2021年山东省菏泽市数学中考试题含解析.doc

试卷主标题

姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共8题）
1、 如图，点 A 所表示的数的倒数是（　　）

A ． 3 B ．﹣ 3 C ． D ．
2、 下列等式成立的是（ ）
A ． B ． C ． D ．
3、 如果不等式组 的解集为 ，那么 的取值范围是（ ）
A ． B ． C ． D ．
4、 一副三角板按如图方式放置，含 角的三角板的斜边与含 30° 角的三角板的长直角边平行，则 的度数是（ ）

A ． B ． C ． D ．
5、 如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（ ）

A ． B ． C ． D ．
6、 在 2021 年初中毕业生体育测试中，某校随机抽取了 10 名男生的引体向上成绩，将这组数据整理后制成如下统计表：
成绩（次）
12
11
10
9
人数（名）
1
3
4
2
关于这组数据的结论不正确的是（ ）
A ．中位数是 10.5 B ．平均数是 10.3 C ．众数是 10 D ．方差是 0.81
7、 关于 的方程 有实数根，则 的取值范围是（ ）
A ． 且 B ． 且 C ． D ．
8、 如图（ 1 ），在平面直角坐标系中，矩形 在第一象限，且 轴，直线 沿 轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形 截得的线段长为 ，直线在 轴上平移的距离为 ， 、 间的函数关系图象如图（ 2 ）所示，那么矩形 的面积为（ ）

A ． B ． C ． 8 D ． 10
二、解答题（共10题）
1、 计算： ．
2、 先化简，再求值： ，其中 ， 满足 ．
3、 如图，在菱形 中，点 、 分别在 、 上，且 ，求证： ．

4、 某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于 处的济南舰突然发现北偏西 方向上的 处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向 200 海里 处的西安舰，西安舰测得 处位于其北偏西 方向上，请问此时两舰距 处的距离分别是多少？

5、 列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克 22 元；
小李：当销售价为每千克 38 元时，每天可售出 160 千克；若每千克降低 3 元，每天的销售量将增加 120 千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润 3640 元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
6、 如图，在平面直角坐标系中，矩形 的两边 、 分别在坐标轴上，且 ， ，连接 ．反比例函数 （ ）的图象经过线段 的中点 ，并与 、 分别交于点 、 ．一次函数 的图象经过 、 两点．

（ 1 ）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
（ 2 ）点 是 轴上一动点，当 的值最小时，点 的坐标为 ______ ．
7、 2021 年 5 月，菏泽市某中学对初二学生进行了国家义务教育质量检测，随机抽取了部分参加 15 米折返跑学生的成绩，学生成绩划分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．根据图中提供的信息解答下列问题：

（ 1 ）请把条形统计图补充完整；
（ 2 ）合格等级所占百分比为 ______% ；不合格等级所对应的扇形圆心角为 ______ 度；
（ 3 ）从所抽取的优秀等级的学生 、 、 …… 中，随机选取两人去参加即将举办的学校运动会，请利用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到 、 两位同学的概率．
8、 如图，在 中， 是直径，弦 ，垂足为 ， 为 上一点， 为弦 延长线上一点，连接 并延长交直径 的延长线于点 ，连接 交 于点 ，若 ．

（ 1 ）求证： 是 的切线；
（ 2 ）若 的半径为 8 ， ，求 的长．
9、 在矩形 中， ，点 ， 分别是边 、 上的动点，且 ，连接 ，将矩形 沿 折叠，点 落在点 处，点 落在点 处．

（ 1 ）如图 1 ，当 与线段 交于点 时，求证： ；
（ 2 ）如图 2 ，当点 在线段 的延长线上时， 交 于点 ，求证：点 在线段 的垂直平分线上；
（ 3 ）当 时，在点 由点 移动到 中点的过程中，计算出点 运动的路线长．
10、 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 交 轴于 ， 两点，交 轴于点 ．

（ 1 ）求该抛物线的表达式；
（ 2 ）点 为第四象限内抛物线上一点，连接 ，过点 作 交 轴于点 ，连接 ，求 面积的最大值及此时点 的坐标；
（ 3 ）在（ 2 ）的条件下，将抛物线 向右平移经过点 时，得到新抛物线 ，点 在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
参考：若点 、 ，则线段 的中点 的坐标为 ．
三、填空题（共6题）
1、 2021 年 5 月 11 日，国家统计局、国务院第七次全国人口普查领导小组办公室对外发布：截至 2020 年 11 月 1 日零时，全国人口共约 1410000000 人．数据 1410000000 用科学记数法表示为 ______ ．
2、 因式分解： ______ ．
3、 如图，在 中， ， ， 分别为 、 的中点， ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，则四边形 的面积为 ______ ．

4、 如图，在 中， ，垂足为 ， ， ，四边形 和四边形 均为正方形，且点 、 、 、 、 、 都在 的边上，那么 与四边形 的面积比为 ______ ．

5、 定义： 为二次函数 （ ）的特征数，下面给出特征数为 的二次函数的一些结论： ① 当 时，函数图象的对称轴是 轴； ② 当 时，函数图象过原点； ③ 当 时，函数有最小值； ④ 如果 ，当 时， 随 的增大而减小，其中所有正确结论的序号是 ______ ．
6、 如图，一次函数 与反比例函数 （ ）的图象交于点 ，过点 作 ，交 轴于点 ；作 ，交反比例函数图象于点 ；过点 作 交 轴于点 ；再作 ，交反比例函数图象于点 ，依次进行下去， …… ，则点 的横坐标为 _______ ．

============参考答案============
一、选择题
1、 D
【分析】
由数轴和倒数的定义，即可得到答案．
【详解】
解：由数轴可知，点 A 表示 ，
∴ 的倒数是 ；
故选： D ．
【点睛】
本题考查了倒数的定义，解题关键是正确表示出点 A 表示的数．
2、 D
【分析】
根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式和积的乘方法则对每个选项一一判断即可．
【详解】
解： A 、 ，故 A 选项错误；
B 、 ，故 B 选项错误；
C 、 ，故 C 选项错误；
D 、 ，故 D 选项正确，
故选： D ．
【点睛】
本题考查了合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式和积的乘方法则，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键．
3、 A
【分析】
先解不等式组 , 确定每个不等式的解集 , 后根据不等式组的解集的意义 , 确定 m 的取值范围即可 .
【详解】
∵ ，
解 ① 得 x ＞ 2 ，解 ② 得 x ＞ m ，
∵ 不等式组 的解集为 ，根据大大取大的原则，
∴ ，
故选 A .
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练根据不等式组的解集确定字母的取值是解题的关键．
4、 B
【分析】
利用两直线平行，内错角相等传递等角后计算即可
【详解】
如图， ∵ AB∥DE ，
∴∠ BAE =∠ E =30° ，

∴ =∠ CAB -∠ BAE = 45°-30°=15° ，
故选 B
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角板的意义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
5、 B
【分析】
根据三视图可以确定该几何体是空心圆柱体，再利用已知数据计算空心圆柱体的体积．
【详解】
解：先由三视图确定该几何体是空心圆柱体，底面外圆直径是 4 ，内圆直径是 2 ，高是 6 ．
空心圆柱体的体积为 π× 2 ×6-π× 2 ×6=18π ．
故选： B ．
【点睛】
本题主要考查由三视图确定几何体和求圆柱体的体积，考查学生的空间想象．
6、 A
【分析】
先将数据按照从小到大排列，再依次按照中位数的定义、平均数计算公式、众数定义、方差计算公式依次进行判断即可．
【详解】
解：将该组数据从小到大排列依次为： 9 ， 9 ， 10 ， 10 ， 10 ， 10 ， 11 ， 11 ， 11 ， 12 ；
位于最中间的两个数是 10 ， 10 ，它们的平均数是 10 ，
所以该组数据中位数是 10 ，故 A 选项符合题意；
该组数据平均数为： ，故 B 选项不符合题意；
该组数据 10 出现次数最多，因此众数是 10 ，故 C 选项不符合题意；
该组数据方差为： ，故 D 选项不符合题意；
故选： A ．
【点睛】
本题考查了中位数和众数的定义以及方差和平均数的计算公式，解决本题的关键是牢记相关概念与公式等，本题的易错点是容易将表格中的数据混淆，同时计算容易出现错误，因此需要学生有一定的计算能力．
7、 D
【分析】
根据方程有实数根，利用根的判别式来求 的取值范围即可．
【详解】
解：当方程为一元二次方程时，
∵ 关于 的方程 有实数根，
∴ ，且 ，
解得， 且 ，
当方程为一元一次方程时， k =1 ，方程有实根
综上，
故选： D ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程方程的根的判别式，注意一元二次方程方程中 ，熟悉一元二次方程方程的根的判别式的相关性质是解题的关键．
8、 C
【分析】
根据平移的距离 可以判断出矩形 BC 边的长，根据 的最大值和平移的距离 可以求得矩形 AB 边的长，从而求得面积
【详解】
如图：根据平移的距离 在 4 至 7 的时候线段长度不变，
可知图中 ,
根据图像的对称性， ，

由图（ 2 ）知线段最大值为 ，即
根据勾股定理
矩形 的面积为

故答案为： C
【点睛】
本题考查了矩形的面积计算，一次函数图形的实际意义，勾股定理，一次函数的分段函数转折点的意义；正确的分析函数图像，数形结合解决实际问题是解题的关键．
二、解答题
1、 0
【分析】
根据零指数幂 , 绝对值的化简 , 负整数指数幂 , 特殊角的函数值计算即可
【详解】

=1+3
=0.
【点睛】
本题考查了零指数幂 , 负整数指数幂 , 特殊角的函数值 , 二次根式的化简 , 绝对值的化简 , 熟练掌握各种运算的基本法则是解题的关键．
2、 ;-6.
【分析】
先变除法为乘法 , 后因式分解 , 化简计算 , 后变形 代入求值即可
【详解】
∵
=
=
= ,
∵ ,
∴ ,
∴ 原式 = = -6 ．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的基本顺序，基本计算方法是解题的关键．
3、 见解析
【分析】
菱形 中，四边相等，对角相等，结合已知条件 ，可利用三角形全等进行证明，得到 ，再线段之差相等即可得证．
【详解】
四边形 是菱形

在 和 中

(ASA)

即 ．
【点睛】
本题考查了三角形全等的证明，菱形的性质，根据题意找准三角形证明的条件，利用角边角进行三角形全等的证明是解题的关键．
4、 A 舰距离为 200 海里 , B 舰距离为 200 海里 ,
【分析】
过点 C 作 CD ⊥ AB ，交 BA 的延长线于点 D ，根据题意，得 ∠ CAD =60° ， ∠ CBA =∠ ACB =30° ，解 Rt △ ADC 和 Rt △ BDC 即可 .
【详解】
如图，过点 C 作 CD ⊥ AB ，交 BA 的延长线于点 D ，
根据题意，得 ∠ CAD =60° ， ∠ CBA =30° ，
∵∠ CAD =∠ CBA +∠ ACB
∠ CBA =∠ ACB =30° ，
∴ AB = AC =200 （海里），

在 Rt △ ADC 中，
CD = ACsin 60°=200× =100 ，
在 Rt △ BDC 中，
BC = CD ÷ sin 30°=200 （海里） .
【点睛】
本题考查了方位角，解直角三角形的应用，正确理解方位角的意义，熟练掌握解直角三角形的基本步骤是解题的关键．
5、 29 元．
【分析】
设这种水果每千克降价 元，根据超市每天要获得销售利润 3640 元列一元二次方程，解一元二次方程，再由题意要尽可能让顾客得到实惠，筛选符合条件的 的值，即可解题售价．
【详解】
解：设这种水果每千克降价 元，
则每千克的利润为： 元，销售量为： 千克，

整理得，

或 ，
要尽可能让顾客得到实惠，

即售价为 （元）
答：这种水果的销售价为每千克 29 元．
【点睛】
本题考查一元二次方程的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
6、 （ 1 ） , ；（ 2 ）
【分析】
（ 1 ）先求出 B 点的坐标，再由反比例函数过点 ，求出点 的坐标，代入 即可，
由矩形的性质可得 、 坐标，代入 即可求出解析式；
（ 2 ） “ 将军饮马问题 ” ，作 关于 轴的对称点 ，连接 , 直线 与 轴交点即为所求．
【详解】
（ 1 ） 四边形 是矩形， ，

为线段 的中点

将 代入 ，得

将 ，代入 ，得：
，解得

（ 2 ）如图：作 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 P

当 三点共线时， 有最小值

，
设直线 的解析式为

将 ，代入 ，得
，解得

令 ，得

【点睛】
本题考查了矩形的性质，反比例函数性质，反比例函数和一次函数待定系数法求解析式，反比例函数图像上点的特点，线段和距离最值问题，正确的作辅助线，理解并记忆待定系数法求解的技巧是解题关键．
7、 （ 1 ）见解析；（ 2 ） 30 ， （ 3 ）
【分析】
（ 1 ）先根据良好等级所占的百分比求出总人数，
再根据总人数减去其他等级求出优秀的人数，补全统计图．
（ 2 ）用合格等级的人数除以总人数得百分比；
不合格等级的人数除以总数得百分比，再乘以 ，得对应的扇形圆心角度数．
（ 3 ）用列表法列举出所有可能，找出恰好抽到 、 两位同学的情形，利用概率的概念求得概率．
【详解】
（ 1 ）总人数为： （人）；
优秀人数为： （人）．

（ 2 ）合格等级： ．
不合格等级对应的扇形圆心角： ．
（ 3 ）用列表法如图：

A
B
C
D
E
F
A

AB
AC
AD
AE
AF
B
BA

BC
BD
BE
BF
C
CA
CB

CD
CE
CF
D
DA
DB
DC

DE
DF
E
EA
EB
EC
ED

EF
F
FA
FB
FC
FD
FE

从表中可以看出，共有 30 种等情况数，符合题意选中 、 两位同学共 2 种．
恰好抽到 、 两位同学的概率为 ．
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用列表法或画树状图法求概率；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率 = 所求情况数与总情况数之比．能对图表信息进行具体分析和熟练掌握概率公式是解题关键．
8、 （ 1 ）见解析；（ 2 ）
【分析】
（ 1 ）连接 OE ，证明 OE ⊥ EF 即可；
（ 2 ）由 证得 ，运用正弦的概念可得结论．
【详解】
解：（ 1 ）证明：连接 OE ，如图，

∵ OA = OE
∴∠ OAE =∠ OEA ．
∵ EF = PF ，
∴∠ EPF =∠ PEF
∵∠ APH =∠ EPF ，
∴∠ APH =∠ EPF ，
∴∠ AEF =∠ APH ．
∵ CD ⊥ AB ，
∴∠ AHC =90° ．
∴∠ OAE +∠ APH =90° ．
∴∠ OEA +∠ AEF =90°
∴∠ OEF =90°
∴ OE ⊥ EF ．
∵ OE 是 的半径
∴ EF 是圆的切线，
（ 2 ） ∵ CD ⊥ AB
∴ 是直角三角形
∵
∴
设 ，则
由勾股定理得，
由（ 1 ）得， 是直角三角形
∴
∴ ，即
∵
∴
解得，
【点睛】
此题主要考查了圆的切线的判定，勾股定理和解直角三角形等知识，熟练掌握切线的判定是解答此题的关键．
9、 （ 1 ）见解析；（ 2 ）见解析；（ 3 ） ．
【分析】
（ 1 ）分别根据平行线的性质及折叠的性质即可证得 ∠ DEF ＝ ∠ EFB ， ∠ DEF ＝ ∠ HEF ，由此等量代换可得 ∠ HEF ＝ ∠ EFB ，进而可得 PE ＝ PF ；
（ 2 ）连接 PM ， ME ， MF ，先证 Rt PHM ≌ Rt PBM （ HL ），可得 ∠ EPM ＝ ∠ FPM ，再证 EPM ≌ FPM （ SAS ），由此即可得证；
（ 3 ）连接 AC ，交 EF 于点 O ，连接 OG ，先证明 EAO ≌ FCO （ AAS ），由此可得 OC ＝ AC ＝ 5 ，进而根据折叠可得 OG ＝ OC ＝ 5 ，由此得到点 G 的运动轨迹为圆弧，再分别找到点 G 的起始点和终点便能求得答案．
【详解】
（ 1 ）证明： ∵ 在矩形 ABCD 中，
∴ AD BC ， AB ＝ CD ；
∴∠ DEF ＝ ∠ EFB ，
∵ 折叠，
∴∠ DEF ＝ ∠ HEF ，
∴∠ HEF ＝ ∠ EFB ，
∴ PE ＝ PF ；
（ 2 ）证明：连接 PM ， ME ， MF ，

∵ 在矩形 ABCD 中，
∴ AD ＝ BC ， ∠ D ＝ ∠ ABC ＝ ∠ PBA ＝ 90° ，
又 ∵ AE ＝ CF ，
∴ AD － AE ＝ BC － CF ，
即： DE ＝ BF ，
∵ 折叠，
∴ DE ＝ HE ， ∠ D ＝ ∠ EHM ＝ ∠ PHM ＝ 90° ，
∴ BF ＝ HE ， ∠ PBA ＝ ∠ PHM ＝ 90° ，
又 ∵ 由（ 1 ）得： PE ＝ PF ，
∴ PE － HE ＝ PF － BF ，
即： PH ＝ PB ，
在 Rt PHM 与 Rt PBM 中，
，
∴ Rt PHM ≌ Rt PBM （ HL ），
∴∠ EPM ＝ ∠ FPM ，
在 EPM 与 FPM 中，
，
∴ EPM ≌ FPM （ SAS ），
∴ ME ＝ MF ，
∴ 点 M 在线段 EF 的垂直平分线上；
（ 3 ）解：如图，连接 AC ，交 EF 于点 O ，连接 OG ，

∵ AB ＝ CD ＝ 5 ， ，
∴ BC ＝ ，
∴ 在 Rt ABC 中， AC ＝ ＝ ，
∵ AD BC ，
∴∠ EAO ＝ ∠ FCO ，
在 EAO 与 FCO 中，
，
∴ EAO ≌ FCO （ AAS ），
∴ OA ＝ OC ＝ AC ＝ 5 ，
又 ∵ 折叠，
∴ OG ＝ OC ＝ 5 ，
当点 E 与点 A 重合时，如图所示，此时点 F ，点 G 均与点 C 重合，

当点 E 与 AD 的中点重合时，如图所示，此时点 G 与点 B 重合，

∵ O 为定点， OG ＝ 5 为定值，
∴ 点 G 的运动路线为以点 O 为圆心， 5 为半径的圆弧，且圆心角为 ∠ BOC ，
在 Rt ABC 中， tan∠ BAC ＝ ＝ ，
∴∠ BAC ＝ 60° ，
∵ OA ＝ OB ＝ OC ＝ OG ，
∴ 点 A 、 B 、 C 、 G 在以点 O 为圆心， 5 为半径的圆上，
∴∠ BOC ＝ 2∠ BAC ＝ 120° ，
∴ 的长为 ＝ ，
∴ 点 运动的路线长为 ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定及性质、圆的相关概念及性质，弧长公式的应用，第（ 3 ）问能够发现 OG ＝ 5 是解决本题的关键．
10、 （ 1 ）该抛物线的表达式为： ；（ 2 ） 面积最大值为 8 ，此时 P 点的坐标为： P （ 2 ， -6 ）；（ 3 ） 或 或 或
【分析】
（ 1 ）将两个点分别代入抛物线可得关于 a ， b 的二元一次方程组，可解得 a ， b ；
（ 2 ）设出 P 、 Q 两点坐标，应用三角形相似，及三角形面积公式，代入化简可得一个二次函数，求其最大值即可；
（ 3 ）抛物线的平移可确定抛物线解析式及对称轴，设出点 E 、 F ，应用中点坐标公式及矩形特点分成的三角形为直角三角形，可得出答案．
【详解】
解：（ 1 ）将 A （ -1,0 ）， B （ 4,0 ）代入抛物线 可得：
，
解得： ，
∴ 该抛物线的表达式为： ；
（ 2 ）过点 P 作 PN ⊥ x 轴于点 N ，如图所示：

设 且 ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 点 在抛物线上，
∴ ，
∴ ， ，
根据抛物线的基本性质：对称轴为 在 内，
∴ 在 取得最大值，代入得： ，
当 时， ，
∴ 面积的最大值为 8 ，此时点 P 的坐标为： ．
（ 3 ）在（ 2 ）的条件下，原抛物线解析式为 ，将抛物线向右平移经过点 ，可知抛物线向右平移了 个单位长度，
∴ 可得： ，
化简得平移后的抛物线： ，
对称轴为： ，
由（ 2 ）得： A （ -1 ， 0 ）， ，点 E 在对称轴上，
∴ 设 E （ 3 ， e ），点 F （ m ， n ），矩形 AEPF ，
当以 AP 为矩形的对角线时，则 AP 的中点坐标为： ， EF 的中点坐标为： ，
根据矩形的性质可得，两个中点坐标相同，可得：

解得：
∵ 矩形 AEPF ，
∴ 为直角三角形，
∴ ， ③
，
，
，
代入 ③ 化简可得： ， ④
∴ 将 ② 代入 ④ 可得： ，
化简得： ，
根据判别式得： ，
∴ ，
∴ 或 ；
当以 AP 为矩形的边时，如图所示：

过点 P 分别作 PG ⊥ x 轴于点 G ， PH ∥ x 轴，过点 F 作 PH 的垂线，垂足为 H ，设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 M ，如图，
∴ ， ， AM =4 ，
∴ ，
∵ 四边形 是矩形，
∴ ， AE = PF ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ FH =2 ，
∵ 点 ，
∴ ，
当以 AP 为矩形的边时，如图所示：

同理可得 ；
综上所述：以 、 、 、 为顶点的四边形为矩形， 或 或 或
【点睛】
题目考查确定二次函数解析式及其基本性质、矩形的性质、勾股定理等，难点主要是依据图像确定各点、线段间的关系，得出答案．
三、填空题
1、 1.41×10 9 ．
【分析】
科学记数法的表示形式为 a ×10 n 的形式，其中 1≤| a | ＜ 10 ， n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 ≥10 时， n 是正数；当原数的绝对值＜ 1 时， n 是负数．
【详解】
解：将 1410000000 用科学记数法表示为： 1.41×10 9 ．
故答案是： 1.41×10 9 ．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a ×10 n 的形式，其中 1≤| a | ＜ 10 ， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．
2、
【分析】
先提取公因式，后采用公式法分解即可
【详解】
∵
=- a
=
故答案为 : ．
【点睛】
本题考查了因式分解，熟记先提取公因式，后套用公式法分解因式是解题的关键．
3、
【分析】
先根据 ， 分别为 、 的中点求得 AB ＝ 4 ，再根据 求得 AC ＝ 8 ， BC ＝ ，进而可求得 BE ＝ ，最后证明四边形 ABFD 为平行四边形即可求得四边形 ABFD 的面积．
【详解】
解： ∵ ， 分别为 、 的中点， ，
∴ AB ＝ 2 DE ＝ 4 ， ，
∵ 在 中， ，
∴ AC ＝ 2 AB ＝ 8 ，
∴ BC ＝ ＝ ＝ ，
又 ∵ 点 E 为 BC 中点，
∴ BE ＝ BC ＝ ，
∵ ， ，
∴ 四边形 ABFD 为平行四边形，
∴ 四边形 的面积＝ AB × BE ＝ 4× ＝ ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线、含 30° 的直角三角形、勾股定理以及平行四边形的判定，熟练掌握相关图形的性质与判定是解决本题的关键．
4、 1∶3
【分析】
先设四边形 和四边形 的边长为 x ，然后根据 AEM ∽ ABC 可得 ，进而可求得 AP ＝ 2.5 ， EM ＝ 5 ，然后分别求得 S △ AEM ＝ ， S △ ABC ＝ 25 ，即可求得 S 四边形 BCME ＝ S △ ABC － S △ AEM ＝ ，由此可得答案．
【详解】
解： ∵ 四边形 和四边形 均为正方形，
∴ 设四边形 和四边形 的边长为 x ，
则 EM ＝ 2 x ， EF ＝ x ， EF ⊥ BC ， EM ∥ BC ，
∵ AD ⊥BC ，
∴ PD ＝ EF ＝ x ，
∵ AD ＝ 5 ，
∴ AP ＝ AD － PD ＝ 5 － x ，
∵ EM B C ，
∴ AEM ∽ ABC ，
∴ ，
∴ ，
解得： x ＝ 2.5 ，
∴ AP ＝ 2.5 ， EM ＝ 5 ，
∴ S △ AEM ＝ ＝ ，
又 ∵ S △ ABC ＝ ＝ 25 ，
∴ S 四边形 BCME ＝ S △ ABC － S △ AEM
＝ 25 －
＝ ，
∴ S △ AEM ∶ S 四边形 BCME ＝ ∶ ＝ 1∶3 ，
故答案为： 1∶3 ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键．
5、 ①②③ ．
【分析】
利用二次函数的性质根据特征数 ，以及 的取值，逐一代入函数关系式，然判断后即可确定正确的答案．
【详解】
解：当 时，
把 代入 ，可得特征数为
∴ ， ， ，
∴ 函数解析式为 ，函数图象的对称轴是 轴，故 ① 正确；
当 时，
把 代入 ，可得特征数为
∴ ， ， ，
∴ 函数解析式为 ，
当 时， ，函数图象过原点，故 ② 正确；
函数
当 时，函数 图像开口向上，有最小值，故 ③ 正确；
当 时，函数 图像开口向下，
对称轴为：
∴ 时， 可能在函数对称轴的左侧，也可能在对称轴的右侧，故不能判断其增减性，故 ④ 错误；
综上所述，正确的是 ①②③ ，
故答案是： ①②③ ．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的对称轴等知识点，牢记二次函数的基本性质是解题的关键．
6、
【分析】
由点 A 是直线 与双曲线 的交点，即可求出点 A 的坐标，且可知 ，又 可知 是等腰直角三角形，再结合 可知 是等腰直角三角形，同理可知图中所有三角形都是等腰直角三角形，由求 的坐标，即 的坐标（ =1,2,3…… ），故想到过点 作 轴，即过 作 轴．设 的纵坐标为 ，则 的横坐标为 ，再利用点 在双曲线上即可求解 坐标，同理可得 的坐标．
【详解】
解：过 作 轴于点
点 A 是直线 与双曲线 的交点
解得

是等腰直角三角形

是等腰直角三角形

设 的纵坐标为 ，则 的横坐标为
点 在双曲线上

解得
设 的纵坐标为 ，则 的横坐标为

解得
同理可得
由以上规律知：
即 的纵坐标为
的横坐标为
故答案是： ．
【点睛】
本题考察一次函数、反比例函数、交点坐标的求法、等腰直角三角形的性质、一元二次方程的应用和规律探究，属于综合几何题型，难度偏大．解题的关键是结合等腰直角三角形的性质做出辅助线，并在计算过程中找到规律．