北京市2022届高三10月月考数学试题含解析.doc

试卷主标题

姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共10题）
1、 若函数 在区间 上的平均变化率为 ，在区间 上的平均变化率为 ，则（ ）
A ． B ．
C ． D ． 与 的大小关系与 的取值有关
2、 已知角 的终边经过 ，则 （　　）
A ． B ． C ． D ．
3、 若 ，则（　　）
A ． 且 B ． 且
C ． 且 D ． 且
4、 若函数 对任意的 x 都有 ，则 等于（ ）
A ． 3 或 0 B ． 或 0 C ． 0 D ． 或 3
5、 设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ，则曲线 在点 处的切线的斜率为（ ）
A ． 4 B ． C ． 2 D ．
6、 已知函数 的图象关于原点对称，且周期为 ，且 ，则 （　　）
A ． 2 B ． 0 C ． -2 D ． -4
7、 已知函数 f ( x )=3 x +2cos x ，若 ， b = f (2) ， c = f (log 2 7) ，则 a ， b ， c 的大小关系是（ ）
A ． a < b < c B ． c < a < b
C ． b < a < c D ． b < c < a
8、 函数 的单调递增区间是（ ）
A ． B ． C ． D ．
9、 函数 在 单调递增的一个必要不充分条件是（ ）
A ． B ． C ． D ．
10、 若函数 在 上的最大值为 2 ，则实数 的取值范围是（ ）
A ． B ．
C ． D ．
二、填空题（共5题）
1、 函数 的定义域为 _________.
2、 在 中，已知 ， ，三角形面积为 ，则 ___________ ．
3、 已知 ，则 _________
4、 函数 f ( x ) 的定义域为 R ， f (-1) ＝ 2 ， 为 f ( x ) 的导函数，已知 y = 的图象如图所示，则 f ( x )>2 x +4 的解集为 ____ ．

5、 已知函数 ， ， 是函数 的极值点，若对任意的 ，总存在唯一的 ，使得 成立，则实数 的取值范围是 __________ ．
三、解答题（共6题）
1、 已知函数 ．
（ 1 ）求曲线 在点 处的切线方程；
（ 2 ）求函数 的最小值．
2、 某高校设计了一个实验学科的考查方案：考生从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定至少正确完成其中 2 题才可提交通过．已知 6 道备选题中考生甲有 4 道题能正确完成， 2 道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是 ，且每题正确完成与否互不影响．
（ 1 ）分别写出甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数的分布列，并计算均值；
（ 2 ）试从甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数的均值、方差及至少正确完成 2 题的概率方面比较两位考生的实验操作能力．
3、 已知函数 ，其中 ，函数 图象上相邻两个对称中心之间的距离为 ，且在 处取到最小值 -2 ．
（ 1 ）求函数 的解析式；
（ 2 ）若将函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 ( 纵坐标不变 ) ，再向左平移 个单位得到函数 图象，求函数 的单调递增区间；
（ 3 ）若函数 在 内的值域为 ，求 的取值范围 .
4、 在下列 3 个条件中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题的解答．
① ； ② ； ③ ;
已知 的内角 所对的边分别是 ， ， ______ ．
（ 1 ）若 ，求 ；
（ 2 ）求 的最大值，以及此时的内角 .
5、 已知函数 ．
（ 1 ）曲线 在点 处的切线方程为 ，求 的值；
（ 2 ）当 时，若曲线 在直线 的上方，求 的取值范围 .
6、 已知函数 .
（ Ⅰ ）求曲线 在点 处的切线方程；
（ Ⅱ ）求函数 的单调区间和极值；
（ Ⅲ ）设函数 ， ，试判断 的零点个数，并证明你的结论 .

============参考答案============
一、选择题
1、 A
【分析】
直接代入函数平均变化率公式进行化简得到 ， 表达式，由题意知 ，即可得判断 ， 大小关系 .
【详解】
， ．
由题意知 ，所以 ，
故选： A ．
2、 C
【分析】
根据三角函数的定义求出 的值，再由两角差的正切公式即可求解 .
【详解】
因为角 的终边上的点 ，所以 ，
.
故选： C ．
3、 B
【分析】
确定 所在象限，再根据各象限内角的三角函数值的符号判断作答 .
【详解】
因 ，则 是第二象限象限角，
所以 .
故选： B
4、 D
【分析】
是 的一条对称轴，故而 为 的最大值或最小值．
【详解】
任意实数 都有 恒成立，
是 的一条对称轴， 当 时， 取得最大值 3 或最小值 ．
故选： ．
5、 A
【分析】
利用 在点 处的切线方程为 可得 然后利用导数的几何意义求 切线斜率即可 .
【详解】
因为 ，所以 ．又曲线 在点 处的切线方程为 ，所以 ，所以 ，即曲线 在点 处的切线的斜率为 4 ．
故选： A.
6、 A
【分析】
根据函数的周期性和奇偶性直接变形计算即可 .
【详解】
依题意，函数 的图象关于原点对称，则函数 是奇函数，又 的周期为 4 ，且 ，
则有 ，
所以 .
故选： A
7、 D
【分析】
对函数 f ( x ) 求导并讨论其单调性，再比较 2 ， log 2 7 ， 的大小，结合函数 f ( x ) 的单调性即可得解 .
【详解】
函数 f ( x )=3 x +2cos x 的定义域为 R ， ，于是得 f ( x ) 为 R 上的单调递增函数，
又 y =log 2 x 为 (0 ， +∞) 上的单调递增函数，则 2=log 2 4<log 2 7<log 2 8=3<3 2 ，即 2<log 2 7< ，
所以 f (2)< f (log 2 7)< f ( ) ，即 b < c < a .
故选： D
8、 D
【分析】
先 ，由此求得函数 的单调递增区间 .
【详解】
解：由 ，解得 ，
又 ， ∴ .
所以函数 的单调递增区间为 .
故选： D.
9、 D
【分析】
求出导函数 ，由于函数 在区间 单调递增，可得 在区间 上恒成立，求出 的范围，再根据充分必要条件的定义即可判断得解 .
【详解】
由题得 ，
函数 在区间 单调递增，
在区间 上恒成立．
，
而 在区间 上单调递减，
．
选项中只有 是 的必要不充分条件 . 选项 AC 是 的充分不必要条件，选项 B 是充要条件 .
故选： D
10、 D
【分析】
先利用导数求出函数 在区间 上的最大值为 ，再对 的符号分类讨论函数 在 上的单调性，得出 可解出实数 的取值范围．
【详解】
当 时， ，则 ．
当 时， ；当 时， ．
所以，函数 在 处取得极大值，亦即最大值，即 ．
当 时，函数 在 上单调递增，由题意可知， ，
得 ，解得 ，此时， ；
当 时，且当 时， 合乎题意；
当 时，函数 在 上单调递减，此时， ，合乎题意．
综上所述，实数 的取值范围是 ，
故选： D
二、填空题
1、
【分析】
要使函数有意义，则需 ，解出不等式即得定义域
【详解】
要使函数有意义，则需 ，解得 或 ，
即定义域为 .
故答案为：
2、
【分析】
在 中，由三角形的面积公式即可求解 .
【详解】
在 中，已知 ， ，三角形面积为 12 ，
所以 ，整理得： ，
故答案为： ．
3、
【分析】
根据二倍角公式，先求出 ，再根据 的范围，判断 符号，即可求解 .
【详解】
，
， ，
故答案为 :
【点睛】
关键点点睛：本题考查三角函数求值问题，熟记公式是解题关键，属于基础题。
4、 (-1 ， +∞)
【分析】
令 g ( x )= f ( x )-2 x -4 ，利用导数探讨 g ( x ) 在 R 上的单调性，再将 f ( x )>2 x +4 转化为 并借助单调性即可得解 .
【详解】
观察图象知， ，
令 g ( x )= f ( x )-2 x -4 ，则 ，即 g ( x ) 在 R 上单调递增，
而 g (-1)= f (-1)-2 (-1)-4=0 ，即 ，于是得 ，
所以不等式 f ( x )>2 x +4 的解集为 (-1 ， +∞).
故答案为： (-1 ， +∞)
5、
【分析】
首先利用导数分别求出 在 的值域，根据极值点性质得到 ，从而得到函数 的单调性和 ，根据题意得到 ，再解不等式即可 .
【详解】
， ，令 ，解得 .
所以 ， ， 为增函数 .
所以 时， .
， ，
因为 是函数 的极值点，所以 ，解得 .
所以 .
所以 ， ， 为增函数，
， ， 为减函数，且
因为对任意的 ，总存在唯一的 ，使得 成立，
所以 ，
即 ，解得 .
故答案为：
三、解答题
1、 (1) ； (2) .
【分析】
(1) 对函数 求导得 ，求出 的值，再根据导数的几何意义即可得解；
(2) 探讨函数 的单调性即可求出函数 的最小值．
【详解】
(1) 依题意， ，则 ，而 ，于是得 ，即 ，
所以曲线 在点 处的切线方程是 ；
(2) 由 (1) 知，当 时， ，而函数 在 R 上单调递增，即有 时， ，当 时， ，
于是得 在 上单调递减， 上单调递增，则当 时， ，
所以函数 的最小值是 .
2、 （ 1 ）甲分布列见解析， ；乙分布列见解析， ；（ 2 ）答案不唯一，见解析 .
【分析】
（ 1 ）由题意可知，甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数分别服从超几何和二项分布，分别列出分布列，计算均值即可；
（ 2 ）结合分布列中的数据，分别计算对应的均值、方差及至少正确完成 2 题的概率比较即可 .
【详解】
（ 1 ）设考生甲正确完成实验操作的题数为 ，则 的取值范围是 ．
， ， ，
所以 的分布列为

1
2
3

．
设考生乙正确完成实验操作的题数为 ，易知 ，
所以 ， ，
， ．
所以 的分布列为

0
1
2
3

．
（ 2 ）由（ 1 ），知 ， ，
， ， ．所以 ， ，
故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当；从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定；从至少正确完成 2 题的概率方面分析，甲通过的可能性更大．因此甲的实验操作能力较强．
3、 （ 1 ） ；（ 2 ） ；（ 3 ） .
【分析】
(1) 由给定条件依次求出 的周期， ，初相 及 A 即可得解；
(2) 根据给定变换求出函数 的解析式，即可求出其单调递增区间；
(3) 根据函数定义域与值域的关系即可求出参数 m 的取值范围 .
【详解】
(1) 函数 图象上相邻两个对称中心之间的距离为 ，设 周期为 T ，则 ，即 ，因此， ，
因 在 处取到最小值 -2 ，则 ，而 ，则 ， ，
所以函数 的解析式是 ；
(2) 由 (1) 知：将函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 ( 纵坐标不变 ) 得到 ，
再将所得图象向左平移 个单位，到函数 的图象，
由 得： ，
所以函数 的单调递增区间为 ；
(3) 由 (2) 知 ，由于 ，则有 ，
因函数 的值域为 ，而 ， ，显然 在 上单调递减，则有 ，
当 时， ，于是有 在 上单调递增，又 ，则 ，即 ，
从而得 ，解得 ，综上得： ，
所以 的取值范围为 ．
4、 （ 1 ）选择条件见解析， ；（ 2 ）最大值 ；此时 .
【分析】
(1) 选 ① ，利用三角形射影定理变形求出角 A ；选 ② ，利用正弦定理边化角，借助二倍角的正弦及诱导公式变形求出角 A ；
选 ③ ，利用正弦定理角化边，借助余弦定理求出角 A ，再利用正弦定理求出 ，最后用和角的余弦公式计算得解；
(2) 利用 (1) 中 A 值，结合正弦定理及三角恒等变换列出角 B 的函数关系即可计算作答 .
【详解】
(1) 选 ① ， ，在 中，由射影定理 得，
，解得 ，而 ，则 ；
选 ② ， ，在 中，由正弦定理得： ，
而 ， ，则 ，又 ，即 ，于是得 ；
选 ③ 时， ，在 中，由正弦定理得： ，
由余弦定理得： ，而 ，则 ，
因 ，利用正弦定理得： ，而 ，即角 B 为锐角，因此， ，
所以 ；
（ 2 ）由 (1) 知 ，在 中， ，由正弦定理得： ，
则 ，
而 ，则 ，于是得当 时， 取得最大值 ，此时 ，
所以 的最大值是 ，此时 .
5、 （ 1 ） ；（ 2 ） .
【分析】
（ 1 ）求 ，由 即可求得 的值；
（ 2 ）由题意可得 恒成立，分离 可得 ，令 利用单调性求最值即可求解 .
【详解】
（ 1 ）由 ，可得 ，
因为曲线 在点 处的切线方程为 ，
所以 ，解得 ．
（ 2 ）当 时，若曲线 在直线 的上方，
即 恒成立，
因为 ，可得 对于 恒成立，
令 ，则 ，
当 时， 恒成立，故 在 上单调递减，
因为 ，所以 ，
若 对于 恒成立，则 ，
所以 的取值范围为： .
6、 （ Ⅰ ） ；（ Ⅱ ） 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ， ；极大值 ，极小值 ；（ Ⅲ ）一个，证明见解析 .
【分析】
（ Ⅰ ）利用导数的几何意义求切线方程；（ Ⅱ ）根据 和 ，求函数的单调递增和递减区间，根据极值的定义求极值；（ Ⅲ ）首先方程等价于 ，设函数 ，求函数的导数 ，分 和 两个区间讨论函数的单调性，并结合零点存在性定理说明函数的零点个数 .
【详解】
（ Ⅰ ）由 ，得 .
因为 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
（ Ⅱ ）令 ，得 ，解得 或 .
当 变化时， 和 变化情况如下表：

↗

↘

↗
所以， 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ，
；
在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 .
（ Ⅲ ） , ，即 ，
等价于 .
设 ，则 .
① 当 时， ， 在区间 上单调递增 .
又 ， ，
所以 在区间 上有一个零点 .
② 当 时 , 设 .
，所以 在区间 上单调递增 .
又 ， ，
所以存在 ，使得 .
所以，当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增 .
又 ， ，
所以 在区间 上无零点 .
综上所述，函数 在定义域内只有一个零点 .
【点睛】
关键点点睛：本题第三问判断零点个数，首先要构造函数，当 时，利用二次导数判断 单调递增，存在 ，使得 ，再判断零点个数时，需结合函数的单调性和端点值共同判断 .