江苏省各中学2021-2022学年高二上学期期中数学训练试题含详解.doc

试卷主标题姓名：_ 班级：_考号：_一、选择题（共24题）1、 已知直线 l 的方程为 ，则直线的倾斜角为（ ） A B 60 C 150 D 120 2、 与 的等比中项是（ ） A B C D 3、 与椭圆 的焦点坐标相同的是（ ） A B C D 4、 已知抛物线方程为 ，则抛物线的准线方程为（ ） A B C D 5、 已知方程 表示双曲线，则 的取值范围是（ ） A B C 或 D 6、 在等差数列 中，若 ，则 的值等于（ ） A 8 B 10 C 13 D 26 7、 直线 与曲线 有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A B C D 8、 已知 是椭圆 的左焦点， 为右顶点， 是椭圆上一点， 轴，若 ，则该椭圆的离心率是（ ） A B C D 9、 若直线 的倾斜角 ，则其斜率 （ ） A B C 1 D 10、 已知向量 ， 2 ， ， ， ， ，且 ，那么 （ ） A B C D 11、 若直线 与直线 平行，则实数 （ ） A 1 B C 0 D 12、 已知三棱柱 ，点 为线段 的中点，则 （ ） A B C D 13、 在棱长为 2 的正方体 中，点 M 、 N 分别是 和 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A B C D 14、 两直线 ，则直线 关于直线 对称的直线方程为（ ） A B C D 15、 已知椭圆 上两点 ，若 的中点为 ，直线 的斜率等于 ，则直线 的斜率等于（ ） A B C D 16、 若圆 上仅有 4 个点到直线 的距离为 1 ，则实数 的取值范围为（ ） A B C D 17、 对任意的 ，方程 所表示的曲线可能为（ ） A 双曲线 B 抛物线 C 椭圆 D 圆 18、 已知 是椭圆 上一点， ， 是其左右焦点，则下列选项中正确的是（ ） A 椭圆的焦距为 2 B 椭圆的离心率 C D 的面积的最大值是 4 19、 已知 为等差数列，其前 项和 ，若 ， ，则（ ） A 公差 B C D 当且仅当 时 20、 在平面直角坐标系中，已知点 ， ，圆 ，若圆 上存在点 ，使得 ，则实数 的值可能是（ ） A B C D 21、 下列利用方向向量法向量判断线面位置关系的结论中，正确的是（ ） A 两条不重合直线 ， 的方向向量分别是 ， ，则 B 直线 l 的方向向量 ，平面 的法向量是 ，则 C 两个不同的平面 ， 的法向量分别是 ， ，则 D 直线 l 的方向向量 ，平面 的法向量是 ，则 22、 下列说法正确的是（ ） A 过 ， 两点的直线方程为 B 点 关于直线 的对称点为 C 直线 与两坐标轴围成的三角形的面积是 2 D 经过点 且在 轴和 轴上截距都相等的直线方程为 23、 已知曲线 （ ） A 若 ，则 是椭圆，其焦点在 轴上 B 若 ，则 是椭圆，其焦点在 轴上 C 若 ，则 是圆，其半径为 D 若 ， ，则 是两条直线 24、 已知四面体 的所有棱长均为 2 ，则下列结论正确的是（ ） A 异面直线 与 所成角为 B 点 A 到平面 的距离为 C D 四面体 的外接球体积为 二、填空题（共8题）1、 两平行直线 ， 之间的距离是 _. 2、 等差数列 的前 项和 ，等比数列 的前 项和 ，（其中 、 为实数）则 的值为 _. 3、 点 到直线 的距离的最大值为 _. 4、 已知双曲线 左焦点为 为双曲线右支上一点，若 的中点在以 为半径的圆上，则 的横坐标为 _. 5、 两平行线 ， 的距离是 _. 6、 若中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆的一个焦点为 ，且长轴长是短轴长的 倍，则标准方程为 _ 7、 如果实数 x ， y 满足等式 ，那么 的最大值是 _ 8、 当曲线 与直线 有两个公共点时， t 的取值范围是 _ 三、解答题（共12题）1、 已知直线 l 1 ： 3 x + y +2=0 ； l 2 ： mx +2 y + n =0 （ 1 ）若 l 1 l 2 ，求 m 的值； （ 2 ）求过点 且与直线 l 1 平行的直线的方程； 2、 已知数列 a n 为等差数列，且 a 1 a 5 -12 ， a 4 a 8 0. （ 1 ）求数列 a n 的通项公式； （ 2 ）若等比数列 b n 满足 b 1 -8 ， b 2 a 1 a 2 a 3 ，求数列 b n 的通项公式 3、 已知直线 被圆 截得的弦长为 （ 1 ）求 的值； （ 2 ）求过点（ 3 ， 5 ）与圆相切的直线的方程 4、 如图，抛物线的顶点在原点，圆 的圆心恰是抛物线的焦点 . （ 1 ）求抛物线的方程； （ 2 ）一条直线的斜率等于 2 ，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于 、 、 、 四点，求 的值 . 5、 已知数列 满足 . （ 1 ）证明 是等比数列，并求 的通项公式； （ 2 ）求数列 落入区间 的所有项的和 . 6、 已知椭圆 （ ）的离心率为 （ 1 ）点 是椭圆上异于左右顶点的任意一点， ， ，证明点 与 ， 连线的斜率的乘积为定值，并求出该定值； （ 2 ）若椭圆的短轴长为 ，直线 与椭圆交于 ， 两点，且坐标原点 在以 为直径的圆上判断坐标原点 到直线 的距离是否为定值，若是，求该定值；若不是，请说明理由 7、 求经过直线 与 交点 M ，且满足下列条件的直线的一般式方程 （ 1 ）经过点 ； （ 2 ）与直线 垂直 8、 椭圆 的长轴长等于圆 的直径，且 的离心率等于 ，已知直线 交 于 ， 两点 . （ 1 ）求 的标准方程； （ 2 ）求弦 的长 . 9、 如图，在长方体 中， ， ，点 在线段 上 （ 1 ）求异面直线 与 所成的角； （ 2 ）若二面角 的大小为 ，求点 到平面 的距离 10、 已知圆 和 （ 1 ）求证圆 和圆 相交； （ 2 ）求圆 和圆 的公共弦所在直线的方程和公共弦长； （ 3 ）求过点 且与圆 相切的直线方程 11、 如图，在直三棱柱 中， 是变长为 6 的等边三角形， D ， E 分别为 的中点 （ 1 ）证明： 平面 ； （ 2 ）若异面直线 与 所成的余弦值为 ，求 与平面 所成角的正弦值 12、 平面直角坐标系 中，已知圆 M 过坐标原点 O 且圆心在曲线 上 （ 1 ）若圆 M 分别与 x 轴、 y 轴交于点 A 、 B （不同于原点 O ），求证： 的面积为定值； （ 2 ）设直线直线： 与圆 M 交于不同的两点 C ， D ，且 ，求圆 M 的方程； （ 3 ）设直线 与（ 2 ）中所求圆 M 交于点 E 、 F ， P 为直线 上的动点，直线 ， 与圆 M 的另一个交点分别为 G ， H ，求证：直线 过定点 =参考答案=一、选择题1、 C 【分析】 由直线方程得斜率，从而可得倾斜角 【详解】 由题意直线的斜率为 ，而倾斜角大于等于 且小于 ， 故倾斜角为 故选： C 2、 C 【分析】 根据等比中项的定义可得结果 . 【详解】 与 的等比中项是 . 故选： C. 3、 A 【分析】 先确定已知椭圆的焦点在 x 轴上，求出焦点坐标，接着分别求出四个选项中曲线的焦点坐标，再与已知椭圆的焦点坐标进行比较，即可得答案 . 【详解】 椭圆 的焦点在 轴上，且 ， 所以 ，所以椭圆的焦点坐标为 . 对 A 选项，双曲线方程 ，其焦点在 x 轴上，且 ，故其焦点坐标为 ，与已知椭圆的焦点坐标相同； 对 B 选项，其焦点在 x 轴上，且 ，故其焦点坐标为 ； 对 C 选项，其焦点在 x 轴上，且 ，故其焦点坐标为 ； 对 D 选项，其焦点在 y 轴上 . 故选 A. 【点睛】 本题考查椭圆、双曲线焦点坐标的求解，主要考查两种曲线中 之间的关系 . 4、 D 【分析】 将抛物线方程化为标准形式即可求解 . 【详解】 由抛物线方程为 ，即 ， 所以其准线方程为 . 故选： D 5、 C 【分析】 双曲线的焦点可能在 x 轴，也可能在 y 轴上，分别写出两种情况下的双曲线的标准方程， 或 ，可得 或 ，解不等式可得答案 . 【详解】 当双曲线的焦点在 x 轴上，双曲线方程 ，则 解得： ； 当双曲线的焦点在 y 轴上，双曲线方程 ， 所以 解得： ； 故选 C. 【点睛】 本题考查双曲线标准方程，求解的关键在于双曲线方程标准形式的认识 . 6、 C 【分析】 根据等差数列的性质求出 ，然后根据等差数列前 项和公式 结合等差数列的性质即可求出答案 . 【详解】 因为 ，所以 ，即 ， 所以 . 故选： C. 7、 D 【分析】 根据题意直线 过定点 ，曲线 表示圆心为原点，半径为 1 的 轴上方的半圆，设直线 与半圆相切时，切点为 ，进而数形结合求解即可得答案 . 【详解】 解：根据题意，直线 过定点 ， 曲线 表示圆心为原点，半径为 1 的 轴上方的半圆， 设直线 与半圆相切时，切点为 ，如图， 在 中， ， 所以 所以直线 与曲线 有公共点时，直线的倾斜角的取值范围为 . 故选： D 8、 D 【分析】 求出 ，即可得到 的方程，解方程即可得到答案； 【详解】 将 代入椭圆方程得： ， ，且 ， ， 故选： D 9、 C 【分析】 直接求倾斜角的正切值即可得解 . 【详解】 因为直线 的倾斜角 ， 所以直线的斜率 ， 故选： 10、 A 【分析】 根据题意，设 ，即 ， ， ， 2 ， ，分析可得 、 的值，进而由向量模的计算公式计算可得答案 【详解】 解：根据题意，向量 ， 2 ， ， ， ， ，且 ， 则设 ，即 ， ， ， 2 ， ， 则有 ， 则 ， ， 则 ， ， ，故 ； 故选： 11、 B 【分析】 利用平行的判断方法计算出 的值，除去使直线重合的情况即可 . 【详解】 由两直线平行得 ，解得 又当 时，直线 与直线 重合，与题意不符 当 时，直线 与直线 平行，符合题意 故选： B. 12、 D 【分析】 根据空间向量的线性运算求解即可 【详解】 解：在三棱柱 ，点 为线段 的中点，则 ， 所以 ， 故选： D 13、 B 【分析】 先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点 ，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中利用余弦定理求出此角即可 . 【详解】 如图，将 AM 平移到 E ， NC 平移到 F ，则 E F 为直线 AM 与 CN 所成角或其补角 因为边长为 2 ，则 由余弦定理得 ， 即直线 AM 和 CN 所成角的余弦值为 故选： B. 14、 D 【分析】 求出两直线的交点，在直线 上任取一点，求出其关于 的对称点，利用点斜式求出直线方程 . 【详解】 联立方程 ，解得 ， 在直线 上任取一点 ，其关于 的对称点为 ， 则直线 关于直线 对称的直线方程为 ，即 故选： D. 15、 D 【分析】 设 ， ，把 两点坐标代入椭圆方程相减后可得 与 的关系，从而得出结论 【详解】 设 ， ， ， 则 ，两式相减得 ，整理得 ， 即 故选： D 【点睛】 方法点睛：在遇到椭圆的弦中点时，常常用点差法求解即设弦两端点为 ，弦中点 ，两端点坐标代入椭圆方程相减珀可得 与 的关系双曲线的弦中点也可这样求解 16、 A 【分析】 到已知直线的距离为 1 的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于 1 的两条直线，根据题意可得这两条平行线与 有 4 个公共点，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得 的取值范围 【详解】 解：作出到直线 的距离为 1 的点的轨迹，得到与直线 平行， 且到直线 的距离等于 1 的两条直线， 圆 的圆心为原点， 原点到直线 的距离为 ， 两条平行线中与圆心 距离较远的一条到原点的距离为 ， 又 圆 上有 4 个点到直线 的距离为 1 ， 两条平行线与圆 有 4 个公共点，即它们都与圆 相交 由此可得圆的半径 ， 即 ，实数 的取值范围是 故选： 【点睛】 本题给出已知圆上有四点到直线的距离等于半径，求参数的取值范围着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题 17、 ACD 【分析】 分别讨论 的范围求方程所表示的曲线，即可得正确选项 . 【详解】 当 时， ， ，方程可化为 ，此时为直线 ； 当 且 时， ， ，且 ，此时原方程可化为 ，此时表示椭圆； 当 时， 时， 可化简为 表示圆， 当 时， ， ，方程可化为 ，此时为直线 ； 当 时， ， ，此时原方程可化为 ，此时表示焦点在 轴上的双曲线； 当 时， ， 原方程即 ，此时轨迹不存在； 当 时， ， ，此时方程表示的轨迹不存在； 当 时， ， ，原方程即 ，此时轨迹不存在； 当 时， ， ，此时原方程可化为 ，此时表示焦点在 轴上的双曲线， 综上所述：方程 所表示的曲线可能为双曲线、椭圆、圆， 故选： ACD. 18、 BD 【分析】 根据方程求得 ，进而求得焦距，离心率，判定 AC ；根据椭圆的定义可以判定 C 错误；利用椭圆的性质可以求得 的面积的最大值，判定 D 【详解】 , , , 焦距 ， ，当 M 为短轴的端点时 的面积的取得最大值，是 , 故选： BD. 19、 ABC 【分析】 根据题意，结合等差数列前 项和 的公式和性质，一一判断即可 . 【详解】 由 ，得 ，即 . 因 ，所以 ，且 ，故选项 AB 正确； 因 ，且 ，故 时， 最大，即 ，故选项 C 正确； 由 ，得 ，即 ，故 D 错 . 故选： ABC. 20、 BCD 【分析】 设点 的坐标为 ，根据题设条件，求得 ，由圆 上存在点 ，转化为两圆相交或相切，列出不等式即可求解 . 【详解】 由圆 可得圆心 ，半径为 ， 设点 的坐标为 ， 因为 ，即 ， 整理得： ，点 的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆， 因为圆 上存在点 ，满足 ，所以两圆相交或相切， 所以 ，即 ，所以 ， 所以选项 B 、 C 、 D 正确， 故选： BCD. 21、 AC 【分析】 利用空间向量的共线向量定理和数量积运算求解判断 . 【详解】 A. 因为两条不重合直线 ， 的方向向量分别是 ， ，且 ， 共线，则 ，故正确； B. 因为直线 l 的方向向量 ，平面 的法向量是 ，且 ，则 ，故错误； C. 因为两个不同的平面 ， 的法向量分别是 ， ，且 ，则 ，故正确； D. 因为直线 l 的方向向量 ，平面 的法向量是 ，且 ，则 不平行， 故选： AC 22、 BC 【分析】 运用直线的两点式方程判断 A 的正误；利用对称知识判断 B 的正误；求出直线在两坐标轴上的截距可得到三角形的面积判断 C 的正误；利用直线的截距相等可判断 D 的正误 【详解】 对于 A ：当 ， 时，过 ， 两点的直线方程为 ，故 A 不正确； 对于 B ：点 (0,2) 与 (1,1) 的中点坐标 ， 满足直线方程 , 并且两点的斜率为： 1, 所以点 (0,2) 关于直线 y = x +1 的对称点为 (1,1) ，所以 B 正确； 对于 C ：直线 在两坐标轴上的截距分别为： 2,2, 直线 与坐标轴围成的三角形的面积是 ，所以 C 正确； 对于 D ：经过点 (1,1) 且在 x 轴和 y 轴上截距都相等的直线方程为 x + y 2=0 或 y = x ，所以 D 不正确； 故选： BC. 【点睛】 本题考查直线的方程，直线与坐标轴的截距，点关于直线的对称点，注意在考虑截距相等的时候，不漏掉截距为 的情况，属于基础题 23、 AD 【分析】 结合选项进行逐项分析求解， 时表示椭圆， 时表示圆， 时表示两条直线 . 【详解】 对于 A ，若 ，则 可化为 ，因为 ，所以 ，即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，故 A 正确，故 B 错误； 对于 C ，若 ，则 可化为 ，此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，故 C 不正确； 对于 D ，若 ，则 可化为 ， ，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，故 D 正确； 故选： AD. 【点睛】 本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养 . 24、 BCD 【分析】 由题意画出图形，证明 AC BD ，可知 A 错误，同理得到 C 正确；直接求出 A 到底面 的距离判断 B ；求出正四面体外接球的半径，进一步求得外接球的体积判断 D 【详解】 如图， 由题意，四面体 ABCD 为正四面体，取底面 BCD 的中心为 G ，连接 CG 并延长，交 BD 于 E ， 则 E 为 BD 的中点，且 CE BD ，连接 AG ，则 AG 底面 BCD ，得 AG BD ， 又 AG CE G ， BD 平面 ACG ，则 AC BD ，故 A 错误；同理 ，故 C 正确； 由四面体的所有棱长为 2 ，可得 ，又 AC 2 ， ，即点 A 到平面 BCD 的距离为 ，故 B 正确； 设四面体 ABCD 的外接球的球心为 O ，半径为 R ，连接 OC ， 则 ， 解得 ，则四面体 ABCD 的外接球体积为 ，故 D 正确； 故选： BCD 二、填空题1、 【分析】 根据两直线平行的条件求出 的值，然后利用两平行线间的距离公式求出答案即可 . 【详解】 因为 ，所以 ，解得 ， 所以 ，即 ， 所以两平行线间的距离为 . 故答案为： . 2、 【分析】 根据前 项和与通项的关系求出数列 、 的通项公式，可求得 、 的值，即可得解 . 【详解】 当 时， ， . 当 时， ， ， 因为数列 为等差数列，则 ，可得 ， 因为数列 为等比数列，则 ，可得 . 因此， . 故答案为： . 3、 【分析】 求出直线 所过定点 坐标， 时，距离最小为 【详解】 直线 l 的方程可整理为 ，故直线 l 过定点 . 因为 P 到直线 l 的距离 ，当且仅当 时等号成立， 故 . 故答案为： 【点睛】 本题考查点到直线的距离，求出动直线所过定点坐标是解题关键这样由距离的定义知 就是最小值 4、 # 【分析】 根据中位线的性质求出 ；根据双曲线的定义求出 ，从而在 中求出 ，然后根据 即可求出答案 . 【详解】 设 为 的中点， 为双曲线的右焦点，易知 ， 因为 为 的中点，所以 ， 由双曲线的定义，知 ， 连结 ，则 ， ，所以 ， 所以 ，即 . 故答案为： . 5、 【详解】 直线 的方程可化为 ，故两平行直线 之间的距离 ，故答案为 . 6、 【分析】 根据条件列式求出 即可 . 【详解】 由已知 ，解得 故标准方程为 . 故答案为： . 7、 # 【分析】 的几何意义为圆 上的点到点 的距离，求出最大距离即可得答案 . 【详解】 实数 x ， y 满足等式 ，即 则 的几何意义为圆 上的点到点 的距离， 则距离的最大值为 所以 的最大值是 故答案为： . 8、 【分析】 依题意 表示以 为圆心， 为半径的圆的 轴及 轴右半部分，作出图形，求出半圆的切线，从而得出 的范围 【详解】 解：因为 ，所以 ，所以 表示以 为圆心， 为半径的圆的 轴及 轴右半部分，图形如下所示： 设直线 与半圆相切，则 ，解得 （舍 或 当直线 恰过点 时， ； 直线 与曲线 恰有两个公共点， 故答案为： 三、解答题1、 （ 1 ） ； （ 2 ） . 【分析】 （ 1 ）根据两直线的位置关系即可求出 的值， （ 2 ）根据两直线平行设出所求直线方程，然后把点的坐标代入即可求出 . （ 1 ） 因为 l 1 l 2 ， 所以 3 m +2=0 ，解得 . （ 2 ） 因为所求直线与直线 l 1 平行，所以设所求直线方程为 3 x + y + c =0 ， 把点 代入，得 3+2+ c =0 ，解得 ， 故过点 且与直线 l 1 平行的直线的方程为 . 2、 （ 1 ） a n 2 n -12 ； （ 2 ） . 【分析】 （ 1 ）根据等差数列的性质得到 ，然后根据等差数列的通项公式求出 和 的值即可 . （ 2 ）根据（ 1 ）的条件求出 b 2 -24 ， b 1 -8 ，然后根据等比数列的通项公式求出 的值即可 . （ 1 ） 设等差数列 a n 的公差为 d ， 因为 a 1 a 5 2 a 3 -12 ， a 4 a 8 2 a 6 0 ， 所以 ，所以 ， 解得 ， 所以 a n -10 2( n -1) 2 n -12. （ 2 ） 设等比数列 b n 的公比为 q ， 因为 b 2 a 1 a 2 a 3 -24 ， b 1 -8 ， 所以 8 q 24 ，即 q 3 ， 因此 . 3、 （ 1 ） a =1 ；（ 2 ） 或 . 【分析】 （ 1 ）求出圆心 ，半径 ，利用圆心到直线 的距离，通过勾股定理列方程求解即可 （ 2 ）判断点与圆的位置关系， 当切线方程的斜率存在时，设方程为 ，由圆心到切线的距离 求解即可； 当过 斜率不存在，判断直线 与圆是否相切，推出结果 【详解】 （ 1 ）依题意可得圆心 ，半径 ， 则圆心到直线 的距离 ， 由勾股定理可知 ，代入化简得 ， 解得 或 ，又 ， 所以 ； （ 2 ）由（ 1 ）知圆 ，又 在圆外， 当切线方程的斜率存在时，设方程为 ，由圆心到切线的距离 可解得 ， 切线方程为 ， 当过 斜率不存在，易知直线 与圆相切， 综合 可知切线方程为 或 . 【点睛】 本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力 4、 （ 1 ）圆 的圆心坐标为 ， 即抛物线的焦点为 ,3 分 抛物线方程为 6 分 1. 由题意知直线 AD 的方程为 7 分即 代入 得 =0 设 ，则 ， 11 分 【分析】 （ 1 ）设抛物线方程为 , 由题意求出其焦点坐标，进而可求出结果； （ 2 ）先由题意得出直线 的方程，联立直线 与抛物线方程，求出 ，再由 为圆的直径，即可求出结果 . 【详解】 （ 1 ）设抛物线方程为 ， 圆 的圆心恰是抛物线的焦点， 抛物线的方程为： ； （ 2 ）依题意直线 的方程为 设 ， ，则 ，得 ， ， 【点睛】 本题主要考查抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系；由抛物线的焦点坐标可直接求出抛物线的方程；联立直线与抛物线方程，结合韦达定理和抛物线定义可求出弦长，进而可求出结果，属于常考题型 . 5、 （ 1 ）证明见解析， ；（ 2 ） . 【分析】 （ 1 ）分析得到 是公比为 2 的等比数列，利用等比数列的通项即得解； （ 2 ）解不等式 ，即得 的范围，再利用分组求和求解 . 【详解】 （ 1 ） ， 由等比数列的定义可知， 是公比为 2 的等比数列 因为首项 ，公比为 2 ，所以 所以 . （ 2 ）令 ，因为 ，所以 n 可取 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 10 所以，各项的和 = . 6、 （ 1 ）证明见解析，定值为 （ 2 ）是定值， 【分析】 （ 1 ）设 ，则 ，再根据斜率证明即可； （ 2 ）根据题意得椭圆的方程为 ，设 ，再分直线 的斜率不存在时得 ，直线 的斜率存在时，设方程为 ，联立方程，结合韦达定理和向量的数量积得 ，进而求得 . （ 1 ） 解：设 ，则 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以点 与 ， 连线的斜率的乘积为定值，且为 . （ 2 ） 解：因为椭圆的离心率为 ，短轴长为 ， 所以 ，解得 ， 所以椭圆的方程为 . 设 ， 当直线 的斜率不存在时，由椭圆的对称性得 ， 因为坐标原点 在以 为直径的圆上， 所以 ，即 ，所以 ， 又因为 ，所以 ， 此时坐标原点 到直线 的距离是 ； 当直线 的斜率存在时，设方程为 ， 联立方程 得 ， 所以 ， ， 所以 因为坐标原点 在以 为直径的圆上， 所以 ，即 ， 所以 ，即 ， 整理得 ， 所以坐标原点 到直线 的距离是 ， 综上，坐标原点 到直线 的距离是 7、 （ 1 ） （ 2 ） 【分析】 （ 1 ）由 ， ，得 M ，从而直线过 M 和 ，由此能求出直线方程 （ 2 ）由直线过 M ，且与直线 垂直设直线方程 ，把 M 代入，能求出直线方程 （ 1 ） 直线 与直线 的交点 M ， 由 ，得 M （ 1 ， 2 ）， 直线过 M （ 1 ， 2 ）和 ， 直线方程为 ，即 . （ 2 ） 直线过 M （ 1 ， 2 ），且与直线 垂直 设直线方程为 ， 把 M （ 1 ， 2 ）代入，得 ，则 c 4 ， 所求直线方程为 8、 （ 1 ） ；（ 2 ） . 【分析】 （ 1 ）由题可得 ， ，求出 即可得出椭圆方程； （ 2 ）联立直线与椭圆方程，由弦长公式即可求出 . 【详解】 （ 1 ）由题意得 ， ， ， ， ， 椭圆 的标准方程为 ； （ 2 ）由 得 ， 设 、 ， 则 ， ， . 【点睛】 方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （ 1 ）得出直线方程，设交点为 ， ； （ 2 ）联立直线与曲线方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程； （ 3 ）写出韦达定理； （ 4 ）将所求问题或题中关系转化为 形式； （ 5 ）代入韦达定理求解 . 9、 （ 1 ） ；（ 2 ） 【分析】 （ 1 ）以点 为坐标原点，分别以 、 、 为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线 与 所成的角； （ 2 ）利用空间向量法结合二面角 为 计算出 的值，可求得点 的坐标，进而利用空间向量法可求得点 到平面 的距离 . 【详解】 分别以 、 、 为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系， （ 1 ）由 ，得 ， 设 ，又 ，则 ， ， ，则异面直线 与 所成的角为 ； （ 2 ）平面 的一个法向量为 ， 设平面 的一个法向量为 ，设点 ，其中 ，则 ， ， ， 由 ，令 ，则 ， ， ， ， ，解得 ， 所以，平面 的一个法向量为 ， 又 ，所以，点 到平面 的距离 【点睛】 利用向量夹角转化为各空间角时，一定要注意向量夹角与各空间角的定义、范围不同求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量 、 的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点 . 10、 （ 1 ）证明见详解 （ 2 ） ， （ 3 ） 或 【分析】 （ 1 ）计算两圆心的距离与两圆半径和与差的大小关系可得两圆的关系； （ 2 ）将两圆方程作差可得公共弦方程，利用垂径定理可得公共弦长； （ 3 ）当直线斜率不存在时符合题意，当直线斜率存在时，设为 ，利用点到直线的距离等于半径列方程求解 . （ 1 ） 由已知圆 ，圆心 ，半径 ，圆心 ，半径 ， 则 ， 又 则圆 和圆 相交； （ 2 ） 将两圆方程相减得 ，即 ， 圆 和圆 的公共弦所在直线的方程为 圆心 到公共弦的距离为 公共弦长为 . （ 3 ） 若过点 的直线斜率不存在时，此时方程为 ，与圆 相切，符合题意 若过点 的直线斜率存在时，设为 ，即 ， 则 ，解得 ，即 综合得过点 且与圆 相切的直线方程为 或 11、 （ 1 ）证明见详解 （ 2 ） 【分析】 （ 1 ）先证明四边形 ADFE 为平行四边形，则 AE DF ，由此即可得证； （ 2 ）以点 E 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设 2 t （ t 0 ），根据已知条件可求得 ，进而求得平面 的法向量以及直线 DE 的方向向量，再利用向量公式得解 （ 1 ） 证明：取 的中点 F ，连接 DF ， EF ， E 为 BC 中点， EF ， ， 又 D 为 的中点， DA ， ， EF DA ，且 EF = DA 四边形 ADFE 为平行四边形， AE DF ， AE 不在平面 内， DF 在平面 内， AE 平面 ； （ 2 ） 由（ 1 ）及题设可知， BC ， EA ， EF 两两互相垂直，则以点 E 为坐标原点， EC ， EA ， EF 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设 2 t （ t 0 ）， 则 B (3 ， 0 ， 0) ， (3 ， 0 ， 2t) ， A (0 ， ， 0) ， C (3 ， 0 ， 0) ， D (0 ， ， t ) ， 故 ， ， 解得 ， 设平面 的法向量为 ， 则 ，故可取 ， 又 D (0 ， ， ) ，则 ， ， DE 与平面 所成角的正弦值为 12、 （ 1 ）证明见解析；定值为 （ 2 ） （ 3 ）证明见解析 【分析】 （ ）由题意可设圆 M 的方程为 ，求出圆 M 分别与 x 轴、 y 轴交于点 A 、 B 的坐标，利用面积公式，可得 AOB 的面积为定值； （ ）由 ，知 OM l ，解得 t 1 ，再验证，即可求圆 M 的方程； （ ）设 ，整理得 ，设直线 GH 的方程为 y kx b ，代入 ，利用韦达定理，确定直线方程，即可得出结论 （ 1 ） 由题意可设圆 M 的方程为 ， 即 令 x 0 ，得 ；令 y 0 ，得 x 2 t （定值） （ 2 ） 由 ，知 OM l 所以 ，解得 t 1 当 t 1 时，圆心 到直线 的距离 小于半径，符合题意； 当 t 1 时， 到直线 的距离 大于半径，不符合题意 所以，所求圆 M 的方程为 （ 3 ） 设 ，又知 ， 所以 ， 因 代入上式， 整理得 设直线 GH 的方程为 y kx b ，代入 ， 整理得 所以 代入 式，并整理得 ， 即 ， 解得 或 当 时，直线 GH 的方程为 ，过定点 ； 当 时，直线 GH 的方程为 ，过定点 检验定点 和 E ， F 共线，不合题意，舍去 故 GH 过定点