资源描述
试卷主标题
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共12题）
1、 -8 的立方根是（ ）
A ． 2 B ． C ． D ．
2、 关于 的叙述， 错误 的是 ( )
A ． 是有理数
B ．面积为 12 的正方形的边长是
C ． ＝ 2
D ．在数轴上可以找到表示 的点
3、 花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为 0.000037 毫克，已知 1 克 =1000 毫克，那么 0.000037 毫克可用科学记数法表示为
A ． 3.7×10 ﹣ 5 克 B ． 3.7×10 ﹣ 6 克 C ． 37×10 ﹣ 7 克 D ． 3.7×10 ﹣ 8 克
4、 下列计算正确的是（ ）
A ． B ． C ． D ．
5、 有 19 位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得分前 10 位的同学进入决赛，某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这 19 位同学分数的 ( )
A ．平均数 B ．中位数 C ．众数 D ．方差
6、 如图，已知菱形 的对角线 相交于点 O ，若 ，则 的长是（ ）
A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4
7、 袋内装有标号分别为 1 、 2 、 3 、 4 的 4 个球，从袋内随机取出一个小球，让其标号为一个两位数的十位数字，放回搅匀后，再随机取出一个小球，主其标号为这个两位数的个位数字，则组成的两位数是 3 的倍数的概率为（ ）
A ． B ． C ． D ．
8、 如图，边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 45° 后得到正方形 AB 1 C 1 D 1 ，边 B 1 C 1 与 CD 交于点 O ，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ． B ． C ． D ．
9、 如图， 内接于 ⊙ ， 是 ⊙ 的直径， ， 平分 交 ⊙ 于 ，交 于点 ，连接 ，则 的值等于（ ）．
A ． B ． C ． D ．
10、 已知下列命题： ① 若 ，则 ； ② 若 ，则 ； ③ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． ④ 菱形的对角线互相垂直．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A ． 4 个 B ． 3 个 C ． 2 个 D ． 1 个
11、 如图 1 ，在矩形 中，点 在 上， ，点 从点 出发，沿 的路径匀速运动到点 停止，作 于点 ，设点 运动的路程为 ， 长为 ，若 与 之间的函数关系图象如图 2 所示，当 时， 的值是（ ）
A ． 2 B ． C ． D ． 1
12、 已知二次函数 的图象如图所示，顶点为（ -1,0 ），下列结论： abc ＜ 0 ； ； a ＞ 2 ； ＞ 0 ．其中正确结论的个数是（ ）
A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4
二、填空题（共8题）
1、 ________ ．
2、 化简： _________ ．
3、 已知关于 x 的分式方程 + =1 的解为负数，则 k 的取值范围是 _______ ．
4、 如图，折叠矩形 ，使 D 落在 边上的 F 处，若折痕 ，则 _________ ．
5、 如图， 中， ，点 A 坐标为 ，点 B 坐标为 ，且 ，若反比例函数 的图象经过点 C ，则 k 的值为 _________ ．
6、 如图，在四边形 中， ， 且 与 不平行， ， ，对角线 平分 ， ， 分别是底边 ， 的中点，连接 ，点 是 上的任意一点，连接 ， ，则 的最小值为 ________ ．
7、 如图，在正方形 中， E ， F 分别是边 上的点， 的周长为 8 ，则正方形 的边长为 ________ ．
8、 如图，在菱形 中， ， E ， F 分别是 上的点（不与端点重合），且 ，连接 与 相交于点 G ，连接 与 相交于点 H ，给出如下几个结论： ① ； ② S 四边形 BCDG ； ③ 若 ，则 ； ④ 与 一定不垂直； ⑤ 的大小为定值．其中正确的结论个数为 ________ ．
三、解答题（共6题）
1、 垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为每次连续接球 10 个，每垫球到位 1 个记 1 分．
运动员丙测试成绩统计表
测试序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
成绩（分）
7
6
8
b
7
5
8
a
8
7
（ 1 ）若运动员丙测试成绩的平均数和众数都是 7 ，则成绩表中的 a ＝ ， b ＝ ；
（ 2 ）若在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，你认为选谁更合适？请用你所学过的统计量加以分析说明（参考数据：三人成绩的方差分别为 S 甲 2 ＝ 0.81 、 S 乙 2 ＝ 0.4 、 S 丙 2 ＝ 0.8 ）
（ 3 ）甲、乙、丙三人相互之间进行垫球练习，每个人的球都等可能的传给其他两人，球最先从乙手中传出，第二轮结束时球又回到乙手中的概率是多少？（用树状图或列表法解答）
2、 如图，港口 B 位于港口 O 正西方向 120 海里处，小岛 C 位于港口 O 北偏西 60° 的方向．一艘科学考察船从港口 O 出发，沿北偏西 30° 的 OA 方向以 20 海里 / 小时的速度驶离港口 O ．同时一艘快艇从港口 B 出发，沿北偏东 30° 的方向以 60 海里 / 小时的速度驶向小岛 C ，在小岛 C 用 1 小时装补给物资后，立即按原来的速度给考察船送去．
（ 1 ）快艇从港口 B 到小岛 C 需要多少时间？
（ 2 ）快艇从小岛 C 出发后最少需要多少时间才能和考察船相遇？
3、 某板栗经销商在销售板栗时，经市场调查：板栗若售价为 10 元 / 千克，日销售量为 34 千克，若售价每提高 1 元 / 千克，日销售量就减少 2 千克，现设板栗售价为 x 元 / 千克（ 且为正整数）．
（ 1 ）若某日销售量为 24 千克，直接写出该日板栗的单价；
（ 2 ）若政府将销售价格定为不超过 15 元 / 千克，设每日销售额为 w 元，求 w 关于 x 的函数表达式，并求 w 的最大值和最小值．
（ 3 ）若政府每日给板栗经销商补贴 a 元后（ a 为正整数）发现只有 4 种不同的单价使日收入不少于 395 元且不超过 400 元，请直接写出 a 的值，（日收入＝销售额＋政府补贴）
4、 如图， 是 的直径，点 A 为圆上一点（不与 C ， D 点重合），经过 A 作 的切线，与 的延长线交于点 P ，点 M 为 上一点，连接 并延长，与 交于点 F ， E 为 上一点，且 ，连接 并延长，与 交于点 B ，连接 ．
（ 1 ）求证： ．
（ 2 ）若 ，求 的长．
（ 3 ）如果 ，求 的长．
5、 在矩形 中， ， ，点 是边 上一动点，连接 ，将 沿 翻折，点 的对应点为点 ．
（ 1 ）如图，设 ， ，在点 从 点运动到 点的过程中．
① 最小值是 ______ ，此时 x =______ ；
② 点 的运动路径长为 ______ ．
（ 2 ）如图，设 ，当点 的对应点 落在矩形 的边上时，求 的值．
6、 函数 的图像与 x 轴交于 A ， B 两点，与 y 轴交于点 C ， OB ＝ OC ．点 D 在函数图像上， 轴，且 CD ＝ 2 ，直线 l 是抛物线的对称轴， E 是抛物线的顶点．
（ 1 ）求 b ， c 的值；
（ 2 ）如图 ① ，连接 BE ，线段 OC 上的点 F 关于直线 l 的对称点 F ' 恰好在线段 BE 上，求点 F 的坐标；
（ 3 ）如图 ② ，动点 P 在线段 OB 上，过点 P 作 x 轴的垂线分别与 BC 交于点 M ，与抛物线交于点 N ．试问：抛物线上是否存在点 Q ，使得 与 的面积相等，且线段 NQ 的长度最小？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，说明理由．
============参考答案============
一、选择题
1、 B
【分析】
利用立方根的定义解答．
【详解】
解： ∵(-2) 3 =-8 ，
∴-8 的立方根是 -2 ．
故选： B ．
【点睛】
本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．
2、 A
【详解】
试题分析： 是无理数， A 项错误，故答案选 A.
考点：无理数 .
3、 D
【分析】
绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a ×10 ﹣ n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定．
【详解】
解： 0.000000037 ＝ 3.7×10 ﹣ 8 ，
故选 D ．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a ×10 ﹣ n ，其中 1≤| a | ＜ 10 ， n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定．
4、 C
【分析】
分别根据合并同类项法则，单项式乘单项式的运算法则，单项式除单项式的运算法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
【详解】
A 、 原计算错误，不符合题意；
B 、 原计算错误，不符合题意；
C 、 正确，符合题意；
D 、 原计算错误，不符合题意；
故选：
【点睛】
本题主要考查了合并同类项，单项式乘单项式，同底数幂的除法、负整数指数幂以及积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
5、 B
【详解】
试题分析：因为第 10 名同学的成绩排在中间位置，即是中位数．所以需知道这 19 位同学成绩的中位数．
解： 19 位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得前 10 位同学进入决赛，中位数就是第 10 位，因而要判断自己能否进入决赛，他只需知道这 19 位同学的中位数就可以．
故选 B ．
考点：统计量的选择．
6、 B
【分析】
根据菱形的对角线互相垂直平分可得 AC ⊥ BD ， OA = AC =3 ， BD =2 OB ．再解 Rt △ OAB ，根据 tan ∠ BAC = = ，求出 OB =1 ，那么 BD =2 ．
【详解】
解： ∵ 四边形 ABCD 是菱形， AC =6 ，
∴ AC ⊥ BD ， OA = AC =3 ， BD =2 OB ．
在 Rt △ OAB 中， ∵∠ AOD =90° ，
∴ tan ∠ BAC = = ，
∴ OB =1 ，
∴ BD =2 ．
故选： B ．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，解直角三角形，锐角三角函数的定义，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
7、 B
【分析】
通过画树状图可求出概率．
【详解】
画树状图为：
共有 16 种等可能的结果数，其中所成的两位数是 3 的倍数的结果数为 5 ，所以成的两位数是 3 的倍数的概率 = ．
故选 B ．
考点：列表法与树状图法
8、 B
【分析】
先根据正方形的边长，求得 CB 1 =OB 1 =AC-AB 1 = -1 ，进而得到 ，再根据 S △AB1C1 = ，以及扇形的面积公式即可得出图中阴影部分的面积．
【详解】
连结 DC 1 ，
∵∠ CAC 1 ＝ ∠ DCA ＝ ∠ COB 1 ＝ ∠ DOC 1 ＝ 45° ，
∴∠ AC 1 B 1 ＝ 45° ，
∵∠ ADC ＝ 90° ，
∴ A ， D ， C 1 在一条直线上，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AC ＝ ， ∠ OCB 1 ＝ 45° ，
∴ CB 1 ＝ OB 1
∵ AB 1 ＝ 1 ，
∴ CB 1 ＝ OB 1 ＝ AC ﹣ AB 1 ＝ ﹣ 1 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 图中阴影部分的面积＝ ．
故选 B ．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，正方形性质、勾股定理以及扇形面积的计算等知识点的综合应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力．解题时注意：旋转前、后的图形全等．
9、 D
【详解】
∵ 是直径，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
又 ∵
∴ ， ，
如图，过 作 于 ，连接 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
，
故选 D ．
10、 D
【详解】
解： ① 原命题为若 ，则 ； 正确．
逆命题为 ，则 不正确．
② 原命题若 ，则 ； 不正确． a ， b 可能为相反数．
逆命题 ，则 正确．
③ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．正确．
逆命题斜边上的中线等于斜边的一般的三角形是直角三角形．正确．
④ 菱形的对角线互相垂直．正确．
逆命题对角线互相垂直的四边形是菱形．不正确．
故选 D
11、 B
【分析】
由图象可知： AE ＝ 3 ， BE ＝ 4 ，根据勾股定理可得 AB=5 ，当 x=6 时，点 P 在 BE 上，设此时的 PQ 为 ，先求出 的长，再根据 ，求出 的长，即 PQ 的长．
【详解】
解：由图象可知：
AE ＝ 3 ， BE ＝ 4 ， ，
∴AB=
当 x=6 时 , 点 P 在 BE 上 , 设此时的 PQ 为 如图
,
此时 =4-(7-x)=x-3=6-3=3
∵ABCD 是矩形 ,
∴AB // CD
∴
∵
∴
∴
∴
∴
即
故选： B ．
【点睛】
本题考查的是动点问题函数图象，涉及到三角形相似，勾股定理和矩形的性质，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义 , 理解动点的完整运动过程．
12、 B
【详解】
解：根据函数图象可知：抛物线开口向上，所以 a ＞ 0 ，对称轴为 x=-1 ，所以 b ＞ 0 ，抛物线与 y 轴交于正半轴，所以 c+2 ＞ 2 ， c ＞ 0 ，所以 abc ＞ 0 ，故 错误；
因为抛物线与 x 轴只有一个交点，所以 ，所以 错误；
因为对称轴为 x=-1 ，所以 ，所以 ，把点（ -1,0 ）代入解析式得： ，所以 ，所以 ＞ 2 ，所以 正确；
根据抛物线的对称性可得：当 x=-2 时， ＞ 2 ，所以 ＞ 0 ，所以 正确．
因此共有 正确，故选 B ．
考点：二次函数的图象与性质．
二、填空题
1、
【分析】
分别根据绝对值的性质，二次根式的性质，特殊角的三角函数值和负整指数幂的性质进行计算，再算加减即可．
【详解】
，
故填： ．
【点睛】
本题考查了实数的综合运算能力，解答此题的关键是熟练掌握负整指数幂、二次根式、绝对值和特殊角的三角函数的运算．
2、
【分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到最简结果．
【详解】
解：
．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了分式的化简，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
3、 k ＞ 且 k≠0 ．
【详解】
试题分析：去分母得 k （ x ﹣ 1 ） + （ x+k ）（ x+1 ） = （ x+1 ）（ x ﹣ 1 ），整理得（ 2k+1 ） x= ﹣ 1 ，因为方程 的解为负数，所以 2k+1 ＞ 0 且 x≠±1 ，即 2k+1≠1 且 2k+1≠ ﹣ 1 ，解得 k ＞ 且 k≠0 ，即 k 的取值范围为 k ＞ 且 k≠0 ．故答案为 k ＞ 且 k≠0 ．
考点：分式方程的解．
4、 10
【分析】
根据 tan ∠ EFC = ，设 CE =3 k ，在 RT △ EFC 中可得 CF =4 k ， EF = DE =5 k ，根据 ∠ BAF =∠ EFC ，利用三角函数的知识求出 AF ，然后在 RT △ AEF 中利用勾股定理求出 k ，继而代入可得出答案．
【详解】
解： ∵ tan ∠ EFC = ，
设 CE =3 k ，则 CF =4 k ，由勾股定理得 EF = DE = =5 k ，
∴ DC = AB =8 k ，
∵∠ AFB +∠ BAF =90° ， ∠ AFB +∠ EFC =90° ，
∴∠ BAF =∠ EFC ，
∴ tan ∠ BAF = tan ∠ EFC = ，
∴ BF =6 k ， AF = BC = AD =10 k ，
在 Rt △ AFE 中，
由勾股定理得 AE = = k =5 ，
解得： k =1 ，
∴ BC =10×1=10 ；
故答案为： 10 ．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理；解答本题关键是根据三角函数值，表示出每条线段的长度，然后利用勾股定理进行解答．
5、
【分析】
首先要求出点 C 的坐标即可求得 k 的值，通过构造 Rt △ ADC ，应用 30° 所对的直角边等于斜边的一半即可求得．
【详解】
过点 C 作 CD ⊥ y 轴，垂足为 D ，如图：
∵ 点 A 坐标为 ，点 B 坐标为 ，
∴ AB =2 ，
又 ∵ ,
∴ AC = , ,
又 ∵ CD ⊥ y 轴，
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ 点 C 的坐标为 ，
∴ ．
故填： ．
【点睛】
本题考查求反比例函数解析式，直角三角形中 30° 所对的直角边是斜边的一半，解题关键是熟练掌握直角三角形的性质．
6、
【分析】
要求 PA+PB 的最小值， PA 、 PB 不能直接求，可考虑转化 PA 、 PB 的值，从而找出其最小值求解．
【详解】
解： ∵E ， F 分别是底边 AD ， BC 的中点，四边形 ABCD 是等腰梯形，
∴B 点关于 EF 的对称点 C 点， ∴AC 即为 PA+PB 的最小值，
∵∠BCD=60° ，对角线 AC 平分 ∠BCD ， ∴∠ABC=60° ， ∠BCA=30° ，
∴ ∠BAC=90° ， ， ，
， ∵AD=2 ， ，
∴PA+PB 的最小值＝ AB•tan60° ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了等腰梯形的性质和轴对称图形的性质，三角函数等知识的综合应用．综合运用这些知识是解决本题的关键．
7、 4
【分析】
首先将 △ BAE 绕点 B 顺时针旋转 90° ，得到 △ BCG ，再根据旋转的性质得出 BG = BE ， , 再根据 ，得出 , 证明 , 即可得到 EF = FG , 最后利用全等三角形的性质即可得到 △ DEF 的周长就是 ．
【详解】
解： ∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴ AB = BC=AD=CD ， ∠ BAE =∠ C =90° ，
∴ 把 △ ABE 绕点 A 顺时针旋转 90° 可得到 △ BCG ，如图，
∴ BG = BE ， CG = AE ， ∠ GBE =90° ， ∠ BAE =∠ C =90° ， ,
∴ 点 G 在 DC 的延长线上，
∵∠ EBF =45° ，
∴ ，
∴ ,
即 ，
在 △ FBG 和 △ FBE 中，
∵
∴△ FBG ≌△ FBE （ SAS ），
∴ FG = EF ，
而 FG = FC + CG = CF + AE ，
∴ EF = CF + AE ，
∵△ DEF 的周长 = DF + DE + CF + AE = CD + AD =8 ，
∴ AD =4 ；
故填： 4 ．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等 , 也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质 , 得出 △ FBE ≌△ FBG 是解题关键．
8、 ①③⑤
【分析】
① 先证明 △ ABD 为等边三角形，根据 “ SAS ” 证明 △ AED ≌△ DFB ；
② 证明 ∠ BGE =60°=∠ BCD ，从而得点 B 、 C 、 D 、 G 四点共圆，因此 ∠ BGC =∠ DGC =60° ，过点 C 作 CM ⊥ GB 于 M ， CN ⊥ GD 于 N ．证明 △ CBM ≌△ CDN ，所以 S 四边形 BCDG = S 四边形 CMGN ，易求后者的面积；
③ 过点 F 作 FP ∥ AE 于 P 点，根据三角形相似有 FP ： AE = DF ： DA =1 ： 3 ，则 FP ： BE =1 ： 6= FG ： BG ，即 BG =6 GF ；
④ 因为点 E 、 F 分别是 AB 、 AD 上任意的点（不与端点重合），且 AE = DF ，当点 E ， F 分别是 AB ， AD 中点时， CG ⊥ BD ；
⑤∠ BGE =∠ BDG +∠ DBF =∠ BDG +∠ GDF =60° ．
【详解】
①∵ ABCD 为菱形，
∴ AB = AD ，
∵ AB = BD ，
∴△ ABD 为等边三角形，
∴∠ A =∠ BDF =60° ，
又 ∵ AE = DF ， AD = BD ，
∴△ AED ≌△ DFB ，故 ① 正确；
②∵∠ BGE =∠ BDG +∠ DBF =∠ BDG +∠ GDF =60°=∠ BCD ，
即 ∠ BGD +∠ BCD =180° ，
∴ 点 B 、 C 、 D 、 G 四点共圆，
∴∠ BGC =∠ BDC =60° ， ∠ DGC =∠ DBC =60° ，
∴∠ BGC =∠ DGC =60° ，
过点 C 作 CM ⊥ GB 于 M ， CN ⊥ GD 于 N （如图 1 ）， ∴ CM = CN ，
则 △ CBM ≌△ CDN （ AAS ），
∴ S 四边形 BCDG = S 四边形 CMGN ，
S 四边形 CMGN =2 S △ CMG ，
∵∠ CGM =60° ，
∴ GM = CG ， CM = CG ，
∴ S 四边形 CMGN =2 S △ CMG =2× × CG × CG = ，故 ② 错误；
③ 过点 F 作 FP ∥ AE 于 P 点（如图 2 ），
∴ ,
∴ FP ： AE = DF ： DA ，
∵ AF =2 FD ，
∴ FP ： AE = DF ： DA =1 ： 3 ，
∵ AE = DF ， AB = AD ，
∴ BE =2 AE ，
∴ FP ： BE = FP ： 2 AE =1 ： 6 ，
∵ FP ∥ AE ，
∴ PF ∥ BE ，
∴ ,
∴ FG ： BG = FP ： BE =1 ： 6 ，
即 BG =6 GF ，故本选项正确；
④ 当点 E ， F 分别是 AB ， AD 中点时（如图 3 ），
由（ 1 ）知， △ ABD ， △ BDC 为等边三角形，
∵ 点 E ， F 分别是 AB ， AD 中点，
∴∠ BDE =∠ DBG =30° ，
∴ DG = BG ，在 △ GDC 与 △ BGC 中，
∵ DG = BG ， CG = CG ， CD = CB ，
∴△ GDC ≌△ BGC ，
∴∠ DCG =∠ BCG ，
∴ CH ⊥ BD ，即 CG ⊥ BD ，故本选项错误；
⑤∵∠ BGE =∠ BDG +∠ DBF =∠ BDG +∠ GDF =60° ，为定值，故本选项正确；
综上所述，正确的结论有 ①③⑤ ，
故填： ①③⑤ ．
【点睛】
本题综合考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形中 30° 所对的直角边是斜边的一半，相似三角形的判定与性质，作出辅助线构造出全等三角形和相似三角形是解题的关键．
三、解答题
1、 （ 1 ） a ＝ 7 ， b ＝ 7 ；（ 2 ）选乙更合适；（ 3 ） ．
【分析】
（ 1 ）根据众数、得到 a 、 b 中至少有一个为 7 ，再根据平均数进而确定 a ＝ b ＝ 7 ；
（ 2 ）求出甲、乙、丙的平均数、众数，通过平均数、众数比较得出乙、丙较好，再根据方差，得出乙的成绩较好，较稳定．
（ 3 ）用树状图表示所有可能的情况，从中得出第二轮又回到乙手中的概率．
【详解】
解：（ 1 ）由众数的意义可知， a 、 b 中至少有一个为 7 ，又平均数是 7 ，即（ 56+ a + b ） ÷10 ＝ 7 ，
因此， a ＝ 7 ， b ＝ 7 ，
故答案为： 7 ， 7 ；
（ 2 ）甲的平均数为： ＝ ＝ 6.3 分，众数是 6 分，
乙的平均数为： ＝ ＝ 7 分，众数为 7 分，
丙的平均数为： ＝ 7 分，众数为 7 分，
从平均数上看，乙、丙的较高，从众数上看乙、丙较高，
但 S 乙 2 ＝ 0.4 ＜ S 丙 2 ＝ 0.8 ，
因此，综合考虑，选乙更合适．
（ 3 ）树状图如图所示：
∴ 第二轮结束时球又回到乙手中的概率 P ＝ ．
【点睛】
本题主要考查了数据的收集与整理及概率，涉及了平均数、众数、方差的计算方法及其意义以及树状图或列表法求概率，灵活的从条形统计图、折线统计图以及表格中获取相关数据是解题的关键 .
2、 （ 1 ） 1 小时；（ 2 ） 1 小时 .
【详解】
试题分析：（ 1 ）要求 B 到 C 的时间，已知其速度，则只要求得 BC 的路程，再利用路程公式即可求得所需的时间．
（ 2 ）过 C 作 CH⊥OA ，垂足为 H ．设快艇从 C 岛出发后最少要经过 x 小时才能和考察船在 OA 上的 D 处相遇，则 CD=60x ， OD=20 （ x+2 ）．根据直角三角形的性质可解得 x 的值，从而求得快艇从小岛 C 出发后和考察船相遇的最短的时间．
试题解析：（ 1 ）由题意可知： ∠CBO=60° ， ∠COB=30 度．
∴∠BCO=90 度．
在 Rt△BCO 中，
∵OB=120 ，
∴BC=60 ， OC=60 ．
∴ 快艇从港口 B 到小岛 C 的时间为： 60÷60=1 （小时）．
（ 2 ）设快艇从 C 岛出发后最少要经过 x 小时才能和考察船在 OA 上的 D 处相遇，则 CD=60x ．
过点 D 作 DE⊥CO 于点 E ，
∵ 考察船与快艇是同时出发，
∵ 快艇从港口 B 到小岛 C 的时间是 1 小时，在小岛 C 用 1 小时装补给物资，
∴ 考察船从 O 到 D 行驶了（ x+2 ）小时，
∴OD=20 （ x+2 ）．
过 C 作 CH⊥OA ，垂足为 H ，
在 △OHC 中，
∵∠COH=30° ， OB=120 ，
∴CO=60 ，
∴CH=30 ， OH=90 ．
∴DH=OH-OD=90-20 （ x+2 ） =50-20x ．
在 Rt△CHD 中， CH 2 +DH 2 =CD 2 ，
∴ （ 30 ） 2 + （ 50-20x ） 2 = （ 60x ） 2 ．
整理得： 8x 2 +5x-13=0 ．
解得： x 1 =1 ， x 2 =- ．
∵x ＞ 0 ，
∴x=1 ．
答：快艇从小岛 C 出发后最少需要 1 小时才能和考察船相遇．
考点： 解直角三角形的应用 - 方向角问题．
3、 （ 1 ）该日板栗的单价为 15 元 / 千克；（ 2 ） w 关于 x 的函数表达式为 w =-2 x 2 +54 x ， w 的最大值为 364 元， w 的最小值为 340 元；（ 3 ） a 的值为 35 或 36 ．
【分析】
（ 1 ）根据售价每提高 1 元 / 千克，日销售量就减少 2 千克，且某日销售量为 24 千克，列方程求解即可；
（ 2 ）根据题意，利用每日销售额等于销售量乘以销售单价，列出函数关系式，并将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；
（ 3 ）由题意得： 395≤-2 x 2 +54 x + a ≤400 ，由二次函数的对称性及只有 4 种不同的单价使日收入不少于 395 元且不超过 400 元，可知 x 的取值为 12 ， 13 ， 14 ， 15 ，计算可得 a 的值．
【详解】
解：（ 1 ）根据题意得： 34-2( x -10)=24 ，
解得 x =15 ，
∴ 该日板栗的单价为 15 元 / 千克；
（ 2 ）根据题意得：
w = x [34-2( x -10)]
=-2 x 2 +54 x
=-2( x − ) 2 + ，
由题意得： 10≤ x ≤15 ，且 x 为正整数，
∵-2 ＜ 0 ，
∴ 当 x =13 或 14 时， w 有最大值，最大值为 364 元．
当 x =10 时， w 有最小值，最小值为： -2(10− ) 2 + =340 （元）．
∴ w 关于 x 的函数表达式为 w =-2 x 2 +54 x ， w 的最大值为 364 元， w 的最小值为 340 元；
（ 3 ）由题意得： 395≤-2 x 2 +54 x + a ≤400 ，
∵ 只有 4 种不同的单价使日收入不少于 395 元， 4 为偶数，
∴ 由二次函数的对称性可知， x 的取值为 12 ， 13 ， 14 ， 15 ，
当 x =12 或 15 时， -2 x 2 +54 x =360 ；当 x =13 或 14 时， -2 x 2 +54 x =364 ，
∵ 补贴 a 元后日收入不少于 395 元且不超过 400 元， 360+35=395 ， 364+36=400 ，
∴ a 的值为 35 或 36 ．
【点睛】
本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4、 （ 1 ）见解析；（ 2 ） PA = ；（ 3 ） AC ．
【分析】
（ 1 ）连接 AF ，由切线的性质、圆周角定理和等量代换得出 ∠ MAC =∠ F ，由等腰三角形的性质得出 ∠ MAE =∠ MEA ，由三角形的外角性质证出 ∠ BAC =∠ BAF ，即可得出结论；（ 2 ）连接 AD ，由切线的性质、圆周角定理和等量代换得出 ∠ MAC =∠ D ，由 ∠ P =∠ P ，证出 △ PAC ∽△ PDC ，利用相似三角形的性质即可得出结果；
（ 2 ）由 ，设 OA = x ，则 OP =3 x ，求得 OA = r =2 ， OP ， DP =8 ，由 △ PAC ∽△ PDA ，以及勾股定理即可求解．
【详解】
（ 1 ）证明：连接 AF ，如图 1 所示：
∵ PA 是 ⊙ O 的切线，
∴∠ MAC =∠ F ，
∵ MA = ME ，
∴∠ MAE =∠ MEA ，
∵∠ MAE =∠ MAC +∠ BAC ， ∠ MEA =∠ F +∠ BAF ，
∴∠ BAC =∠ BAF ，
∴ ；
（ 2 ）解：连接 AD ，如图 2 所示：
∵ PA 是 ⊙ O 的切线，
∴∠ MAC =∠ D ，
∵∠ P =∠ P ，
∴△ PAC ∽△ PDA ，
∴ ，
∴ PA 2 = PC • PD =7 ，
∴ PA = ；
（ 3 ）连接 OA ，
∵ PA 是 ⊙ O 的切线，
∴ OA ⊥ PA ，
∵ ，即 ，
设 OA = x ，则 OP =3 x ，
由勾股定理： ，即 ，
解得： ( 负值已舍 ) ，
∴ OA = r =2 ， OP =3 ，
∴ DP = DO + OP =2+6=8 ，
由（ 2 ）得 △ PAC ∽△ PDA ，
∴ ，即 ，
设 AD = m ，则 AC = ，
∵ CD 是 ⊙ O 的直径，
∴∠ DAC =90 ，
∴ ，即 ，
解得： ( 负值已舍 ) ，
∴ AC =
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、弦切角定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及锐角三角函数等知识；熟练掌握圆周角定理和弦切角定理，证明三角形相似是解题的关键．
5、 （ 1 ） ①2 ， ； ② ；（ 2 ） 或
【分析】
（ 1 ） ① 由题意，当点 恰好在直线 AC 上时， 有最小值，然后求出答案即可；
② 先证明点 在以 A 为圆心， 1 为半径的圆上，再求出 ，然后根据弧长公式，即可求出答案；
（ 2 ）分两种情况， ① 当点 落在 AD 边上时，四边形 为正方形，然后求出答案； ② 当点 落在 CD 边上时，证明 ，利用相似三角形的性质，即可求出答案．
【详解】
解：（ 1 ） ① 连接 ，如图 1 ， ,
由折叠的性质得： ， ，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ ，
∴ ；
当点 恰好在直线 AC 上时， 有最小值，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： 2 ， ；
② 当点 E 从 B 到点 C 的过程中， ，
∴ 点 在以 A 为圆心， 1 为半径的圆上，
由 ① 知， ，
∴ ，
∴ 点 的运动路径长为： ；
故答案为： ；
（ 2 ）当点 落在 边上时（如图），四边形 为正方形，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
当点 落在 边上时（如图），
由折叠得 ，
∴ ， ，
由 得，
∴ ， ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 或 ；
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、正方形的判定和性质、含 30 度直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、弧长公式等知识，熟练掌握所学的知识，正确进行分析题意是解题的关键．
6、 （ 1 ） ， ；（ 2 ）点 的坐标为 ；（ 3 ）存在满足题意的点 Q ，坐标为 或 ．
【分析】
（ 1 ） CD ＝ 2 ，则函数对称轴 ，即： ，则函数表达式为： ， OB ＝ OC ，则点 B 坐标为 ，把点 B 坐标代入函数表达式，即可求解；
（ 2 ）直线 BE 的表达式为： ，把 代入上式得： ，即：点坐标为 ，即可求解；
（ 3 ）设点 P 的坐标为 ，可表示出 PN 、 PA 、 PB 的长，作 ，垂足为 R ，则可求出 QR 的长，用 n 可以表示出 Q 、 R 、 N 的坐标，在 中用勾股定理可求出关于 n 的二次函数，利用二次函数的性质可以求出 Q 点的坐标
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
