的形状如右图所示．
从上面和下面看到的形状面积都是9cm2，共18cm2；从两个侧面看到的形状面积都为7cm2，共14cm2；从前面和后面看到的形状面积都为6cm2，共12cm2．
隐藏着的面积有2cm2．一共有18+16+12+2=46（cm2）．

19．有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，另一种是长方形的，正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1：2．用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒．正好将纸板用完．问在所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？

竖式纸盒要用1个正方形纸板和4个长方形纸板，横式纸盒要用2个正方形纸板和3个长方形纸板，设竖式纸盒有x个，横式纸盒有y个，根据题意即可解决问题．．
解：设竖式纸盒有x个，横式纸盒有y个，那么
正方形纸板一共有（x+2y）个，长方形纸板一共有（4x+3y）个，根据题意可得：（x+2y）：（4x+3y）=1：2
根据比例的基本性质和等式的性质解得：x：y=1：2
答：坚式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是 1：2．故答案为：1：2．．

20．图1是一个正方体，四边形APQC表示用平面截正方体的截面．请在图2中的展开图中画出四边形APQC的四条边．

把立体图形表面的线条画在平面展开图上，只要抓住四边形APQC四个顶点所在的位置这个关键，再进一步确定四边形的四条边所在的平面就可容易地画出．
解：（1）考虑到展开图上有六个顶点没有标出，可想象将展开图折成立体形，并在顶点上标出对应的符号，见左下图．

（2）根据四边形所在立体图形上的位置，确定其顶点所在的点和棱，以及四条边所在的平面：
顶点：A﹣A，C﹣C，P在EF边上，Q在GF边上．边AC在ABCD面上，AP在ABFE面上，QC在BCGF面上，PQ在EFGH面上．
（3）将上面确定的位置标在展开图上，并在对应平面上连线．需要注意的是，立体图上的A，C点在展开图上有三个，B，D点在展开图上有二个，所以在标点连线时必须注意连线所在的平面，连好线的图形如右上图．

21．将一个正方体（图1）剪开可以展成一些不同的平面图形（图2）．
其中的图2的（1），（2）都是“带状图”，好像是一条完整的削下来的苹果皮．仔细观察（1），（2）两个图可以发现，图中的每个小正方形都有两个边与其它的正方形“共用”，除了两头的两个正方形以外．再观察（3）和（4），由于这两个图中每个都有一个正方形（粉色）有两条以上的边（（3）有3条，（4）有4条）与周围的正方形“共用”．所以（3）和（4）都不是“带状图”．
问题1：运用你的空间想象力或者动手将图2的四个图折成正方体．
问题2：除了（1）和（2）以外还有两个正方体的平面展开图也是“带状图”，你能找出来吗？
解：（1）如下图：
①“1”为下底，“6”为上底，其余为侧面，并且“2”的对面是“4”，“3”的对面是“5”，折成正方体；
②“3”为上底，“6”为下底，其余为侧面，并且“1”的对面是“4”，“2”的对面是“5”，折成正方体；
③“3”为上底，“1”为下底，其余为侧面，并且“2”的对面是“5”，“4”的对面是“6”，折成正方体；
④“6”为上底，“5”为下底，其余为侧面，并且“1”的对面是“3”，“2”的对面是“4”，折成正方体；
（2）除了（1）和（2）以外还有两个正方体的平面展开图也是“带状图”，即图5、图6：

23．如图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为1040平方厘米，空白部分是6个半径为10厘米的小扇形．

由图意可知：所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积，正六边形的面积已知，现在关键是求小扇形的面积，由扇形面积公式S扇=可求得，为此需要知道半径和扇形弧的度数，由已知正六边形每边所对圆心角为60°，那么∠AOC=120°，又知四边形ABCD是平行四边形，所以∠ABC=120°，这样就能求出扇形的面积．从而可以求得阴影部分的面积．
解：如图所示，因为正六边形每边所对圆心角为60°，
那么∠AOC=120°，
又知四边形ABCD是平行四边形，所以∠ABC=120°，
则：阴影部分的面积=1040﹣6×=1040﹣628=412（平方厘米）；答：阴影部分的面积是412平方厘米．

25．如图，两个半径相等的圆相交，两圆的圆心相距正好等于半径，AB弦约等于17厘米，半径为10厘米，求阴影部分的面积．

（1）阴影部分由两个相等的弓形组成，我们只需要求出一个弓形面积，然后二倍就是要求的阴影面积了．由已知若分别连接AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，如图所示，就可以得到两个等边三角形（各边长等于半径），则∠AO2O1=∠BO2O1=60°，即∠AO2B=120°．这样就可以求出以O2为圆心的扇形AO1BO2的面积，
（2）然后再减去三角形AO2B的面积，就得到弓形面积，三角形AO2B的面积就是二分之一底乘高，底是弦AB，高是O1O2的一半．
解：分别连接AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，如图所示，就可以得到两个等边三角形（各边长等于半径），则∠AO2O1=∠BO2O1=60°，即∠AO2B=120°．120°÷360°=，
×3.14×102﹣17×（10÷2）÷2=×3.14×100﹣17×5÷2≈104.67﹣42.5=62.17（平方厘米）；
62.17×2=124.34（平方厘米）答：阴影部分的面积是124.34平方厘米．

26．2100个边长为1米的正方体堆成一个实心的长方体．它的高是10米，长、宽都是大于10（米）的整数，问长方体长宽之和是几米？

2100个边长为1米的正方体堆成一个实心的长方体．则这个长方体的体积就是：1×1×1×2100=2100立方米；高是10米，所以底面积就是2100÷10=210平方米，由此将210分解质因数，并写成两个数的积的形式，即可判断出长与宽的值，从而求得它们的和．
解：长方体体积是2100立方米，高为10米，所以底面积为210平方米．
210=1×210=2×105=3×70=5×42=6×35=7×30=10×21=14×15．
因长、宽都是大于10（米）的整数，所以长为15米，宽为14米，则长宽之和是15+14=29（米）．答：长与宽之和是29米．

27．有一个正方体，边长是5．如果它的左上方截去一个边长分别是5、3、2的长方体（如图），求它的表面积减少的百分比是少？
（1）利用正方体的表面积公式先求得原来正方体的表面积；
（2）减少部分的表面积是：3×2的两个长方形的面的面积，由此即可求得减少的百分比．
解：原立方体的表面积=5×5×6=150，减少的表面积是两块3×2长方形面积：3×2×2=12，12÷150×100%=8%，
答：它的表面积减少的百分比是8%．

28．如图，在棱长为3的正方体中由上到下，由左到右，由前到后，有三个底面积是1的正方形高为3的长方体的洞，求所得形体的表面积是多少？

先计算没打洞之前正方体表面积，再计算打洞后表面积减少的和增加的（洞的表面积）面积各是多少，原面积减去减少的加上增加的，就是所得形体的表面积．
这三个洞在正方体中间有交叉连接，在正方体的中心的表面积为0，洞的表面积为6个棱长为1的正方体的4个面的面积．
解：没打洞之前正方体表面积共：6×3×3=54，打洞后，表面积减少：1×1×6=6，
增加的面积：4×1×1×6=24（洞的表面积），所得形体的表面积是：54﹣6+24=72．
答：所得形体的表面积是72．

29．现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒（焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好），你做出铁皮盒容积是多少立方厘米？
由题意可知：要做这样的铁皮盒，有以下三种方法，分别计算出其容积，即可比较出哪个铁盒的容积最大；
方法一：4个角分别剪去1个边长为5厘米的正方形，如右图一所示；
方法二：将长方形的两个角分别剪去1个边长为5厘米的正方形，再将剪下的正方形焊接在右边，如图二所示；
方法三：从长方形的宽的两端分别剪去宽为5厘米，长为20厘米的1个长方形，再分别焊接在另外两边，如图三所示．
解：如图，可有如下三种情况比较后可知：

（1）30×10×5=300×5=1500（立方厘米）；（2）35×10×5=350×5=1750（立方厘米）；
（3）（40﹣10﹣10）×20×5=20×20×5=400×5=2000（立方厘米）；最后一个容积最大．
答：做出铁皮盒容积最大是2000立方厘米．

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