资源描述
试卷主标题
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共24题）
1、 已知直线 l 的方程为 ，则直线的倾斜角为（ ）
A ． B ． 60° C ． 150° D ． 120°
2、 与 的等比中项是（ ）
A ． B ． C ． D ．
3、 与椭圆 的焦点坐标相同的是（ ）
A ． B ．
C ． D ．
4、 已知抛物线方程为 ，则抛物线的准线方程为（ ）
A ． B ． C ． D ．
5、 已知方程 表示双曲线，则 的取值范围是（ ）
A ． B ．
C ． 或 D ．
6、 在等差数列 中，若 ，则 的值等于（ ）
A ． 8 B ． 10 C ． 13 D ． 26
7、 直线 与曲线 有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A ． B ． C ． D ．
8、 已知 是椭圆 的左焦点， 为右顶点， 是椭圆上一点， 轴，若 ，则该椭圆的离心率是（ ）
A ． B ． C ． D ．
9、 若直线 的倾斜角 ，则其斜率 （ ）
A ． B ． C ． 1 D ．
10、 已知向量 ， 2 ， ， ， ， ，且 ，那么 （ ）
A ． B ． C ． D ．
11、 若直线 与直线 平行，则实数 （ ）
A ． 1 B ． C ． 0 D ．
12、 已知三棱柱 ，点 为线段 的中点，则 （ ）
A ． B ．
C ． D ．
13、 在棱长为 2 的正方体 中，点 M 、 N 分别是 和 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A ． B ． C ． D ．
14、 两直线 ，则直线 关于直线 对称的直线方程为（ ）
A ． B ． C ． D ．
15、 已知椭圆 上两点 ，若 的中点为 ，直线 的斜率等于 ，则直线 的斜率等于（ ）
A ． B ． C ． D ．
16、 若圆 上仅有 4 个点到直线 的距离为 1 ，则实数 的取值范围为（ ）
A ． B ． C ． D ．
17、 对任意的 ，方程 所表示的曲线可能为（ ）
A ．双曲线 B ．抛物线 C ．椭圆 D ．圆
18、 已知 是椭圆 上一点， ， 是其左右焦点，则下列选项中正确的是（ ）
A ．椭圆的焦距为 2 B ．椭圆的离心率
C ． D ． 的面积的最大值是 4
19、 已知 为等差数列，其前 项和 ，若 ， ，则（ ）
A ．公差 B ．
C ． D ．当且仅当 时
20、 在平面直角坐标系中，已知点 ， ，圆 ，若圆 上存在点 ，使得 ，则实数 的值可能是（ ）
A ． B ． C ． D ．
21、 下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A ．两条不重合直线 ， 的方向向量分别是 ， ，则
B ．直线 l 的方向向量 ，平面 α 的法向量是 ，则
C ．两个不同的平面 α ， β 的法向量分别是 ， ，则
D ．直线 l 的方向向量 ，平面 α 的法向量是 ，则
22、 下列说法正确的是（ ）
A ．过 ， 两点的直线方程为
B ．点 关于直线 的对称点为
C ．直线 与两坐标轴围成的三角形的面积是 2
D ．经过点 且在 轴和 轴上截距都相等的直线方程为
23、 已知曲线 （ ）
A ．若 ，则 是椭圆，其焦点在 轴上
B ．若 ，则 是椭圆，其焦点在 轴上
C ．若 ，则 是圆，其半径为
D ．若 ， ，则 是两条直线
24、 已知四面体 的所有棱长均为 2 ，则下列结论正确的是（ ）
A ．异面直线 与 所成角为 B ．点 A 到平面 的距离为
C ． D ．四面体 的外接球体积为
二、填空题（共8题）
1、 两平行直线 ， 之间的距离是 __________.
2、 等差数列 的前 项和 ，等比数列 的前 项和 ，（其中 、 为实数）则 的值为 __________.
3、 点 到直线 的距离的最大值为 ________.
4、 已知双曲线 左焦点为 为双曲线右支上一点，若 的中点在以 为半径的圆上，则 的横坐标为 _________.
5、 两平行线 ， 的距离是 __________.
6、 若中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆的一个焦点为 ，且长轴长是短轴长的 倍，则标准方程为 ____________ ．
7、 如果实数 x ， y 满足等式 ，那么 的最大值是 ______________ ．
8、 当曲线 与直线 有两个公共点时， t 的取值范围是 __________ ．
三、解答题（共12题）
1、 已知直线 l 1 ： 3 x + y +2=0 ； l 2 ： mx +2 y + n =0 ．
（ 1 ）若 l 1 ⊥ l 2 ，求 m 的值；
（ 2 ）求过点 且与直线 l 1 平行的直线的方程；
2、 已知数列 { a n } 为等差数列，且 a 1 ＋ a 5 ＝ -12 ， a 4 ＋ a 8 ＝ 0.
（ 1 ）求数列 { a n } 的通项公式；
（ 2 ）若等比数列 { b n } 满足 b 1 ＝ -8 ， b 2 ＝ a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ，求数列 { b n } 的通项公式．
3、 已知直线 被圆 截得的弦长为 ．
（ 1 ）求 的值；
（ 2 ）求过点（ 3 ， 5 ）与圆相切的直线的方程．
4、 如图，抛物线的顶点在原点，圆 的圆心恰是抛物线的焦点 .
（ 1 ）求抛物线的方程；
（ 2 ）一条直线的斜率等于 2 ，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于 、 、 、 四点，求 的值 .
5、 已知数列 满足 .
（ 1 ）证明 是等比数列，并求 的通项公式；
（ 2 ）求数列 落入区间 的所有项的和 .
6、 已知椭圆 （ ）的离心率为 ．
（ 1 ）点 是椭圆上异于左右顶点的任意一点， ， ，证明点 与 ， 连线的斜率的乘积为定值，并求出该定值；
（ 2 ）若椭圆的短轴长为 ，直线 与椭圆交于 ， 两点，且坐标原点 在以 为直径的圆上．判断坐标原点 到直线 的距离是否为定值，若是，求该定值；若不是，请说明理由．
7、 求经过直线 与 交点 M ，且满足下列条件的直线的一般式方程．
（ 1 ）经过点 ；
（ 2 ）与直线 垂直．
8、 椭圆 的长轴长等于圆 的直径，且 的离心率等于 ，已知直线 交 于 ， 两点 .
（ 1 ）求 的标准方程；
（ 2 ）求弦 的长 .
9、 如图，在长方体 中， ， ，点 在线段 上．
（ 1 ）求异面直线 与 所成的角；
（ 2 ）若二面角 的大小为 ，求点 到平面 的距离．
10、 已知圆 和 ．
（ 1 ）求证圆 和圆 相交；
（ 2 ）求圆 和圆 的公共弦所在直线的方程和公共弦长；
（ 3 ）求过点 且与圆 相切的直线方程．
11、 如图，在直三棱柱 中， 是变长为 6 的等边三角形， D ， E 分别为 的中点．
（ 1 ）证明： 平面 ；
（ 2 ）若异面直线 与 所成的余弦值为 ，求 与平面 所成角的正弦值．
12、 平面直角坐标系 中，已知圆 M 过坐标原点 O 且圆心在曲线 上．
（ 1 ）若圆 M 分别与 x 轴、 y 轴交于点 A 、 B （不同于原点 O ），求证： 的面积为定值；
（ 2 ）设直线直线： 与圆 M 交于不同的两点 C ， D ，且 ，求圆 M 的方程；
（ 3 ）设直线 与（ 2 ）中所求圆 M 交于点 E 、 F ， P 为直线 上的动点，直线 ， 与圆 M 的另一个交点分别为 G ， H ，求证：直线 过定点．
============参考答案============
一、选择题
1、 C
【分析】
由直线方程得斜率，从而可得倾斜角．
【详解】
由题意直线的斜率为 ，而倾斜角大于等于 且小于 ，
故倾斜角为 ．
故选： C ．
2、 C
【分析】
根据等比中项的定义可得结果 .
【详解】
与 的等比中项是 .
故选： C.
3、 A
【分析】
先确定已知椭圆的焦点在 x 轴上，求出焦点坐标，接着分别求出四个选项中曲线的焦点坐标，再与已知椭圆的焦点坐标进行比较，即可得答案 .
【详解】
椭圆 的焦点在 轴上，且 ，
所以 ，所以椭圆的焦点坐标为 .
对 A 选项，双曲线方程 ，其焦点在 x 轴上，且 ，故其焦点坐标为 ，与已知椭圆的焦点坐标相同；
对 B 选项，其焦点在 x 轴上，且 ，故其焦点坐标为 ；
对 C 选项，其焦点在 x 轴上，且 ，故其焦点坐标为 ；
对 D 选项，其焦点在 y 轴上 .
故选 A.
【点睛】
本题考查椭圆、双曲线焦点坐标的求解，主要考查两种曲线中 之间的关系 .
4、 D
【分析】
将抛物线方程化为标准形式即可求解 .
【详解】
由抛物线方程为 ，即 ，
所以其准线方程为 .
故选： D
5、 C
【分析】
双曲线的焦点可能在 x 轴，也可能在 y 轴上，分别写出两种情况下的双曲线的标准方程， 或 ，可得 或 ，解不等式可得答案 .
【详解】
当双曲线的焦点在 x 轴上，双曲线方程 ，则 解得： ；
当双曲线的焦点在 y 轴上，双曲线方程 ，
所以 解得： ；
故选 C.
【点睛】
本题考查双曲线标准方程，求解的关键在于双曲线方程标准形式的认识 .
6、 C
【分析】
根据等差数列的性质求出 ，然后根据等差数列前 项和公式 结合等差数列的性质即可求出答案 .
【详解】
因为 ，所以 ，即 ，
所以 .
故选： C.
7、 D
【分析】
根据题意直线 过定点 ，曲线 表示圆心为原点，半径为 1 的 轴上方的半圆，设直线 与半圆相切时，切点为 ，进而数形结合求解即可得答案 .
【详解】
解：根据题意，直线 过定点 ，
曲线 表示圆心为原点，半径为 1 的 轴上方的半圆，
设直线 与半圆相切时，切点为 ，如图，
在 中， ，
所以
所以直线 与曲线 有公共点时，直线的倾斜角的取值范围为 .
故选： D
8、 D
【分析】
求出 ，即可得到 的方程，解方程即可得到答案；
【详解】
将 代入椭圆方程得： ，
，且 ，
，
故选： D
9、 C
【分析】
直接求倾斜角的正切值即可得解 .
【详解】
因为直线 的倾斜角 ，
所以直线的斜率 ，
故选： ．
10、 A
【分析】
根据题意，设 ，即 ， ， ， 2 ， ，分析可得 、 的值，进而由向量模的计算公式计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，向量 ， 2 ， ， ， ， ，且 ，
则设 ，即 ， ， ， 2 ， ，
则有 ，
则 ， ，
则 ， ， ，故 ；
故选： ．
11、 B
【分析】
利用平行的判断方法计算出 的值，除去使直线重合的情况即可 .
【详解】
由两直线平行得 ，解得
又当 时，直线 与直线 重合，与题意不符
当 时，直线 与直线 平行，符合题意
故选： B.
12、 D
【分析】
根据空间向量的线性运算求解即可
【详解】
解：在三棱柱 ，点 为线段 的中点，则
，
所以
，
故选： D
13、 B
【分析】
先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点 ，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中利用余弦定理求出此角即可 .
【详解】
如图，将 AM 平移到 E ， NC 平移到 F ，则 ∠ E F 为直线 AM 与 CN 所成角或其补角
因为边长为 2 ，则
∴ 由余弦定理得 ，
即直线 AM 和 CN 所成角的余弦值为
故选： B.
14、 D
【分析】
求出两直线的交点，在直线 上任取一点，求出其关于 的对称点，利用点斜式求出直线方程 .
【详解】
联立方程 ，解得 ，
在直线 上任取一点 ，其关于 的对称点为 ，
则直线 关于直线 对称的直线方程为 ，即
故选： D.
15、 D
【分析】
设 ， ，把 两点坐标代入椭圆方程相减后可得 与 的关系，从而得出结论．
【详解】
设 ， ， ，
则 ，两式相减得 ，整理得 ，
即 ．
故选： D ．
【点睛】
方法点睛：在遇到椭圆的弦中点时，常常用点差法求解．即设弦两端点为 ，弦中点 ，两端点坐标代入椭圆方程相减珀可得 与 的关系．双曲线的弦中点也可这样求解．
16、 A
【分析】
到已知直线的距离为 1 的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于 1 的两条直线，根据题意可得这两条平行线与 有 4 个公共点，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得 的取值范围．
【详解】
解：作出到直线 的距离为 1 的点的轨迹，得到与直线 平行，
且到直线 的距离等于 1 的两条直线，
圆 的圆心为原点，
原点到直线 的距离为 ，
两条平行线中与圆心 距离较远的一条到原点的距离为 ，
又 圆 上有 4 个点到直线 的距离为 1 ，
两条平行线与圆 有 4 个公共点，即它们都与圆 相交．
由此可得圆的半径 ，
即 ，实数 的取值范围是 ．
故选： ．
【点睛】
本题给出已知圆上有四点到直线的距离等于半径，求参数的取值范围．着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
17、 ACD
【分析】
分别讨论 的范围求方程所表示的曲线，即可得正确选项 .
【详解】
当 时， ， ，方程可化为 ，此时为直线 ；
当 且 时， ， ，且 ，此时原方程可化为 ，此时表示椭圆；
当 时， 时， 可化简为 表示圆，
当 时， ， ，方程可化为 ，此时为直线 ；
当 时， ， ，此时原方程可化为 ，此时表示焦点在 轴上的双曲线；
当 时， ， 原方程即 ，此时轨迹不存在；
当 时， ， ，此时方程表示的轨迹不存在；
当 时， ， ，原方程即 ，此时轨迹不存在；
当 时， ， ，此时原方程可化为 ，此时表示焦点在 轴上的双曲线，
综上所述：方程 所表示的曲线可能为双曲线、椭圆、圆，
故选： ACD.
18、 BD
【分析】
根据方程求得 ，进而求得焦距，离心率，判定 AC ；根据椭圆的定义可以判定 C 错误；利用椭圆的性质可以求得 的面积的最大值，判定 D
【详解】
,∴ , ,
焦距 ， ，当 M 为短轴的端点时 的面积的取得最大值，是 ,
故选： BD.
19、 ABC
【分析】
根据题意，结合等差数列前 项和 的公式和性质，一一判断即可 .
【详解】
由 ，得 ，即 .
因 ，所以 ，且 ，故选项 AB 正确；
因 ，且 ，故 时， 最大，即 ，故选项 C 正确；
由 ，得 ，即 ，故 D 错 .
故选： ABC.
20、 BCD
【分析】
设点 的坐标为 ，根据题设条件，求得 ，由圆 上存在点 ，转化为两圆相交或相切，列出不等式即可求解 .
【详解】
由圆 可得圆心 ，半径为 ，
设点 的坐标为 ，
因为 ，即 ，
整理得： ，点 的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆，
因为圆 上存在点 ，满足 ，所以两圆相交或相切，
所以 ，即 ，所以 ，
所以选项 B 、 C 、 D 正确，
故选： BCD.
21、 AC
【分析】
利用空间向量的共线向量定理和数量积运算求解判断 .
【详解】
A. 因为两条不重合直线 ， 的方向向量分别是 ， ，且 ， 共线，则 ，故正确；
B. 因为直线 l 的方向向量 ，平面 α 的法向量是 ，且 ，则 ，故错误；
C. 因为两个不同的平面 α ， β 的法向量分别是 ， ，且 ，则 ，故正确；
D. 因为直线 l 的方向向量 ，平面 α 的法向量是 ，且 ，则 不平行，
故选： AC
22、 BC
【分析】
运用直线的两点式方程判断 A 的正误；利用对称知识判断 B 的正误；求出直线在两坐标轴上的截距可得到三角形的面积判断 C 的正误；利用直线的截距相等可判断 D 的正误．
【详解】
对于 A ：当 ， 时，过 ， 两点的直线方程为 ，故 A 不正确；
对于 B ：点 (0,2) 与 (1,1) 的中点坐标 ， 满足直线方程 , 并且两点的斜率为： −1, 所以点 (0,2) 关于直线 y = x +1 的对称点为 (1,1) ，所以 B 正确；
对于 C ：直线 在两坐标轴上的截距分别为： 2,−2, 直线 与坐标轴围成的三角形的面积是 ，所以 C 正确；
对于 D ：经过点 (1,1) 且在 x 轴和 y 轴上截距都相等的直线方程为 x + y −2=0 或 y = x ，所以 D 不正确；
故选： BC.
【点睛】
本题考查直线的方程，直线与坐标轴的截距，点关于直线的对称点，注意在考虑截距相等的时候，不漏掉截距为 的情况，属于基础题．
23、 AD
【分析】
结合选项进行逐项分析求解， 时表示椭圆， 时表示圆， 时表示两条直线 .
【详解】
对于 A ，若 ，则 可化为 ，因为 ，所以 ，即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，故 A 正确，故 B 错误；
对于 C ，若 ，则 可化为 ，此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，故 C 不正确；
对于 D ，若 ，则 可化为 ， ，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，故 D 正确；
故选： AD.
【点睛】
本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养 .
24、 BCD
【分析】
由题意画出图形，证明 AC ⊥ BD ，可知 A 错误，同理得到 C 正确；直接求出 A 到底面 的距离判断 B ；求出正四面体外接球的半径，进一步求得外接球的体积判断 D ．
【详解】
如图，
由题意，四面体 ABCD 为正四面体，取底面 BCD 的中心为 G ，连接 CG 并延长，交 BD 于 E ，
则 E 为 BD 的中点，且 CE ⊥ BD ，连接 AG ，则 AG ⊥ 底面 BCD ，得 AG ⊥ BD ，
又 AG ∩ CE ＝ G ， ∴ BD ⊥ 平面 ACG ，则 AC ⊥ BD ，故 A 错误；同理 ，故 C 正确；
由四面体的所有棱长为 2 ，可得 ，又 AC ＝ 2 ，
∴ ，即点 A 到平面 BCD 的距离为 ，故 B 正确；
设四面体 ABCD 的外接球的球心为 O ，半径为 R ，连接 OC ，
则 ，
解得 ，则四面体 ABCD 的外接球体积为 ，故 D 正确；
故选： BCD ．
二、填空题
1、
【分析】
根据两直线平行的条件求出 的值，然后利用两平行线间的距离公式求出答案即可 .
【详解】
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ，即 ，
所以两平行线间的距离为 .
故答案为： .
2、
【分析】
根据前 项和与通项的关系求出数列 、 的通项公式，可求得 、 的值，即可得解 .
【详解】
当 时， ， .
当 时， ，
，
因为数列 为等差数列，则 ，可得 ，
因为数列 为等比数列，则 ，可得 .
因此， .
故答案为： .
3、
【分析】
求出直线 所过定点 坐标， 时，距离最小为 ．
【详解】
直线 l 的方程可整理为 ，故直线 l 过定点 .
因为 P 到直线 l 的距离 ，当且仅当 时等号成立，
故 .
故答案为： ．
【点睛】
本题考查点到直线的距离，求出动直线所过定点坐标是解题关键．这样由距离的定义知 就是最小值．
4、 ##
【分析】
根据中位线的性质求出 ；根据双曲线的定义求出 ，从而在 中求出 ，然后根据 即可求出答案 .
【详解】
设 为 的中点， 为双曲线的右焦点，易知 ，
因为 为 的中点，所以 ，
由双曲线的定义，知 ，
连结 ，则 ， ，所以 ，
所以 ，即 .
故答案为： .
5、
【详解】
直线 的方程可化为 ，故两平行直线 之间的距离 ，故答案为 .
6、
【分析】
根据条件列式求出 即可 .
【详解】
由已知 ，解得
故标准方程为 .
故答案为： .
7、 ##
【分析】
的几何意义为圆 上的点到点 的距离，求出最大距离即可得答案 .
【详解】
实数 x ， y 满足等式 ，即
则 的几何意义为圆 上的点到点 的距离，
则距离的最大值为
所以 的最大值是
故答案为： .
8、
【分析】
依题意 表示以 为圆心， 为半径的圆的 轴及 轴右半部分，作出图形，求出半圆的切线，从而得出 的范围．
【详解】
解：因为 ，所以 ，所以 表示以 为圆心， 为半径的圆的 轴及 轴右半部分，图形如下所示：
设直线 与半圆相切，则 ，解得 （舍 或 ．
当直线 恰过点 时， ；
直线 与曲线 恰有两个公共点，
．
故答案为：
三、解答题
1、 （ 1 ） ；
（ 2 ） .
【分析】
（ 1 ）根据两直线的位置关系即可求出 的值，
（ 2 ）根据两直线平行设出所求直线方程，然后把点的坐标代入即可求出 .
（ 1 ）
因为 l 1 ⊥ l 2 ，
所以 3 m +2=0 ，解得 .
（ 2 ）
因为所求直线与直线 l 1 平行，所以设所求直线方程为 3 x + y + c =0 ，
把点 代入，得 3+2+ c =0 ，解得 ，
故过点 且与直线 l 1 平行的直线的方程为 .
2、 （ 1 ） a n ＝ 2 n -12 ；
（ 2 ） .
【分析】
（ 1 ）根据等差数列的性质得到 ，然后根据等差数列的通项公式求出 和 的值即可 .
（ 2 ）根据（ 1 ）的条件求出 b 2 ＝ -24 ， b 1 ＝ -8 ，然后根据等比数列的通项公式求出 的值即可 .
（ 1 ）
设等差数列 { a n } 的公差为 d ，
因为 a 1 ＋ a 5 ＝ 2 a 3 ＝ -12 ， a 4 ＋ a 8 ＝ 2 a 6 ＝ 0 ，
所以 ，所以 ， 解得 ，
所以 a n ＝ -10 ＋ 2( n -1) ＝ 2 n -12.
（ 2 ）
设等比数列 { b n } 的公比为 q ，
因为 b 2 ＝ a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＝ -24 ， b 1 ＝ -8 ，
所以－ 8 q ＝－ 24 ，即 q ＝ 3 ，
因此 .
3、 （ 1 ） a =1 ；（ 2 ） 或 .
【分析】
（ 1 ）求出圆心 ，半径 ，利用圆心到直线 的距离，通过勾股定理列方程求解即可．
（ 2 ）判断点与圆的位置关系， ① 当切线方程的斜率存在时，设方程为 ，由圆心到切线的距离 求解即可； ② 当过 斜率不存在，判断直线 与圆是否相切，推出结果．
【详解】
（ 1 ）依题意可得圆心 ，半径 ，
则圆心到直线 的距离 ，
由勾股定理可知 ，代入化简得 ，
解得 或 ，又 ，
所以 ；
（ 2 ）由（ 1 ）知圆 ，又 在圆外，
① 当切线方程的斜率存在时，设方程为 ，由圆心到切线的距离 可解得 ，
切线方程为 ，
② 当过 斜率不存在，易知直线 与圆相切，
综合 ①② 可知切线方程为 或 .
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．
4、 （ 1 ）圆 的圆心坐标为 ，
即抛物线的焦点为 ,……………………3 分
∴ ∴ 抛物线方程为 ……………………6 分
1. 由题意知直线 AD 的方程为 …………………7 分即 代入 得 =0
设 ，则 ，
……………………11 分
∴
【分析】
（ 1 ）设抛物线方程为 , 由题意求出其焦点坐标，进而可求出结果；
（ 2 ）先由题意得出直线 的方程，联立直线 与抛物线方程，求出 ，再由 为圆的直径，即可求出结果 .
【详解】
（ 1 ）设抛物线方程为 ，
圆 的圆心恰是抛物线的焦点， ∴ ．
抛物线的方程为： ；
（ 2 ）依题意直线 的方程为
设 ， ，则 ，得 ，
， ．
．
【点睛】
本题主要考查抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系；由抛物线的焦点坐标可直接求出抛物线的方程；联立直线与抛物线方程，结合韦达定理和抛物线定义可求出弦长，进而可求出结果，属于常考题型 .
5、 （ 1 ）证明见解析， ；（ 2 ） .
【分析】
（ 1 ）分析得到 是公比为 2 的等比数列，利用等比数列的通项即得解；
（ 2 ）解不等式 ，即得 的范围，再利用分组求和求解 .
【详解】
（ 1 ） ∵ ， ∴
由等比数列的定义可知， 是公比为 2 的等比数列
因为首项 ，公比为 2 ，所以
所以 .
（ 2 ）令 ，因为 ，所以 n 可取 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 10
所以，各项的和
= .
6、 （ 1 ）证明见解析，定值为
（ 2 ）是定值，
【分析】
（ 1 ）设 ，则 ，再根据斜率证明即可；
（ 2 ）根据题意得椭圆的方程为 ，设 ，再分直线 的斜率不存在时得 ，直线 的斜率存在时，设方程为 ，联立方程，结合韦达定理和向量的数量积得 ，进而求得 .
（ 1 ）
解：设 ，则 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以点 与 ， 连线的斜率的乘积为定值，且为 .
（ 2 ）
解：因为椭圆的离心率为 ，短轴长为 ，
所以 ，解得 ，
所以椭圆的方程为 .
设 ，
当直线 的斜率不存在时，由椭圆的对称性得 ，
因为坐标原点 在以 为直径的圆上，
所以 ，即 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
此时坐标原点 到直线 的距离是 ；
当直线 的斜率存在时，设方程为 ，
联立方程 得 ，
所以 ， ，
所以
因为坐标原点 在以 为直径的圆上，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
整理得 ，
所以坐标原点 到直线 的距离是 ，
综上，坐标原点 到直线 的距离是
7、 （ 1 ）
（ 2 ）
【分析】
（ 1 ）由 ， ，得 M ，从而直线过 M 和 ，由此能求出直线方程．
（ 2 ）由直线过 M ，且与直线 垂直．设直线方程 ，把 M 代入，能求出直线方程．
（ 1 ）
∵ 直线 与直线 的交点 M ，
∴ 由 ，得 M （ −1 ， 2 ），
∴ 直线过 M （ −1 ， 2 ）和 ，
∴ 直线方程为 ，即 .
（ 2 ）
∵ 直线过 M （ −1 ， 2 ），且与直线 垂直．
∴ 设直线方程为 ，
把 M （ −1 ， 2 ）代入，得 ，则 c ＝ 4 ，
∴ 所求直线方程为 ．
8、 （ 1 ） ；（ 2 ） .
【分析】
（ 1 ）由题可得 ， ，求出 即可得出椭圆方程；
（ 2 ）联立直线与椭圆方程，由弦长公式即可求出 .
【详解】
（ 1 ）由题意得 ， ，
， ， ，
椭圆 的标准方程为 ；
（ 2 ）由 得 ，
设 、 ，
则 ， ，
.
【点睛】
方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
（ 1 ）得出直线方程，设交点为 ， ；
（ 2 ）联立直线与曲线方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程；
（ 3 ）写出韦达定理；
（ 4 ）将所求问题或题中关系转化为 形式；
（ 5 ）代入韦达定理求解 .
9、 （ 1 ） ；（ 2 ） ．
【分析】
（ 1 ）以点 为坐标原点，分别以 、 、 为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线 与 所成的角；
（ 2 ）利用空间向量法结合二面角 为 计算出 的值，可求得点 的坐标，进而利用空间向量法可求得点 到平面 的距离 .
【详解】
分别以 、 、 为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，
（ 1 ）由 ，得 ，
设 ，又 ，则 ，
， ，则异面直线 与 所成的角为 ；
（ 2 ）平面 的一个法向量为 ，
设平面 的一个法向量为 ，设点 ，其中 ，则 ，
， ，
由 ，令 ，则 ， ， ，
， ，解得 ，
所以，平面 的一个法向量为 ，
又 ，所以，点 到平面 的距离 ．
【点睛】
利用向量夹角转化为各空间角时，一定要注意向量夹角与各空间角的定义、范围不同．求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角．根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量 、 的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点 .
10、 （ 1 ）证明见详解
（ 2 ） ，
（ 3 ） 或
【分析】
（ 1 ）计算两圆心的距离与两圆半径和与差的大小关系可得两圆的关系；
（ 2 ）将两圆方程作差可得公共弦方程，利用垂径定理可得公共弦长；
（ 3 ）当直线斜率不存在时符合题意，当直线斜率存在时，设为 ，利用点到直线的距离等于半径列方程求解 .
（ 1 ）
由已知圆 ，圆心 ，半径
，圆心 ，半径 ，
则 ，
又
则圆 和圆 相交；
（ 2 ）
将两圆方程相减得 ，即 ，
圆 和圆 的公共弦所在直线的方程为
圆心 到公共弦的距离为
公共弦长为 .
（ 3 ）
若过点 的直线斜率不存在时，此时方程为 ，与圆 相切，符合题意
若过点 的直线斜率存在时，设为 ，即 ，
则 ，解得
，即
综合得过点 且与圆 相切的直线方程为 或
11、 （ 1 ）证明见详解
（ 2 ）
【分析】
（ 1 ）先证明四边形 ADFE 为平行四边形，则 AE ∥ DF ，由此即可得证；
（ 2 ）以点 E 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设 ＝ 2 t （ t ＞ 0 ），根据已知条件可求得 ，进而求得平面 的法向量以及直线 DE 的方向向量，再利用向量公式得解．
（ 1 ）
证明：取 的中点 F ，连接 DF ， EF ，
∵ E 为 BC 中点，
∴ EF ∥ ， ，
又 ∵ D 为 的中点，
∴ DA ∥ ， ，
∴ EF ∥ DA ，且 EF = DA
∴ 四边形 ADFE 为平行四边形，
∴ AE ∥ DF ，
∵ AE 不在平面 内， DF 在平面 内，
∴ AE ∥ 平面 ；
（ 2 ）
由（ 1 ）及题设可知， BC ， EA ， EF 两两互相垂直，则以点 E 为坐标原点， EC ， EA ， EF 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设 ＝ 2 t （ t ＞ 0 ），
则 B (−3 ， 0 ， 0) ， (3 ， 0 ， 2t) ， A (0 ， ， 0) ， C (3 ， 0 ， 0) ， D (0 ， ， t ) ，
故 ，
，
解得 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，故可取 ，
又 D (0 ， ， ) ，则 ，
∴
，
∴ DE 与平面 所成角的正弦值为
12、 （ 1 ）证明见解析；定值为
（ 2 ）
（ 3 ）证明见解析
【分析】
（ Ⅰ ）由题意可设圆 M 的方程为 ，求出圆 M 分别与 x 轴、 y 轴交于点 A 、 B 的坐标，利用面积公式，可得 △ AOB 的面积为定值；
（ Ⅱ ）由 ，知 OM ⊥ l ，解得 t ＝ ±1 ，再验证，即可求圆 M 的方程；
（ Ⅲ ）设 ，整理得 ① ，设直线 GH 的方程为 y ＝ kx ＋ b ，代入 ，利用韦达定理，确定直线方程，即可得出结论．
（ 1 ）
由题意可设圆 M 的方程为 ，
即 ．
令 x ＝ 0 ，得 ；令 y ＝ 0 ，得 x ＝ 2 t ．
∴ （定值）
（ 2 ）
由 ，知 OM ⊥ l ．
所以 ，解得 t ＝ ±1 ．
当 t ＝ 1 时，圆心 到直线 的距离 小于半径，符合题意；
当 t ＝ −1 时， 到直线 的距离 大于半径，不符合题意．
所以，所求圆 M 的方程为 ．
（ 3 ）
设 ，又知 ，
所以 ， ．
因 代入上式，
整理得 ①
设直线 GH 的方程为 y ＝ kx ＋ b ，代入 ，
整理得
所以 ．
代入 ① 式，并整理得 ，
即 ，
解得 或 ．
当 时，直线 GH 的方程为 ，过定点 ；
当 时，直线 GH 的方程为 ，过定点
检验定点 和 E ， F 共线，不合题意，舍去．
故 GH 过定点 ．
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