必修4平面向量典型例题及练习.doc

第二章 平面向量
2.1平面向量的实际背景及基本概念
【知识点归纳】
1.平面向量的概念：

2.向量的表示：
（常见的2个向量）

3.相等向量与共线向量：

【典型例题】
题型一 向量的基本概念
例1.给出下列命题：
①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；
②两个单位向量是相等向量； ③若a=b, b=c,则a=c；
④若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；
⑤若|a|=|b|,则a=b。 ⑥若a与b共线, b与c共线,则a与c共线
其中正确命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2下列命题正确的有
①a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
③向量a与ｂ不共线，则a与ｂ都是非零向量
④有相同起点的两个非零向量不平行
题型二 向量的表示
例3.一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点, 然后又改变方向,向西偏北45°走了200km到达C点, 最后又改变方向,向东行驶了100km到达D点. (1)作出向量,,;(2)求

题型三 相等向量与共线向量
例4 如图，设是正六边形的中心，分别
写出图中与向量，，相等的向量，共线的向量。

题型四 利用向量解决多点共线的问题
例5.如图，四边形ABCD中，，P,Q是AD，BC上的
点，且,求证：

综合练习：
1. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 若|a|=|b|，则a=b B. 若a=b,则a与b是平行向量
C. 若|a|>|b|,则a>b D. 若a与b不相等，则向量a与b是不共线向量
2.下列说法中错误的是（ ）
A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0
C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的
3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是
4.已知非零向量a∥b,若非零向量c∥a,则c与b关系是 .
5.已知a、b是两非零向量,且a与b不共线,若非零向量c与a共线,则c与b必定 .
6.判定下列命题的正误：
①零向量是惟一没有方向的向量。 （ ）
②平面内的单位向量只有一个。 （ ）
③方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量。（ ）
④向量a与b是共线向量，b∥C,则a与c是方向相同的向量。 ( )
⑤相等的向量一定是共线向量。 ( )
7. 下列四个命题中，正确命题的个数是
① 共线向量是在同一条直线上的向量
② 若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点
③ 与已知非零向量共线的单位向量是唯一的
④ 若四边形ABCD是平行四边形，则与，与分别共线.
2.2 平面向量的线性运算
2.2.1 向量的加法
2.2.2 向量的减法
2.2.3 向量的数乘
【知识点归纳】
1.向量的加法：

2.向量加法的平行四边形法则：

3.向量的加法的运算率：

4.向量的减法：

5.向量减法的平行四边形法则：

6.向量数乘的概念：

7.向量的数乘的性质：

8.向量共线的条件：

9.向量的线性运算

10.向量证明三点共线：

三角形的中线与重心公式：

【典型例题】
题型一 向量的加减法
例1.下面给出的四个式子中，其中值不一定为的是（ ）
A. B.
C. D.
例2．如图所示，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点,
则＝( )
A. B. C. D.
题型二 向量的作图
例3已知在矩形ABCD中，宽为2，长为,a, b,c,试作出向量a+b+c，并求出其模的大小

例4.已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-d

O
A
D
B
C
M
NN
题型三 用已知向量表示未知向量
例5.如图所示，OADB是以向量=，=为边的平行四边形，
又BM=BC，CN=CD．试用，表示，，．

变式：设D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：①＝－a－b ②＝a＋b ③＝－a＋b ④＋＋＝0.其中正确的命题个数为 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4

题型四 向量的加减法综合运用
例6.设两个非零向量、不是平行向量
（1）如果=+，=2+8，=3()，求证A、B、D三点共线；
（2）试确定实数的值，使+和+是两个平行向量．

例7.已知O是ABCD的对角线AC与BD的交点,若=a, =b, =c,试证明:c+a-b=.

综合练习：
1.下列命题正确的有
①单位向量都相等 ②长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
③若a，b满足|a|>|b|且a与b同向，则a>b
④对于任意向量a、b,必有|a+b|≤|a|+|b|
2. 以下四个命题中不正确的有
①若a为任意非零向量，则a∥0 ②| a+b|=|a|+|b|
③a=b，则|a|=|b|，反之不成立 ④任一非零向量的方向都是惟一的
3.已知，则的取值范围为
4. 设（+）+（+）= ,≠,则在下列结论中，
正确的有
①∥; ②+=; ③+=; ④｜+｜＜｜｜+｜｜
5.化简
6.如图，在四边形ABCD中,根据图示填空:
a+b= ,b+c= ,c-d= ,a+b+c-d= .
2.3 平面向量
2.3.1 平面向量基本定理
【知识点归纳】
1.平面向量的基本定理：

2.向量的夹角：

【典型例题】
题型一 基底的判定
例1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有( )
A.e1、e2一定平行
B.e1、e2的模相等
C.同一平面内的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R)
D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R)
题型二 用基底表示向量
例2.已知 a=-e1+3e2，b= 4e1+2e2，其中e1，e2不共线，向量c=-3e1+12e2，用试用a，b作为基底来表示c

题型三 向量的夹角
例3.已知两个非零向量a，b的夹角为80°，求下列向量的夹角：
（1）a与-b （2）2a与3b

练习：
1.已知向量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c =6e1-2e2的关系
A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定
2.已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值等于( )
A.3 B.-3 C.0 D.2
3.已知a、b不共线，且c =λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1= .
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.3 平面向量的坐标运算
2.3.4平面向量的共线的坐标表示
【知识点归纳】
1.平面向量的正交分解：

2.平面向量的坐标表示：

3.平面向量的坐标运算：

4.平面向量共线的表示：

5.三点共线：

【典型例题】
题型一 求向量的坐标
例1.已知点A（2，2） B（-2，2） C（4，6） D（-5，6） E（-2，-2） F（-5，-6）
在平面直角坐标系中，分别作出向量并求向量的坐标。

题型二 平面向量的坐标运算
例2 已知=(2，1)， =(-3，4)，求+，-，3+4的坐标.

例3 已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.

例4已知三个力 (3， 4)， (2， -5)， (x， y)的合力++=，求的坐标.

练习：
1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 ， 求P点的坐标
2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则-2= .
3、下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知平面向量 ， ，且2，则等于（ ）
A． B． C． D．
6. 已知，，若与平行，则等于（ ）．
A. 1 B. -1 C.1或-1 D.2

7.已知，，则的坐标为____________.
8 . 已知，，，，则以，为基底，求.

题型三 向量共线的证明及判定
例5.已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量与平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？

题型四 向量共线求参数
例6 已知，，且，求．

练习：
1.若向量=(-1，x)与=(-x， 2)共线且方向相同，则x为________.
2.设，，，且，求角．
题型五 三点共线
例2: 已知，，，求证、、三点共线．

例3:设点P是线段P1P2上的一点， P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).
(1) 当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
(2) 当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.

练习：
1.若=(2，3)，=(4，-1+y)，且∥，则y=（ ）
A.6 B.5 C.7 D.8
2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（ ）
A.-3 B.-1 C.1 D.3
3.若=i+2j， =(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量). 与共线，则x、y的值可能分别为（ ）
A.1，2 B.2，2 C.3，2 D.2，4
4.已知=(4，2)，=(6，y)，且∥，则y= .
5.已知=(1，2)，=(x，1)，若+2与2-平行，则x的值为

2.4平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及含义
【知识点归纳】
1.平面向量的数量级的概念：

2.平面向量数量积的几何意义：

3.向量数量积的性质：

【典型例题】
题型一 平面向量数量积的基本概念
例1.给出下列命题：①若|a|=|b|，则a=b或a=-b；②|a·b|=|a||b|；③a·b=0a=0或b=0；④若a∥b且b∥c，则a∥c。其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
题型二 求向量的投影和数量积
例2.已知||=5， ||=4， 与的夹角θ=120o，求·.

练习：1.已知a=(1，-2)，b=(3，4)，则a在b方向上的投影是______
2.已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②⊥，③与的夹角是60°时，分别求·.

题型三 求向量的模
例3.已知||=6， ||=4，与的夹角为60o求(+2)·(-3)

练习：
1.已知||=2，||=1，与之间的夹角为，那么向量m=-4的模为（ ）
A.2 B.2 C.6 D.12
2.已知||=1，||=，(1)若∥，求·；(2)若、的夹角为６０°，求|+|；(3)若-与垂直，求与的夹角.

题型四 向量垂直的判定
例4.已知||=3， ||=4， 且与不共线，k为何值时，向量+k与-k互相垂直.

题型五 求向量的夹角的余弦值
例5.设m、n是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量=2m+n与=2n-3m的夹角.

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【知识点归纳】
1.平面向量的数量积的坐标表示

2.平面向量的模的坐标表示

3.平面向量的夹角的坐标表示
（平行，垂直）

【典型例题】
题型一 向量数量积的坐标运算
例1.a=(5,-7),b=(-6,-4)，求a与b的 数量积为_____
例2.已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为（ ）
A.2 B.2 C.6 D.12
题型二 向量的夹角坐标运算
例3.设a=(2,1),b=(1,3),求a·b及a与b的夹角

例4.已知向量a=(-2,-1),b=(λ,1)若a与b的夹角为钝角,则λ取值范围是多少?

题型三 向量的垂直
例5.已知|a|=1，|b|=，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（ ）
A.60° B.30° C.135° D.４５°
例6.已知，当k为何值时，（1）垂直？

练习：
1.已知则（　　）
A.23 B.57 C.63 D.83
2.已知则夹角的余弦为（　　）
　A. B. C. D.
3.则__________。
4.已知则__________。
5.则_______ _______
6.与垂直的单位向量是__________
　A. B.
D.
7.则方向上的投影为_________
8.A(1,2),B(2,3),C(2,0)所以为( )
A.直角三角形　　B.锐角三角形 C.钝角三角形　　　D.不等边三角形
9.已知A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D.(4.6)则四边形ABCD为（　　）
　A.正方形　　　B.菱形　　　C.梯形　　　D. 矩形
10.已知点A（1，2），B(4,-1),问在y轴上找点C，使∠ABC＝90º若不能，说明理由；若能，求C坐标。
2.5 平面向量应用举例
【知识点归纳】
1．向量的在几何中的运用：

【典型例题】
例1．证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．
已知：平行四边形ABCD．
求证：．

变式训练：中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，BF与CD交于点O，设
（1）证明A、O、E三点共线；
（2）用表示向量。

例2.求等腰直角三角形两腰上的中线所构成的钝角的余弦值.

变式：已知，求边长c。