上海师范大学第二附属中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题.docx

内装订线学校:_姓名：_班级：_考号：_外装订线绝密启用前上海师范大学第二附属中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三总分得分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、单选题1以下说法正确的是（ ）A各侧面都是矩形的棱柱是长方体B有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱C各侧面都是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥D底面四条边相等的直棱柱是正四棱柱2已知异面直线a、b所成角为，P为空间一定点，则过P点且与a、b所成角都是的直线有且仅有（ ）条A2B3C4D63古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，若圆柱的表面积是6现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为（ ）ABCD4如图，正四棱柱满足，点E在线段上移动，F点在线段上移动，并且满足.则下列结论中正确的是（ ）A直线与直线可能异面B直线与直线所成角随着E点位置的变化而变化C三角形可能是钝角三角形D四棱锥的体积保持不变第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题5“点在平面上”，用集合语言表示可写为_.6正方体的12条棱中，与AB异面的棱有_条7若直线平面，直线在平面内，则直线与的位置关系为_.8在长方体中，那么到平面的距离为_.9在棱长为1的正方体中，异面直线与所成的角_.10已知球的表面积是，则该球的体积为_.11圆锥的底面积和侧面积分别为和，则该圆锥母线与底面所成角为_.（用反三角表示）12在四面体中，、分别是、的中点，且，则与所成角的大小是_.13已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且它们的长度分别为1，1，则此三棱锥的高为_14已知长度为10cm的线段与平面相交，且线段两端到平面的距离分别为和，则此线段在平面上的射影长为_.15如图所示五面体的形状就是九章算术中所述“羡除”其中，“羡除”形似“楔体”“广”是指“羡除”的三条平行侧棱之长a，b，c、“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离m、“袤”是指这两条侧棱所在平行直线之间的距离n已知，则此“羡除”的体积为_16在棱长为的正方体中，分别是棱上的动点，且，则三棱锥的体积的最大值为_评卷人得分三、解答题17在直三棱柱中，.（1）求异面直线与所成的角的大小；（2）求直线与平面所成角.18如图所示，在正三棱锥中，为棱的中点.（1）求证：；（2）若，且点到底面的距离为，求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）.19某企业要设计一款由同底等高的圆柱和圆锥组成的油罐（如图），设计要求：圆锥和圆柱的总高度与圆柱的底面半径相等，均为10m.（1）已知制作这种油罐的材料单价为1万元/m2，则制作一个油罐所需费用为多少万元？（取3.14，结果精确到0.01万元）（2）已知该油罐的储油量为0.95吨/m3，则一个油罐可储存多少吨油？（取3.14，结果精确到0.01吨）20如图，已知点在圆柱的底面圆上，圆的直径，圆柱的高.（1）求点到平面的距离；（2）求二面角的余弦值大小.21如图，长方体中中，点P为面的对角线上的动点（不包括端点），PNBD于N.（1）若点P是的中点，求线段PN的长度；（2）设，将PN表示为的函数，并写出定义域；（3）当PN最小时，求直线PN与平面ABCD所成角的大小.试卷第5页，共5页参考答案1B【分析】举反例如直三棱柱判断选项A；由线面垂直的判定定理可判断B；举反例判断选项C，D；即可得正确选项.【详解】对于A：直棱柱的侧面都是矩形，但不一定是长方体，如直三棱柱，故选项A不正确；对于B：如图假设四棱柱中，侧面和都是矩形，则，因为，面，面，所以面，因为棱柱的侧棱都是平行的，所以是直四棱柱，故选项B正确；对于C： 如图，将菱形的对角线的交点上拉可得如图四棱柱，各侧面都是全等的等腰三角形，但底面是菱形，故不是正四棱柱，故选项C不正确；对于D：底面是菱形的直棱柱，满足底面四条边相等，但不是正四棱柱，故选项D不正确；故选：B.2B【分析】在空间取一点，经过点P分别作，分析直线满足它的射影在所成角的平分线上时的情况可得出答案.【详解】在空间取一点，经过点P分别作，设直线确定平面，当直线满足它的射影在所成角的平分线上时，与所成的角等于与所成的角，因为直线a、b所成角为，得所成锐角为，所以当直线的射影在所成锐角的平分线上时，与所成角的范围是，这种情况下，过P点有2条直线与a、b所成角都是；当直线的射影在所成钝角的平分线上时，与所成角的范围是，这种情况下，过P点有且仅有1条直线（即时）与a、b所成角都是；综上所述，过P点且与a、b所成角都是的直线有3条.故选：B.3B【分析】设出球的半径，然后根据球的表面积公式求得半径，根据体积相减即可求得结果.【详解】解：设球的半径为r，则由题意可得球的表面积为，所以r1，所以圆柱的底面半径为1，高为2，所以最多可以注入的水的体积为.故选：B.【点睛】本题考查圆柱的内接球，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力4D【分析】如图所示，连接有关线段.设M,N为AC,A1C1的中点，MN的中点为O,可得AC1与EF都是以O为中点，由此可判定A错误；利用线面垂直可以得到，从而否定B；利用勾股定理和三角形锐角钝角的判定条件计算可以判定AEF为锐角三角形，从而否定;利用体积转化，分解方法，结合线面平行的性质可以判定.【详解】如图所示，连接有关线段.设M,N为AC,A1C1的中点，即为上下底面的中心，MN的中点为O,则AC1的中点也是O,又DE=B1F,由对称性可得O也是EF的中点，所以AC1与EF交于点O,故不是异面直线，故A错误；由正四棱柱的性质结合线面垂直的判定定理易得平面，因为平面，故B错误；设,则,设,易得 因为 为锐角；因为 为锐角，因为当时取得最小值为为锐角，故AEF为锐角三角形，故C错误；三棱锥A-EFC也可以看做F-AOC和E-AOC的组合体，由于AOB是固定的，E,F到平面AOC的距离是不变的(易知BB1，DD1平行与平面ACC1A1)，故体积不变，故D正确.故选：D.【点睛】本题综合考查空间的线线角，几何体体积问题，涉及利用勾股定理判定三角形内角是锐角问题(在中，当固定变短时，满足可得到为锐角）.关键是利用计算证明时要仔细计算，严格论证，解决体积问题时，要灵活地进行体积转化与分割.5【分析】点是元素，平面是集合，由集合元素与集合的关系表示即可.【详解】由于点是元素，平面是集合，所以由题意知， 故答案：64【分析】根据异面直线的概念及几何图形判断可得；【详解】解：如图所示，在正方体的12条棱中与异面的直线有、共4条；故答案为：47平行或异面【分析】由直线平面，直线在平面内，知，或与异面【详解】解：直线平面，直线在平面内，则直线与平面内任意直线无交点，或与异面.故答案为：平行或异面.84【分析】由题可分析即为到平面的距离.【详解】在长方体中，平面，故点到平面的距离即为到平面的距离，因为平面，且，所以到平面的距离为为4.故答案为：4.9【分析】连接，可证明，进而可得或其补角即为异面直线与所成的角，在中求即可求解.【详解】连接，因为，所以四边形是平行四边形，所以，所以或其补角即为异面直线与所成的角，连接，由正方体的棱长为可得，所以，所以异面直线与所成的角为，故答案为：10【分析】设球的半径为r，代入表面积公式，可解得，代入体积公式，即可得答案.【详解】设球的半径为r，则表面积，解得，所以体积，故答案为：【点睛】本题考查已知球的表面积求体积，关键是求出半径，再进行求解，考查基础知识掌握程度，属基础题.11【分析】圆锥的底面积和侧面积分别为和，由此得到底面半径和母线的比值，从而能求出该圆锥的母线与底面所成的角【详解】解：圆锥的底面积和侧面积分别为和，设底面圆的半径为，母线长为，该圆锥母线与底面所成角为，该圆锥的母线与底面所成角的余弦值：则故答案为：12【分析】取中点为，连接，根据题中条件，由异面直线所成角的概念，得到即为异面直线与所成的角，或所成角的补角，结合题中数据求解，即可得出结果.【详解】取中点为，连接，因为、分别是、的中点，所以，则即为异面直线与所成的角，或所成角的补角，又，则，因此，则，所以.故答案为：.13【分析】将图形还原为长方体，进而通过等积法得到答案.【详解】如图1，将三棱锥P-ABC还原为长方体PADB-CQRS，由题意可知，设P到平面ABC的距离为d，如图2，M为BA中点，则CMBA，由勾股定理可知，所以，所以，由.故答案为：.14.【分析】由线段与平面相交，可得线段的两端点在平面的两侧，如图，设线段与平面交于点O，作，则线段即为线段AB在平面上的射影，根据与相似，可得，从而可得答案.【详解】解：因为线段与平面相交，所以线段的两端点在平面的两侧，如图，设线段与平面交于点O，作，则，则三点共线，且线段即为线段AB在平面上的射影，因为，则与相似，则有，即，又，所以，所以，所以，所以此线段在平面上的射影长为.故答案为：.154【分析】将该几何体分成一个三棱柱与一个四棱锥即可求得.【详解】如图1，将该几何体分成一个三棱柱与一个四棱锥,如图2，将三棱柱进行割补，使得新三棱柱是高为1的直三棱柱几何体的体积为4.故答案为：4.16【分析】设.根据体积的表达式，只需求出的最大值，建立，利用二次函数求出最大值，即可求解.【详解】设.因为，所以当取得最大值时,三棱锥的体积取得最大值.因为,所以当时,即E,F分别是棱AB,BC的中点时,三棱锥的体积取得最大值 ，此时.故答案为：17（1）；（2）.【分析】（1）根据异面直线所成角的概念，结合题中条件，得到即为异面直线所成角，进而可求出结果；（2）根据直棱柱的特征，结合线面角的概念，得到即为所求线面角，进而可求出结果.【详解】（1）因为在直三棱柱中，所以即为异面直线与所成的角，又，所以为等腰直角三角形，因此；（2）在直三棱柱中，侧棱和底面垂直，即平面；连接，则即为直线与平面所成角，又，则，因此，所以直线与平面所成角为.18（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）证得平面，结合线面垂直得性质定理即可证出结论；（2）因此为二面角的平面角，在在中，直接求正切值即可求出结果.【详解】（1）证明连接，正三棱锥中，为中点，则，等边三角形中，为中点，则，且，因此平面，又因为平面，因此.（2）由于，因此为二面角的平面角，过作平面于，则为等边三角形的重心，连接，由已知得，则，在中，由图可知二面角的平面角为锐角，因此二面角的大小为.19（1）979.56万元；（2）1989.68吨.【分析】由题意知，求得圆柱和圆锥的高以及圆锥的母线长；（1）求得组合体的表面积，从而求得造价；（2）求得组合体体积，从而求得储油量.【详解】由题意知，圆柱和圆锥的底面半径，圆柱和圆锥的高均为；则圆锥的母线长，（1）由上知，组合体的表面积为：，则总造价为万元；（2）组合体的体积为：，又储油量为吨/，则一个油罐可以储存油量为：吨20（1）；（2）.【分析】（1）根据等体积法，由即可求出点到平面的距离；（2）先证明，由线面垂直的判定定理可得面，进而可得即为所求二面角的平面角，在中，计算即可求解.【详解】（1）因为，所以，在中，由余弦定理可得：，所以，在中，由余弦定理可得，所，所以，设点到平面的距离为，由，得，即，解得：，所以点到平面的距离为；（2）二面角即二面角，因为是圆的直径，点在圆柱的底面圆上，所以，因为面，面，可得，因为，所以面，因为面，面，所以，所以即为二面角的平面角，在中，所以，所以二面角的余弦值为.21（1）；（2）；（3）.【分析】(1)过点P作PM/DD1交AD于M，连MN，证明BDMN，P为AD1中点，求出PM，MN长即可得解；(2)利用(1)中信息，用x表示出PM，MN长即可得解；(3)探求出直线PN与平面ABCD所成角，求出(2)中函数最小值即可计算作答.【详解】(1)在长方体中中，过点P作PM/DD1交AD于M，连MN，如图所示：因平面，则平面，而平面，则，因PNBD，且平面PMN，则有平面PMN，又平面PMN，于是得，点P是的中点时，因，则M是AD中点，显然底面ABCD是正方形，则有，在直角三角形PMN中，所以线段PN的长度是；(2)当时，由(1)知，则，在直角三角形PMN中，因，即，所以，(3)由(1)知，是直线PN与平面ABCD所成的角，由(2)知，当且仅当时，PN取最小值，此时，所以当PN最小时，直线PN与平面ABCD所成角的大小为.答案第15页，共16页