复变函数与积分变换重要知识点归纳.pdf

(完整)复变函数与积分变换重要知识点归纳(word 版可编辑修改)0(完整)复变函数与积分变换重要知识点归纳(word 版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)复变函数与积分变换重要知识点归纳(word 版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为(完整)复变函数与积分变换重要知识点归纳(word 版可编辑修改)的全部内容。(完整)复变函数与积分变换重要知识点归纳(word 版可编辑修改)0复变函数复习重点复变函数复习重点(一）复数的概念1.复数的概念：1.复数的概念：，是实数，.。zxiy,x y Re,Imxzyz21i 注：一般两个复数不比较大小,但其模(为实数）有大小。2.复数的表示2.复数的表示1）模：1）模：；22zxy2）幅角2）幅角:在时，矢量与 轴正向的夹角，记为（多值函数）；0z x Arg z主值是位于中的幅角.arg z(,3)与之间的关系如下：arg zarctanyx 当；0,x argarctanyzx 当；0,argarctan0,0,argarctanyyzxxyyzx4）三角表示三角表示:，其中；注：中间一定是“+号.cossinzziarg z5）指数表示指数表示:，其中。izz earg z(二)复数的运算1.加减法1.加减法：若，则111222,zxiy zxiy121212zzxxi yy2。乘除法2。乘除法：1）若，则111222,zxiy zxiy；1 212122112z zx xy yi x yx y .112211112121221222222222222222xiyxiyzxiyx xy yy xy xizxiyxiyxiyxyxy2）若，则121122,iizz ezz e(完整)复变函数与积分变换重要知识点归纳(word 版可编辑修改)1；121 212iz zzz e121122izzezz3.乘幂与方根3.乘幂与方根1）若，则。(cossin)izziz e(cossin)nnninzzninz e2）若，则(cossin)izziz e（有 个相异的值）122cossin(0,1,21)nnkkzziknnnn(三）复变函数1 复变函数：1 复变函数：,在几何上可以看作把 平面上的一个点 wf zz集 变到 平面上的一个点集 的映射。DwG2复初等函数2复初等函数1）1）指数函数指数函数：，：，在 平面处处可导,处处解析；且cossinzxeeyiyz。zzee注：是以为周期的周期函数。（注意与实函数不同)ze2 i3）对数函数对数函数:(多值函数）；ln(arg2)Lnzzizk(0,1,2)k 主值：。(单值函数）lnlnargzziz的每一个主值分支在除去原点及负实轴的 平面内处处解Lnzln zz析，且；1lnzz注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）3）乘幂与幂函数：;3）乘幂与幂函数：;(0)bbLnaaea(0)bbLnzzez注：在除去原点及负实轴的 平面内处处解析，且。z1bbzbz4）4）三角函数三角函数：sincossin,cos,t,22cossinizizizizeeeezzzzgzctgzizz在 平面内解析，且sin,coszzzsincos,cossinzzzz(完整)复变函数与积分变换重要知识点归纳(word 版可编辑修改)2注：有界性不再成立；(与实函数不同）sin1,cos1zz4）双曲函数 ；双曲函数 ；,22zzzzeeeeshzchz奇 函 数，是 偶 函 数。在平 面 内 解 析，且shzchz,shz chzz。,shzchz chzshz（四）解析函数的概念1复变函数的导数1复变函数的导数1）1）点可导点可导：=；0fz000limzf zzf zz 2）区域可导区域可导：在区域内点点可导。f z2解析函数的概念2解析函数的概念1)点解析：在 及其 的邻域内可导，称在 点解析；f z0z0z f z0z2）区域解析：在区域内每一点解析，称在区域内解析；f z f z3）若在 点不解析，称 为的奇点；()f z0z0z f z3解析函数的运算法则3解析函数的运算法则:解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数;（五）函数可导与解析的充要条件11函数可导函数可导的充要条件的充要条件:在可导,f zu x yiv x yzxiy和在可 微,且 在 处 满 足条 件：,u x y,v x y,x y,x yCD,uvuvxyyx 此时,有。uvfzixx2函数解析的充要条件函数解析的充要条件:在区域内解析,f zu x yiv x y(完整)复变函数与积分变换重要知识点归纳(word 版可编辑修改)3和在在 内可微，且满足条件:；,u x y,v x y,x yDCD,uvuvxyyx 此时.uvfzixx注意注意：若在区域 具有一阶连续偏导数，则在,u x yv x yD,u x yv x y区域 内是可微的。因此在使用充要条件证明时,只要能说明D,u v具有一阶连续偏导且满足条件时，函数一定是可导CR()f zuiv或解析的。3函数可导与解析的判别方法3函数可导与解析的判别方法1）利用定义 （题目要求用定义,如第二章习题 1）2）利用充要条件 （函数以形式给出，如第二章,f zu x yiv x y习题 2）3)利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数是以 的形式给 f zz出，如第二章习题 3）(六）复变函数积分的概念与性质11复变函数积分的概念：复变函数积分的概念：，是光滑曲线。1limnkkcnkf z dzfzc注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。22复变函数积分的性质复变函数积分的性质1）（与 的方向相反）;1ccf z dzf z dz 1cc2）是常数；,cccf zg z dzf z dzg z dz 3）若曲线 由 与 连接而成，则。c1c2c 12cccf z dzf z dzf z dz3复变函数积分的一般计算法3复变函数积分的一般计算法(完整)复变函数与积分变换重要知识点归纳(word 版可编辑修改)41)化为线积分：；（常用于理论证明）cccf z dzudxvdyivdxudy2）参数方法：设曲线：，其中 对应曲线 的起点，c()zz tt c对应曲线 的终点，则 。c ()cf z dzf z tz t dt(七）关于复变函数积分的重要定理与结论11柯西古萨基本定理柯西古萨基本定理:设在单连域 内解析，为 内任一闭 f zBcB曲线，则 0cf z dz 22复合闭路定理复合闭路定理：设在多连域 内解析，为 内任意一条 f zDcD简单闭曲线，是 内的简单闭曲线，它们互不包含互不相12,nc ccc交，并且以为边界的区域全含于 内，则12,nc ccD 其中 与 均取正向；cf z dz 1,knkcf z dz ckc,其中 由 及所组成的复合闭路.0f z dz c1(1,2,)ckn3闭路变形原理3闭路变形原理:一个在区域 内的解析函数沿闭曲线 的D f zc积分，不因 在 内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程cD中 不经过使不解析的奇点。c f z4解析函数沿非闭曲线的积分4解析函数沿非闭曲线的积分：设在单连域 内解析,为 f zB G z在 内的一个原函数,则 f zB 212112(,)zzf z dzG zG zz zB 说明：解析函数沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算 f z时只要求出原函数即可。5。5。柯西积分公式柯西积分公式:设在区域 内解析，为 内任一正向简单 f zDcD闭 曲 线，的 内 部 完 全 属 于,为内 任 意 一 点,则cD0zc(完整)复变函数与积分变换重要知识点归纳(word 版可编辑修改)5 002cf zdzif zzz 66 高阶导数公式高阶导数公式:解析函数的导数仍为解析函数,它的 阶导数 f zn为 0102(1,2)()!nncf zidzfznzzn其中 为的解析区域 内围绕 的任何一条正向简单闭曲线，而c f zD0z且它的内部完全属于。D7重要结论重要结论:。（是包含 的任意正向简单闭曲线）12,010,0()ncindznza ca8复变函数积分的计算方法8复变函数积分的计算方法1）若在区域 内处处不解析，用一般积分法 f zD cf z dzf z tz t dt2)设在区域 内解析，f zD是 内一条正向简单闭曲线，则由柯西古萨定理，cD 0cf z dz 是 内的一条非闭曲线，对应曲线 的起点和终点，则有cD12,z zc 2121zczf z dzf z dzF zF z3）设在区域 内不解析 f zD曲线 内仅有一个奇点曲线 内仅有一个奇点：（在 内解析）c 0001022()!cnncf zdzi f zzzf zidzfzzzn()f zc曲线 内有多于一个奇点：（内只有一个奇点c cf z dz 1knkcf z dz ic）kz 或：（留数基本定理)12Re (),nkkcf z dzis f z z(完整)复变函数与积分变换重要知识点归纳(word 版可编辑修改)6若被积函数不能表示成，则须改用第五章留数定理来计 1()nof zzz算。（八)解析函数与调和函数的关系11调和函数调和函数的概念：的概念：若二元实函数在 内有二阶连续偏导数(,)x yD且满足,22220 xy为 内的调和函数.(,)x yD2解析函数与调和函数的关系2解析函数与调和函数的关系解析函数的实部 与虚部 都是调和函数，并称虚部 为 f zuivuvv实部 的共轭调和函数。u两个调和函数 与 构成的函数不一定是解析函数；但是uv()f zuiv若如果满足柯西,u v黎曼方程，则一定是解析函数。uiv3已知解析函数的实部或虚部，求解析函数的方法.3已知解析函数的实部或虚部，求解析函数的方法.f z f zuiv1）偏微分法偏微分法：若已知实部,利用条件，得；,uu x yCR,vvxy对两边积分，得 (*）vuyx uvdyg xx再对（)式两边对 求偏导，得(*）x vudygxxxx由条件，得,可求出 ；CRuvyx uudygxyxx g x代入（*）式，可求得 虚部 。uvdyg xx2）线 积 分 法线 积 分 法：若 已 知 实 部,利 用条 件 可 得,uu x yCR(完整)复变函数与积分变换重要知识点归纳(word 版可编辑修改)7，vvuudvdxdydxdyxyyx 故虚部为；00,x yxyuuvdxdycyx由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它,其中与 是解析区域中的两点。00,xy,x y3）不定积分法不定积分法：若已知实部,根据解析函数的导数公式和,uu x y条件得知,CR uvuufziixyxy将此式右端表示成 的函数,由于仍为解析函数，故z U z fz (为实常数)f zU z dzcc注：若已知虚部 也可用类似方法求出实部v.u（九）复数项级数1复数列的极限1复数列的极限1）复数列（）收敛于复数的充要条件为nnnaib1,2n abi （同时成立）lim,limnnnnaabb2）复数列收敛实数列同时收敛。n,nnab2复数项级数2复数项级数1）复数项级数收敛的充要条件是级数与同时0()nnnnnaib 0nna0nnb收敛；2）级数收敛的必要条件是。lim0nn注:复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论.(完整)复变函数与积分变换重要知识点归纳(word 版可编辑修改)8（十）幂级数的敛散性1幂级数的概念幂级数的概念：表达式或为幂级数。00()nnnczz0nnnc z2幂级数的敛散性2幂级数的敛散性1）幂级数的收敛定理1）幂级数的收敛定理阿贝尔定理阿贝尔定理(Abel)：(Abel)：如果幂级数在0nnnc z处收敛，那么对满足的一切，该级数绝对收敛；如00z 0zzz果在 处发散,那么对满足的一切,级数必发散。0z0zzz2）2）幂级数的收敛域幂级数的收敛域圆域圆域幂级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散.3）3）收敛半径的求法收敛半径的求法:收敛圆的半径称收敛半径.比值法 如果，则收敛半径;1lim0nnncc1R根值法 ，则收敛半径；lim0nnc1R如果，则;说明在整个复平面上处处收敛；0R 如果，则；说明仅在或点收敛；0R 0zz0z 注:若幂级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径.（如）20nnnc z33幂级数幂级数的性质的性质1)代数性质代数性质:设的收敛半径分别为 与,记,00,nnnnnna zb z1R2R12min,RR R则当时，有zR （线性运算）000()nnnnnnnnnnab za zb z(完整)复变函数与积分变换重要知识点归纳(word 版可编辑修改)9 （乘积运算)01 10000()()()nnnnnnnnnnna zb za baba b z2）复合性质复合性质：设当时，当时，解析且r 0nnnfazR g z,g zr则当时，。zR 0nnnf g za g z3）分析运算性质分析运算性质：设幂级数的收敛半径为，则0nnna z0R 其和函数是收敛圆内的解析函数；0nnnf za z在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且 10nnnfzna zzR在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变；1001znnnaf z dzznzR（十一)幂函数的泰勒展开幂函数的泰勒展开1。泰勒展开：1。泰勒展开：设函数在圆域内解析，则在此圆域内 f z0zzR f z可以展开成幂级数；并且此展开式是唯一的.000!nnnfzf zzzn注：若在 解析，则在 的泰勒展开式成立的圆域的收敛半 f z0z f z0z径；0Rza其中 为从 到的距 最近一个奇点 之间的距离.R0z f z0za22常用函数在的泰勒展开式常用函数在的泰勒展开式00z 1)23011!2!3!nznnzzzezznn z (完整)复变函数与积分变换重要知识点归纳(word 版可编辑修改)102)20111nnnzzzzz 1z 3)3521210(1)(1)sin(21)!3!5!(21)!nnnnnzzzzzznnz 4）24220(1)(1)cos1(2)!2!4!(2)!nnnnnzzzzznn z 33解析函数展开成泰勒级数的方法解析函数展开成泰勒级数的方法1）直接法：直接求出，于是。01!nncfzn 00nnnf zczz2）间接法：利用已知函数的泰勒展开式及幂级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开。（十二）幂函数的洛朗展开 1。1。洛朗级数洛朗级数的概念：，的概念：，含正幂项和负幂项.0nnnczz 2洛朗展开定理 2洛朗展开定理：设函数在圆环域内处处解析，f z102RzzRc为圆环域内绕 的任意一条正向简单闭曲线,则在此在圆环0z域内,有,且展开式唯一.0nnnf zczz3解析函数的洛朗展开法：3解析函数的洛朗展开法：洛朗级数一般只能用间接法展开。*4利用洛朗级数求围线积分：设*4利用洛朗级数求围线积分：设在内解析，为 f z0rzzRc内的任何一条正向简单闭曲线，则。其中0rzzR 12cf z dzic 1c为在内洛朗展开式中的系数。()f z0rzzR01zz说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中的系10()zz数。（十三）孤立奇点的概念与分类(完整)复变函数与积分变换重要知识点归纳(word 版可编辑修改)111。1。孤立奇点的定义孤立奇点的定义:在 点不解析，但在 的内解 f z0z0z00zz析。2。孤立奇点的类型：2。孤立奇点的类型：1)可 去 奇 点：展 开 式 中 不 含的 负 幂 项；0zz 201020f zcczzczz2）极点:展开式中含有限项的负幂项；0zz(1)21010201000()()()()()mmmmcccf zcc zzc zzzzzzzz 0,()mg zzz其中在 解析，1(1)01000()()()mmmmg zcczzczzc zz0z且；00,1,0mg zmc3）本性奇点：展开式中含无穷多项的负幂项;0zz 1010000()()()()mmmmccf zcc zzczzzzzz（十四）孤立奇点的判别方法1可去奇点：常数；00limzzf zc2极点：0limzzf z 3本性奇点：不存在且不为.0limzzf z4零点与极点的关系1）零点的概念：不恒为零的解析函数,如果能表示成 f z，0()mf zzzz其中在 解析，为正整数，称 为的 级零点；z0z00,zm0z f zm2）零点级数判别的充要条件是的 级零点0z f zm 000,(1,2,1)0nmfznmfz(完整)复变函数与积分变换重要知识点归纳(word 版可编辑修改)123)零点与极点的关系：是的 级零点是的 级极点；0z f zm0z 1f zm4）重要结论若分别是与的 级与 级零点，则za z zmn是的级零点；za z zmn当时，是的级零点;mnza zzmn当时,是的级极点；mnza zznm当时，是的可去奇点；mnza zz当时,是的 级零点，mnza zzlmin(,)lm n当时，是的 级零点，其中mnza zzl()lm n(十五)留数的概念 1 1留数留数的定义：的定义：设为的孤立奇点,在的去心邻域0z f z f z0z内解析，为该域内包含 的任一正向简单闭曲线,则称00zzc0z积分为在的 留数(或残 留)，记 作 12cf z dzi f z0z 0Re,s f zz 12cf z dzi 2留数的计算方法2留数的计算方法若 是的孤立奇点,则，其中为在0z f z 0Re,s f zz1c1c f z0z的去心邻域内洛朗展开式中的系数.10()zz1）可去奇点处的留数：1）可去奇点处的留数：若 是的可去奇点，则0z f z 0Re,s f zz02）级极点处的留数2）级极点处的留数m法则 I法则 I 若 是的 级极点，则0z f zm(完整)复变函数与积分变换重要知识点归纳(word 版可编辑修改)13 0Re,s f zz 01011lim()(1)!mmmzzdzzf zmdz 特别地,若 是的一级极点，则0z f z 0Re,s f zz 00lim()zzzzf z 注：注：如果极点的实际级数比 低,上述规则仍然有效。m法则法则 II II 设，在 解析，P zf zQ z ,P zQ z0z00,P z,则000,0Q zQz 000Re,P zP zszQ zQz（十六）留数基本定理设在区域 内除有限个孤立奇点外处处解析,为 f zD12,nz zzc内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则D 12Re,ncnf z dzis f zz 说明：说明：留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数在 内各孤立奇点处留数的局部问题。f zc积分变换复习提纲一、傅里叶变换的概念()()()jwtF f tf t edtF w11()()()2j tFFFedf t二、几个常用函数的傅里叶变换(完整)复变函数与积分变换重要知识点归纳(word 版可编辑修改)141()F e tj1()()F u tj ()1Ft12()F 三、傅里叶变换的性质位移性(时域)：位移性(时域)：00()jwtF f tte()F f t位移性(频域）：位移性(频域）：000()()()jw tw w wF ef tF wF ww 位移性推论：位移性推论：0001sin()()()2Fw t f tF wwF wwj位移性推论:位移性推论:0001cos()()()2Fw t f tF wwF ww微分性（时域）微分性（时域）：（)，()()()F f tjw F w,()0tf t,()()()()nnF ftjwF w(1),()0ntft 微分性(频域）：微分性(频域）：()(),()()()nnFjt f tFwFjtf tFw相似性:相似性:1()()wF f atFaa(0)a 四、拉普拉斯变换的概念0()()()stL f tf t edtF s五、几个常用函数的拉普拉斯变换;1ktL esk是自然数;（）是自然数;（）11(1)!(mmmmmL tmss)1(1)1,(),(1)()2mmm；1()1L u tLs()1Lt2222sin,cosksLktLktsksk(完整)复变函数与积分变换重要知识点归纳(word 版可编辑修改)152222s,ksLhktL chktsksk设,则。（是以 为周期的周期函()()f tTf t01()()1TTsL f tf t dte()f tT数）六、拉普拉斯变换的性质微分性（时域)微分性（时域)：20,()()(0)(0)L ftsF sfL fts F ssff微分性（频域微分性（频域）：,()Lt f tFs ()()nnLtf tFs积分性（时域积分性（时域）：0tF sLf t dts积分性(频域积分性(频域）：(收敛）sf tLF s dst位移性（时域位移性（时域）:atL ef tF sa位移性(频域位移性(频域）：（,）sL f teF s00,()0tf t相似性：相似性：1()()sL f atFaa(0)a 七、卷积及卷积定理1212()*()()()f tf tff td1212()()()()F f tf tF wF w12121()()()()2F f tf tF wF w1212()()()()L f tf tF sF s八、几个积分公式()()(0)f tt dtf00()()()f ttt dtf t1515000()()()f tdtL f t dsF s dst0()()kts kf t edtL f t