上海市2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题含解析.doc

试卷主标题姓名：_ 班级：_考号：_一、选择题（共12题）1、 在 中，已知 ，则 的形状为（ ） A 等腰三角形 B 直角三角形 C 正三角形 D 等腰或直角三角形 2、 赵爽是我国古代数学家、天文学家约公元 222 年，赵爽为周髀算经一书作序时，介绍了 “ 勾股圆方程 ” ，亦称 “ 赵爽弦图 ” ，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如图是一张弦图，已知大正方形的面积为 25 ，小正方形的面积为 1 ，若直角三角形较小的锐角为 ，则 的值为（ ） A 7 B C 4 D 9 3、 在 中，已知 ，设 以下说法错误的是（ ） A 若 有两解， B 若 有唯一解， C 若 无解， D 当 ， 外接圆半径为 10 4、 已知 ，则 “ ” 是 “ ” 的（ ） A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分也非必要条件 5、 一个扇形 的面积是 1 平方厘米，它的周长是 4 厘米，则它的中心角是 A 2 弧度 B 3 弧度 C 4 弧度 D 5 弧度 6、 方程 的解集为（ ） A B C D 7、 角 的终边属于第一象限，那么 的终边不可能属于的象限是（ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 8、 已知定义域是全体实数的函数 满足 ，且 ， ，现定义函数 ， 为： ，其中 ，那么下列关于 ， 叙述正确的是（ ） A 都是偶函数且周期为 B 都是奇函数且周期为 C 都是周期函数但既不是奇函数又不是偶函数 D 都不是周期函数 9、 已知函数 ，则 “ ” 是 “ 为偶函数 ” 的（ ）条件 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分也非必要条件 10、 在 中， ，则 的形状为（ ） A 正三角形 B 直角三角形 C 等腰直角三角形 D 等腰三角形 11、 设定义在 上的函数 ，则 （ ） A 在区间 上是增函数 B 在区间 上是减函数 C 在区间 上是增函数 D 在区间 上是减函数 12、 设函数 ，若对于任意实数 ， 在区间 上至少有 2 个零点，至多有 3 个零点，则 的取值范围是（） A B C D 二、填空题（共36题）1、 已知角 的终边经过点 ，则 的值是 _ 2、 函数 的最小正周期是 _ 3、 已知 ，且 是第二象限角，则 的值是 _ 4、 已知 ，则 _ 5、 若 为锐角，且 ，则 _ 6、 方程 在 上的解组成的集合为 _ 7、 已知 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 ，则 _ 8、 函数 ， 的严格递增区间是 _ 9、 函数 的图像向右平移 个单位长度后与函数 的图像重合，则 的最小值为 _ 10、 在等腰直角三角形 中， ， ， M 是 中点，点 D 是 AC 上一点，若 ，则 _ 11、 设 的内角 A 、 B 、 C 满足 ，则 的最小值为 _ 12、 在平面直角坐标系中，已知点 ， ，若对于 y 轴上的任意 5 个不同的点 ，总存在两个不同的点 ，使得 ，则 的最小值为 _ 13、 已知平面直角坐标系中，角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的正半轴重合，其终边上有一点 ，则 _ 14、 计算： _ 15、 若 ，且 ，则 _ 16、 已知 ，则 _ 17、 把 化为 （其中 ， 的形式： _ 18、 函数 的最小正周期为 _ 19、 已知： ，则 _ 20、 若 ， ，则 _ 21、 小瑗在解试题： “ 已知锐角 与 的值，求 的正弦值 ” 时，误将两角和的正弦公式错记成了 “ ” ，解得的结果为 ，发现与标准答案一致，那么原题中的锐角 的值为 _ （写出所有的可能值） 22、 如图，平面上有一条走廊宽为 3 米，夹角为 120 ，地面是水平的，走廊两端足够长那么能够通过走廊的钢筋（看作线段，不考虑粗细）的最大长度为 _ 米 23、 设 ，使不等式 成立的实数 取值范围是 _ . 24、 如图，已知等腰三角形 ABC 的顶角 ， D 是腰 AB 上一点若 ， ，则 _ 25、 函数 的最小正周期为 _. 26、 为第三象限的角，且 ，则 是第 _ 象限的角 27、 已知扇形的周长为 ，面积为 ，则扇形的圆心角 的弧度数为 _. 28、 函数 的定义域为 _. 29、 方程 在 内的解为 _ （用反三角函数表示） 30、 已知奇函数 的一个周期为 2 ，当 时， ，则 _. 31、 已知角 满足 ，则 _ 32、 函数 的单调递增区间为 _. 33、 函数 在 上的值域是 _. 34、 已知 向右平移 个单位后为奇函数，则 _. 35、 我们知道函数的性质中，以下两个结论是正确的： 偶函数 在区间 上的取值范围与在区间 上的取值范围是相同的； 周期函数 在一个周期内的取值范围也就是 在定义域上的值域，由此可求函数 的值域为 _. 36、 已知定义在 R 上的奇函数，满足 ，当 时， ，若函数 ，在区间 上有 2021 个零点，则 m 的取值范围是 _ 三、解答题（共15题）1、 （ 1 ）证明： ； （ 2 ） 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，若 ，求 的面积 S 2、 已知 ，且 是锐角 （ 1 ）求 的值； （ 2 ）求 的值 3、 某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形 的半径为 10 ， 交 于 M ，交 于 C ，且 ，设 ， （ 1 ）用 表示 的长度； （ 2 ）若按此方案设计，工艺制造厂发现，当 最长时，该奖杯比较美观的长度以及 的大小 4、 已知函数 ，其中 ， （ 1 ）若 ，求函数 的最小正周期以及函数图像的对称中心； （ 2 ）若函数 在 上严格递增，求 的取值范围； （ 3 ）若函数 在 （ 且 ）满足：方程 在 上至少存在 2021 个根，且在所有满足上述条件的 中， 的最小值不小于 2021 ，求 的取值范围 5、 如图，在平面直角坐标系中锐角 的终边分别与单位圆交于 A 、 B 两点，角 的终边与单位圆交丁 C 点，过点 A 、 B 、 C 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 M 、 N 、 P （ 1 ）如果 ， ，求 的值； （ 2 ）求证：线段 能构成一个三角形； （ 3 ）探究第（ 2 ）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由 6、 设 ，且 ， 满足 （ 1 ）求 的值 （ 2 ）求 cos （ + ）的值 7、 如图，一条河的两岸相互平行两岸边各有一个小镇 A 与 B ，它们的直线距离为 2 千米，河宽 AC 为 1 千米根据规划需在线段 BC 上选择一个点 D ，沿 AD 铺设水下电缆，沿 BD 铺设地下电缆建立数学模型寻找如何铺设电缆费用最低 （ 1 ）模型建立： 我们假设： B 、 D 之间的地下电缆沿 _ 铺设，每干米地下电缆的铺设费用不变，不妨设为 1 ； A 、 D 之间的水下电缆沿 _ 铺设，每千米水下电缆的铺设费用不变，根据调查为每千米地下电缆铺设费用的两倍； 如果设 ；则 的取值范围为 _ 可以将该项工程的总费用 y 表示为 的函数，这个函数的解析式为 _ 因此，原实际问题的数学模型为：求 _ ，使该项工程的总费用 y 最低 （ 2 ）模型求解：请求解上述模型 8、 已知三角形 ABC 中， 、 是方程 的两个实数根 （ 1 ）若 ，求 的值； （ 2 ）求 的最小值，并指出此时对应的实数 a 的值 9、 某校同学设计一个如图所示的 “ 蝴蝶形图案（阴影区域） ” ，其中 A ， B ， C ， D 是抛物线 上的四个不同的点，且 （点 A 、 B 在第二象限，且点 A 在点 B 的左上方） AC 、 BD 交于点 点 为 y 轴上一点，记 ，其中 为锐角设线段 AF 的长为 m （ 1 ）用 m 与 表示点 A 的横坐标； （ 2 ）将 m 表示为 的函数； （ 3 ）求 “ 蝴蝶形图案 ” 面积的最小值，并指出取最小值时 的大小？ 10、 设是 定义在 上的函数，若对任何实数 以及 中的任意两数 、 ，恒有 ，则称 为定义域上的 函数 （ 1 ）判断函数 ， 是否为定义域上的 函数，请说明理由； （ 2 ）函数 ， 是定义域上的 函数，求实数 的最小值； （ 3 ）若 是定义域为 的周期函数，且最小正周期为 试判断 是否可能为定义域上的 函数如果可能，请给出至少一个符合条件的函数 ；如果不可能，请说明理由 11、 如图，在平面直角坐标系 中，角 的终边在第二象限与单位圆交于点 （ 1 ）若点 的横坐标为 ，求 的值 （ 2 ）若将 绕点 逆时针旋转 ，得到角 （即 ），若 ，求 的值 12、 已知函数 的部分图像如图所示 . （ 1 ）求函数 的解析式； （ 2 ）若 ，求 的取值范围 . 13、 如图某公园有一块直角三角形 的空地，其中 ， ， 长 千米，现要在空地上围出一块正三角形区域 建文化景观区，其中 、 、 分别在 、 、 上设 （ 1 ）若 ，求 的边长； （ 2 ）当 多大时， 的边长最小？并求出最小值 14、 已知数 的相邻两对称轴间的距离为 . （ 1 ）求 的解析式； （ 2 ）将函数 的图像向右平移 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变），得到函数 的图像，当 时，求函数 的值域 . （ 3 ）对于第（ 2 ）问中的函数 ，记方程 在 ，上的根从小到依次为 ，试确定 n 的值，并求 的值 . 15、 在非直角三角形 中，角 的对边分别为 . （ 1 ）若 ，且 ，判断三角形 的形状； （ 2 ）若 ， （ i ）证明： ；（可能运用的公式有 ） （ ii ）是否存在函数 ，使得对于一切满足条件的 m ，代数式 恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的 ，并证明之；若不存在，请给出一个理由 . =参考答案=一、选择题1、 D 【分析】 由 、 ，结合已知及两角和差正弦公式可得 ，根据三角形内角的性质即可判断 的形状 . 【详解】 由题意， ， 或 ， ， ， 或 . 故选： D 2、 A 【分析】 根据题意求出一个直角三角形的直角边，即可求出锐角 的正切值，从而利用两角和的正切公式即可求出结果 【详解】 解：根据图形的特点，设四个全等的直角三角形的一条直角边为 ，另一条为 ， 所以 ， 解得 ， 所以 ， 所以 ， 故 故选： A 3、 B 【分析】 首先计算 ，再根据正弦定理判断三角形解的个数的公式，即可判断选项 . 【详解】 ， 若 有两解，则 ，即 ，故 A 正确； 若 有唯一解，则 ，或 ，即 或 ，故 B 错误； 若 无解，则 ，即 ，故 C 正确； 当 时，根据正弦定理 ，得 ，故 D 正确 . 故选： B 4、 C 【分析】 根据两角和的正弦公式以及半角公式，简单的三角方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【详解】 ， 则 “ ” 是 “ ， ” 的充要条件， 故选： 5、 A 【分析】 设出扇形的半径与弧长，根据面积与周长列出方程组，求解出半径与弧长，根据弧长公式求出圆心角即为中心角 . 【详解】 设半径为 ，弧长为 ，圆心角为 ， 因为 ，所以 ， 所以 . 故选： A. 【点睛】 本题考查运用扇形的弧长和面积公式求扇形的圆心角，难度较易 . 已知扇形的半径为 ，圆心角为 ，则扇形弧长为 ，面积为 . 6、 C 【分析】 利用反三角函数的定义以及正切函数的周期为 ，即可得到原方程的解 . 【详解】 由 ， 根据正切函数图像以及周期可知： ， 故选： C 【点睛】 本题考查了反三角函数的定义以及正切函数的性质，需熟记正切函数的图像与性质，属于基础题 . 7、 D 【分析】 由题意知， ， ，即可得 的范围，讨论 、 、 对应 的终边位置即可 . 【详解】 角 的终边在第一象限， ， ，则 ， ， 当 时，此时 的终边落在第一象限， 当 时，此时 的终边落在第二象限， 当 时，此时 的终边落在第三象限， 综上，角 的终边不可能落在第四象限， 故选： D. 8、 A 【分析】 根据函数的新定义和奇偶性定义，周期的定义分析判断即可 【详解】 因为 ，所以 ， 且 ， 即 的一个周期为 ， 当 时， 且 ， 当 时， ， 所以 是偶函数且周期为 ； 同理， ，所以 ， 且 ， 即 的一个周期为 ， 当 时， 且 ， 当 时， ，所以 是偶函数且周期为 ； 综上所述，选 A 故选： A 9、 A 【分析】 当 时， ，根据奇偶性的定义判断为偶函数，反之当 为偶函数时， ， ，从而可得结果 . 【详解】 当 时， ， ， 为偶函数 . 当 为偶函数时， ， ， 综上所述 是 为偶函数的充分不必要条件， 故选： A. 10、 B 【详解】 ，即 由余弦定理可得 可得： 故三角形是直角三角形 故选 点睛：本题主要考查的知识点是三角形的形状判断，余弦定理的应用直接利用二倍角的余弦函数以及余弦定理化简可得 ，通过边长之间的关系即可判断出三角形的形状 11、 A 【分析】 根据每个选项中 的范围，得到 的范围，利用正弦函数的图象得到函数 的单调性，再根据函数 的符号去绝对值可得 的单调性 . 【详解】 对于 A ，当 时， ，函数 为减函数，所以 为增函数，故 A 正确； 对于 B ，当 时， ，函数 先递减后递增，所以 先递增后递减，故 B 不正确； 对于 C ，当 时， ，函数 先递增后递减 ，所以 先递增后递减，故 C 不正确； 对于 D ，当 时， ，函数 为递减函数，所以 为递减函数，当 时， ，函数 为递减函数，所以 为增函数，故 D 不正确 . 故选： A 【点睛】 关键点点睛：熟练掌握正弦函数的单调性是本题解题关键 . 12、 B 【分析】 ，只需要研究 的根的情况，借助于 和 的图像，根据交点情况，列不等式组，解出 的取值范围 . 【详解】 令 ，则 令 ，则 则问题转化为 在区间 上至少有两个，至少有三个 t ，使得 ，求 的取值范围 . 作出 和 的图像，观察交点个数， 可知使得 的最短区间长度为 2 ，最长长度为 ， 由题意列不等式的： 解得： . 故选： B 【点睛】 研究 y = Asin ( x + )+ B 的性质通常用换元法（令 ），转化为研究 的图像和性质较为方便 . 二、填空题1、 【分析】 直接利用三角函数的坐标定义求解 . 【详解】 由题意，得 ，所以 ； 故答案为： . 2、 【分析】 由三角函数的周期性及其求法直接求值 【详解】 解：因为 ， 所以由三角函数的周期性及其求法可得最小正周期 故答案为： 3、 【分析】 先用平方关系解出余弦，再根据商数关系得到答案 . 【详解】 因为 ，且 是第二象限角，所以 ，所以 . 故答案为： . 4、 【分析】 由已知利用诱导公式化简，再利用同角三角函数基本关系式即可求解 【详解】 因为 ， 所以 故答案为： 5、 【分析】 根据两角和的余弦公式，即可求解 . 【详解】 为锐角，且 ， ， ， . 故答案为： 6、 【分析】 利用两角和与差的三角函数化简方程为 求解即可 【详解】 ， 可得 ， 所以 ， ， 解得 或 故答案为： ， 7、 【分析】 先利用正弦定理求出 再用余弦定理即可求出 . 【详解】 因为 由正弦定理得： 代入 ，解得： 由余弦定理得： ， 因为 , 所以 . 故答案为： 8、 【分析】 直接利用余弦型函数性质的应用求出函数的单调递增区间 【详解】 解：函数 ， 令 ， 整理得 ， 由于 ， ， 当 时， 所以函数的单调递增区间为： 故答案为： 9、 【分析】 直接利用函数的图象的平移变换的应用，结合简单三角方程的解法求出结果 【详解】 函数 的图象向右平移 个单位长度后得到 由于与函数 的图象重合， 所以 ， 整理得： ， 当 时， ， 当 时， ， 所以 的最小值为 故答案为： 10、 【分析】 设 ，根据勾股定理和正弦定理建立方程，解之可得答案 . 【详解】 设 ，则 ， ， 故在 中， ， ，即 故答案为： . 11、 【分析】 首先利用基本不等式求得 ，再根据余弦定理变形得 ， 将余切转化为正余弦，再利用正弦定理边角互化，转化为 ，最后利用角 的范围求最值 . 【详解】 由题意得 ， 另一方面， ， ，当且仅当 时取到最小值 故答案为： 12、 【分析】 先确定 的范围，再根据已知条件将区间 等分成 这 4 个区间，可得 ，从而得到 的取值范围，即可得到答案 【详解】 由于 ，因此 ， 因为对于 y 轴上的任意 5 个不同的点 ，总存在两个不同的点 ，使得 ， 所以把区间 等分成 这 4 个区间， 则 中必有两个点 使得 落在同一区间中， 故 ， 所以 的最小值为 . 故答案为： . 13、 【分析】 由任意角的三角函数的定义直接求解即可 【详解】 解：因为角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的正半轴重合，其终边上有一点 ， 所以 ， 故答案为： 14、 1 【分析】 直接利用两角和的正切公式化简即可 【详解】 故答案为： 1 15、 【分析】 由 的值及 ，可得 的值，计算可得 的值 . 【详解】 解：由 ，且 ，由 ，所以 ，故 ， 故答案为： . 16、 2 【分析】 将 化为 ，然后代值求解即可 【详解】 故答案为： 2 17、 【分析】 利用辅助角公式将 转化为 即可 . 【详解】 因为 ， 所以 形式即为 . 故答案为： . 18、 【分析】 直接根据正弦函数的周期性计算可得； 【详解】 解：因为 ，所以函数的最小正周期 故答案为： 19、 【分析】 先根据诱导公式和同角三角函数的基本关系化简原式，然后再根据已知条件求解出原式的值 . 【详解】 因为原式 ，且 即 ， 所以原式 . 故答案为： . 【点睛】 本题考查三角函数的化简求值，着重考查了诱导公式以及同角三角函数的基本关系，难度一般 . 20、 31 【分析】 先对 ， 化简，然后解出 的值，两个式子相除化简可求得答案 【详解】 解：由题意得 ， ， 解得 ， ， 所以 故答案为： 31 21、 、 、 【分析】 根据 得到 满足的条件式，根据对应条件分析出 的可能取值 . 【详解】 因为 ， 所以 ， 所以 ， 又因为 与 为锐角，所以 或 ， 当 时，此时 ，所以 或 满足， 当 时，此时 ，所以 或 ， 综上可知：锐角 的可能值为 、 、 . 故答案为： 、 、 . 【点睛】 本题考查三角恒等变换中的两角和的正、余弦公式的运用，对于推理和运算的要求较高，难度一般 . 22、 12 【分析】 如图，设能通过走廊的钢筋的长度为 AB ，设 ， ，则求得 ，然后相加，利用基本不等式可得基本最小值 【详解】 如图，设能通过走廊的钢筋的长度为 AB ， 设 ， ， 则 ，当且仅当 时取等号， 故能够通过走廊的钢筋（看作线段，不考虑粗细）的最大长度为 12 米 故答案为： 12 23、 【详解】 不等式化为 对一切 成立，故 应大于 的最大值 . 易知 ，故 ，即 . 24、 1 【分析】 设 ，则 ，且 ，即 ，则 ，设 ， ， ，则 ，然后在 中利用余弦定理可得 ，在等腰三角形 ABC 中，有 ，几个式子结合化简可得答案 【详解】 设 ，则 中， ，按计算器得 证明：因为 ，设 ，则 ，且 ，即 ， 所以 ，（ 1 ） 设 ， ， ，则 ， 在 中由余弦定理得 （ 2 ） 在等腰三角形 ABC 中， （ 3 ） 将（ 1 ）整理为 ，展开得 ， ， 所以 ，将（ 2 ），（ 3 ）代入上式得 ，即 故答案为： 1 25、 【分析】 直接应用正弦型最小正周期公式进行求解即可 . 【详解】 函数 的最小正周期 . 故答案为： 26、 二 【分析】 根据 为第三象限的角，写出 的范围，再根据题意得 ，即可判断 所在象限 【详解】 因为 为第三象限的角，有 ， 所以 ，又 ，所以 ； 当 为偶数时， 是第二象限角，满足 ； 当 为奇数时， 是第四象限角，不满足 ； 故答案为二 【点睛】 本题主要考查象限角的范围以及三角函数值在各象限的符号 27、 【分析】 设圆心角和半径，根据周长和面积建立方程组，即可得解 . 【详解】 扇形的周长为 ，面积为 ， 设扇形圆心角 ，半径 r ， 则 ， ， 解得 或 8 （舍去）， 所以 . 故答案为： . 28、 【分析】 根据对数的定义，结合正切函数的性质进行求解即可 . 【详解】 根据题意得， ，即 ， 所以 ， 所以函数 的定义域 . 故答案为： 29、 【分析】 根据正弦函数的性质，结合反正弦函数的性质进行求解即可 . 【详解】 因为 ， ，所以 ， 故答案为： 30、 【分析】 依题意根据函数的奇偶性与周期性计算可得； 【详解】 解：根据题意得， 故答案为： 31、 【分析】 根据诱导公式，结合余弦的二倍角公式进行求解即可 . 【详解】 因为 ，所以有： 故答案为： . 32、 【分析】 先对函数变形 ，然后由 可求出函数的递增区间 【详解】 ，所以 ， 解得 ， 所以单调递增区间为 故答案为： 33、 【分析】 化简解析式后，利用正弦函数与二次函数的性质求解 . 【详解】 令 ，则 ， 因为 的对称轴方程为 ， 所以 所以 ，所以 ， 所以函数 在 上的值域是 ， 故答案为： 34、 【分析】 根据辅助角公式化简函数 ，其中 ，根据平移公式得 ，再结合奇函数性质即可求解 【详解】 由根据题意可得，函数 ，其中 因为 向右平移 个单位后，可得 ， 又由 为奇函数，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 ，所以 故答案为： 35、 【分析】 判断函数的奇偶性、周期，然后根据辅助角公式，结合题中所给的函数的性质进行求解即可 . 【详解】 因为 ， 所以函数 是偶函数， 因为 ， 所以函数 的周期为 . 当 时， ， 因为 ，所以 ，因此 ， 所以 ， 当 时， ， 因为 ，所以 ，因此 ， 所以 ，因此当 时， ， 由题中所给的性质可知： 值域为 . 故答案为： 36、 【分析】 首先由条件判断函数是周期函数，周期为 2 ，利用性质画出函数 的图象，并将函数 的零点转化为函数 与 的交点，利用一个周期的零点个数，结合图象判断 的取值范围 . 【详解】 由题意，函数 为 R 上奇函数，所以 ，且 ， 又 ，可得 ，可得函数 的图象关于点 对称， 联立可得 ，所以 是以 2 为周期的周期函数， 又由函数 的周期为 2 ，且关于点 对称， 因为当 时， ，由图象可知， 函数 和 的图象在 上存在 四个零点， 即一个周期内有 4 个零点， 要使得函数 ，在区间 上有 2021 个零点， 其中 都是函数的零点 , 即函数 在 上有 2017 个零点，如果 是第 2017 个零点，则 ，如果 是第 2018 个零点，则 ，即 . 故答案为： 【点睛】 关键点点睛：本题的一个关键是不要忽略 ，再利用函数性质画出函数图象以后，关键是分析图象，列出不等式 . 三、解答题1、 （ 1 ）证明见解析 ；（ 2 ） 18. 【分析】 （ 1 ）根据同角三角函数关系以及二倍角的正弦公式证明即可； （ 2 ）根据正弦定理以及三角形的面积公式即可求解 【详解】 （ 1 ）证明： ， 故原命题成立； （ 2 ） ， ， 又 ，则 ，且 ， 故 ， 的面积 2、 （ 1 ） ；（ 2 ） . 【分析】 (1) 根据 ，再利用两角差的正切公式即可； (2) ，再利用两角和的正切公式化简求值，结合角的范围即可 【详解】 由题意知， （ 1 ） ； （ 2 ）因为 均为锐角，所以 ， 所以 ，又 ， 所以 ，则 ， ， 所以 3、 （ 1 ） ；（ 2 ） ， . 【分析】 （ 1 ）利用直角三角形的性质求出 ， 的长度，设 ，作 交 于 ， 交 于 ，利用图形求出 ，进而可以求解； （ 2 ）利用（ 1 ）的结论以及三角函数的性质即可求解 【详解】 解：（ 1 ） ， ， 设 ，作 交 于 E ， 交 于 F ， ， ， ， ， ，则 ，即 ， ； （ 2 ） ，其中 ， ， 当 ， ， 因此，当 时， 最长为 4、 （ 1 ） ， ；（ 2 ） ；（ 3 ） . 【分析】 （ 1 ）由题意利用正切函数的周期性和对称性，得出结论 （ 2 ）由题意利用正切函数的单调性，求得 的范围 （ 3 ）由题意利用正切函数的周期性和零点，正切函数的图象，求得 的范围 【详解】 解：（ 1 ）由于 ， ， ， 的最小正周期为 ， 令 ，求得 ， ， 故 的图象的对称中心为 ， ， （ 2 ）若函数 在 ， 上严格递增，则 ，求得 ， 即 的范围为 （ 3 ）方程 在 ， 上至少存在 2021 个根， 故当 ， 时， 至少有 2021 个根， 即 ， ，至少有 2021 个根， 即当 ， 时， 至少有 2021 个根 且在所有满足上述条件的 ， 中， 的最小值不小于 2021 ， 故 至少包含 2020 个周期，即 ， 所以 5、 （ 1 ） ；（ 2 ）证明见解析；（ 3 ）是， . 【分析】 （ 1 ）运用同角的平方关系和任意角的三角函数的定义，结合两角差的余弦公式，计算即可得到所求； （ 2 ）要证明 ， ， 能构成一个三角形，只需证明两边之和大于第三边即可； （ 3 ）设线段 ， ， 构成的三角形为 ，利用余弦定理求出 ，从而求出 ，再利用正弦定理求出三角形的外接圆的半径，即可判断 【详解】 解：（ 1 ）由题意得 ，由于 均为锐角， 所以 ， ， （ 2 ）证明： ， 而 ， 所以 ， ， 所以 ， 同理 ，所以线段 能构成一个三角形 （ 3 ）三角形的外接圆的面积是定值，证明如下： 设（ 2 ）中的三角形为 中，角 ， 所对的边长为 由余弦定理可得， ， ， ， ， 设外接圆的半径为 R ，则由正弦定理可得 ， ， 外接圆的面积 6、 （ 1 ） ；（ 2 ） 【分析】 （ 1 ）将等式 5 sin+5cos 8 左边提取 10 ，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值求出 sin （ ）的值，由 的范围求出 的范围，利用同角三角函数间的基本关系化简即可求出 cos （ ）的值；（ 2 ）利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出 sin （ ）的值，由 的范围求出 的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出 cos （ ）的值，将所求式子利用诱导公式 sin （ ） cos 变形，其中的角 + 变形为（ ） + （ ），利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值 【详解】 （ 1 ） 5 sin+5cos 8 ， 10 （ sin cos ） 8 ，即 sin （ ） ， （ 0 ， ）， （ ， ）， cos （ ） ； （ 2 ）又 sin cos 2 ， 2 （ sin cos ） 2 ，即 sin （ ） ， （ ， ）， （ ， ）， cos （ ） ， cos （ + ） sin （ + ） sin （ ） + （ ） sin （ ） cos （ ） +cos （ ） sin （ ） （ ） 【点睛】 此题考查了两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式，灵活变换角度是解本题的关键，同时注意角度的范围本题中灵活运用角的变换的技巧达到了用已知表示未知，是中档题 7、 （ 1 ） BD （直线）； AD （直线）； ； ； ；（ 2 ）答案见解析 【分析】 （ 1 ）根据题意可得 B 、 D 之间的地下电缆沿线段 BD （直线）铺设， A 、 D 之间的水下电缆沿线段 AD （直线）铺设，结合图示，可得 的范围，由题意可得 、 、 、 的长，即可得 y 的表达式，即可得答案 （ 2 ）设 ，可得 ， ，代入（ 1 ）中方程，可得 y 关于 t 的方程，结合基本不等式即可求得答案 . 【详解】 （ 1 ）由题设 ， ， ， ， 所以 B 、 D 之间的地下电缆沿线段 BD （直线） 铺设，每千米地下电缆的铺设费用不变，不妨设为 1 ； A 、 D 之间的水下电缆沿线段 AD （直线） 铺设，每千米水下电缆的铺设费用不变，根据调查为每干米地下电缆铺设费用的两倍； 如果设 ；则 的取值范围为 ，可以将该项工程的总费用 y 表示为 的函数，这个函数的解析式为 因此，原实际问题的数学模型为：求 ，使该项工程的总费用 y 最低 （ 2 ）设 ，则 ， ， 代入（ 1 ）的结论，得 当且仅当 时取等号，即 时， 再由 得 答：当 时，工程总费用 最低为 8、 （ 1 ） ；（ 2 ） ，最小值为 【分析】 （ 1 ）根据韦达定理，可得 ， 的值，根据诱导公式及两角和的正切公式，化简整理，即可得答案 . （ 2 ）根据题意及韦达定理，分析可得 ，根据诱导公式及两角和的正切公式，可得 的表达式，根据 a 的范围，即可得答案 . 【详解】 （ 1 ）根据韦达定理可得： ， ， 所以 （ 2 ）因为方程有两个实数根，所以 ，解得 或 ， 又因为 ， 所以 与 同号，而三角形中不可能有两个钝角 所以 与 都大于 0 ，所以 解得 所以 当且仅当 ，即 时， 取到最小值为 9、 （ 1 ） ；（ 2 ） ；（ 3 ） 时， “ 蝴蝶形图案 ” 的面积取最小值为 【分析】 （ 1 ）作 AH 垂直 y 轴于 H ，直接利用正弦即可求出答案； （ 2 ）求出 A 点的坐标，代入 整理即可得出答案； （ 3 ）分别求出 ， ， ，则 ，令 ，整理即可求出答案 . 【详解】 （ 1 ）作 AH 垂直 y 轴于 H ，则 ， 所以点 A 的纵坐标为 （ 2 ）点 所以 ， 即 ，解得 ，由于 ， 所以 （ 3 ）同理 ， ， ， “ 蝴蝶形图案 ” 的面积： 令 ， ，所以 则 ，所以 ，即 时， “ 蝴蝶形图案 ” 的面积取最小值为 10、 （ 1 ） 不是 函数，理由见解析；（ 2 ） ；（ 3 ） 不是 上的 函数，理由见解析 【分析】 （ 1 ）取 ， ， ，验证 ，即可得出结论； （ 2 ）设 ，由 化简得出 ，可得出 ，可求得 的取值范围，即可得出实数 的最小值； （ 3 ）假设 是 上的 函数，若存在 且 、 ，使得 ，分别论证 、 不成立，即