上海师范大学第二附属中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题.docx

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

绝密★启用前
上海师范大学第二附属中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分

注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明

评卷人
得分

一、单选题
1．以下说法正确的是（ ）
A．各侧面都是矩形的棱柱是长方体
B．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱
C．各侧面都是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥
D．底面四条边相等的直棱柱是正四棱柱
2．已知异面直线a、b所成角为，P为空间一定点，则过P点且与a、b所成角都是的直线有且仅有（ ）条．
A．2 B．3 C．4 D．6
3．古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，若圆柱的表面积是6π现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为（ ）

A． B． C．π D．
4．如图，正四棱柱满足，点E在线段上移动，F点在线段上移动，并且满足.则下列结论中正确的是（ ）

A．直线与直线可能异面
B．直线与直线所成角随着E点位置的变化而变化
C．三角形可能是钝角三角形
D．四棱锥的体积保持不变

第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明

评卷人
得分

二、填空题
5．“点在平面上”，用集合语言表示可写为________.
6．正方体的12条棱中，与AB异面的棱有________条．
7．若直线平面，直线在平面内，则直线与的位置关系为___________.
8．在长方体中，，，，那么到平面的距离为______.
9．在棱长为1的正方体中，异面直线与所成的角_____.
10．已知球的表面积是，则该球的体积为________.
11．圆锥的底面积和侧面积分别为和，则该圆锥母线与底面所成角为___________.（用反三角表示）
12．在四面体中，，，、分别是、的中点，且，则与所成角的大小是________.

13．已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且它们的长度分别为1，1，，则此三棱锥的高为_________．
14．已知长度为10cm的线段与平面相交，且线段两端到平面的距离分别为和，则此线段在平面上的射影长为___________.
15．如图所示五面体的形状就是《九章算术》中所述“羡除”其中，“羡除”形似“楔体”．“广”是指“羡除”的三条平行侧棱之长a，b，c、“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离m、“袤”是指这两条侧棱所在平行直线之间的距离n．已知，则此“羡除”的体积为____________．

16．在棱长为的正方体中，分别是棱上的动点，且，则三棱锥的体积的最大值为_______．

评卷人
得分

三、解答题
17．在直三棱柱中，，.

（1）求异面直线与所成的角的大小；
（2）求直线与平面所成角.
18．如图所示，在正三棱锥中，为棱的中点.

（1）求证：；
（2）若，且点到底面的距离为，求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）.
19．某企业要设计一款由同底等高的圆柱和圆锥组成的油罐（如图），设计要求：圆锥和圆柱的总高度与圆柱的底面半径相等，均为10m.

（1）已知制作这种油罐的材料单价为1万元/m2，则制作一个油罐所需费用为多少万元？（取3.14，结果精确到0.01万元）
（2）已知该油罐的储油量为0.95吨/m3，则一个油罐可储存多少吨油？（取3.14，结果精确到0.01吨）
20．如图，已知点在圆柱的底面圆上，，圆的直径，圆柱的高.

（1）求点到平面的距离；
（2）求二面角的余弦值大小.
21．如图，长方体中中，，点P为面的对角线上的动点（不包括端点），PN⊥BD于N.

（1）若点P是的中点，求线段PN的长度；
（2）设，将PN表示为的函数，并写出定义域；
（3）当PN最小时，求直线PN与平面ABCD所成角的大小.

试卷第5页，共5页
参考答案
1．B
【分析】
举反例如直三棱柱判断选项A；由线面垂直的判定定理可判断B；举反例判断选项C，D；即可得正确选项.
【详解】
对于A：直棱柱的侧面都是矩形，但不一定是长方体，如直三棱柱，故选项A不正确；
对于B：

如图假设四棱柱中，侧面和都是矩形，则，，因为，面，面，所以面，因为棱柱的侧棱都是平行的，所以是直四棱柱，故选项B正确；
对于C：

如图，将菱形的对角线的交点上拉可得如图四棱柱，各侧面都是全等的等腰三角形，但底面是菱形，故不是正四棱柱，故选项C不正确；
对于D：底面是菱形的直棱柱，满足底面四条边相等，但不是正四棱柱，故选项D不正确；
故选：B.
2．B
【分析】
在空间取一点，经过点P分别作，分析直线满足它的射影在所成角的平分线上时的情况可得出答案.
【详解】
在空间取一点，经过点P分别作，
设直线确定平面，
当直线满足它的射影在所成角的平分线上时，与所成的角等于与所成的角，
因为直线a、b所成角为，得所成锐角为，
所以当直线的射影在所成锐角的平分线上时，与所成角的范围是，
这种情况下，过P点有2条直线与a、b所成角都是；
当直线的射影在所成钝角的平分线上时，与所成角的范围是，
这种情况下，过P点有且仅有1条直线（即时）与a、b所成角都是；
综上所述，过P点且与a、b所成角都是的直线有3条.
故选：B.

3．B
【分析】
设出球的半径，然后根据球的表面积公式求得半径，根据体积相减即可求得结果.
【详解】
解：设球的半径为r，则由题意可得球的表面积为，
所以r＝1，所以圆柱的底面半径为1，高为2，
所以最多可以注入的水的体积为.
故选：B.
【点睛】
本题考查圆柱的内接球，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
4．D
【分析】
如图所示，连接有关线段.设M,N为AC,A1C1的中点，MN的中点为O,可得AC1与EF都是以O为中点，由此可判定A错误；利用线面垂直可以得到，从而否定B；利用勾股定理和三角形锐角钝角的判定条件计算可以判定△AEF为锐角三角形，从而否定;利用体积转化，分解方法，结合线面平行的性质可以判定.
【详解】
如图所示，连接有关线段.

设M,N为AC,A1C1的中点，即为上下底面的中心，
MN的中点为O,则AC1的中点也是O,
又∵DE=B1F,由对称性可得O也是EF的中点，
所以AC1与EF交于点O,故不是异面直线，故A错误；
由正四棱柱的性质结合线面垂直的判定定理易得平面，
因为平面，∴故B错误；
设,则,设,
易得

因为
为锐角；
因为
为锐角，
因为
当时取得最小值为
为锐角，故△AEF为锐角三角形，故C错误；
三棱锥A-EFC也可以看做F-AOC和E-AOC的组合体，
由于△AOB是固定的，E,F到平面AOC的距离是不变的
(∵易知BB1，DD1平行与平面ACC1A1)，故体积不变，
故D正确.
故选：D.
【点睛】
本题综合考查空间的线线角，几何体体积问题，涉及利用勾股定理判定三角形内角是锐角问题(在△中，，当固定变短时，满足可得到为锐角）.关键是利用计算证明时要仔细计算，严格论证，解决体积问题时，要灵活地进行体积转化与分割.
5．
【分析】
点是元素，平面是集合，由集合元素与集合的关系表示即可.
【详解】
由于点是元素，平面是集合，所以由题意知，
故答案：
6．4
【分析】
根据异面直线的概念及几何图形判断可得；
【详解】
解：如图所示，在正方体的12条棱中与异面的直线有、、、共4条；
故答案为：4

7．平行或异面
【分析】
由直线平面，直线在平面内，知，或与异面．
【详解】
解：直线平面，直线在平面内，
则直线与平面内任意直线无交点，
，或与异面.
故答案为：平行或异面.
8．4
【分析】
由题可分析即为到平面的距离.
【详解】
在长方体中，平面，故点到平面的距离即为到平面的距离，
因为平面，且，所以到平面的距离为为4.
故答案为：4.
9．
【分析】
连接，可证明，进而可得或其补角即为异面直线与所成的角，在中求即可求解.
【详解】

连接，因为，，所以四边形是平行四边形，
所以，
所以或其补角即为异面直线与所成的角，
连接，由正方体的棱长为可得，
所以，
所以异面直线与所成的角为，
故答案为：
10．
【分析】
设球的半径为r，代入表面积公式，可解得，代入体积公式，即可得答案.
【详解】
设球的半径为r，则表面积，
解得，
所以体积，
故答案为：
【点睛】
本题考查已知球的表面积求体积，关键是求出半径，再进行求解，考查基础知识掌握程度，属基础题.
11．
【分析】
圆锥的底面积和侧面积分别为和，由此得到底面半径和母线的比值，从而能求出该圆锥的母线与底面所成的角．
【详解】
解：∵圆锥的底面积和侧面积分别为和，
设底面圆的半径为，母线长为，该圆锥母线与底面所成角为
，
∴该圆锥的母线与底面所成角的余弦值：．
则
故答案为：．
12．
【分析】
取中点为，连接，，根据题中条件，由异面直线所成角的概念，得到即为异面直线与所成的角，或所成角的补角，结合题中数据求解，即可得出结果.
【详解】
取中点为，连接，，
因为、分别是、的中点，
所以，，
则即为异面直线与所成的角，或所成角的补角，
又，，，
则，，
因此，则，所以.

故答案为：.
13．
【分析】
将图形还原为长方体，进而通过等积法得到答案.
【详解】
如图1，将三棱锥P-ABC还原为长方体PADB-CQRS，

由题意可知，，
设P到平面ABC的距离为d，如图2，M为BA中点，则CM⊥BA，

由勾股定理可知，，所以，
所以，由.
故答案为：.
14．.
【分析】
由线段与平面相交，可得线段的两端点在平面的两侧，如图，设线段与平面交于点O，作，则线段即为线段AB在平面上的射影，根据与相似，可得，，从而可得答案.
【详解】
解：因为线段与平面相交，所以线段的两端点在平面的两侧，
如图，设线段与平面交于点O，作，
则，，
则三点共线，且线段即为线段AB在平面上的射影，
因为，则与相似，
则有，即，，
又，所以，
所以，，
所以，
所以此线段在平面上的射影长为.
故答案为：.

15．4
【分析】
将该几何体分成一个三棱柱与一个四棱锥即可求得.
【详解】
如图1，将该几何体分成一个三棱柱与一个四棱锥,

,
如图2，将三棱柱进行割补，使得新三棱柱是高为1的直三棱柱

．
∴几何体的体积为4.
故答案为：4.
16．
【分析】
设.根据体积的表达式，只需求出的最大值，建立，利用二次函数求出最大值，即可求解.
【详解】
设.
因为，
所以当取得最大值时,三棱锥的体积取得最大值.
因为,
所以当时,即E,F分别是棱AB,BC的中点时,三棱锥的体积取得最大值 ，
此时.
故答案为：
17．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据异面直线所成角的概念，结合题中条件，得到即为异面直线所成角，进而可求出结果；
（2）根据直棱柱的特征，结合线面角的概念，得到即为所求线面角，进而可求出结果.
【详解】
（1）因为在直三棱柱中，，
所以即为异面直线与所成的角，
又，，
所以为等腰直角三角形，因此；
（2）在直三棱柱中，侧棱和底面垂直，即平面；
连接，则即为直线与平面所成角，
又，
则，
因此，
所以直线与平面所成角为.

18．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）证得平面，结合线面垂直得性质定理即可证出结论；
（2）因此为二面角的平面角，在在中，直接求正切值即可求出结果.
【详解】

（1）证明∶连接，正三棱锥中，，为中点，则，等边三角形中，为中点，则，且，
因此平面，又因为平面，因此.
（2）由于，，
因此为二面角的平面角，过作平面于，则为等边三角形的重心，连接，由已知得，则，
在中，，
由图可知二面角的平面角为锐角，因此二面角的大小为.
19．（1）979.56万元；（2）1989.68吨.
【分析】
由题意知，求得圆柱和圆锥的高以及圆锥的母线长；
（1）求得组合体的表面积，从而求得造价；
（2）求得组合体体积，从而求得储油量.
【详解】
由题意知，圆柱和圆锥的底面半径，圆柱和圆锥的高均为；
则圆锥的母线长，
（1）由上知，组合体的表面积为：
，
则总造价为万元；
（2）组合体的体积为：，
又储油量为吨/，则一个油罐可以储存油量为：吨
20．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据等体积法，由即可求出点到平面的距离；
（2）先证明，，由线面垂直的判定定理可得面，进而可得即为所求二面角的平面角，在中，计算即可求解.
【详解】
（1）因为，，
所以，
在中，由余弦定理可得：，
所以，，
在中，由余弦定理可得，
所，
所以，
设点到平面的距离为，
由，得，
即，
解得：，
所以点到平面的距离为；
（2）二面角即二面角，
因为是圆的直径，点在圆柱的底面圆上，所以，
因为面，面，可得，
因为，所以面，
因为面，面，所以，，
所以即为二面角的平面角，
在中，，，
所以，
所以二面角的余弦值为.
21．（1）；（2）；（3）.
【分析】
(1)过点P作PM//DD1交AD于M，连MN，证明BD⊥MN，P为AD1中点，求出PM，MN长即可得解；
(2)利用(1)中信息，用x表示出PM，MN长即可得解；
(3)探求出直线PN与平面ABCD所成角，求出(2)中函数最小值即可计算作答.
【详解】
(1)在长方体中中，过点P作PM//DD1交AD于M，连MN，如图所示：

因平面，则平面，而平面，则，
因PN⊥BD，，且平面PMN，则有平面PMN，又平面PMN，于是得，
点P是的中点时，因，则M是AD中点，，
显然底面ABCD是正方形，则有，在直角三角形PMN中，，
所以线段PN的长度是；
(2)当时，，，由(1)知，
则，
在直角三角形PMN中，，
因，即，
所以，
(3)由(1)知，是直线PN与平面ABCD所成的角，由(2)知，，
当且仅当时，PN取最小值，此时，，，
所以当PN最小时，直线PN与平面ABCD所成角的大小为.
答案第15页，共16页