资源描述
试卷主标题
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共12题）
1、 在 △ 中，已知 ，则 △ 的形状为（ ）
A ．等腰三角形 B ．直角三角形
C ．正三角形 D ．等腰或直角三角形
2、 赵爽是我国古代数学家、天文学家．约公元 222 年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了 “ 勾股圆方程 ” ，亦称 “ 赵爽弦图 ” ，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如图是一张弦图，已知大正方形的面积为 25 ，小正方形的面积为 1 ，若直角三角形较小的锐角为 ，则 的值为（ ）
A ． 7 B ． C ． 4 D ． 9
3、 在 中，已知 ，设 以下说法错误的是（ ）
A ．若 有两解， B ．若 有唯一解，
C ．若 无解， D ．当 ， 外接圆半径为 10
4、 已知 ，则 “ ” 是 “ ” 的（ ）
A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件
C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件
5、 一个扇形 的面积是 1 平方厘米，它的周长是 4 厘米，则它的中心角是
A ． 2 弧度 B ． 3 弧度 C ． 4 弧度 D ． 5 弧度
6、 方程 的解集为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7、 角 的终边属于第一象限，那么 的终边不可能属于的象限是（ ）
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
8、 已知定义域是全体实数的函数 满足 ，且 ， ，现定义函数 ， 为： ，其中 ，那么下列关于 ， 叙述正确的是（ ）
A ．都是偶函数且周期为
B ．都是奇函数且周期为
C ．都是周期函数但既不是奇函数又不是偶函数
D ．都不是周期函数
9、 已知函数 ，则 “ ” 是 “ 为偶函数 ” 的（ ）条件
A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件
C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件
10、 在 中， ，则 的形状为（ ）．
A ． 正三角形 B ． 直角三角形 C ． 等腰直角三角形 D ． 等腰三角形
11、 设定义在 上的函数 ，则 （ ）
A ．在区间 上是增函数 B ．在区间 上是减函数
C ．在区间 上是增函数 D ．在区间 上是减函数
12、 设函数 ，若对于任意实数 ， 在区间 上至少有 2 个零点，至多有 3 个零点，则 的取值范围是（ ）
A ． B ． C ． D ．
二、填空题（共36题）
1、 已知角 的终边经过点 ，则 的值是 ________ ．
2、 函数 的最小正周期是 ________ ．
3、 已知 ，且 是第二象限角，则 的值是 ________ ．
4、 已知 ，则 ________ ．
5、 若 为锐角，且 ，则 ________ ．
6、 方程 在 上的解组成的集合为 ________ ．
7、 已知 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 ，则 ________ ．
8、 函数 ， 的严格递增区间是 ________ ．
9、 函数 的图像向右平移 个单位长度后与函数 的图像重合，则 的最小值为 ________ ．
10、 在等腰直角三角形 中， ， ， M 是 中点，点 D 是 AC 上一点，若 ，则 ________ ．
11、 设 的内角 A 、 B 、 C 满足 ，则 的最小值为 ________ ．
12、 在平面直角坐标系中，已知点 ， ，若对于 y 轴上的任意 5 个不同的点 ，总存在两个不同的点 ，使得 ，则 的最小值为 ________ ．
13、 已知平面直角坐标系中，角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的正半轴重合，其终边上有一点 ，则 ______________ ．
14、 计算： ______________ ．
15、 若 ，且 ，则 ______________ ．
16、 已知 ，则 ______________ ．
17、 把 化为 （其中 ， 的形式： ________________ ．
18、 函数 的最小正周期为 ________________ ．
19、 已知： ，则 ________
20、 若 ， ，则 ________________ ．
21、 小瑗在解试题： “ 已知锐角 与 的值，求 的正弦值 ” 时，误将两角和的正弦公式错记成了 “ ” ，解得的结果为 ，发现与标准答案一致，那么原题中的锐角 的值为 ________ （写出所有的可能值）
22、 如图，平面上有一条走廊宽为 3 米，夹角为 120° ，地面是水平的，走廊两端足够长．那么能够通过走廊的钢筋（看作线段，不考虑粗细）的最大长度为 ____________________ 米．
23、 设 ，使不等式 成立的实数 取值范围是 _________ .
24、 如图，已知等腰三角形 ABC 的顶角 ， D 是腰 AB 上一点．若 ， ，则 ____________________ ．
25、 函数 的最小正周期为 ___________.
26、 为第三象限的角，且 ，则 是第 ________ 象限的角．
27、 已知扇形的周长为 ，面积为 ，则扇形的圆心角 的弧度数为 ___________.
28、 函数 的定义域为 ___________.
29、 方程 在 内的解为 ___________ （用反三角函数表示）
30、 已知奇函数 的一个周期为 2 ，当 时， ，则 ___________.
31、 已知角 满足 ，则 ____________
32、 函数 的单调递增区间为 ___________.
33、 函数 在 上的值域是 ___________.
34、 已知 向右平移 个单位后为奇函数，则 ___________.
35、 我们知道函数的性质中，以下两个结论是正确的： ① 偶函数 在区间 上的取值范围与在区间 上的取值范围是相同的； ② 周期函数 在一个周期内的取值范围也就是 在定义域上的值域，由此可求函数 的值域为 ___________.
36、 已知定义在 R 上的奇函数，满足 ，当 时， ，若函数 ，在区间 上有 2021 个零点，则 m 的取值范围是 ___________
三、解答题（共15题）
1、 （ 1 ）证明： ；
（ 2 ） 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，若 ，求 的面积 S ．
2、 已知 ，且 是锐角．
（ 1 ）求 的值；
（ 2 ）求 的值．
3、 某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形 的半径为 10 ， 交 于 M ，交 于 C ，且 ，设 ，
（ 1 ）用 表示 的长度；
（ 2 ）若按此方案设计，工艺制造厂发现，当 最长时，该奖杯比较美观的长度以及 的大小．
4、 已知函数 ，其中 ，
（ 1 ）若 ，求函数 的最小正周期以及函数图像的对称中心；
（ 2 ）若函数 在 上严格递增，求 的取值范围；
（ 3 ）若函数 在 （ 且 ）满足：方程 在 上至少存在 2021 个根，且在所有满足上述条件的 中， 的最小值不小于 2021 ，求 的取值范围．
5、 如图，在平面直角坐标系中．锐角 的终边分别与单位圆交于 A 、 B 两点，角 的终边与单位圆交丁 C 点，过点 A 、 B 、 C 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 M 、 N 、 P ．
（ 1 ）如果 ， ，求 的值；
（ 2 ）求证：线段 能构成一个三角形；
（ 3 ）探究第（ 2 ）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
6、 设 ，且 α ， β 满足
（ 1 ）求 的值．
（ 2 ）求 cos （ α+β ）的值．
7、 如图，一条河的两岸相互平行．两岸边各有一个小镇 A 与 B ，它们的直线距离为 2 千米，河宽 AC 为 1 千米．根据规划需在线段 BC 上选择一个点 D ，沿 AD 铺设水下电缆，沿 BD 铺设地下电缆．建立数学模型寻找如何铺设电缆费用最低．
（ 1 ）模型建立：
我们假设：
① ． B 、 D 之间的地下电缆沿 _____________ 铺设，每干米地下电缆的铺设费用不变，不妨设为 1 ；
② ． A 、 D 之间的水下电缆沿 _____________ 铺设，每千米水下电缆的铺设费用不变，根据调查为每千米地下电缆铺设费用的两倍；
如果设 ；则 的取值范围为 _____________ ．可以将该项工程的总费用 y 表示为 的函数，这个函数的解析式为 _____________ ．
因此，原实际问题的数学模型为：求 _____________ ，使该项工程的总费用 y 最低．
（ 2 ）模型求解：请求解上述模型．
8、 已知三角形 ABC 中， 、 是方程 的两个实数根．
（ 1 ）若 ，求 的值；
（ 2 ）求 的最小值，并指出此时对应的实数 a 的值．
9、 某校同学设计一个如图所示的 “ 蝴蝶形图案（阴影区域） ” ，其中 A ， B ， C ， D 是抛物线 上的四个不同的点，且 （点 A 、 B 在第二象限，且点 A 在点 B 的左上方）． AC 、 BD 交于点 ．点 为 y 轴上一点，记 ，其中 为锐角．设线段 AF 的长为 m ．
（ 1 ）用 m 与 表示点 A 的横坐标；
（ 2 ）将 m 表示为 的函数；
（ 3 ）求 “ 蝴蝶形图案 ” 面积的最小值，并指出取最小值时 的大小？
10、 设是 定义在 上的函数，若对任何实数 以及 中的任意两数 、 ，恒有 ，则称 为定义域上的 函数．
（ 1 ）判断函数 ， 是否为定义域上的 函数，请说明理由；
（ 2 ）函数 ， 是定义域上的 函数，求实数 的最小值；
（ 3 ）若 是定义域为 的周期函数，且最小正周期为 ．试判断 是否可能为定义域上的 函数．如果可能，请给出至少一个符合条件的函数 ；如果不可能，请说明理由．
11、 如图，在平面直角坐标系 中，角 的终边在第二象限与单位圆交于点 ．
（ 1 ）若点 的横坐标为 ，求 的值．
（ 2 ）若将 绕点 逆时针旋转 ，得到角 （即 ），若 ，求 的值．
12、 已知函数 的部分图像如图所示 .
（ 1 ）求函数 的解析式；
（ 2 ）若 ，求 的取值范围 .
13、 如图某公园有一块直角三角形 的空地，其中 ， ， 长 千米，现要在空地上围出一块正三角形区域 建文化景观区，其中 、 、 分别在 、 、 上．设 ．
（ 1 ）若 ，求 的边长；
（ 2 ）当 多大时， 的边长最小？并求出最小值．
14、 已知数 的相邻两对称轴间的距离为 .
（ 1 ）求 的解析式；
（ 2 ）将函数 的图像向右平移 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变），得到函数 的图像，当 时，求函数 的值域 .
（ 3 ）对于第（ 2 ）问中的函数 ，记方程 在 ，上的根从小到依次为 ，试确定 n 的值，并求 的值 .
15、 在非直角三角形 中，角 的对边分别为 .
（ 1 ）若 ，且 ，判断三角形 的形状；
（ 2 ）若 ，
（ i ）证明： ；（可能运用的公式有 ）
（ ii ）是否存在函数 ，使得对于一切满足条件的 m ，代数式 恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的 ，并证明之；若不存在，请给出一个理由 .
============参考答案============
一、选择题
1、 D
【分析】
由 、 ，结合已知及两角和差正弦公式可得 ，根据三角形内角的性质即可判断 △ 的形状 .
【详解】
由题意， ，
∴ 或 ，
∵ ， ，
∴ 或 .
故选： D
2、 A
【分析】
根据题意求出一个直角三角形的直角边，即可求出锐角 的正切值，从而利用两角和的正切公式即可求出结果．
【详解】
解：根据图形的特点，设四个全等的直角三角形的一条直角边为 ，另一条为 ，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
所以 ，
故 ．
故选： A ．
3、 B
【分析】
首先计算 ，再根据正弦定理判断三角形解的个数的公式，即可判断选项 .
【详解】
，
若 有两解，则 ，即 ，故 A 正确；
若 有唯一解，则 ，或 ，即 或 ，故 B 错误；
若 无解，则 ，即 ，故 C 正确；
当 时，根据正弦定理 ，得 ，故 D 正确 .
故选： B
4、 C
【分析】
根据两角和的正弦公式以及半角公式，简单的三角方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
，
则 “ ” 是 “ ， ” 的充要条件，
故选： ．
5、 A
【分析】
设出扇形的半径与弧长，根据面积与周长列出方程组，求解出半径与弧长，根据弧长公式求出圆心角即为中心角 .
【详解】
设半径为 ，弧长为 ，圆心角为 ，
因为 ，所以 ，
所以 .
故选： A.
【点睛】
本题考查运用扇形的弧长和面积公式求扇形的圆心角，难度较易 . 已知扇形的半径为 ，圆心角为 ，则扇形弧长为 ，面积为 .
6、 C
【分析】
利用反三角函数的定义以及正切函数的周期为 ，即可得到原方程的解 .
【详解】
由 ，
根据正切函数图像以及周期可知：
，
故选： C
【点睛】
本题考查了反三角函数的定义以及正切函数的性质，需熟记正切函数的图像与性质，属于基础题 .
7、 D
【分析】
由题意知， ， ，即可得 的范围，讨论 、 、 对应 的终边位置即可 .
【详解】
∵ 角 的终边在第一象限，
∴ ， ，则 ， ，
当 时，此时 的终边落在第一象限，
当 时，此时 的终边落在第二象限，
当 时，此时 的终边落在第三象限，
综上，角 的终边不可能落在第四象限，
故选： D.
8、 A
【分析】
根据函数的新定义和奇偶性定义，周期的定义分析判断即可
【详解】
因为 ，所以 ，
且 ，
即 的一个周期为 ，
当 时，
且 ，
当 时， ，
所以 是偶函数且周期为 ；
同理， ，所以 ，
且 ，
即 的一个周期为 ，
当 时，
．
且 ，
当 时， ，所以 是偶函数且周期为 ；
综上所述，选 A ．
故选： A
9、 A
【分析】
当 时， ，根据奇偶性的定义判断为偶函数，反之当 为偶函数时， ， ，从而可得结果 .
【详解】
当 时， ，
∵ ， ∴ 为偶函数 .
当 为偶函数时， ， ，
综上所述 是 为偶函数的充分不必要条件，
故选： A.
10、 B
【详解】
，即
由余弦定理可得
可得：
故三角形是直角三角形
故选
点睛：本题主要考查的知识点是三角形的形状判断，余弦定理的应用．直接利用二倍角的余弦函数以及余弦定理化简可得 ，通过边长之间的关系即可判断出三角形的形状．
11、 A
【分析】
根据每个选项中 的范围，得到 的范围，利用正弦函数的图象得到函数 的单调性，再根据函数 的符号去绝对值可得 的单调性 .
【详解】
对于 A ，当 时， ，函数 为减函数，所以 为增函数，故 A 正确；
对于 B ，当 时， ，函数 先递减后递增，所以 先递增后递减，故 B 不正确；
对于 C ，当 时， ，函数 先递增后递减 ，所以 先递增后递减，故 C 不正确；
对于 D ，当 时， ，函数 为递减函数，所以 为递减函数，当 时， ，函数 为递减函数，所以 为增函数，故 D 不正确 .
故选： A
【点睛】
关键点点睛：熟练掌握正弦函数的单调性是本题解题关键 .
12、 B
【分析】
，只需要研究 的根的情况，借助于 和 的图像，根据交点情况，列不等式组，解出 的取值范围 .
【详解】
令 ，则
令 ，则
则问题转化为 在区间 上至少有两个，至少有三个 t ，使得 ，求 的取值范围 .
作出 和 的图像，观察交点个数，
可知使得 的最短区间长度为 2 π ，最长长度为 ，
由题意列不等式的：
解得： .
故选： B
【点睛】
研究 y = Asin ( ωx + φ )+ B 的性质通常用换元法（令 ），转化为研究 的图像和性质较为方便 .
二、填空题
1、
【分析】
直接利用三角函数的坐标定义求解 .
【详解】
由题意，得 ，所以 ；
故答案为： .
2、
【分析】
由三角函数的周期性及其求法直接求值．
【详解】
解：因为 ，
所以由三角函数的周期性及其求法可得最小正周期 ．
故答案为： ．
3、
【分析】
先用平方关系解出余弦，再根据商数关系得到答案 .
【详解】
因为 ，且 是第二象限角，所以 ，所以 .
故答案为： .
4、
【分析】
由已知利用诱导公式化简，再利用同角三角函数基本关系式即可求解．
【详解】
因为 ，
所以 ．
故答案为： ．
5、
【分析】
根据两角和的余弦公式，即可求解 .
【详解】
为锐角，且 ，
， ，
.
故答案为：
6、
【分析】
利用两角和与差的三角函数化简方程为 求解即可．
【详解】
，
可得 ，
所以 ， ，
解得 或 ．
故答案为： ， ．
7、
【分析】
先利用正弦定理求出 再用余弦定理即可求出 .
【详解】
因为 由正弦定理得： 代入 ，解得：
由余弦定理得： ，
因为 , 所以 .
故答案为：
8、
【分析】
直接利用余弦型函数性质的应用求出函数的单调递增区间．
【详解】
解：函数 ，
令 ，
整理得 ，
由于 ， ，
当 时， ．
所以函数的单调递增区间为： ．
故答案为： ．
9、
【分析】
直接利用函数的图象的平移变换的应用，结合简单三角方程的解法求出结果．
【详解】
函数 的图象向右平移 个单位长度后得到
由于与函数 的图象重合，
所以 ，
整理得： ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 的最小值为 ．
故答案为： ．
10、
【分析】
设 ，根据勾股定理和正弦定理建立方程，解之可得答案 .
【详解】
设 ，则 ， ，
故在 中， ，
，即 ．
故答案为： .
11、
【分析】
首先利用基本不等式求得 ，再根据余弦定理变形得 ，
将余切转化为正余弦，再利用正弦定理边角互化，转化为 ，最后利用角 的范围求最值 .
【详解】
由题意得 ，
另一方面， ，
，当且仅当 时取到最小值 ．
故答案为：
12、
【分析】
先确定 的范围，再根据已知条件将区间 等分成 这 4 个区间，可得 ，从而得到 的取值范围，即可得到答案．
【详解】
由于 ，因此 ，
因为对于 y 轴上的任意 5 个不同的点 ，总存在两个不同的点 ，使得 ，
所以把区间 等分成 这 4 个区间，
则 中必有两个点 使得 落在同一区间中，
故 ，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
13、
【分析】
由任意角的三角函数的定义直接求解即可
【详解】
解：因为角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的正半轴重合，其终边上有一点 ，
所以 ，
故答案为：
14、 1
【分析】
直接利用两角和的正切公式化简即可
【详解】
．
故答案为： 1
15、
【分析】
由 的值及 ，可得 的值，计算可得 的值 .
【详解】
解：由 ，且 ，由 ，所以 ，故 ，
故答案为： .
16、 2
【分析】
将 化为 ，然后代值求解即可
【详解】
．
故答案为： 2
17、
【分析】
利用辅助角公式将 转化为 即可 .
【详解】
因为 ，
所以 形式即为 .
故答案为： .
18、
【分析】
直接根据正弦函数的周期性计算可得；
【详解】
解：因为 ，所以函数的最小正周期
故答案为：
19、
【分析】
先根据诱导公式和同角三角函数的基本关系化简原式，然后再根据已知条件求解出原式的值 .
【详解】
因为原式 ，且 即 ，
所以原式 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查三角函数的化简求值，着重考查了诱导公式以及同角三角函数的基本关系，难度一般 .
20、 31
【分析】
先对 ， 化简，然后解出 的值，两个式子相除化简可求得答案
【详解】
解：由题意得 ， ，
解得 ， ，
所以 ．
故答案为： 31
21、 、 、
【分析】
根据 得到 满足的条件式，根据对应条件分析出 的可能取值 .
【详解】
因为 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 与 为锐角，所以 或 ，
当 时，此时 ，所以 或 满足，
当 时，此时 ，所以 或 ，
综上可知：锐角 的可能值为 、 、 .
故答案为： 、 、 .
【点睛】
本题考查三角恒等变换中的两角和的正、余弦公式的运用，对于推理和运算的要求较高，难度一般 .
22、 12
【分析】
如图，设能通过走廊的钢筋的长度为 AB ，设 ， ，则求得 ，然后相加，利用基本不等式可得基本最小值
【详解】
如图，设能通过走廊的钢筋的长度为 AB ，
设 ， ，
则
，当且仅当 时取等号，
故能够通过走廊的钢筋（看作线段，不考虑粗细）的最大长度为 12 米．
故答案为： 12
23、
【详解】
不等式化为 对一切 成立，故 应大于 的最大值 . 易知 ，故 ，即 .
24、 1
【分析】
设 ，则 ，且 ，即 ，则 ，设 ， ， ，则 ，然后在 中利用余弦定理可得 ，在等腰三角形 ABC 中，有 ，几个式子结合化简可得答案
【详解】
设 ，则
中， ，按计算器得 ．
证明：因为 ，设 ，则 ，且 ，即 ，
所以 ，（ 1 ）
设 ， ， ，则 ，
在 中由余弦定理得
（ 2 ）
在等腰三角形 ABC 中， （ 3 ）
将（ 1 ）整理为 ，展开得
，
，
所以 ，将（ 2 ），（ 3 ）代入上式得
，即 ．
故答案为： 1
25、
【分析】
直接应用正弦型最小正周期公式进行求解即可 .
【详解】
函数 的最小正周期 .
故答案为：
26、 二
【分析】
根据 为第三象限的角，写出 的范围，再根据题意得 ，即可判断 所在象限．
【详解】
因为 为第三象限的角，有 ，
所以 ，又 ，所以 ；
当 为偶数时， 是第二象限角，满足 ；
当 为奇数时， 是第四象限角，不满足 ；
故答案为二．
【点睛】
本题主要考查象限角的范围以及三角函数值在各象限的符号．
27、
【分析】
设圆心角和半径，根据周长和面积建立方程组，即可得解 .
【详解】
扇形的周长为 ，面积为 ，
设扇形圆心角 ，半径 r ，
则 ，
，
解得 或 8 （舍去），
所以 .
故答案为： .
28、
【分析】
根据对数的定义，结合正切函数的性质进行求解即可 .
【详解】
根据题意得， ，即 ，
所以 ，
所以函数 的定义域 .
故答案为：
29、
【分析】
根据正弦函数的性质，结合反正弦函数的性质进行求解即可 .
【详解】
因为 ， ，所以 ，
故答案为：
30、
【分析】
依题意根据函数的奇偶性与周期性计算可得；
【详解】
解：根据题意得，
故答案为：
31、
【分析】
根据诱导公式，结合余弦的二倍角公式进行求解即可 .
【详解】
因为 ，所以有：
故答案为： .
32、
【分析】
先对函数变形 ，然后由 可求出函数的递增区间
【详解】
，所以 ，
解得 ，
所以单调递增区间为
故答案为：
33、
【分析】
化简解析式后，利用正弦函数与二次函数的性质求解 .
【详解】
令 ，则 ，
因为 的对称轴方程为 ，
所以
所以 ，所以 ，
所以函数 在 上的值域是 ，
故答案为：
34、
【分析】
根据辅助角公式化简函数 ，其中 ，根据平移公式得 ，再结合奇函数性质即可求解．
【详解】
由根据题意可得，函数 ，其中
因为 向右平移 个单位后，可得 ，
又由 为奇函数，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，所以 ．
故答案为：
35、
【分析】
判断函数的奇偶性、周期，然后根据辅助角公式，结合题中所给的函数的性质进行求解即可 .
【详解】
因为 ，
所以函数 是偶函数，
因为 ，
所以函数 的周期为 .
当 时， ，
因为 ，所以 ，因此 ，
所以 ，
当 时， ，
因为 ，所以 ，因此 ，
所以 ，因此当 时， ，
由题中所给的性质可知： 值域为 .
故答案为：
36、
【分析】
首先由条件判断函数是周期函数，周期为 2 ，利用性质画出函数 的图象，并将函数 的零点转化为函数 与 的交点，利用一个周期的零点个数，结合图象判断 的取值范围 .
【详解】
由题意，函数 为 R 上奇函数，所以 ，且 ，
又 ，可得 ，可得函数 的图象关于点 对称，
联立可得 ，所以 是以 2 为周期的周期函数，
又由函数 的周期为 2 ，且关于点 对称，
因为当 时， ，由图象可知，
函数 和 的图象在 上存在 四个零点，
即一个周期内有 4 个零点，
要使得函数 ，在区间 上有 2021 个零点，
其中 都是函数的零点 , 即函数 在 上有 2017 个零点，如果 是第 2017 个零点，则 ，如果 是第 2018 个零点，则 ，即 .
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：本题的一个关键是不要忽略 ，再利用函数性质画出函数图象以后，关键是分析图象，列出不等式 .
三、解答题
1、 （ 1 ）证明见解析 ；（ 2 ） 18.
【分析】
（ 1 ）根据同角三角函数关系以及二倍角的正弦公式证明即可；
（ 2 ）根据正弦定理以及三角形的面积公式即可求解．
【详解】
（ 1 ）证明：
，
故原命题成立；
（ 2 ） ， ，
又 ，则 ，且 ，
故 ，
的面积 ．
2、 （ 1 ） ；（ 2 ） .
【分析】
(1) 根据 ，再利用两角差的正切公式即可；
(2) ，再利用两角和的正切公式化简求值，结合角的范围即可
【详解】
由题意知，
（ 1 ） ；
（ 2 ）因为 均为锐角，所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，则 ，
，
所以 ．
3、 （ 1 ） ；（ 2 ） ， .
【分析】
（ 1 ）利用直角三角形的性质求出 ， 的长度，设 ，作 交 于 ， 交 于 ，利用图形求出 ，进而可以求解；
（ 2 ）利用（ 1 ）的结论以及三角函数的性质即可求解．
【详解】
解：（ 1 ） ， ，
设 ，作 交 于 E ， 交 于 F ，
∵ ， ∴ ， ，
， ∴ ，则 ，即 ，
；
（ 2 ） ，其中 ， ，
当 ，
，
因此，当 时， 最长为 ．
4、 （ 1 ） ， ；（ 2 ） ；（ 3 ） .
【分析】
（ 1 ）由题意利用正切函数的周期性和对称性，得出结论．
（ 2 ）由题意利用正切函数的单调性，求得 的范围．
（ 3 ）由题意利用正切函数的周期性和零点，正切函数的图象，求得 的范围．
【详解】
解：（ 1 ）由于 ， ， ，
的最小正周期为 ，
令 ，求得 ， ，
故 的图象的对称中心为 ， ， ．
（ 2 ）若函数 在 ， 上严格递增，则 ，求得 ，
即 的范围为 ．
（ 3 ）方程 在 ， 上至少存在 2021 个根，
故当 ， 时， 至少有 2021 个根，
即 ， ，至少有 2021 个根，
即当 ， 时， 至少有 2021 个根．
且在所有满足上述条件的 ， 中， 的最小值不小于 2021 ，
故 至少包含 2020 个周期，即 ，
所以 ．
5、 （ 1 ） ；（ 2 ）证明见解析；（ 3 ）是， .
【分析】
（ 1 ）运用同角的平方关系和任意角的三角函数的定义，结合两角差的余弦公式，计算即可得到所求；
（ 2 ）要证明 ， ， 能构成一个三角形，只需证明两边之和大于第三边即可；
（ 3 ）设线段 ， ， 构成的三角形为 △ ，利用余弦定理求出 ，从而求出 ，再利用正弦定理求出三角形的外接圆的半径，即可判断．
【详解】
解：（ 1 ）由题意得 ，由于 均为锐角，
所以 ， ，
∴ ．
（ 2 ）证明： ，
而 ，
所以 ，
，
所以 ，
同理 ，所以线段 能构成一个三角形．
（ 3 ）三角形的外接圆的面积是定值，证明如下：
设（ 2 ）中的三角形为 中，角 ， 所对的边长为
由余弦定理可得，
，
∵ ， ∴ ， ∴ ，
设外接圆的半径为 R ，则由正弦定理可得 ， ∴ ，
∴ 外接圆的面积 ．
6、 （ 1 ） ；（ 2 ）
【分析】
（ 1 ）将等式 5 sinα+5cosα ＝ 8 左边提取 10 ，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值求出 sin （ α ）的值，由 α 的范围求出 α 的范围，利用同角三角函数间的基本关系化简即可求出 cos （ α ）的值；（ 2 ）利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出 sin （ β ）的值，由 β 的范围求出 β 的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出 cos （ β ）的值，将所求式子利用诱导公式 sin （ θ ）＝ cosθ 变形，其中的角 α+β 变形为（ α ） + （ β ），利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．
【详解】
（ 1 ） ∵5 sinα+5cosα ＝ 8 ，
∴10 （ sinα cosα ）＝ 8 ，即 sin （ α ） ，
∵α∈ （ 0 ， ）， ∴α ∈ （ ， ），
∴cos （ α ） ；
（ 2 ）又 ∵ sinβ cosβ ＝ 2 ，
∴2 （ sinβ cosβ ）＝ 2 ，即 sin （ β ） ，
∵β∈ （ ， ）， ∴β ∈ （ ， ），
∴cos （ β ） ，
∴cos （ α+β ）＝ sin[ （ α+β ） ] ＝ sin[ （ α ） + （ β ） ]
＝ sin （ α ） cos （ β ） +cos （ α ） sin （ β ）
（ ） ．
【点睛】
此题考查了两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式，灵活变换角度是解本题的关键，同时注意角度的范围．本题中灵活运用角的变换的技巧达到了用已知表示未知，是中档题
7、 （ 1 ） BD （直线）； AD （直线）； ； ； ；（ 2 ）答案见解析．
【分析】
（ 1 ）根据题意可得 B 、 D 之间的地下电缆沿线段 BD （直线）铺设， A 、 D 之间的水下电缆沿线段 AD （直线）铺设，结合图示，可得 的范围，由题意可得 、 、 、 的长，即可得 y 的表达式，即可得答案
（ 2 ）设 ，可得 ， ，代入（ 1 ）中方程，可得 y 关于 t 的方程，结合基本不等式即可求得答案 .
【详解】
（ 1 ）由题设 ， ， ， ，
所以
① ． B 、 D 之间的地下电缆沿线段 BD （直线） 铺设，每千米地下电缆的铺设费用不变，不妨设为 1 ；
② ． A 、 D 之间的水下电缆沿线段 AD （直线） 铺设，每千米水下电缆的铺设费用不变，根据调查为每干米地下电缆铺设费用的两倍；
如果设 ；则 的取值范围为 ，可以将该项工程的总费用 y 表示为 的函数，这个函数的解析式为 ．
因此，原实际问题的数学模型为：求 ，使该项工程的总费用 y 最低．
（ 2 ）设 ，则 ， ，
代入（ 1 ）的结论，得
当且仅当 时取等号，即 时，
再由 得
答：当 时，工程总费用 最低为 ．
8、 （ 1 ） ；（ 2 ） ，最小值为 ．
【分析】
（ 1 ）根据韦达定理，可得 ， 的值，根据诱导公式及两角和的正切公式，化简整理，即可得答案 .
（ 2 ）根据题意及韦达定理，分析可得 ，根据诱导公式及两角和的正切公式，可得 的表达式，根据 a 的范围，即可得答案 .
【详解】
（ 1 ）根据韦达定理可得： ， ，
所以 ．
（ 2 ）因为方程有两个实数根，所以 ，解得 或 ，
又因为 ，
所以 与 同号，而三角形中不可能有两个钝角．
所以 与 都大于 0 ，所以 ．
解得 ．
所以
当且仅当 ，即 时， 取到最小值为 ．
9、 （ 1 ） ；（ 2 ） ；（ 3 ） 时， “ 蝴蝶形图案 ” 的面积取最小值为 ．
【分析】
（ 1 ）作 AH 垂直 y 轴于 H ，直接利用正弦即可求出答案；
（ 2 ）求出 A 点的坐标，代入 整理即可得出答案；
（ 3 ）分别求出 ， ， ，则 ，令 ，整理即可求出答案 .
【详解】
（ 1 ）作 AH 垂直 y 轴于 H ，则 ，
所以点 A 的纵坐标为 ．
（ 2 ）点
所以 ，
即 ，解得 ，由于 ，
所以 ．
（ 3 ）同理 ， ， ，
“ 蝴蝶形图案 ” 的面积：
令 ， ，所以
则 ，所以 ，即 时， “ 蝴蝶形图案 ” 的面积取最小值为 ．
10、 （ 1 ） 不是 函数，理由见解析；（ 2 ） ；（ 3 ） 不是 上的 函数，理由见解析．
【分析】
（ 1 ）取 ， ， ，验证 ，即可得出结论；
（ 2 ）设 ，由 化简得出 ，可得出 ，可求得 的取值范围，即可得出实数 的最小值；
（ 3 ）假设 是 上的 函数，若存在 且 、 ，使得 ，分别论证 、 不成立，即
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