2021年江苏省南通市中考数学真题含答案解析.doc

试卷主标题姓名：_ 班级：_考号：_一、选择题（共10题）1、 计算 ，结果正确的是（ ） A 3 B 1 C D 2、 据报道：今年 “ 五一 ” 期间，苏通大桥、崇启大桥、沪苏通大桥三座跨江大桥车流量约 1370000 辆次将 1370000 用科学记数法表示为（ ） A B C D 3、 下列计算正确的是（ ） A B C D 4、 以下调查中，适宜全面调查的是（ ） A 了解全班同学每周体育锻炼的时间 B 调查某批次汽车的抗撞击能力 C 调查春节联欢晚会的收视率 D 鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数 5、 如图，根据三视图，这个立体图形的名称是（ ） A 三棱柱 B 圆柱 C 三棱锥 D 圆锥 6、 菱形的两条对角线的长分别是 6 和 8 ，则这个菱形的周长是（ ） A 24 B 20 C 10 D 5 7、 孙子算经中有一道题，原文是 “ 今有木，不知长短引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？ ” 意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余 4.5 尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余 1 尺问木长多少尺？设木长 x 尺，绳长 y 尺，可列方程组为（ ） A B C D 8、 若关于 x 的不等式组 恰有 3 个整数解，则实数 a 的取值范围是（ ） A B C D 9、 如图，四边形 中， ，垂足分别为 E ， F ，且 ， 动点 P ， Q 均以 的速度同时从点 A 出发，其中点 P 沿折线 运动到点 B 停止，点 Q 沿 运动到点 B 停止，设运动时间为 ， 的面积为 ，则 y 与 t 对应关系的图象大致是（ ） A B C D 10、 平面直角坐标系 中，直线 与双曲线 相交于 A ， B 两点，其中点 A 在第一象限设 为双曲线 上一点，直线 ， 分别交 y 轴于 C ， D 两点，则 的值为（ ） A 2 B 4 C 6 D 8 二、解答题（共8题）1、 （ 1 ）化简求值： ，其中 ； （ 2 ）解方程 2、 如图，利用标杆 测量楼高，点 A ， D ， B 在同一直线上， ， ，垂足分别为 E ， C 若测得 ， ， ，楼高 是多少？ 3、 某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质（大小、甜度等），进行了抽样调查在相同条件下，随机抽取了两种西瓜各 7 份样品，对西瓜的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分的统计图表 甲、乙两种西瓜得分表 序号 1 2 3 4 5 6 7 甲种西瓜（分） 75 85 86 88 90 96 96 乙种西瓜（分） 80 83 87 90 90 92 94 甲、乙两种西瓜得分统计表 平均数 中位数 众数 甲种西瓜 88 a 96 乙种西瓜 88 90 b （ 1 ） _ ， _ ； （ 2 ）从方差的角度看， _ 种西瓜的得分较稳定（填 “ 甲 ” 或 “ 乙 ” ）； （ 3 ）小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些请结合统计图表中的信息分别写出他们的理由 4、 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为 1 ， 2 ， 3 ， 4 （ 1 ）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为 _ ； （ 2 ）随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球求两次取出小球标号的和等于 5 的概率 5、 如图， 为 的直径， C 为 上一点，弦 的延长线与过点 C 的切线互相垂直，垂足为 D ， ，连接 （ 1 ）求 的度数； （ 2 ）若 ，求 的长 6、 A ， B 两家超市平时以同样的价格出售相同的商品暑假期间两家超市都进行促销活动，促销方式如下： A 超市：一次购物不超过 300 元的打 9 折，超过 300 元后的价格部分打 7 折； B 超市：一次购物不超过 100 元的按原价，超过 100 元后的价格部分打 8 折 例如，一次购物的商品原价为 500 元， 去 A 超市的购物金额为： （元）； 去 B 超市的购物金额为： （元） （ 1 ）设商品原价为 x 元，购物金额为 y 元，分别就两家超市的促销方式写出 y 关于 x 的函数解析式； （ 2 ）促销期间，若小刚一次购物的商品原价超过 200 元，他去哪家超市购物更省钱？请说明理由 7、 如图，正方形 中，点 E 在边 上（不与端点 A ， D 重合），点 A 关于直线 的对称点为点 F ，连接 ，设 （ 1 ）求 的大小（用含 的式子表示）； （ 2 ）过点 C 作 ，垂足为 G ，连接 判断 与 的位置关系，并说明理由； （ 3 ）将 绕点 B 顺时针旋转 得到 ，点 E 的对应点为点 H ，连接 ， 当 为等腰三角形时，求 的值 8、 定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的 “ 等值点 ” 例如，点 是函数 的图象的 “ 等值点 ” （ 1 ）分别判断函数 的图象上是否存在 “ 等值点 ” ？如果存在，求出 “ 等值点 ” 的坐标；如果不存在，说明理由； （ 2 ）设函数 的图象的 “ 等值点 ” 分别为点 A ， B ，过点 B 作 轴，垂足为 C 当 的面积为 3 时，求 b 的值； （ 3 ）若函数 的图象记为 ，将其沿直线 翻折后的图象记为 当 两部分组成的图象上恰有 2 个 “ 等值点 ” 时，直接写出 m 的取值范围 三、填空题（共8题）1、 分解因式： _ 2、 正五边形每个内角的度数是 _ 3、 圆锥的母线长为 ，底面圆的半径长为 ，则该圆锥的侧面积为 _ 4、 下表中记录了一次试验中时间和温度的数据 时间 / 分钟 0 5 10 15 20 25 温度 / 10 25 40 55 70 85 若温度的变化是均匀的，则 14 分钟时的温度是 _ 5、 如图，一艘轮船位于灯塔 P 的南偏东 方向，距离灯塔 50 海里的 A 处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的北偏东 方向上的 B 处，此时 B 处与灯塔 P 的距离为 _ 海里（结果保留根号） 6、 若 m ， n 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为 _ 7、 平面直角坐标系 中，已知点 ，且实数 m ， n 满足 ，则点 P 到原点 O 的距离的最小值为 _ 8、 如图，在 中， ， ，以点 A 为圆心， 长为半径画弧，交 延长线于点 D ，过点 C 作 ，交 于点 ，连接 BE ，则 的值为 _ =参考答案=一、选择题1、 C 【分析】 原式利用有理数的减法法则计算即可得到结果 【详解】 解： ， 故选： C 【点睛】 本题考查了有理数的减法，熟练掌握有理数的减法法则是解本题的关键 2、 D 【分析】 科学记数法的表示形式为 a 10 n 的形式，其中 1| a | 10 ， n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同 【详解】 解：将 1370000 用科学记数法表示为： 1.3710 6 故选： D 【点睛】 本题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a 10 n 的形式，其中 1| a | 10 ， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3、 B 【分析】 根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方等知识点进行判定即可 【详解】 解： A . ，选项计算错误，不符合题意； B . ，选项计算正确，符合题意； C ，选项计算错误，不符合题意； D . ，选项计算错误，不符合题意； 故选： B 【点睛】 此题考查了整式的运算，涉及的知识有：合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 4、 A 【分析】 根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断 【详解】 解： A 、了解全班同学每周体育锻炼的时间适合全面调查，符合题意； B 、调查某批次汽车的抗撞击能力适合抽样调查，不符合题意； C 、调查春节联欢晚会的收视率适合抽样调查，不符合题意； D 、鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数适合抽样调查，不符合题意； 故选： A 【点睛】 本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查 5、 A 【分析】 由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状 【详解】 解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱 故选： A 【点睛】 本题由物体的三种视图推出原来几何体的形状，考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力和综合能力 6、 B 【分析】 根据菱形的性质及勾股定理可直接进行求解 【详解】 解：如图所示： 四边形 ABCD 是菱形， BD=8 ， AC=6 ， ACBD ， OA=OC=3 ， OD=OB=4 ， 在 RtAOD 中， ， 菱形 ABCD 的周长为： 45=20 ， 故选 B 【点睛】 本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键 7、 D 【分析】 本题的等量关系是：绳长 = 木长 +4.5 ；木长 = 绳长 +1 ，据此可列方程组求解 【详解】 解：设木长 x 尺，绳长 y 尺， 依题意得 ， 故选： D 【点睛】 此题考查二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列对方程组，求准解 8、 C 【分析】 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀不等式组的整数解个数即可得出答案 【详解】 解：解不等式 ，得： ， 解不等式 ，得： ， 不等式组只有 3 个整数解，即 5 ， 6 ， 7 ， ， 故选： C 【点睛】 本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式，并根据不等式组整数解的个数得出关于 的不等式组 9、 D 【分析】 分四段考虑， 点 P 在 AD 上运动， 点 P 在 DC 上运动，且点 Q 还未到端点 B ， 点 P 在 DC 上运动，且点 Q 到达端点 B ， 点 P 在 BC 上运动，分别求出 y 与 t 的函数表达式，继而可得出函数图象 【详解】 解：在 Rt ADE 中 AD = ( cm ) ， 在 Rt CFB 中， BC = ( cm ) ， AB = AE + EF + FB =15( cm ) ， 点 P 在 AD 上运动， AP = t ， AQ = t ，即 0 ， 如图，过点 P 作 PG AB 于点 G ， ，则 PG = (0 ) ， 此时 y = AQ PG = (0 ) ，图象是一段经过原点且开口向上的抛物线； 点 P 在 DC 上运动，且点 Q 还未到端点 B ，即 13 ， 此时 y = AQ DE = (13 ) ，图象是一段线段； 点 P 在 DC 上运动，且点 Q 到达端点 B ，即 15 ， 此时 y = AB DE = (15 ) ，图象是一段平行于 x 轴的水平线段； 点 P 在 BC 上运动， PB =31- t ，即 18 ， 如图，过点 P 作 PH AB 于点 H ， ，则 PH = ， 此时 y = AB PH = (18 ) ，图象是一段线段； 综上，只有 D 选项符合题意， 故选： D 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是分段讨论 y 与 t 的函数关系式， 10、 B 【分析】 根据直线 与双曲线 相交于 A ， B 两点，其中点 A 在第一象限求得 ， ，再根据 为双曲线 上一点求得 ；根据点 A 与点 M 的坐标求得直线 AM 解析式为 ，进而求得 ，根据点 B 与点 M 的坐标求得直线 BM 解析式为 ，进而求得 ，最后计算 即可 【详解】 解： 直线 与双曲线 相交于 A ， B 两点， 联立可得： 解得： 或 点 A 在第一象限， ， 为双曲线 上一点， 解得： 设直线 AM 的解析式为 ， 将点 与点 代入解析式可得： 解得： 直线 AM 的解析式为 直线 AM 与 y 轴交于 C 点， ， 设直线 BM 的解析式为 ， 将点 与点 代入解析式可得： 解得： 直线 BM 的解析式为 直线 BM 与 y 轴交于 D 点， ， =4 故选： B 【点睛】 本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，涉及到分式方程，一元二次方程和二元一次方程组的求解，正确求出点的坐标和直线解析式是解题关键 二、解答题1、 （ 1 ）原式 =4 ；（ 2 ） 【分析】 （ 1 ）先用完全平方差公式与多项式乘法公式将原式化简为 ，再将已知条件代入即可； （ 2 ）根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 、检验依次进行求解即可 【详解】 解：（ 1 ） = = 当 时，原式 = = ； （ 2 ） ， 去分母得： ， 解得： ， 经检验， 是原方程的解 则原方程的解为： 【点睛】 本题主要考查了代数式的化简求值与解分式方程，关键在于熟练的掌握解题的方法与技巧，注意分式方程要检验 2、 楼高 是 9 米 【分析】 先求出 AC 的长度，由 ，得到 ，即可求出 BC 的长度 【详解】 解： ， ， m ， ， ， ， ADE ABC ， ， ， ， ； 楼高 是 9 米 【点睛】 此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键 3、 （ 1 ） a =88 ， b =90 ；（ 2 ）乙；（ 3 ）见解析 【分析】 （ 1 ）根据中位数、众数的意义求解即可； （ 2 ）根据数据大小波动情况，直观可得答案； （ 3 ）从方差、中位数、众数的比较得出答案 【详解】 解：（ 1 ）甲品种西瓜测评得分从小到大排列处在中间位置的一个数是 88 ，所以中位数是 88 ，即 a =88 ， 将乙品种西瓜的测评得分出现次数最多的是 90 分，因此众数是 90 ，即 b =90 ， 故答案为： a =88 ， b =90 ； （ 2 ）由甲、乙两种西瓜的测评得分的大小波动情况，直观可得 S 乙 2 S 甲 2 ， 故答案为：乙； （ 3 ）小明认为甲种西瓜的品质较好些，是因为甲的得分众数比乙的得分众数高；小军认为乙种西瓜的品质较好些，是因为乙的得分方差小和得分中位数比甲的高 【点睛】 本题考查统计表，中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均数的意义和计算方法是正确解答的前提 4、 （ 1 ） ；（ 2 ） 【分析】 （ 1 ）直接利用概率公式求解即可求得答案； （ 2 ）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次取出的小球和是 5 的情况，再利用概率公式求解即可求得答案； 【详解】 解：（ 1 ） 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 随机摸取一个小球， “ 摸出的小球标号是奇数 ” 的概率为： ； 故答案为： （ 2 ）画树状图得： 共有 16 种等可能的结果，两次取出小球标号的和等于 5 的情况有 4 种； 两次取出小球标号的和等于 5 的概率为： 【点睛】 此题考查了树状图法与列表法求概率的知识用到的知识点为：概率 = 所求情况数与总情况数之比 5、 （ 1 ） 55 ；（ 2 ） 【分析】 （ 1 ）连接 OC ，如图，利用切线的性质得到 OC CD ，则判断 OC AE ，所以 DAC = OCA ，然后利用 OCA = OAC 得到 OAB 的度数，即可求解； （ 2 ）利用（ 1 ）的结论先求得 AEO EAO 70 ，再平行线的性质求得 COE =70 ，然后利用弧长公式求解即可 【详解】 解：（ 1 ）连接 OC ，如图， CD 是 O 的切线， OC CD ， AE CD ， OC AE ， DAC = OCA ， OA = OC ， CAD =35 ， OAC = OCA = CAD =35 ， AB 为 O 的直径， ACB =90 ， B =90- OAC =55 ； （ 2 ）连接 OE ， OC ，如图， 由（ 1 ）得 EAO = OAC + CAD =70 ， OA = OE ， AEO EAO 70 ， OC AE ， COE = AEO =70 ， AB =2 ，则 OC = OE =1 ， 的长为 【点睛】 本题考查了切线的性质，圆周角定理，弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线 6、 （ 1 ） A 商场 y 关于 x 的函数解析式： ； B 商场 y 关于 x 的函数解析式： ； （ 2 ）当 时，去 B 超市更省钱；当 时，去 A 、 B 超市一样省钱；当 时，去 A 超市更省钱 【分析】 （ 1 ）利用促销方式，分别写出 A 、 B 两商场促销活动的情况，注意需要写出分段函数 ; （ 2 ）小刚一次购物的商品原价超过 200 元 , 则可以确定 B 的函数解析式，再分段求出 A 函数的解析式，比较两函数值即可，注意分段讨论 【详解】 解：（ 1 ） A 商场 y 关于 x 的函数解析式： ，即： ； B 商场 y 关于 x 的函数解析式： ，即： ； （ 2 ） 小刚一次购物的商品原价超过 200 元 当 时， ， 令 ， ， 所以，当 时，即 ，去 B 超市更省钱； 当 时， ， 令 ， ， 所以，当 时，即 ，此时去 A 、 B 超市一样省钱； 当 时，即 ，去 B 超市更省钱； 当 时，即 ，去 A 超市更省钱； 综上所述，当 时，去 B 超市更省钱；当 时，去 A 、 B 超市一样省钱；当 时，去 A 超市更省钱 【点睛】 本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解两家商场的让利方法是解题的关键，要注意 B 商场根据商品原价的取值范围分情况讨论 7、 (1) (2) DG / CF 理由见解析 (3) 【分析】 (1) 作辅助线 BF ，用垂直平分线的性质，推导边相等、角相等再用三角形内角和为 算出 (2) 作辅助线 BF 、 AC ，先导角证明 是等腰直角三角形、 是等腰直角三角形再证明 、 ，最后用内错角相等，两直线平行，证得 DG / CF (3) 为等腰三角形，要分三种情况讨论： FH=BH BF=FH BF=BH ，根据题目具体条件，舍掉了 、 种，第 种用正弦函数定义求出比值即可 【详解】 (1) 解：连接 BF ，设 AF 和 BE 相交于点 N 点 A 关于直线 BE 的对称点为点 F BE 是 AF 的垂直平分线 ， AB=BF 四边形 ABCD 是正方形 AB=BC ， (2) 位置关系：平行 理由：连接 BF ， AC ， DG 设 DC 和 FG 的交点为点 M ， AF 和 BE 相交于点 N 由 (1) 可知， 是等腰直角三角形 四边形 ABCD 是正方形 是等腰直角三角形 垂直平分 AF 在 和 中， 在 和 中， CF / DG (3) 为等腰三角形有三种情况： FH=BH BF=FH BF=BH ，要分三种情况讨论： 当 FH=BH 时，作 于点 M 由 (1) 可知： AB=BF ， 四边形 ABCD 是正方形 设 AB=BF=BC=a 将 绕点 B 顺时针旋转 得到 FH=BH 是等腰三角形， 在 和 中， BM=AE = 当 BF=FH 时， 设 FH 与 BC 交点为 O 绕点 B 顺时针旋转 得到 由 (1) 可知： 此时， 与 重合，与题目不符，故舍去 当 BF=BH 时， 由 (1) 可知： AB=BF 设 AB=BF=a 四边形 ABCD 是正方形 AB=BC=a BF=BH BF=BH=BC=a 而题目中， BC 、 BH 分别为直角三角形 BCH 的直角边和斜边，不能相等，与题目不符，故舍去 故答案为： 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理 ( 三角形内角和为 ) 、平行线证明 ( 内错角相等，两直线平行 ) 、相似三角形证明 ( 两组对应角分别相等的两个三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 ) 、等腰直角三角形三边比例关系 ( ) 、正弦函数定义式 ( 对边：斜边 ) 8、 （ 1 ）函数 y = x +2 没有 “ 等值点 ” ； 函数 的 “ 等值点 ” 为 (0 ， 0) ， (2 ， 2) ；（ 2 ） 或 ；（ 3 ） 或 【分析】 （ 1 ）根据定义分别求解即可求得答案； （ 2 ）根据定义分别求 A ( ， ) ， B ( ， ) ，利用三角形面积公式列出方程求解即可； （ 3 ）由记函数 y = x 2 -2 （ x m ）的图象为 W 1 ，将 W 1 沿 x = m 翻折后得到的函数图象记为 W 2 ，可得 W 1 与 W 2 的图象关于 x = m 对称，然后根据定义分类讨论即可求得答案 【详解】 解：（ 1 ） 函数 y = x +2 ，令 y = x ，则 x +2= x ，无解， 函数 y = x +2 没有 “ 等值点 ” ； 函数 ，令 y = x ，则 ，即 ， 解得： ， 函数 的 “ 等值点 ” 为 (0 ， 0) ， (2 ， 2) ； （ 2 ） 函数 ，令 y = x ，则 ， 解得： ( 负值已舍 ) ， 函数 的 “ 等值点 ” 为 A ( ， ) ； 函数 ，令 y = x ，则 ， 解得： ， 函数 的 “ 等值点 ” 为 B ( ， ) ； 的面积为 ， 即 ， 解得： 或 ； （ 3 ）将 W 1 沿 x = m 翻折后得到的函数图象记为 W 2 W 1 与 W 2 两部分组成的函数 W 的图象关于 对称， 函数 W 的解析式为 ， 令 y = x ，则 ，即 ， 解得： ， 函数 的 “ 等值点 ” 为 (-1 ， -1) ， (2 ， 2) ； 令 y = x ，则 ，即 ， 当 时，函数 W 的图象不存在恰有 2 个 “ 等值点 ” 的情况； 当 时，观察图象，恰有 2 个 “ 等值点 ” ； 当 时， W 1 的图象上恰有 2 个 “ 等值点 ”(-1 ， -1) ， (2 ， 2) ， 函数 W 2 没有 “ 等值点 ” ， ， 整理得： ， 解得： 综上， m 的取值范围为 或 【点睛】 本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件 三、填空题1、 . 【分析】 根据平方差公式分解即可 . 【详解】 解： . 故答案为 . 【点睛】 本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握分解因式的方法是关键 . 2、 【分析】 先求出正 n 边形的内角和，再根据正五边形的每个内角都相等，进而求出其中一个内角的度数 【详解】 解： 正多边形的内角和为 ， 正五边形的内角和是 ， 则每个内角的度数是 故答案为： 【点睛】 此题主要考查了多边形内角和，解题的关键是熟练掌握基本知识 3、 【分析】 利用圆锥的底面半径为 1 ，母线长为 2 ，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可 【详解】 解：依题意知母线长 =2 ，底面半径 r =1 ， 则由圆锥的侧面积公式得 S = rl = 12=2 故答案为： 2 【点睛】 此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键 4、 52 【分析】 根据表格中的数据，依据时间与温度的变化规律，即可用时间 t 的式子表示此时的温度 T ，利用一次函数的性质即可解决 【详解】 解：设时间为 t 分钟，此时的温度为 T ， 由表格中的数据可得， 每 5 分钟，升高 15 ，故规律是每过 1 分钟，温度升高 3 ， 函数关系式是 T =3 t +10 ； 则第 14 分钟时，即 t =14 时， T =3 14+10=52 ， 故答案为： 52 【点睛】 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答 5、 【分析】 先作 PC AB 于点 C ，然后利用勾股定理进行求解即可 【详解】 解：如图，作 PC AB 于点 C ， 在 Rt APC 中， AP =50 海里， APC =90-60=30 ， 海里， 海里， 在 Rt PCB 中， PC= 海里， BPC =90-45=45 ， PC = BC = 海里， 海里， 故答案为： 【点睛】 此题主要考查了勾股定理的应用 - 方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为用勾股定理解决问题，解决的方法就是作高线 6、 3 【分析】 先根据一元二次方程的解的定义得到 m 2 +3 m -1=0 ，则 3 m -1=- m 2 ，根据根与系数的关系得出 m + n =-3 ，再将其代入整理后的代数式计算即可 【详解】 解： m 是一元二次方程 x 2 +3 x -1=0 的根， m 2 +3 m -1=0 ， 3 m -1=- m 2 ， m 、 n 是一元二次方程 x 2 +3 x -1=0 的两个根， m + n =-3 ， ， 故答案为： 3 【点睛】 本题考查了根与系数的关系：若 x 1 ， x 2 是一元二次方程 ( ) 的两根时， ， 也考查了一元二次方程的解 7、 【分析】 由已知得到点 P 的坐标为 ( ， ) ，求得 PO = ，利用二次函数的性质求解即可 【详解】 解： ， ，则 ， 点 P 的坐标为 ( ， ) ， PO = ， ， 当 时，有最小值， 且最小值为 ， PO 的最小值为 故答案为： 【点睛】 本题考查了点的坐标，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键 8、 【分析】 连接 AE ，过作 AF AB ，延长 EC 交 AF 于点 F ，过 E 作 EG BC 于点 G ，设 AC = BC = a ，求出 AF = CF = ，由勾股定理求出 CE ，再由勾股定理求出 BE 的长即可得到结论 【详解】 解：连接 AE ，过作 AF AB ，延长 EC 交 AF 于点 F ，过 E 作 EG BC 于点 G ，如图， 设 AC = BC = a ， ， ， 设 CE = x ，则 FE = 在 Rt AFE 中， 解得， ， （不符合题意，舍去） 在 Rt BGE 中， 故答案为： 【点睛】 此题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理与圆的基本概念等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答此题的关键