海南省2020-2021学年高一9月质量检测数学试题含解析.doc

试卷主标题

姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共12题）
1、 已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A ． B ． C ． D ．
2、 命题 “ ” 的否定是
A ． B ．
C ． D ．
3、 已知命题 ，命题 ，则 是 的（ ）
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
4、 已知函数 在 上是偶函数，且在 上是单调函数，若 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A ． B ．
C ． D ．
5、 已知全集 ，集合 ， ，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）

A ． B ．
C ． D ．
6、 函数 的值域是（ ）
A ． B ． C ． D ．
7、 已知函数 ，若 ，则实数 a 的取值范围是（ ）
A ． B ．
C ． D ．
8、 设 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递减，若不等式 的解集为 ，则 在 上的最小值为（ ）
A ． B ． C ． D ．
9、 （多选）若函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的值可能是
A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5
10、 下列说法正确的序号是（ ）
A ．偶函数 的定义域为 ，则
B ．设 ，若 ，则实数 的值为 或
C ．奇函数 在 上单调递增，且最大值为 8 ，最小值为 ，则
D ．若集合 中至多有一个元素，则
11、 下列说法正确的序号是（ ）
A ．已知集合 ，若 ，则
B ．若函数 是偶函数，则实数 的值为 1
C ．已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为
D ．已知单调函数 ，对任意的 都有 ，则
12、 若关于 x 的不等式 0≤ ax 2 + bx + c ≤1( a ＞ 0) 的解集为｛ x |-1≤ x ≤2 ｝，则 3 a +2 b + c 的值可以是（ ）
A ． B ． C ． D ．
二、填空题（共4题）
1、 已知 ，函数 ，当 时，不等式 的解集是 ____________ ．若方程 恰有 2 个根，则 的取值范围是 ______________ ．
2、 如图，函数 f(x) 的图像是折线段 ABC ，其中点 A ， B ， C 的坐标分别为 (0,4) ， (2,0) ， (6,4) ，则 f(f(f(2))) ＝ ________.

3、 函数 的定义域是 ______________ ．
4、 已知函数 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且它们在 上的图象如图所示，则不等式 在 上的解集是 ________ .

三、解答题（共6题）
1、 在 ① ； ②“ ” 是 “ ” 的充分不必要条件； ③ ，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答 .
问题：已知集合 ， .
（ 1 ）当 时，求 ；
（ 2 ）若 ___________ ，求实数 a 的取值范围 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 .
2、 已知函数 ．
（ 1 ）直接写出函数的值域．（不需要写解答过程）
（ 2 ）用定义证明 在区间 上是增函数；
（ 3 ）求该函数在区间 上的最大值与最小值．
3、 （ 1 ） “ ” 为假命题，求实数 的最小值；
（ 2 ）已知 ，证明： 成立的充要条件是 ．
4、 已知二次函数 满足条件 ，及 .
（ 1 ）求函数 的解析式；
（ 2 ）在区间 上，函数 的图象恒在 的图象上方，试确定实数 m 的取值范围 .
5、 已知函数 ，且 的解集为 ．
（ 1 ）求函数 的解析式；
（ 2 ）解关于 的不等式 ，（ ）；
（ 3 ）设 ，若对于任意的 都有 ，求 的最小值．
6、 已知函数 是偶函数．当 时， ．
（ 1 ）求函数 的解析式；
（ 2 ）若函数 在区间 上单调，求实数 的取值范围；
（ 3 ）设 ，求 在区间 上的最大值，其中 ．

============参考答案============
一、选择题
1、 B
【分析】
利用补集的运算求解即可 .
【详解】
由 ， ，
得 ；
故选： B.
2、 A
【详解】
命题 “ ” 的否定是 , 所以选 A.
3、 A
【分析】
直接利用充分不必要条件的定义判断得解 .
【详解】
因为命题 ，命题 ，
所以当命题 成立时，命题 一定成立；
当命题 成立时，命题 不一定成立 .
所以 是 的充分不必要条件 .
故选： A
4、 D
【分析】
先判断函数在 ， 上是单调减函数，可得 （ 1 ），从而得出结论．
【详解】
函数 在 上是偶函数，且在 上是单调函数，
所以函数 在 ， 上也是单调函数，
根据 ，可得函数 在 ， 上是单调增函数，
故函数 在 ， 上是单调减函数，
故 （ 1 ），
故选： ．
5、 A
【分析】
先解一元二次不等式得集合 B ，再根据交并补运算求阴影部分表示的集合 .
【详解】

图中的阴影部分表示的集合为
故选： A
【点睛】
本题考查解一元二次不等式、交并补运算，考查基本分析求解能力，属基础题 .
6、 C
【分析】
求出函数的定义域，设 ，求出 的值域，再求出 的值域即可得解 .
【详解】
由 得 ，得 ，
设 ，则 ，
所以 ，即函数 的值域是 .
故选： C
7、 C
【分析】
由题意知分段函数求值应分段处理，利用函数的单调性求解不等式 .
【详解】
，
由 的解析式可知， 在 上是单调递增函数，
再由 ，得 ，
即 ，解得 .
故选： C.
【点睛】
此题重点考查了分段函数的求值，还考查了利用函数的单调性求解不等式，同时一元二次不等式求解也要过关 .
8、 D
【分析】
由函数为奇函数可将不等式化为 ，再根据单调性可得 ，再根据 的单调性可求出最小值 .
【详解】
因为 是 上的奇函数，
所以由 得 ，
又因为 在 上单调递减，所以 ，解得 ，
即 .
因为 在 单调递增，
所以 在 上的最小值为 .
故选： D.
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，解题的关键是将不等式化为 ，利用单调性解出 .
9、 ABC
【分析】
作出函数 的部分图像，由图像与题中条件，即可得出结果 .
【详解】
函数 的部分图像如图， ， .
因为函数 的定义域为 ，值域为 ，
所以 的取值范围是 ，
故选 ABC .

【点睛】
本题主要考查由二次函数的定义域与值域求参数的问题，熟记二次函数的图像与性质即可，属于常考题型 .
10、 AC
【分析】
根据偶函数定义域关于原点对称可得 ，进而可判断选项 A ；
根据集合之间的关系可得 ，对集合 B 的取值分类讨论，即可判断选项 B ；
根据奇函数的定义与单调性可得 ，计算进而可判断选项 C ；
对 a 的取值分为 a =0 和 两种情况讨论，求出对应的范围，即可判断选项 D.
【详解】
A ：因为函数 为偶函数，所以它的定义域关于原点对称，
有 ，故 A 正确；
B ： ，由 得 ，
当 时， a =0 ；当 时， ；当 时， ；
所以 a 的取值为 0 ， ， ，故 B 错误；
C ：由 为奇函数， ，得 ，
所以 ，故 C 正确；
D ：由 A 中至多有一个元素，得当 a =0 时， ，符合题意；
当 时， ，所以 a 的取值为 或 a =0 ，故 D 错误 .
故选： AC
11、 BCD
【分析】
A. ， ，则 或者 ，根据集合元素的互异性进行排除即可；
B. 由题意得到 进而求出参数值即可；
C. 据题意得到 ，即可得到结果；
D. 设 ，结合函数的单调性得到 ，进而得到函数表达式，和 .
【详解】
A. 已知集合 ， , 则 或者 ，
当 时， 不满足集合元素的互异性，故舍去这种情况；
当 时 ， 时由以上分析知不成立，
当 时集合元素为 ，符合题意，故最终 ，故 A 错误；
B. 函数 是偶函数，根据偶函数的定义得到
代入函数表达式得到
化简得到 故 B 正确；
C. 函数 的定义域为 ， 的定义为 ，
函数 的定义域为 ，最终得到的定义域为 ，故 C 正确；
D. 设 ， ，且 ，令 ，则 ，
是单调函数， （ 2 ） ， ，即 ，则 （ 2 ） ，故 D 正确；
故选： BCD.
12、 BC
【分析】
根据题意，设 问题转化为 恒大于等于零且 ，建立关系求出 a 的范围即可 .
【详解】
设 其中 a ＞ 0 ，
因为不等式 0≤ ax 2 + bx + c ≤1( a ＞ 0) 的解集为｛ x |-1≤ x ≤2 ｝，
所以 恒大于等于零且 ，
故 ，即 ① ，且 ② ， ③ ，
由 ②③ 可得
代入 ① ，可得 ，
解得 ，
由 知 ，
故 ，
结合选项， 的值可能 和 ，
故选： BC
【点睛】
关键点点睛：原问题可转化为 恒大于等于零且 ，据此求出 a 的取值范围，得出选项 .
二、填空题
1、
【分析】
根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集 . 先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数 的取值范围 .
【详解】
由题意得 或 ，所以 或 ，即 ，
不等式 f ( x )<0 的解集是
当 时， ，此时 ，
即 在 上有两个零点；
当 时， ，由 在 上只能有一个零点得 .
综上， 的取值范围为 .
故答案为：（ 1,4 ）；
2、 2
【分析】
通过观察图像，先从最里面的 开始计算，一步一步得出最后的结果 .
【详解】
通过观察图像得 ， ， ，故填 .
【点睛】
本小题主要考查观察函数图像，考查复合函数求函数值的方法 . 这类型的题目只需要结合图像，从函数最里面的部分开始算起，一步一步计算出相应的结果 . 属于基础题 .
3、
【分析】
根据偶次根式被开方数非负､分母不为零得出关于 的不等式组，解不等式组即可得出该函数的定义域．
【详解】
由题意可得 ，解得 且 ，
所以，函数 的定义域为 ．
故答案为： ．
4、
【分析】
不等式 的解集，与 f （ x ） g(x) 0 且 g （ x ） 0 的解集相同，观察图象选择函数值同号的部分，再由 f （ x ）是偶函数， g （ x ）是奇函数，得到 f （ x ） g （ x ）是奇函数，从而求得对称区间上的部分解集，最后两部分取并集即可 .
【详解】
将不等式 转化为 f （ x ） g(x) 0 且 g （ x ） 0 ，
如图所示：满足不等式的解集为：（ 1,2]
∵y=f （ x ）是偶函数， y=g （ x ）是奇函数 ∴f （ x ） g （ x ）是奇函数 ,
故在 y 轴左侧，满足不等式的解集为 (-3,-2] (-1,0)
故不等式 在 上的解集是 (-3,-2] (-1,0) （ 1,2]
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性在解不等式中的应用，考查了数形结合，转化，分类讨论等思想方法，根据函数奇偶性的性质以及数形结合是解决本题的关键 .
三、解答题
1、 （ 1 ） ；（ 2 ）详见解析 .
【分析】
（ 1 ）当 a ＝ 2 时，得出集合 A ，然后根据并集的定义进行求解即可；
（ 2 ）若选条件 ① ，可得出 A ⊆ B ，然后建立不等式，解出 a 的范围 . 若选择条件 ② ，得 ，建立不等式，求 的取值范围，若选项 ③ ，同样建立不等式，可得出 a 的取值范围 .
【详解】
解：（ 1 ）当 时，集合 ，
所以 ；
（ 2 ）若选择 ① ，则 ，
因为 ，所以 ，
又 ，
所以 ，解得 ，
所以实数 a 的取值范围是 .
若选择 ② ， “ “ 是 “ ” 的充分不必要条件，则 ，
因为 ，所以 ，
又 ，
所以 ，解得 ，
所以实数 a 的取值范围是 .
若选择 ③ ， ，
因为 ，所以 ，
又
所以 或 ，
解得 或 ，
所以实数 a 的取值范围是 .
2、 （ 1 ） ；（ 2 ）证明见解析；（ 3 ） ．
【分析】
（ 1 ）化简函数 ，即可求得函数的值域；
（ 2 ）根据函数的单调性的定义和判定方法，即可求解；
（ 2 ）由（ 1 ）知函数 在区间 上是增函数，进而求得函数的最值 .
【详解】
（ 1 ）由题意，函数 ，
因为 ，所以 ，所以 的值域为 .
（ 2 ）任取 ，且 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
故函数 在区间 上是增函数．
（ 2 ）由（ 1 ）知函数 在区间 上是增函数，
所以 ， ．
3、 （ 1 ） 1 ；（ 2 ）证明见解析．
【分析】
（ 1 ）即在 上， 恒成立，即 ，求出二次函数的最大值即得解；
（ 2 ）先证明必要性，再证明充分性得证 .
【详解】
（ 1 ） “ ， ” 为假命题，
即在 上， 恒成立，
分离参数得 ，
令 ，当 时 取得最大值 1 ，所以 .
∴ a 的最小值为 1
（ 2 ）证明：先证必要性：
若 ，
则 ，
即必要性成立，
再证充分性；
若 ，则 ，
即 ，
∵ ， ∴ ，
则 ，即 成立，充分性成立，
综上可得 “ ” 成立的充要条件是 “ ” ，
4、 （ 1 ） ；（ 2 ） .
【分析】
（ 1 ）采用待定系数法，设出函数表达式，代入对应系数相等，列方程组即可求解 .
（ 2 ）由题意将问题化为不等式恒成立，然后采用分离参数法转化为求函数
最值，即可求解 .
【详解】
（ 1 ）设 ， ∵ ， ∴ .
又 ，得： ，
∴ ， ∴ ，
所以 .
（ 2 ）由题知： 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
令 ，
所以原不等式 ，
又 ， ，
所以 ，所以 .
【点睛】
本题考查待定系数法求函数表达式、不等式恒成立求参数的取值范围，属于中档题 .
5、 （ 1 ） ；（ 2 ）答案不唯一，具体见解析；（ 3 ） 9 ．
【分析】
（ 1 ）根据方程根与系数的关系求出 即可；
（ 2 ）不等式为 ，再分 ， ， ， 讨论得到不等式的解集；
（ 3 ）将 恒成立转化为 ，求出 的最值，代入计算即可 .
【详解】
解：（ 1 ）因为 的解集为 ，所以 的根为 ， 2 ，
所以 ，即 ，
所以 ；
（ 2 ）由（ 1 ）可得 ，
即 ，即
当 时，不等式的解集为 ，
当 时，不等式的解集为 ，
当 时，不等式的解集为 ，
当 时，不等式的解集为 ．
（ 3 ）因为 时 ，
根据二次函数的图像性质，有 ，
因为对于任意的 ，都有 ，
即求 ，转化为 ，
而 ，所以此时可得 ，
所以 M 的最小值为 9 ．
6、 （ 1 ） ；（ 2 ） 或 ；（ 3 ）答案不唯一，具体见解析．
【分析】
（ 1 ）设 ，则 ，求得 ，结合函数为偶函数，即可求解；
（ 2 ）由（ 1 ）及二次函数图象与性质，得到 或 ，即可求解；
（ 3 ）由（ 1 ）可知，函数 ，结合二次函数的图象与性质，分 、 和 三种情况讨论，即可求解 .
【详解】
（ 1 ）设 ，则 ，可得 ，
又由 为偶函数，所以 ，
所以当 时， ，所以 .
（ 2 ）由（ 1 ）及二次函数，可得 的增区间为 ， ，减区间是 ， ，
又函数 在区间 上具有单调性，且 ，
所以 或 ，即 或 ，
解得 或 ，故实数 a 的取值范围是 或 ．

（ 3 ）由（ 1 ）可知，函数 ，由于 ，
当 时， ，作出 在 上的草图，如图所示，
由图象可知， ；

当 时， ，作出 在 上的草图，如图所示：
由图像可知， ；

当 时， ，作出 在 上的草图，如图所示，
由图像可知， ；

综上所述：
函数 在区间 上的最大值为 .