资源描述
试卷主标题
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共10题）
1、 在 ， ， ， 这四个数中，整数是（ ）
A ． B ． C ． D ．
2、 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是 ( )
A ． B ．
C ． D ．
3、 北京故宫的占地面积约为 720 000 m 2 ，将 720 000 用科学记数法表示为 ( ).
A ． 72×10 4 B ． 7.2×10 5 C ． 7.2×10 6 D ． 0.72×10 6
4、 下列说法正确的是（ ）
A ． B ．若 取最小值，则
C ．若 ，则 D ．若 ，则
5、 已知 ，则分式 与 的大小关系是（ ）
A ． B ． C ． D ．不能确定
6、 已知反比例函数 ，当 时， 随 的增大而减小，那么一次的数 的图像经过第（ ）
A ．一，二，三象限 B ．一，二，四象限
C ．一，三，四象限 D ．二，三，四象限
7、 一个儿何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方块的个数，能正确表示该几何体的主视图的是（ ）
A ． B ． C ． D ．
8、 如图， 是线段 上除端点外的一点，将 绕正方形 的顶点 顺时针旋转 ，得到 ．连接 交 于点 ．下列结论正确的是（ ）
A ． B ． C ． D ．
9、 小刚家 2019 年和 2020 年的家庭支出如下，已知 2020 年的总支出 2019 年的总支出增加了 2 成，则下列说法正确的是（ ）
A ． 2020 年教育方面的支出是 2019 年教育方面的支出的 1.4 倍；
B ． 2020 年衣食方面的支出比 2019 年衣食方面的支出增加了 10% ；
C ． 2020 年总支出比 2019 年总支出增加了 2% ；
D ． 2020 年其他方面的支出与 2019 年娱乐方面的支出相同．
10、 已知函数 ，则下列说法不正确的个数是（ ）
① 若该函数图像与 轴只有一个交点，则
② 方程 至少有一个整数根
③ 若 ，则 的函数值都是负数
④ 不存在实数 ，使得 对任意实数 都成立
A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3
二、解答题（共10题）
1、 计算
2、 先因式分解，再计算求值： ，其中 ．
3、 解方程：
4、 小明在 点测得 点在 点的北偏西 方向，并由 点向南偏西 方向行走到达 点测得 点在 点的北偏西 方向，继续向正西方向行走 后到达 点，测得 点在 点的北偏东 方向，求 两点之间的距离．（结果保留 ，参数数据 ）
5、 如图 ① 是甲，乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形实心铁块的下底面完全落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲，乙两个水槽中水的深度 与注水时间 之间的关系如图 ② 所示，根据图象解答下列问题：
（ 1 ）图 ② 中折线 表示 _____________ 槽中水的深度与注入时间之间的关系；线段 表示 _____________ 槽中水的深度与注入时间之间的关系；铁块的高度为 _____________ ．
（ 2 ）注入多长时间，甲､乙两个水槽中水的深度相同？（请写出必要的计算过程）
6、 如图，在平行四边形 中， ，点 为线段 的三等分点（靠近点 ），点 为线段 的三等分点（靠近点 ，且 ．将 沿 对折， 边与 边交于点 ，且 ．
（ 1 ）证明：四边形 为矩形；
（ 2 ）求四边形 的面积．
7、 某校要从甲，乙两名学生中挑选一名学生参加数学竞赛，在最近的 8 次选拔赛中，他们的成绩（成绩均为整数，单位：分）如下：
甲： 92 ， 95 ， 96 ， 88 ， 92 ， 98 ， 99 ， 100
乙： 100 ， 87 ， 92 ， 93 ， 9▆ ， 95 ， 97 ， 98
由于保存不当，学生乙有一次成绩的个位数字模糊不清，
（ 1 ）求甲成绩的平均数和中位数；
（ 2 ）求事件 “ 甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数 ” 的概率；
（ 3 ）当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时，请用方差大小说明应选哪个学生参加数学竞赛．
8、 如图，一次函数 的图象与 轴的正半轴交于点 ，与反比例函数 的图像交于 两点．以 为边作正方形 ，点 落在 轴的负半轴上，已知 的面积与 的面积之比为 ．
（ 1 ）求一次函数 的表达式：
（ 2 ）求点 的坐标及 外接圆半径的长．
9、 如图，已知 是 的直径． 是 的弦，弦 垂直 于点 ，交 于点 ．过点 作 的切线交 的延长线于点
（ 1 ）求证： ；
（ 2 ）判断 是否成立？若成立，请证明该结论；
（ 3 ）若 为 中点， ， ，求 的长．
10、 如图，抛物线 与 轴交于除原点 和点 ，且其顶点 关于 轴的对称点坐标为 ．
（ 1 ）求抛物线的函数表达式；
（ 2 ）抛物线的对称轴上存在定点 ，使得抛物线 上的任意一点 到定点 的距离与点 到直线 的距离总相等．
① 证明上述结论并求出点 的坐标；
② 过点 的直线 与抛物线 交于 两点．证明：当直线 绕点 旋转时， 是定值，并求出该定值；
（ 3 ）点 是该抛物线上的一点，在 轴， 轴上分别找点 ，使四边形 周长最小，直接写出 的坐标．
三、填空题（共8题）
1、 ________
2、 已知 ，则 ________
3、 一个圆柱形橡皮泥，底面积是 ．高是 ．如果用这个橡皮泥的一半，把它捏成高为 的圆锥，则这个圆锥的底面积是 ______
4、 如图， 3 条直线两两相交最多有 3 个交点， 4 条直线两两相交最多有 6 个交点，按照这样的规律，则 20 条直线两两相交最多有 ______ 个交点
5、 三个数 3 ， 在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则 的取值范围为 ______
6、 如图，作 的任意一条直经 ，分别以 为圆心，以 的长为半径作弧，与 相交于点 和 ，顺次连接 ，得到六边形 ，则 的面积与阴影区域的面积的比值为 ______ ；
7、 某酒店客房都有三人间普通客房，双人间普通客房，收费标准为：三人间 150 元 / 间，双人间 140 元 / 间．为吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施，一个 46 人的旅游团，优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费 1310 元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共 ________ 间；
8、 已知，如图 1 ，若 是 中 的内角平分线，通过证明可得 ，同理，若 是 中 的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图 2 ，在 中， 是 的内角平分线，则 的 边上的中线长 的取值范围是 ________
============参考答案============
一、选择题
1、 C
【分析】
根据整数分为正整数、 0 、负整数，由此即可求解．
【详解】
解：选项 A ： 是无理数，不符合题意；
选项 B ： 是分数，不符合题意；
选项 C ： 是负整数，符合题意；
选项 D ： 是分数，不符合题意；
故选： C ．
【点睛】
本题考查了有理数的定义，熟练掌握整数分为正整数、 0 、负整数是解决本题的关键．
2、 A
【详解】
分析：根据中心对称图形的定义旋转 180° 后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．
详解： A 、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确；
B 、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
C 、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；
D 、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．
故选 A ．
点睛：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，关键是找出图形的对称中心与对称轴．
3、 B
【分析】
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a×10 n ，其中 1≤|a| ＜ 10 ， n 为整数，据此判断即可．
【详解】
解：将 720000 用科学记数法表示为 7.2×10 5 ．
故选 B ．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10 n 的形式，其中 1≤|a| ＜ 10 ， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．
4、 D
【分析】
根据绝对值的定义和绝对值的非负性逐一分析判定即可．
【详解】
解： A ．当 时， ，故该项错误；
B ． ∵ ， ∴ 当 时 取最小值，故该项错误；
C ． ∵ ， ∴ ， ， ∴ ，故该项错误；
D ． ∵ 且 ， ∴ ， ∴ ，故该项正确；
故选： D ．
【点睛】
本题考查绝对值，掌握绝对值的定义和绝对值的非负性是解题的关键．
5、 A
【分析】
将两个式子作差，利用分式的减法法则化简，即可求解．
【详解】
解： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： A ．
【点睛】
本题考查分式的大小比较，掌握作差法是解题的关键．
6、 B
【分析】
根据反比例函数的增减性得到 ，再利用一次函数的图象与性质即可求解．
【详解】
解： ∵ 反比例函数 ，当 时， 随 的增大而减小，
∴ ，
∴ 的图像经过第一，二，四象限，
故选： B ．
【点睛】
本题考查反比例函数和一次函数的图象与性质，掌握反比例函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．
7、 B
【分析】
主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形的数目为俯视图中该列小正方数字中最大数字，从而可得出结论．
【详解】
由已知条件可知：主视图有 3 列，每列小正方形的数目分别为 4 ， 2 ， 3 ，根据此可画出图形如下：
故选： B ．
【点睛】
本题考查了从不同方向观察物体和几何图像，是培养学生观察能力．
8、 D
【分析】
根据旋转的性质可以得到 △ EAF 是等腰直角三角形，然后根据相似三角形的判定和性质，以及平行线分线段成比例定理即可作出判断．
【详解】
解：根据旋转的性质知： ∠ EAF =90° ，故 A 选项错误；
根据旋转的性质知： ∠ EAF =90° ， EA = AF ，则 △ EAF 是等腰直角三角形，
∴ EF = AE ，即 AE ： EF =1 ： ，故 B 选项错误；
若 C 选项正确，则 ，即 ，
∵∠ AEF =∠ HEA =45° ，
∴△ EAF △ EHA ，
∴∠ EAH ∠ EFA ，
而 ∠ EFA =45° ， ∠ EAH 45° ，
∴∠ EAH ∠ EFA ，
∴ 假设不成立，故 C 选项错误；
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ CD ∥ AB ，即 BH ∥ CF ， AD = BC ，
∴ EB ： BC = EH ： HF ，即 EB ： AD = EH ： HF ，故 D 选项正确；
故选： D
【点睛】
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，正确运用反证法是解题的关键．
9、 A
【分析】
设 2019 年总支出为 a 元，则 2020 年总支出为 1.2 a 元，根据扇形统计图中的信息逐项分析即可．
【详解】
解：设 2019 年总支出为 a 元，则 2020 年总支出为 1.2 a 元，
A ． 2019 年教育总支出为 0.3 a ， 2020 年教育总支出为 ， ，故该项正确；
B ． 2019 年衣食方面总支出为 0.3 a ， 2020 年衣食方面总支出为 ， ，故该项错误；
C ． 2020 年总支出比 2019 年总支出增加了 20% ，故该项错误；
D ． 2020 年其他方面的支出为 ， 2019 年娱乐方面的支出为 0.15 a ，故该项错误；
故选： A ．
【点睛】
本题考查扇形统计图，能够从扇形统计图中获取相关信息是解题的关键．
10、 C
【分析】
对于 ① ：分情况讨论一次函数和二次函数即可求解；
对于 ② ：分情况讨论 a ＝ 0 和 a ≠0 时方程的根即可；
对于 ③ ：已知条件中限定 a ≠0 且 a ＞ 1 或 a ＜ 0 ，分情况讨论 a ＞ 1 或 a ＜ 0 时的函数值即可；
对于 ④ ：分情况讨论 a ＝ 0 和 a ≠0 时函数的最大值是否小于等于 0 即可．
【详解】
解：对于 ① ：当 a ＝ 0 时，函数变为 ，与 只有一个交点，
当 a ≠0 时， ， ∴ ，
故图像与 轴只有一个交点时， 或 ， ① 错误；
对于 ② ：当 a ＝ 0 时，方程变为 ，有一个整数根为 ，
当 a ≠0 时，方程 因式分解得到： ，其中有一个根为 ，故此时方程至少有一个整数根，故 ② 正确；
对于 ③ ：由已知条件 得到 a ≠0 ，且 a ＞ 1 或 a ＜ 0
当 a ＞ 1 时， 开口向上，对称轴为 ，自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大，
∵ ，
∴ 离对称轴的距离一样，将 代入得到 ，此时函数最大值小于 0 ；
当 a ＜ 0 时， 开口向下，自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，
∴ 时，函数取得最大值为 ，
∵ a ＜ 0 ，
∴ 最大值 ，即有一部分实数 ，其对应的函数值 ，故 ③ 错误；
对于 ④ ： a ＝ 0 时，原不等式变形为： 对任意实数 不一定成立，故 a ＝ 0 不符合；
a ≠0 时，对于函数 ，
当 a ＞ 0 时开口向上，总有对应的函数值 ，此时不存在 a 对 对任意实数 都成立；
当 a ＜ 0 时开口向下，此时函数的最大值为 ，
∵ a ＜ 0 ，
∴ 最大值 ，即有一部分实数 ，其对应的函数值 ，
此时不存在 a 对 对任意实数 都成立；故 ④ 正确；
综上所述， ②④ 正确，
故选： C ．
【点睛】
本题考查二次函数的图像及性质，二次函数与方程之间的关系，分类讨论的思想，本题难度较大，熟练掌握二次函数的性质是解决本类题的关键．
二、解答题
1、
【分析】
直接利用去绝对值符号、特殊角度的三角函数值、负整数的平方运算计算出结果即可．
【详解】
解：
故答案是： ．
【点睛】
本题考查了去绝对值符号、特殊角度的三角函数值、负整数的平方运算法则，解题的关键是：掌握相关的运算法则．
2、 ， 30
【分析】
先利用提公因式法和平方差公式进行因式分解，再代入 x 的值即可．
【详解】
解： ，
当 时，原式 ．
【点睛】
本题考查因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题的关键．
3、
【分析】
去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
方程两边乘 ，得： ，
解得： ，
检验：当 时， ．
∴ 是原分式方程的解．
【点睛】
本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
4、 km
【分析】
根据题中给出的角度证明 △ CDB 为等腰三角形，得到 CB=DB =2 ，再证明 △ CBA 为 30° ， 60° ， 90° 直角三角形，最后根据 即可求出 AC 的长．
【详解】
解：如下图所示，
由题意可知： ∠ EAC =75° ， ∠ FAB =∠ NBA =45° ， ∠ CBN =45° ， DB =2km ， ∠ MDC =22.5° ，
在 △ BCD 中， ∠ CDB =90°-∠ MDC =90°-22.5°=67.5° ，
∠ CBD =90°-∠ CBN =90°-45°=45° ，
∠ DCB =180°-∠ CDB -∠ CBD =180°-67.5°-45°=67.5° ，
∴∠ DCB =∠ CDB ， △ CDB 为等腰三角形，
∴ CB = DB =2 ，
在 △ CBA 中， ∠ CBA =∠ CBN +∠ NBA =45°+45°=90° ，
∴△ CBA 为直角三角形，
又 ∠ CAB =∠ CAG +∠ GAB =(90°-∠ EAC )+∠ GAB =(90°-75°)+45°=60° ，
∴△ CBA 为 30° ， 60° ， 90° 直角三角形，
∴ ，代入 ，
∴ ( km ) ，
故 两点之间的距离为 km ．
【点睛】
本题考查了三角函数解直角三角形，读懂题意，将题中信息转化成已知条件，本题中得出 △ CDB 为等腰三角形是解题的关键．
5、 （ 1 ）乙，甲， 16 ；（ 2 ） 2 分钟
【分析】
（ 1 ）根据图象分析可知水深减少的图象为甲槽的，水深增加的为乙槽的，并水深 16cm 之后增加的变慢，即可得到铁块的高度；
（ 2 ）利用待定系数法求出两个水槽中水深与时间的解析式，即可求解．
【详解】
解：（ 1 ）图 ② 中折线 表示乙槽中水的深度与注入时间之间的关系；
线段 表示甲槽中水的深度与放出时间之间的关系；
铁块的高度为 16 ．
（ 2 ）设甲槽中水的深度为 ，把 ， 代入，可得
，解得 ，
∴ 甲槽中水的深度为 ，
根据图象可知乙槽和甲槽水深相同时，在 DE 段，
设乙槽 DE 段水的深度为 ，把 ， 代入，可得
，解得 ，
∴ 甲槽中水的深度为 ，
∴ 甲､乙两个水槽中水的深度相同时， ，解得 ，
故注入 2 分钟时，甲､乙两个水槽中水的深度相同．
【点睛】
本题考查一次函数的实际应用，根据题意理解每段函数对应的实际情况是解题的关键．
6、 （ 1 ）证明见解析；（ 2 ）
【分析】
（ 1 ）根据平行四边形的性质可得 ， ，根据题意三等分点可得 ，根据对边平行且相等得到四边形 为平行四边形，再根据一个角为 90° 的平行四边形是矩形即可得证；
（ 2 ）根据角度关系可得 是等边三角形， 是等边三角形，利用割补法即可求出面积．
【详解】
解：（ 1 ） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ 点 为线段 的三等分点（靠近点 ），点 为线段 的三等分点（靠近点 ），
∴ ， ，
∴ ，
∴ 四边形 为平行四边形，
∵ ，
∴ 四边形 为矩形；
（ 2 ） ∵ ，点 为线段 的三等分点（靠近点 ），
∴ ， ，
∵ 将 沿 对折， 边与 边交于点 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形， 是等边三角形，
作 B'H ⊥ AG 于 H ，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】
本题考查矩形的判定、割补法求面积、解直角三角形，掌握上述性质定理是解题的关键．
7、 （ 1 ）平均数为 95 分，中位数为 95.5 分；（ 2 ） ；（ 3 ）甲
【分析】
（ 1 ）根据平均数和中位数的定义求解即可；
（ 2 ）设乙成绩模糊不清的分数个位数为 a ，求出乙成绩的平均数，解不等式得到 a 的范围，利用概率公式即可求解；
（ 3 ）利用方差公式求出甲和乙的方差，选方差较小的即可．
【详解】
解：（ 1 ）甲成绩的平均数为： ；
甲成绩从小到大排列为： 88 ， 92 ， 92 ， 95 ， 96 ， 98 ， 99 ， 100 ，
∴ 甲成绩的中位数为： ；
（ 2 ）设乙成绩模糊不清的分数个位数为 a ，（ a 为 0-9 的整数）
则乙成绩的平均数为： ，
当甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数时，即 ，
解得 ，
∴ a 的值可以为 这 8 个整数
∴ P ( 甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数 ) ；
（ 3 ）当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时， ，解得 ，
此时乙的平均数也为 95 ，
∴ 甲的方差为：
；
乙的方差为： ，
∵ ，
∴ 甲的成绩更稳定，故应选甲参加数学竞赛．
【点睛】
本题考查求平均数、中位数和方差，以及概率公式，掌握求平均数、中位数和方差的公式是解题的关键．
8、 (1) ； (2) 点 的坐标为 ； 外接圆半径的长为
【分析】
(1) 过 D 点作 DE ∥ y 轴交 x 轴于 H 点，过 A 点作 EF ∥ x 轴交 DE 于 E 点，过 B 作 BF ∥ y 轴交 EF 于 F 点，证明 △ ABF ≌△ DAE ， ， 的面积与 的面积之比为 得到 ，进而得到 ，求出 A 、 D 两点坐标即可求解；
(2) 联立一次函数与反比例函数解析式即可求出 P 点坐标；再求出 C 点坐标，进而求出 CP 长度， Rt△ CPD 外接圆的半径即为 CP 的一半．
【详解】
解： (1) 过 D 点作 DE ∥ y 轴交 x 轴于 H 点，过 A 点作 EF ∥ x 轴交 DE 于 E 点，过 B 作 BF ∥ y 轴交 EF 于 F 点，如下图所示：
∵ 与 有公共的底边 BO ，其面积之比为 1:4 ，
∴ DH : OA =1:4 ，
设 ，则 ，
∵ ABCD 为正方形，
∴ AB=AD ， ∠ BAD =90° ，
∴∠ BAF +∠ EAD =90° ，
∵∠ BAF +∠ FBA =90° ，
∴∠ FBA =∠ EAD ，
在 △ ABF 和 △ DAE 中： ,
∴△ ABF ≌△ DAE ( AAS ) ，
∴
又 ，
∴ ，解得 ( 负值舍去 ) ，
∴ ，代入 中，
∴ ，解得 ，
∴ 一次函数的表达式为 ；
(2) 联立一次函数与反比例函数解析式： ，
整理得到： ，
解得 ， ，
∴ 点 的坐标为 ； D 点的坐标为（ 4,1 ）
∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴ ，
且 ，
在 中，由勾股定理： ，
∴ ，
又 △ CPD 为直角三角形，其外接圆的圆心位于斜边 PC 的中点处，
∴△ CPD 外接圆的半径为 ．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，三角形全等的判定与性质，勾股定理求线段长，本题属于综合题，解题的关键是正确求出点 A 、 D 两点坐标．
9、 （ 1 ）见解析；（ 2 ）结论成立，见解析；（ 3 ）
【分析】
（ 1 ）连接 ，可得 为等腰三角形，则 ，结合垂经定理和切线的性质可得 ，从而可得 ，即可得到结论；
（ 2 ）连接 EC ， CD ， 并延长 交 ⊙O 于点 ，连接 ，证明 ，在结合（ 1 ）中的结论即可求解；
（ 3 ）连接 OD ， OG ，根据垂经定理的推论得出 ， ，在 中利用三角函数求出 ⊙O 的半径，在 中利用三角函数即可求得 长，在利用勾股定理求出 ，从而可求 DE
【详解】
（ 1 ）如图：连接
为等腰三角形
， 切 ⊙O 于点
（ 2 ）结论成立；理由如下；
如图：连接 EC ， CD ， 并延长 交 ⊙O 于点 ，连接
为 ⊙O 的直径
切 ⊙O 于点
（ 3 ）如图：连接 OD ， OG ，
为 中点
与点 F
在 中有
【点睛】
本题考查了垂经定理及推论，相似三角形的判定和性质，切线的性质，以及解直角三角形等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练掌握各部分内容，将所学知识贯穿起来．
10、 （ 1 ） ；（ 2 ） ； ，证明见解析（ 3 ） ，
【分析】
（ 1 ）先求出顶点 的坐标为 ，在设抛物线的解析式为 ，根据抛物线过原点，即可求出其解析式；
（ 2 ） 设点 坐标为 ，点 坐标为 ，利用两点间距离公式，结合题目已知列出等量关系； 设直线 的解析式为 ，直线 与抛物线交于点 ，直线方程与抛物线联立得出 ，在结合 的结论，分别表示出 的值，即可求解；
（ 3 ）先求出点 的坐标，分别作点 关于 轴的对称点 ，点 关于 轴的对称点 ，连接 ，交 轴于点 ，交 轴于点 ，则点 即为所求
【详解】
解：（ 1 ） 点 B 关于 轴对称点的坐标为
点 的坐标为
设抛物线的解析式为
抛物点过原点
解得
抛物线解析式为： 即
（ 2 ） 设点 坐标为 ，点 坐标为
由题意可得：
整理得：
点 的坐标为
设直线 的解析式为 ，直线 与抛物线交于点
整理得：
由 得
整理得：
（ 3 ） 点 在抛物线 上，
如图：作点 关于 轴的对称点 ，点 关于 轴的对称点
则点 ，点 ，连接 ，交 轴于点 ，交 轴于点 ，则此时四边形 PQBC 周长最小
设直线 的解析式为
解得
直线 的解析式为
点 坐标为 ，点 坐标为
【点睛】
本题考查了待定系数法求抛物线解析式，点到直线的距离，两点间距离公式，以及线段最值问题，以及点的对称问题，综合性较强
三、填空题
1、
【分析】
先算 ，再开根即可．
【详解】
解：
故答案是： ．
【点睛】
本题考查了求一个数的 4 次方和对一个实数开根号，解题的关键是：掌握相关的运算法则．
2、
【分析】
设 ，再将 分别用 的代数式表示，再代入约去 即可求解．
【详解】
解：设 ，
则 ，
故 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了比例的性质，正确用同一字母表示各数是解决此类题的关键．
3、 18
【分析】
首先求出圆柱体积，根据题意得出圆柱体积的一半即为圆锥的体积，根据圆锥体积计算公式列出方程，即可求出圆锥的底面积．
【详解】
Ｖ 圆柱 ＝ = ，
这个橡皮泥的一半体积为： ，
把它捏成高为 的圆锥，则圆锥的高为 5 cm ，
故 ，
即 ，
解得 （ cm 2 ），
故填： 18 ．
【点睛】
本题考查了圆柱的体积和圆锥的体积计算公式，解题关键是理解题意，熟练掌握圆柱体积和圆锥体积计算公式．
4、 190
【分析】
根据题目中的交点个数，找出 条直线相交最多有的交点个数公式： ．
【详解】
解： 2 条直线相交有 1 个交点；
3 条直线相交最多有 个交点；
4 条直线相交最多有 个交点；
5 条直线相交最多有 个交点；
20 条直线相交最多有 ．
故答案为： 190 ．
【点睛】
本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即 条直线相交最多有 ．
5、
【分析】
根据三个数在数轴上的位置得到 ，再根据三角形的三边关系得到 ，求解不等式组即可．
【详解】
解： ∵3 ， 在数轴上从左到右依次排列，
∴ ，解得 ，
∵ 这三个数为边长能构成三角形，
∴ ，解得 ，
综上所述， 的取值范围为 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查不等式组的应用、三角形的三边关系，根据题意列出不等式组是解题的关键．
6、
【分析】
可将图中阴影部分的面积转化为两个等边三角形的面积之和，设 ⊙O 的半径与等边三角形的边长为 ，分别表示出圆的面积和两个等边三角形的面积，即可求解
【详解】
连接 ， ， ， ，
由题可得：
为边长相等的等边三角形
可将图中阴影部分的面积转化为 和 的面积之和，如图所示：
设 ⊙O 的半径与等边三角形的边长为 ，
⊙O 的面积为
等边 与等边 的边长为
⊙O 的面积与阴影部分的面积比为
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了图形的面积转换，等边三角形面积以及圆面积的求法，将不规则图形的面积转换成规则图形的面积是解题关键．
7、 18 ．
【分析】
根据客房数 × 相应的收费标准 =1310 元列出方程并解答．
【详解】
解：设住了三人间普通客房 x 间，则住了两人间普通客房 间，由题意，得：
+ =1310 ，
解得： x =10 ，
则： =8 ，
所以，这个旅游团住了三人间普通客房 10 间，住了两人间普通客房 8 间，共 18 间．
故答案为： 18 ．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，利用已知得出等式方程是解题关键．
8、
【分析】
根据题意得到 ，反向延长中线 至 ，使得 ，连接 ，最后根据三角形三边关系解题．
【详解】
如图，反向延长中线 至 ，使得 ，连接 ，
是 的内角平分线，
由三角形三边关系可知，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查角平分线的性质、中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
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