资源描述
试卷主标题
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共12题）
1、 计算 的结果等于
A ． 8 B ． -8 C ． 6 D ． -6
2、 2tan30° 的值等于（ ）
A ． B ． C ． D ．
3、 据中国民航网报道，天津机场边检站 2018 年全年共验放出人境人员超 3020000 人次，将 3020000 用科学记数法表示为
A ． B ． C ． D ．
4、 下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A ． B ． C ． D ．
5、 如图是一个由 5 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A ． B ． C ． D ．
6、 估计 的值在（ ）
A ． 5 和 6 之间 B ． 6 和 7 之间
C ． 7 和 8 之间 D ． 8 和 9 之间
7、 计算 的结果为（ ）
A ． -3 B ． 3 C ． D ．
8、 二元一次方程组 的解是（ ）
A ． B ．
C ． D ．
9、 若点 在反比例函数 的图象上，则 的大小关系是（）
A ． B ．
C ． D ．
10、 如图，将 折叠，使顶点 D 落在 边上的点 E 处，折痕为 ，则下列结论一定正确的是
A ． B ．
C ． D ．
11、 如图，在矩形 中， ， ， F 为 的中点，点 E 、 P 分别为 、 上一动点，则 的最小值为（ ）
A ． B ． C ． D ． 9
12、 如图，已知二次函数 y ＝ ax 2 + bx + c （ a ≠0 ）的图象与 x 轴交于点 A ( ﹣ 1 ， 0) ，与 y 轴的交点 B 在 (0 ，﹣ 2) 和 (0 ，﹣ 1) 之间（不包含这两点），对称轴为直线 x ＝ 1 ．在下列结论中：
① abc ＞ 0 ； ②16 a +4 b + c ＜ 0 ； ③4 ac ﹣ b 2 ＜ 8 a ； ④ ＜ a ＜ ； ⑤ b ＜ c ．正结论的个数为（ ）
A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4
二、填空题（共5题）
1、 计算 的结果等于 ________ ．
2、 计算 的结果等于 _____________.
3、 不透明袋子中装有 15 个球，其中有 4 个红球、 5 个黄球、 6 个绿球，这些球除颜色外无其他差别。从袋子中随机取出 1 个球，则它是黄球的概率是 _____.
4、 若一次函数 （ k 为常数）的图象经过点 ，则 k 的值为 ____________.
5、 如图，正方形 和正方形 的边长分别为 5 和 ，连接 , ，点 E 恰好在 上，则 的长为 _____.
三、解答题（共8题）
1、 如图，在每个小正方形边长为 1 的网格中，点 均在格点上， 交于点 ．
(Ⅰ) 的值为 _____________ ；
(Ⅱ) 若点 在线段 上，当 取得最小值时，请在如图所示的网格中用 无刻度 的直尺，画出点 ，并简要说明点 的位置是如何找到的 ( 不要求证明 )_____________ ．
2、 解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答 .
（ 1 ）解不等式 ① ，得 _______________ ；
（ 2 ）解不等式 ② ，得 ________________ ；
（ 3 ）把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来：
（ 4 ）原不等式组的解集为 ____________.
3、 为了解九年级女生体育考试中 “ 一分钟仰卧起坐 ” 的次数，某校做了一次随机调查，根据调查的情况，绘制出如下的统计图 ① 和图 ②. 请根据相关信息，解答下列问题：
（ 1 ）本次调查的九年级女生人数为 _____________ ，图 ① 中 m 的值为 ______________ ；
（ 2 ）求本次调查的九年级女生 “ 一分钟仰卧起坐 ” 的次数的平均数、众数和中位数；
（ 3 ）根据样本数据，估计九年级 500 名女生在 “ 一分钟仰卧起坐 ” 考试中，次数不低于 30 次的人数 .
4、 在 中， 为直径， 为 上一点．
（ Ⅰ ）如图 ① ，过点 作 的切线，与 的延长线相交于点 ，若 ，求 的大小；
（ Ⅱ ）如图 ② ， 为优弧 上一点，且 的延长线经过 的中点 ，连接 与 相交于点 ，若 ，求 的大小．
5、 为提高城市幸福感，某市旅游局开发了风景优美的景点 C ，已知景点 C 在景点 A 北偏东 37° 方向上，景点 C 在景点 B 北偏东 60° 方向上，且景点 B 在景点 A 正北方向， A ， B 两个景点相距 980 米，求 和 的长（结果取整数） . 参考数据： ， ， ， 取 1.73.
6、 如图反映的过程是：大壮从家去菜地浇水，又去青稞地除草，然后回家，设他从家出发后所用时间为 x （分钟），离家距离为 y （千米）， y 与 x 之间的函数关系如图所示．
请根据相关信息，解答下列问题：
（ Ⅰ ）填表：
所用时间（分钟）
6
12
33
40
77
离家距离（千米）
1
1.5
（ Ⅱ ）填空：
① 菜地距离青稞地 千米；
② 大壮从菜地到青稞地的速度为 千米 / 分钟；
③ 大壮从青稞地回家的速度为 千米 / 分钟；
④ 大壮距家 0.8 千米时走了 分钟；
（ Ⅲ ）当 0≤ x ≤33 时，请直接写出 y 关于 x 的函数解析式．
7、 在平面直角坐标系中，已知点 A （ 2 ， 0 ），点 B （ 0 ， ）．点 O （ 0 ， 0 ）． △ AOB 绕着点 O 顺时针旋转，得到 △ A ' OB ' ，点 A 、 B 旋转后的对应点为 A ' 、 B ' ，记旋转角为 α ．
（ Ⅰ ）如图 1 ，若 α ＝ 30° ，求点 B ' 的坐标；
（ Ⅱ ）如图 2 ，若 0° ＜ α ＜ 90° ，设直线 AA ' 和直线 BB ' 交于点 P ，求证： AA '⊥ BB ' ；
（ Ⅲ ）在（ Ⅱ ）中的条件下，若 0° ＜ α ＜ 360° ，点 C （﹣ 2 ， 0 ）．求线段 CP 长度的取值范围．（直接写出结果即可）
8、 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 (k 为常数）．
（ 1 ）若抛物线经过点 (1,k 2 ) ，求 k 的值；
（ 2 ）若抛物线经过点 (2k,y 1 ) 和点 (2,y 2 ) ，且 y 1 >y 2 ，求 k 的取值范围；
（ 3 ）若将抛物线向右平移 1 个单位长度得到新抛物线，当 1≤x≤2 时，新抛物线对应的函数有最小值 ，求 k 的值．
============参考答案============
一、选择题
1、 A
【分析】
根据有理数乘法法则直接计算即可．
【详解】
解：原式 ．
故选： A ．
【点睛】
本题考查的知识点是有理数的运算，属于容易题 . 失分的原因是没有掌握有理数的乘法法则．
2、 D
【分析】
由特殊锐角三角函数值代入计算即可．
【详解】
解： ∵tan30°=
∴ tan30°= .
故选 D.
【点睛】
本题考查特殊角的锐角三角函数值，正确记忆是重点．
3、 B
【分析】
根据科学记数法的定义直接可得解，把一个数表示成 a 与 10 的 n 次幂相乘的形式（ 1≤a<10 ， n 为整数），其中一个因数为 a （ 1≤|a|<10 ），另一个因数为 ．
【详解】
解： ．
故选： B ．
【点睛】
本题考查的知识点是科学记数法，属于容易题 . 失分的原因是没有掌握科学记数法中 和 n 值的确定方法．
4、 D
【分析】
根据中心对称图形的特点即可判断 .
【详解】
A.B.C. 选项中的图形都不是中心对称图形，
D. 选项中的图形是中心对称图形 .
故选 D.
【点睛】
容易题 . 失分的原因是不会区分轴对称图形和中心对称图形 .
5、 C
【分析】
根据三视图的概念，从正面看即可得到主视图 .
【详解】
几何体的主视图是从正面看几何体得到的视图，从正面看，共有 2 列，第 1 列有 1 个小正方形，第 2 列有 2 个小正方形 .
故选： C.
【点睛】
此题属于容易题，主要考查对三视图的理解 . 失分的原因是没有掌握三视图的概念 .
6、 C
【分析】
根据二次根式估值的方法，找到其相近的数即可 .
【详解】
∵ ，
∴ ，
即 的值在 7 和 8 之间 .
故选： C.
【点睛】
此题属于容易题，主要考查二次根式的估值 . 失分的原因是没有掌握二次根式估值的方法 .
7、 B
【分析】
根据分式加减运算法则即可求解 .
【详解】
原式 .
故选 B.
【点睛】
容易题 . 失分的原因有 2 个：（ 1 ）计算过程中丢掉分母；（ 2 ）未能正确约分 .
8、 B
【分析】
根据解二元一次方程组的方法可以解答本题．
【详解】
解： ，
①×2+② ，得
11 x =11
解得， x =1 ，
将 x =1 代入 ① ，得
y =-1 ，
故原方程组的解是 ，
故选 B ．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，当两方程中相同的未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法解方程组比较简单．灵活选择合适的方法是解答本题的关键 .
9、 D
【分析】
首先分别将各点代入反比例函数解析式，然后利用函数增减性，即可判定自变量大小 .
【详解】
分别将 代入 中，得
，
∴ .
故选： D.
【点睛】
此题属于容易题，主要考查利用反比例函数的性质比较自变量的大小 . 失分的原因有 2 个：（ 1 ）代值时计算错误；（ 2 ）利用增减性判断时，对反比例函数的增减性理解错误 .
10、 C
【分析】
根据折叠的性质，可得出 DF=EF ，再结合题目有，四边形 CBEF 是平行四边形，继而有 BC=EF ，即可得出正确答案．
【详解】
解：由折叠的性质得， ， ，
∵ 四边形 是平行四边形，
∴ ， ．
∴ ， ∴ ．
∵ ，
∴ 四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ．
故选： C ．
【点睛】
本题考查的知识点是折叠的性质以及平行四边形的判定定理及其性质，属于中等难度题．失分的原因有 2 个：（ 1 ）不能熟练运用折叠的性质；（ 2 ）未掌握平行四边形的性质与判定．
11、 C
【分析】
作点 F 关于 的对称点 ，过点 作 于点 P ，由对称性质可知 ， ∴ 的最小值即为 的值，再根据解直角三角形求出 PF’ 故可求解 .
【详解】
如解图，作点 F 关于 的对称点 ，过点 作 于点 P ，由对称性质可知 ，
∴ 的最小值即为 的值，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 .
【点睛】
中等难度题 . 失分的原因有 2 个：（ 1 ）不能灵活运用矩形的性质；（ 2 ）未掌握利用对称性质求最值的方法 .
12、 C
【分析】
根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与 x 轴的交点坐标、顶点坐标等知识，逐个判断即可．
【详解】
抛物线开口向上，因此 a ＞ 0 ，对称轴为 x =1 ＞ 0 ， a 、 b 异号，故 b ＜ 0 ，与 y 轴的交点 B 在（ 0 ，﹣ 2 ）和（ 0 ，﹣ 1 ）之间，即﹣ 2 ＜ c ＜﹣ 1 ，所以 abc ＞ 0 ，故 ① 正确；
抛物线 x 轴交于点 A （﹣ 1 ， 0 ），对称轴为 x =1 ，因此与 x 轴的另一个交点为（ 3 ， 0 ），当 x =4 时， y =16 a +4 b + c ＞ 0 ，所以 ② 不正确；
由对称轴为 x =1 ，与 y 轴交点在（ 0 ，﹣ 2 ）和（ 0 ，﹣ 1 ）之间，因此顶点的纵坐标小于﹣ 1 ，即 ＜﹣ 1 ，也就是 4 ac ﹣ b 2 ＜﹣ 4 a ，又 a ＞ 0 ，所以 4 ac ﹣ b 2 ＜ 8 a 是正确的，故 ③ 是正确的；
由题意可得，方程 ax 2 + bx + c =0 的两个根为 x 1 = ﹣ 1 ， x 2 =3 ，又 x 1 • x 2 = ，即 c = ﹣ 3 a ，而﹣ 2 ＜ c ＜﹣ 1 ，也就是﹣ 2 ＜﹣ 3 a ＜﹣ 1 ，因此 ＜ a ＜ ，故 ④ 正确；
抛物线过（﹣ 1 ， 0 ）点，所以 a ﹣ b + c =0 ，即 a = b ﹣ c ，又 a ＞ 0 ，即 b ﹣ c ＞ 0 ，得 b ＞ c ，所以 ⑤ 不正确，
综上所述，正确的结论有三个： ①③④ ，
故选： C ．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，掌握 a 、 b 、 c 的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提，本题综合性较强，考查了学生对概念的理解以及知识应用的能力．
二、填空题
1、 x 6
【分析】
原式利用同底数幂的除法法则计算即可得到结果．
【详解】
解：原式＝ x 8 ﹣ 2 ＝ x 6 ，
故答案为： x 6 ．
【点睛】
此题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2、 7
【分析】
直接利用平方差公式计算即可．
【详解】
解：原式 ．
故答案为： 7 ．
【点睛】
本题考查的知识点是平方差公式以及二次根式的简运算，熟记公式是解题的关键，此题属于容易题．失分的原因有 2 个：（ 1 ）不熟悉二次根式的运算法则；（ 2 ）平方差公式在二次根式运算中应用时计算出错．
3、
【分析】
根据概率公式求解即可 .
【详解】
∵ 有 15 个球，其中有 5 个黄球
∴ P （从袋子中随机取出 1 个球是黄球） = .
故答案为： .
【点睛】
此题属于容易题，主要考查概率的求解 . 失分的原因是未将所求的结果进行约分 .
4、 -2
【分析】
将点 代入 中即可求解 .
【详解】
将点 代入 中，得 .
∴ .
故答案为： -2.
【点睛】
容易题 . 失分的原因是没有掌握利用待定系数法求一次函数解析式 .
5、
【分析】
首先利用正方形的性质构建全等三角形，然后利用全等三角形的性质得出边角关系，最后利用勾股定理即可得解 .
【详解】
过点 A 作 于点 H ，连接 ，如图所示：
∵ 四边形 和四边形 都为正方形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ .
在 和 中，
∵ ，
∴ （ SAS ）
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， .
在 中， ∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，在 中，
∵ ， ，
∴ .
故答案为： .
【点睛】
此题属于中等难度题，主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质 . 失分的原因有 3 个：（ 1 ）没有掌握正方形的性质；（ 2 ）未能正确的作出辅助线，构造全等三角形证得 ；（ 3 ）利用勾股定理计算时出错 .
三、解答题
1、 (Ⅰ) ； (Ⅱ) 取格点 ，连接 与 相交，得点 ．连接 ，与 相交，得点 ，点 即为所求，图形见解析．
【分析】
（ 1 ）根据正切的定义，在 Rt△ABD 中直接计算得出结果；
（ 2 ）过 B 点在 AB 下方作 ∠ABQ=45° ，将 转化为 M 到 BQ 的距离，于是 最小值转化为 P 到直线 BQ 的最小值问题，即 P 到 BQ 的垂线段长，利用 ABCD 四点沿右下 45° 方向平移作 P 点的对应点 P’ ，即可得 PP’⊥BQ ， PP’ 交 AB 与 M ，即所求．
【详解】
解： (Ⅰ)∵∠DAB=90° ，
∴
故答案为：
(Ⅱ) 如图：取格点 ，连接 与 相交，得点 ．连接 ，与 相交，得点 ，点 即为所求．
证明：如下图，将 A 、 B 、 C 、 D 四点分别向下平移 2 个单位，向右平移 2 个单位，得对应点格点 ，连接 与 相交，得点 ．连接 、 ，
∴ // ,
取格点 G ，连接 BG ，
由格点图形可知 ，
∴ ，
作 MH⊥BG ，
∵∠MBG=45° ，
∴ ，
∴ ，
即当 P 、 M 、 H 三点共线时 取最小值，即 时，
故：连接 与 相交，得点 ，点 即为所求．
【点睛】
本题考查了作图 - 平移作图、格点图形性质，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，体现了数形结合的思想，解题关键利用胡不归模型解决最值问题．
2、 （ 1 ） ；（ 2 ） ；（ 3 ）见解析；（ 4 ） .
【分析】
直接解一元一次不等式组即可得解．
【详解】
解：解不等式 ① ，得， ；
解不等式 ② ，得 ；
把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示如解图：
原不等式组的解集为： ．
故答案为：（ 1 ） ；（ 2 ） ；（ 3 ）见上图；（ 4 ） ．
【点睛】
本题考查的知识点是解一元一次不等式组，属于容易题目，失分原因：（ 1 ）移项时未变号导致出错；（ 2 ）解不等式时出错；（ 3 ）在数轴上表示解集时，未能掌握 “<” 和 “>” 在数轴上表示为空心圆圈， “≤” 和 “≥” 在数轴上表示为实心圆点；（ 4 ）不会确定不等式组的解集．
3、 （ 1 ） 50 ， 32 ；（ 2 ）见解析；（ 3 ） 240 人 .
【分析】
（ 1 ）求和得到本次接受随机抽样调查的女生人数，计算求出 m ；
（ 2 ）根据加权平均数的计算公式求出平均数，根据众数和中位数的概念求出众数和中位数；
（ 3 ）根据样本估计总体计算．
【详解】
解：（ 1 ） 3+10+13+16+8=50 ， m=16÷50=32%
故答案为： 50 ， 32 ；
（ 2 ）由题意得，平均数为 （次）；
众数是一组数据中，出现次数最多的数， 30 次出现了 16 次，出现的次数最多，故众数为 30 次；
中位数是将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，处于中间位置的数（或中间两个数的平均数）是该组数据的中位数，
∵ 共有 50 个数据，第 25 个和第 26 个数都为 25 ，
∴ 这组数据的中位数为 25 次；
（ 3 ）由题意得 （人），
答：该校九年级 500 名女生在 “ 一分钟仰卧起坐 ” 考试中，次数不低于 30 次的人数约为 240 人 .
【点睛】
错因分析：第（ 1 ）问，误将 m 写成 m % ；第（ 2 ）问，在计算平均数、众数和中位数的过程中，误将样本数据按照人数计算；第（ 3 ）问（ 1 ）没有掌握用样本估计总体的方法；（ 2 ）计算过程中未包含 30 次 .
4、 （ Ⅰ ） 26° ；（ Ⅱ ） 69° ．
【分析】
（ Ⅰ ）连接 OC ，如图 ① ，根据切线的性质得 ∠OCP=90° ，再根据等腰三角形的性质得到 ∠OCA=∠CAB=32° ，则利用三角形外角性质可计算出 ∠POC ，然后利用互余计算 ∠P 的度数；
（ Ⅱ ）如图 ② ，根据垂径定理的推论，由点 E 为 AC 的中点得到 OD⊥AC ，则利用三角形外角性质得 ∠AOD=∠CAB+∠OEA=106° ，再根据圆周角定理得到
，然后利用三角形外角性质可计算出 ∠DPA 的度数．
【详解】
（ Ⅰ ）连接 ，如图 ① ，
为切线，
，
，
，
，
，
；
（ Ⅱ ）如图 ② ，
点 为 的中点，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理和圆周角定理．
5、 的长约为 2163 米， 的长约为 1500 米 .
【分析】
根据题意，从复杂的实际问题中整理已知条件构建方程，即可得解 .
【详解】
过点 C 作 ，交 的延长线于点 E ，如图所示：
设 米，则 米，
∵ 在 中， ，
∴ ，
∵ 在 中， ，
∴ ， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
答： 的长约为 2163 米， 的长约为 1500 米 .
【点睛】
此题属于中等难度题，主要考查利用方位角构建方程求解距离 . 失分原因有 3 个：（ 1 ）不能正确地理解题意，从复杂的实际问题中整理已知条件；（ 2 ）没有掌握 “ 母子型 ” 模型的解题方法；（ 3 ）计算时出错 .
6、 （ Ⅰ ） 0.5 ， 1.5 ， 0 ；（ Ⅱ ） ①0.5 ； ② ； ③ ； ④9.6 或 64.4 ；（ Ⅲ ） y ＝
【分析】
（ Ⅰ ）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出表格中需要填写的数据；
（ Ⅱ ） ① 根据函数图象，可以写出菜地距离青稞地的距离； ② 根据函数图象，可以计算出大壮从菜地到青稞地的速度； ③ 根据函数图象，可以计算出大壮从青稞地回家的速度； ④ 根据函数图象，可以计算出当大壮距家 0.8 千米时，他离开家的时间；
（ Ⅲ ）根据函数图象中的数据，可以写出当 0≤ x ≤33 时， y 关于 x 的函数解析式．
【详解】
解：（ Ⅰ ）由图可知，从家到菜地的速度为： （千米 / 分钟），因此当 x ＝ 6 时， y ＝ 0.5 ，
当 x ＝ 40 时， y ＝ 1.5 ，当 x ＝ 77 时， y ＝ 0 ．
故答案为： 0.5 ， 1.5 ， 0 ；
（ Ⅱ ） ① 由图可得，菜地距离青稞地有 1.5 ﹣ 1 ＝ 0.5 （千米）；
② 大壮从菜地到青稞地的速度为：（ 1.5 ﹣ 1 ） ÷ （ 33 ﹣ 27 ）＝ （千米 / 分钟）；
③ 大壮从青稞地回家的速度为： 1.5÷ （ 74 ﹣ 56 ）＝ （千米 / 分钟）；
④ 从家到菜地的速度为： （千米 / 分钟），
∴ 从家到菜地的途中，大壮距家 0.8 千米时走了 0.8÷ ＝ 9.6 （分钟）；
从青稞地回家的途中，大壮距家 0.8 km 时走了 56+ （ 1.5 ﹣ 0.8 ） ÷ ＝ 64.4 （分钟），
∴ 大壮距家 0.8 时走了 9.6 分钟或 65.8 分钟；
故答案为： ①0.5 ； ② ； ③ ； ④9.6 或 64.4 ；
（ Ⅲ ）当 0≤ x ＜ 12 时，
∵ 从家到菜地的速度为 千米 / 分钟，
∴ 当 0≤ x ＜ 12 时， y ＝ x ，
当 12≤ x ＜ 27 时， y ＝ 1 ，
∵ 大壮从菜地到青稞地的速度为 千米 / 分钟，
∴ 当 27≤ x ≤33 时， y ＝ 1+ （ x ﹣ 27 ）＝ x ﹣ ，
∴ 当 0≤ x ≤33 时， y 关于 x 的函数解析式为 y ＝ ．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7、 （ Ⅰ ）（ ， 3 ）；（ Ⅱ ）证明见解析；（ Ⅲ ） 2 -2≤ CP ≤2 +2 ．
【分析】
（ Ⅰ ）设 A ' B ' 与 x 轴交于点 H ，依据旋转的性质得出 BO ∥ A ' B ' ，即可得到 OH ＝ OB ' ＝ ， B ' H ＝ 3 ，进而得出点 B ' 的坐标为（ ， 3 ）；
（ Ⅱ ）依据旋转的性质可得 ∠ BOB ' ＝ ∠ AOA ' ＝ α ， OB ＝ OB ' ， OA ＝ OA ' ，即可得出 ∠ OBB ' ＝ ∠ OA ' A ＝ （ 180° ﹣ α ），再根据 ∠ BOA ' ＝ 90°+α ，四边形 OBPA ' 的内角和为 360° ，即可得到 ∠ BPA ' ＝ 90° ，即 AA '⊥ BB ' ；
（ Ⅲ ）作 AB 的中点 M （ 1 ， ），连接 MP ，依据点 P 的轨迹为以点 M 为圆心，以 MP ＝ AB ＝ 2 为半径的圆，进而利用两点之间的距离解答．
【详解】
解：（ Ⅰ ）如图 1 ，设 A ' B ' 与 x 轴交于点 H ，
∵ OA ＝ 2 ， OB ＝ 2 ， ∠ AOB ＝ 90° ，
∴ AB =4 ，
∴∠ ABO ＝ ∠ B ' ＝ 30° ，
∵∠ BOB ' ＝ α ＝ 30° ，
∴ BO∥A ' B ' ，
∵ OB ' ＝ OB ＝ 2 ，
∴ OH ＝ OB ' ＝ ， B ' H ＝ ＝ 3 ，
∴ 点 B ' 的坐标为（ ， 3 ）；
（ Ⅱ ） ∵∠ BOB ' ＝ ∠ AOA ' ＝ α ， OB ＝ OB ' ， OA ＝ OA ' ，
∴∠ OBB ' ＝ ∠ OA ' A ＝ （ 180° ﹣ α ），
∵∠ BOA ' ＝ 90°+α ，四边形 OBPA ' 的内角和为 360° ，
∴∠ BPA ' ＝ 360° ﹣（ 180° ﹣ α ）﹣（ 90°+α ）＝ 90° ，
∴ AA '⊥ BB ' ；
（ Ⅲ ）如图，作 AB 的中点 M （ 1 ， ），连接 MP ，
∵∠ APB ＝ 90° ，
∴ 点 P 的轨迹为以点 M 为圆心，以 MP ＝ AB ＝ 2 为半径的圆，
∵ C （﹣ 2 ， 0 ）， M （ 1 ， ），
∴ CM ＝ ，
∴ 当点 P 在 CM 延长线上时，线段 CP 长度最大，最大值为 2 +2 ；
当点 P 在 CM 上时，线段 CP 长度最小，最小值为 2 -2 ；
线段 CP 长度的取值范围： 2 -2≤ CP ≤2 +2 ．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，含 30° 角的直角三角形的性质，四边形内角和以及圆周角定理的综合运用，解决问题的关键是判断点 P 的轨迹为以点 M 为圆心，以 MP 为半径的圆．
8、 (1) ;(2)k>1 ；（ 3 ） 1 或 3.
【分析】
（ 1 ）把（ 1 ， k 2 ）代入抛物线解析式中并求解即可；
（ 2 ）将点分别代入抛物线解析式中，由 y1 ＞ y2 列出关于 k 的不等式，求解即可；
（ 3 ）先求出新抛物线的解析式，然后分 1≤k≤2 ， k ＞ 2 以及 k ＜ 1 三种情况讨论，根据二次函数的顶点及增减性，分别确定三种情况下各自对应的最小值，然后列出方程并求出满足题意的 k 值即可．
【详解】
解：（ 1 ）把点 代入抛物线 ，得
解得
（ 2 ）把点 代入抛物线 ，得
把点 代入抛物线 ，得
解得
（ 3 ）抛物线 解析式配方得
将抛物线向右平移 1 个单位长度得到新解析式为
当 时， 对应的抛物线部分位于对称轴右侧， 随 的增大而增大，
时， ，
，解得 ，
都不合题意，舍去；
当 时， ，
解得 ；
当 时， 对应的抛物线部分位于对称轴左侧， 随 的增大而减小，
时， ，
解得 ， （舍去）
综上， 或 3 ．
【点睛】
本题考查的知识点是二次函数的代入点求值、二次函数的最值、二次函数与一元二次不等式、方程的关系以及函数平移的问题，解题关键是熟练掌握二次函数的相关知识．
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