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试卷主标题
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共10题）
1、 若等腰三角形的一个角是 80° ，则此等腰三角形的顶角为（ ）
A ． 80° B ． 20° C ． 80° 或 20° D ． 40°
2、 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）
A ． B ． C ． D ．
3、 若分式 的运算结果为 ，则在 中添加的运算符号为（ ）
A ．＋ B ．－ C ．＋或 ÷ D ．－或 ×
4、 已知关于 x 的不等式组 的解集是 ，则 a 的取值范围是（ ）
A ． a ＞ 1 B ． C ． a ＜ 1 D ． a ≤1
5、 如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为 1 ， 经过平移后得到 ，若 上一点 平移后对应点为 ，点 绕原点顺时针旋转 ，对应点为 ，则点 的坐标为（ ）
A ． B ． C ． D ．
6、 下列命题中是真命题的是（ ）
A ．若 a ＞ b ，则 3 ﹣ a ＞ 3 ﹣ b
B ．如果 ab ＝ 0 ，那么 a ＝ 0 ， b ＝ 0
C ．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
D ．有两个角为 60° 的三角形是等边三角形
7、 如图所示，在直角坐标系内，原点 O 恰好是 ▱ABCD 对角线的交点，若 A 点坐标为 (2 ， 3) ，则 C 点坐标为 ( )
A ． ( － 3 ，－ 2) B ． ( － 2 ， 3) C ． ( － 2 ，－ 3) D ． (2 ，－ 3)
8、 我们知道，若 ab ＞ 0 ．则有 或 ．如图，直线 y ＝ kx ＋ b 与 y ＝ mx ＋ n 分别交 x 轴于点 A （－ 0.5 ， 0 ）、 B （ 2 ， 0 ），则不等式（ kx ＋ b ）（ mx ＋ n ）＞ 0 的解集是（ ）
A ． x ＞ 2 B ．－ 0.5 ＜ x ＜ 2 C ． 0 ＜ x ＜ 2 D ． x ＜－ 0.5 或 x ＞ 2
9、 如图，已知 ▱ABCD 中， AE⊥BC 于点 E ，以点 B 为中心，取旋转角等于 ∠ABC ，把 △BAE 顺时针旋转，得到 △BA′E′ ，连接 DA′ ．若 ∠ADC=60° ， ∠ADA′=50° ，则 ∠DA′E′ 的大小为（ ）
A ． 130° B ． 150° C ． 160° D ． 170°
10、 如图，过边长为 1 的等边 △ABC 的边 AB 上一点 P ，作 PE⊥AC 于点 E ， Q 为 BC 延长线上一点，当 PA=CQ 时，连结 PQ 交 AC 边于 D ，则 DE 的长为 （ ）
A ． B ． C ． D ．
二、填空题（共5题）
1、 已知 x － y ＝ 4 xy ，则 的值为 ____ ．
2、 已知 可分解因式为 ，其中 、 均为整数，则 _____.
3、 如图，在四边形 ABCD 中， AB=CD ， M 、 N ． P 分别是 AD 、 BC 、 BD 的中点，若 ∠MPN =130° ，则 ∠NMP 的度数为 ____ ．
4、 如图，点 E 是平行四边形 ABCD 的对角线 BD 上一点，连接 CE 、 AE ，若点 E 在线段 AD 的垂直平分线上，点 D 在线段 EC 的垂直平分线上，且 ∠DCE =60° ，则 ∠AEB =____ ° ．
5、 （ 2016• 成都）如图，面积为 6 的平行四边形纸片 ABCD 中， AB ＝ 3 ， ∠BAD ＝ 45° ，按下列步骤进行裁剪和拼图．
第一步：如图 ① ，将平行四边形纸片沿对角线 BD 剪开，得到 △ABD 和 △BCD 纸片，再将 △ABD 纸片沿 AE 剪开（ E 为 BD 上任意一点），得到 △ABE 和 △ADE 纸片；
第二步：如图 ② ，将 △ABE 纸片平移至 △DCF 处，将 △ADE 纸片平移至 △BCG 处；
第三步：如图 ③ ，将 △DCF 纸片翻转过来使其背面朝上置于 △PQM 处（边 PQ 与 DC 重合， △PQM 和 △DCF 在 DC 同侧），将 △BCG 纸片翻转过来使其背面朝上置于 △PRN 处，（边 PR 与 BC 重合， △PRN 和 △BCG 在 BC 同侧）．
则由纸片拼成的五边形 PMQRN 中，对角线 MN 长度的最小值为 ______ ．
三、解答题（共8题）
1、 （ 1 ）解不等式组 ，并写出它的整数解
（ 2 ）先化简，再求值： ，其中 m ＝ 4 ．
2、 如图，在 △ABC 中， AB=AC ， D 是 BA 延长线上的一点，点 E 是 AC 的中点 .
(1) 实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母 ( 保留作图痕迹，不写作法 ).
① 作 ∠DAC 的平分线 AM ；
② 连接 BE 并延长交 AM 于点 F ；
③ 连接 FC ．
(2) 猜想与证明：猜想四边形 ABCF 的形状，并说明理由 .
3、 如图，在 中， D ， E 分别是 AC ， AB 上的点， BD 与 CE 交于点 O ．给出下列四个条件： ① ∠EBO=∠DCO ； ② ∠BEO=∠CDO ； ③ BE=CD ； ④ OB=OC ．
（ 1 ）上述四个条件中，由哪两个条件可以判定 是等腰三角形？写出所有的情形．
（ 2 ）选择（ 1 ）中的一种情形，写出证明过程．
4、 在学习一元一次不等式与一次函数中 , 小明在同一个坐标系中分别做出了一次函数 l 1 和 l 2 的图像 ,l 1 与坐标轴的交点分别为点 A 、点 B,l 1 与 l 2 的交点为点 C, 但被同桌小英不小心用墨水给部分污染了 , 我们一起来探讨
(1) 写出点 A 、点 C 的坐标 :A(①,0);C(②,4);
(2) 求 △BOC 的面积 :S △BOC =③
(3) 直接写出不等式 2x+5<·x+· 的解集并回答下面问题
在解决问题 (3) 时 , 小明和小英各抒己见 . 小明 :“l 2 的表达式中已经看不清楚了 , 并且只知道 l 2 上一个点 C 的坐标 , 求不出该直线的表达式 , 所以无法求出该不等式的解集 ” 小英说 :“ 不用求出 l 2 的表达式就可以得出该不等式的解集 .” 你同意谁的说法 ? 并说明理由
5、 如图，在 △ABC 中，点 D 为边 BC 的中点，点 E 在 △ABC 内， AE 平分 ∠BAC ， CE⊥AE 点 F 在 AB 上，且 BF=DE
（ 1 ）求证：四边形 BDEF 是平行四边形
（ 2 ）线段 AB ， BF ， AC 之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论
6、 某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了 2000 元，乙种商品共用了 2400 元 已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多 8 元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
求甲、乙两种商品的每件进价；
该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为 60 元，乙种商品的销售单价为 88 元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变 要使两种商品全部售完后共获利不少于 2460 元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
7、 阅读下面材料，并解答其后的问题：
定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．
如图 1 ，四边形 ABCD 中，若 AD=AB ， CD=CB ，则四边形 ABCD 是筝形．
类比研究：
我们在学完平行四边形后，知道可以从对称性、边、角和对角线四个角度对平行四边形的性质进行研究，请根据示例图形，完成下表：
四边形
示例图形
对称性
边
角
对角线
平行
四边形
是中心对称图形
两组对边分别平行，两组对边分别相等．
两组对角
分别相等．
对角线互相平分．
筝形
①
两组邻边分别相等
有一组对角相等
②
（ 1 ）表格中 ① 、 ② 分别填写的内容是：
① ；
② ．
（ 2 ）演绎论证：证明筝形有关对角线的性质．
已知：在筝形 ABCD 中， AD ＝ AB ， BC ＝ DC ， AC 、 BD 是对角线．
求证： ．
证明：
（ 3 ）运用：如图 3 ，已知筝形 ABCD 中， AD ＝ AB ＝ 4 ， CD ＝ CB ， ∠A ＝ 90° ， ∠C ＝ 60° ，求筝形 ABCD 的面积．
8、 如图 1 ，已知平行四边形 ABCO ，以点 O 为原点， OC 所在的直线为 x 轴，建立直角坐标系， AB 交 y 轴于点 D ， AD=2 ， OC=6 ， ∠A=60° ，线段 EF 所在的直线为 OD 的垂直平分线，点 P 为线段 EF 上的动点， PM⊥x 轴于点 M 点，点 E 与 E′ 关于 x 轴对称，连接 BP 、 E′M ．
（ 1 ）请直接写出点 A 的坐标为 _____ ，点 B 的坐标为 _____ ；
（ 2 ）当 BP+PM+ME′ 的长度最小时，请直接写出此时点 P 的坐标为 _____ ；
（ 3 ）如图 2 ，点 N 为线段 BC 上的动点且 CM=CN ，连接 MN ，是否存在点 P ，使 △PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的 EP 的值；若不存在，请说明理由．
============参考答案============
一、选择题
1、 C
【分析】
可分两种情况：当 角为顶角时；当 角为底角时，结合等腰三角形的性质，利用三角形的内角和定理分别求解即可．
【详解】
解：当 角为顶角时，则等腰三角形的顶角为 ；
当 角为底角时，等腰三角形的顶角为 ，
即此等腰三角形的顶角为 或 ．
故选： ．
【点睛】
本题主要考查三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
2、 D
【分析】
根据把一个图形绕某一点旋转 180° ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答．
【详解】
解： ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选： ．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合．
3、 C
【分析】
根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】
解： ＋ ＝ ，
÷ ＝ ＝ x ，
故选： C ．
【点睛】
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
4、 C
【分析】
根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．由此即可确定出 的范围．
【详解】
解： 关于 的不等式组 的解集是 ，
，
故选： ．
【点睛】
此题考查了不等式组的解集，熟知 “ 同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到 ” 的原则是解答此题的关键．
5、 A
【详解】
分析：由题意将点 P 向下平移 5 个单位，再向左平移 4 个单位得到 P 1 ，再根据 P 1 与 P 2 关于原点对称，即可解决问题．
详解：由题意将点 P 向下平移 5 个单位，再向左平移 4 个单位得到 P 1 ．
∵ P （ 1.2 ， 1.4 ）， ∴ P 1 （﹣ 2.8 ，﹣ 3.6 ）．
∵ P 1 与 P 2 关于原点对称， ∴ P 2 （ 2.8 ， 3.6 ）．
故选 A ．
点睛：本题考查了坐标与图形变化，平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
6、 D
【分析】
分别判断各选项是否正确即可解答 .
【详解】
解： A. 若 a ＞ b ，则 3 ﹣ a ＜ 3 ﹣ b ，故 A 错误；
B. 如果 ab ＝ 0 ，那么 a ＝ 0 或 b ＝ 0 ，故 B 错误；
C. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，故 C 错误；
D. 有两个角为 60° 的三角形是等边三角形，故 D 正确；
故选 D.
【点睛】
本题考查了不等式的性质、平行四边形的判定、三角形的判定等知识，熟练掌握是解题的关键 .
7、 C
【分析】
根据图像 , 利用中心对称即可解题 .
【详解】
由题可知 ▱ABCD 关于点 O 中心对称 ,
∴ 点 A 和点 C 关于点 O 中心对称 ,
∵A(2 ， 3) ，
∴C( － 2 ，－ 3)
故选 C.
【点睛】
本题考查了中心对称 , 属于简单题 , 熟悉中心对称的点的坐标变换是解题关键 .
8、 B
【分析】
由若不等式 ，则 或 ，然后分类讨论，分别根据函数图象求得解集．
【详解】
解： 若 ，则有 或 ，
若不等式 ，则有 或 ．
当 时，
由图象可知 的解集是 x ＜－ 0.5 ， 的解集是 x ＜ 2 ，
∴ 不等式组 无解，
当 时，
由图象知 的解集是 x ＞－ 0.5 ， 的解集是 x ＜ 2 ，
∴ 不等式组 的解集是－ 0.5 ＜ x ＜ 2 ，
综上所述： ．
故选： ．
【点睛】
本题主要考查一次函数图象与一元一次不等式，熟练掌握一次函数图象与一元一次不等式是解决本题的关键．
9、 C
【分析】
根据平行四边形对角相等、邻角互补，得 ∠ABC=60° ， ∠DCB=120° ，再由 ∠A′DC=10° ，可运用三角形外角求出 ∠DA′B=130° ，再根据旋转的性质得到 ∠BA′E′=∠BAE=30° ，从而得到答案．
【详解】
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∠ADC=60° ，
∴∠ABC=60° ， ∠DCB=120° ，
∵∠ADA′=50° ，
∴∠A′DC=10° ，
∴∠DA′B=130° ，
∵AE⊥BC 于点 E ，
∴∠BAE=30° ，
∵△BAE 顺时针旋转，得到 △BA′E′ ，
∴∠BA′E′=∠BAE=30° ，
∴∠DA′E′=∠DA′B+∠BA′E′=160° ．
故选 C ．
考点：旋转的性质；平行四边形的性质．
10、 A
【分析】
过 P 作 PF∥BC 交 AC 于 F ，可得 △ABC 是等边三角形，然后证明 △PFD≌△QCD ，推出 DE= AC ，即可得出结果 .
【详解】
过 P 作 PF∥BC 交 AC 于 F ．
∵PF∥BC ， △ABC 是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD ， △APF 是等边三角形，
∴AP=PF=AF ，
∵PE⊥AC ，
∴AE=EF ，
∵AP=PF ， AP=CQ ，
∴PF=CQ ．
∵ 在 △PFD 和 △QCD 中，
，
∴△PFD≌△QCD （ AAS ），
∴FD=CD ，
∵AE=EF ，
∴EF+FD=AE+CD ，
∴AE+CD=DE= AC ，
∵AC=1 ，
∴DE= ．
故选 A ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，作辅助线构造等边三角形是关键 .
二、填空题
1、 ．
【分析】
先将 变形为 ，再将 x － y ＝ 4 xy 代入即可求解．
【详解】
解： ∵ x － y ＝ 4 xy ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
2、 ．
【详解】
首先提取公因式 3x ﹣ 7 ，再合并同类项即可根据代数式恒等的条件得到 a 、 b 的值，从而可算出 a+3b 的值：
∵ ，
∴a= － 7 ， b= － 8 ． ∴ ．
3、 25°
【分析】
根据中位线定理和已知条件，易证明 是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出 的度数．
【详解】
解： ∵ 、 、 分别是 、 、 的中点，
， 分别是 与 的中位线，
， ，
，
，
是等腰三角形，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的判定和性质，解题时要善于根据已知信息，熟练应用相关知识．
4、 60
【分析】
由线段垂直平分线的性质可得 ，可证 是等边三角形，可得 ，由平行四边形的性质可求 ，由线段垂直平分线的性质可得 ，即可求解．
【详解】
解： 点 在线段 的垂直平分线上，
，
又 ，
是等边三角形，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
点 在线段 的垂直平分线上，
，
，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质等知识点，证明 是解题的关键．
5、
【分析】
根据平移和翻折的性质得到 △MPN 是等腰直角三角形，于是得到当 PM 最小时，对角线 MN 最小，即 AE 取最小值，当 AE⊥BD 时， AE 取最小值，过 D 作 DF⊥AB 于 F ，根据平行四边形的面积得到 DF ＝ 2 ，根据等腰直角三角形的性质得到 AF ＝ DF ＝ 2 ，由勾股定理得到 BD ，根据三角形的面积得到 AE ，即可得到结论．
【详解】
解： ∵△ABE≌△CDF≌△PMQ ，
∴AE ＝ DF ＝ PM ， ∠EAB ＝ ∠FDC ＝ ∠MPQ ，
∵△ADE≌△BCG≌△PNR ，
∴AE ＝ BG ＝ PN ， ∠DAE ＝ ∠CBG ＝ ∠RPN ，
∴PM ＝ PN ，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠DAB ＝ ∠DCB ＝ 45° ，
∴∠MPN ＝ 90° ，
∴△MPN 是等腰直角三角形，
当 PM 最小时，对角线 MN 最小，即 AE 取最小值，
∴ 当 AE⊥BD 时， AE 取最小值，
过 D 作 DF⊥AB 于 F ，
∵ 平行四边形 ABCD 的面积为 6 ， AB ＝ 3 ，
∴DF ＝ 2 ，
∵∠DAB ＝ 45° ，
∴AF ＝ DF ＝ 2 ，
∴BF ＝ 1 ，
∴BD ，
∴AE ，
∴MN AE ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了平移的性质，翻折的性质，勾股定理，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
三、解答题
1、 （ 1 ）－ ＜ x ≤2 ；不等式组的整数解为－ 1 、 0 、 1 、 2 ；（ 2 ） ．
【分析】
（ 1 ）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，从而得出答案；
（ 2 ）先算小括号里面的，然后算括号外面的进行化简计算，最后代入求值．
【详解】
解：（ 1 ） ，
解不等式 ① ，得： ，
解不等式 ② ，得： ，
不等式组的解集为 ，
不等式组的整数解为 、 0 、 1 、 2 ；
（ 2 ）原式
，
当 时，
原式 ．
【点睛】
本题考查解一元一次不等式组，分式的化简求值，掌握解不等式组的步骤和分式混合运算的计算法则是解题关键．
2、 （ 1 ）详见解析；（ 2 ）四边形 ABCF 是平行四边形．
【分析】
（ 1 ）利用尺规作出 ∠DAC 的平分线 AM 即可，连接 BE 延长 BE 交 AM 于 F ，连接 FC ；
（ 2 ）只要证明 △AEF≌△CEB 即可解决问题．
【详解】
解：（ 1 ）如图所示：
（ 2 ）四边形 ABCF 是平行四边形．
理由如下：
∵ AB ＝ AC ，
∴∠ ABC ＝ ∠ ACB ．
∴∠ DAC ＝ ∠ ABC +∠ ACB ＝ 2∠ ACB ．
由作图可知 ∠ DAC ＝ 2∠ FAC ，
∴∠ ACB ＝ ∠ FAC ．
∴ AF ∥ BC ．
∵ 点 E 是 AC 的中点，
∴ AE ＝ CE ．
在 △ AEF 和 △ CEB 中 , ∠ FAE =∠ ECB ， AE ＝ CE ， ∠ AEF ＝ ∠ CEB ，
∴△ AEF ≌△ CEB （ ASA ），
∴ AF ＝ BC ．
又 ∵ AF ∥ BC ，
∴ 四边形 ABCF 是平行四边形．
【点睛】
本题考查了角平分线的作法、全等三角形的判定、平行四边形的判定，熟练掌握并灵活运用是解题的关键 .
3、 （ 1 ） ①③ ； ②③ ； ①④ ； ②④ 都可以组合证明 是等腰三角形；（ 2 ）选 ①③ 为条件证明 是等腰三角形，证明过程见解析（答案不唯一）．
【分析】
（ 1 ） ①③ ； ②③ ； ①④ ； ②④ 都可以组合证明 是等腰三角形；
（ 2 ）利用全等三角形的判定及性质以及等腰三角形的判定与性质分对每一种情形别证明即可．
【详解】
解：（ 1 ） ①③ ； ②③ ； ①④ ； ②④ 都可以组合证明 是等腰三角形；
（ 2 ）选 ①③ 为条件证明 是等腰三角形，理由如下：
在 和 中，
，
，
，
，
，
即 ，
，
是等腰三角形．
选 ②③ 为条件证明 是等腰三角形，理由如下：
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
．
是等腰三角形．
选 ①④ 为条件证明 是等腰三角形，理由如下：
，
，
，
，
，
．
是等腰三角形．
选 ②④ 为条件证明 是等腰三角形，理由如下：
， ，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，关键是掌握等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
4、 （ 1 ） ① ； ② ；（ 2 ） ③ ； （ 3 ） .
【详解】
分析 :(1) 因为点 A 是直线 l 1 与 x 轴的交点 , 所以令 y =0, 可得 , 解得 : , 因为点 C 的纵坐标为 4, 且点在直线 l 1 上 , 所以可得 , 解得 : ,
(2) 先根据直线 l 1 与 y 轴的交点 B , 求出点 B 的坐标 , 根据三角形的面积公式进行计算即可求出面积 ,
(3) 根据一元一次不等式与一次函数图象的关系 , 可观察图象根据两直线的交点和位置关系解一元一次不等式 .
详解 :
（ 1 ）因为点 A 是直线 l 1 与 x 轴的交点 ,
所以令 y =0, 可得 ,
解得 : ,
所以 ① ,
因为点 C 的纵坐标为 4, 且点在直线 l 1 上 ,
所以可得 ,
解得 : ,
所以 ② ,
(2) 因为直线 l 1 与 y 轴的交点 B ,
所以令 x =0, 可得 y =5,
所以 OB =5,
所以
（ 3 ）同意小英的说法 , 理由如下 :
求不等式 的解集 , 就是在图象上找出直线 在 在下方时对应的 x 的取值 , 两直线的交点 C 的横坐标 能够使 成立 . 在 C 点的左侧直线 在 的下方 , 即满足 y 1 < y 2 , 故此不等式的解集为 .
点睛 : 本题主要考查一次函数与一元一次方程和一元一次不等式的关系 , 解决本题的关键是要熟练掌握一次函数图象与一元一次方程和一元一次不等式的关系 .
5、 （ 1 ）见解析；（ 2 ） ，理由见解析
【分析】
（ 1 ）延长 CE 交 AB 于点 G ，证明 ，得 E 为中点，通过中位线证明 DE AB ，结合 BF=DE ，证明 BDEF 是平行四边形
（ 2 ）通过 BDEF 为平行四边形，证得 BF=DE= BG ，再根据 ，得 AC=AG ，用 AB-AG=BG ，可证
【详解】
（ 1 ）证明：延长 CE 交 AB 于点 G
∵AE CE
∴
在 和
∴
∴GE=EC
∵BD=CD
∴DE 为 的中位线
∴DE AB
∵DE=BF
∴ 四边形 BDEF 是平行四边形
（ 2 ）
理由如下：
∵ 四边形 BDEF 是平行四边形
∴BF=DE
∵D ， E 分别是 BC ， GC 的中点
∴BF=DE= BG
∵
∴AG=AC
BF= （ AB-AG ） = （ AB-AC ）．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的证明，中位线的性质，全等三角形的证明等综合性内容，作好适当的辅助线，是解题的关键．
6、 甲种商品的每件进价为 40 元，乙种商品的每件进价为 48 元； 甲种商品按原销售单价至少销售 20 件．
【详解】
【分析】 设甲种商品的每件进价为 x 元，乙种商品的每件进价为（ x+8 ） ) 元 根据 “ 某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了 2000 元，乙种商品共用了 2400 元 购进的甲、乙两种商品件数相同 ” 列出方程进行求解即可；
设甲种商品按原销售单价销售 a 件，则由 “ 两种商品全部售完后共获利不少于 2460 元 ” 列出不等式进行求解即可．
【详解】 设甲种商品的每件进价为 x 元，则乙种商品的每件进价为 元，
根据题意得， ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，
答：甲种商品的每件进价为 40 元，乙种商品的每件进价为 48 元；
甲乙两种商品的销售量为 ，
设甲种商品按原销售单价销售 a 件，则
，
解得 ，
答：甲种商品按原销售单价至少销售 20 件．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找出等量关系列出方程，找出不等关系列出不等式是解题的关键 .
7、 （ 1 ）轴对称图形，一条对角线垂直平分另一条对角线；（ 2 ） AC 垂直平分 BD ，证明见解析；（ 3 ）筝形 ABCD 的面积为 ．
【分析】
（ 1 ）根据轴对称图形的性质即可解决问题；
（ 2 ） 垂直平分 ，通过 证明 ，得 ，从而有 ， 即可；
（ 3 ）先由 AD ＝ AB ＝ 4 ， ∠DAB ＝ 90° 可得 ，再由 CD ＝ CB ， ∠DCB ＝ 60° 可得 是等边三角形，进而可得 CD ＝ BD ＝ ，再由（ 2 ）知 ， ，进而利用勾股定理可求得 ， ，最后再利用三角形的面积公式计算即可求得答案．
【详解】
解：（ 1 ）根据轴对称图形的定义及其性质可知：筝形是轴对称图形；它的一条对角线垂直平分另一条对角线；
故答案为：轴对称图形；一条对角线垂直平分另一条对角线；
（ 2 ） 垂直平分 ，
证明：如图 2 ，
在 与 中，
，
，
∴ AC 平分 ∠ DAB ，
又 ∵ AD ＝ AB ，
， ，
即 垂直平分 ；
（ 3 ）解：如图，连接 AC ， BD ， 与 交于点 ．
∵ AD ＝ AB ＝ 4 ， ∠DAB ＝ 90° ，
∴ ，
∵ CD ＝ CB ， ∠DCB ＝ 60° ，
∴ 是等边三角形，
∴ CD ＝ CB ＝ BD ＝ ，
， ，
∴ 由（ 2 ）知： ， ，
∴ 在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
．
【点睛】
本题是四边形的综合题，考查了勾股定理、线段垂直平分线的判定、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的三线合一，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8、 （ 1 ）（﹣ 2 ， 2 ），（ 4 ， 2 ）；（ 2 ）（ 2 ， ）；（ 3 ） EP 的值为 3 或 6 ﹣ 或 5 ．
【分析】
（ 1 ）由 30° 直角三角形的性质求出 OD 的长，再由平行四边形的性质求出 BD 的长即可解决问题；
（ 2 ）首先证明四边形 OPME ′ 是平行四边形，可得 OP = EM ，因为 PM 是定值，推出 PB + ME ′= OP + PB 的值最小时， BP + PM + ME ′ 的长度最小；
（ 3 ）分三种情形画出图形分别求解即可解决问题．
【详解】
解：（ 1 ）如图 1 中，
在 Rt△ ADO 中， ∵∠ A =60° ， ∴∠ AOD =30° ． ∵ AD =2 ， ∴ OD =2 ， ∴ A （﹣ 2 ， 2 ），
∵ 四边形 ABCO 是平行四边形， ∴ AB = OC =6 ， ∴ DB =6 ﹣ 2=4 ， ∴ B （ 4 ， 2 ）；
（ 2 ）如图 1 中，连接 OP ．
∵ EF 垂直平分线段 OD ， PM ⊥ OC ， ∴∠ PEO =∠ EOM =∠ PMO =90° ， ∴ 四边形 OMPE 是矩形， ∴ PM = OE = ．
∵ OE = OE ′ ， ∴ PM = OE ′ ， PM ∥ OE ′ ， ∴ 四边形 OPME ′ 是平行四边形， ∴ OP = EM ，
∵ PM 是定值， ∴ PB + ME ′= OP + PB 的值最小时， BP + PM + ME ′ 的长度最小， ∴ 当 O 、 P 、 B 共线时， BP + PM + ME ′ 的长度最小．
∵ 直线 OB 的解析式为 y = x ， ∴ P （ 2 ， ）．
故答案为（ 2 ， ）．
（ 3 ）如图 2 中，当 PM = PN = 时，
∵ AOCB 是平行四边形， ∴∠ MCN =∠ A =60° ． ∵ MC = CN ， ∴△ MNC 是等边三角形， ∴∠ CMN =∠ CNM =60° ．
∵ PM ⊥ OC ， ∴∠ PMN =∠ PNM =30° ， ∴∠ PNF =30°+60°=90° ，
∵∠ PFN =∠ BCO =60° ， ∴∠ NPF =30° ， NF =1 ， ∴ PF =2 NF =2 ，
∵ EF = =5 ， ∴ PE =5 ﹣ 2=3 ．
如图 3 中，当 PM = MN 时，
∵ PM = MN = CM = ， ∴ EP = OM =6 ﹣ ．
如图 4 中，当点 P 与 F 重合时， NP = NM ，此时 PE = EF =5 ．
综上所述：满足条件的 EP 的值为 3 或 6 ﹣ 或 5 ．
【点睛】
本题考查了四边形综合题、平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、最短问题等知识，解题的关键是学会利用两点之间线段最短，解决最短问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考压轴题．
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