理学版本——哈工大版理论力学全套03.pptx

理论力学1理论力学2yxzFFxFyFzikjFx F cos(F，i)Fy F cos(F，j)Fz F cos(F，k)3-1 空间汇交力系一、力在坐标轴上的投影1、直接投影法若已知力与正交坐标系Oxyz三轴间的夹角，则用直接投影法理论力学3理论力学4yxFxFyFzFFxyjgFx Fsing cosjFy Fsing sinjFz F cosg2、二次（间接）投影法当力与坐标轴Ox、Oy间的夹角不易确定时，可把力F先投影到坐标平面Oxy上，得到力Fxy，然后再把这个力投影到x、y轴上，这叫二次（间接）投影法。z理论力学5理论力学6例 三棱柱底面为直角等腰三角形，在其侧平面ABED上作用有一力F，力F与OAB平面夹角为30，求力F在三个坐标轴上的投影。理论力学7利用二次投影法，先将力F投影到Oxy平面上，然后再分别向x，y，z轴投影。FR (Fx)(Fy)(Fz)理论力学81iFR F F2 Fn F合力的大小和方向为：2 22 ，i)，cos(F，j)，cos(FFR FR FRFR FxiFy jFzk或二、空间汇交力系的合成与平衡1、合成将平面汇交力系合成结果推广到空间汇交力系得：理论力学92、平衡空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的合力等于零。iFR F 0以解析式表示为：Fx 0Fy 0Fz 0空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。10例图示为起重机吊起重物。起重杆的A端用球铰链固定在地面上，B端用绳CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的C点和D点，连线CD平行于x轴。已知CE=EB=DE，角a=30o，CDB平面与水平面间的夹角EBF=30o，重物G=10kN。如不计起重杆的重量,试求起重杆所受的力和绳子的拉力。解：1.取杆AB与重物为研究对象，受力分析如图。x理论力学yaABGCzEF30oF1DF2FAy30oaABGzEFF1FA侧视图理论力学111112.列平衡方程Fx 0F sin45 F2 sin45 0Fy 0FAsin30 F cos45 cos30 F2 cos45 cos30 0Fz 0F cos45 sin30 F2 cos45 sin30 FA cos30 G 0 xyaABGCzEF30oF1DF2FA13.联立求解F F2 3.54 kN，FA 8.66 kN理论力学12xzOrA(x，y，z)yhBF空间力对点的矩的作用效果取决于：力矩的大小、转向和力矩作用面方位。这三个因素可用一个矢量MO(F)MO(F)表示，如图。其模表示力矩的大小；指向表示力矩在其作用面内的转向(符合右手螺旋法则)；方位表示力矩作用面的法线。由于力矩与矩心的位置有关，所以力矩矢的始端一定在矩心O处，是定位矢量。3-2 力对点的矩和力对轴的矩一、力对点的矩以矢量表示力矩矢理论力学13理论力学14以r表示力作用点A的矢径，则MO(F)r F以矩心O为原点建立坐标系，则xzMO(F)rA(x，y，z)yhBFjOikyFyzFzr xi yj zkF Fxi Fy j Fzki jkMO(F)r F xFx(yFz zFy)i(zFx xFz)j(xFy yFx)kMO(F)xi MO(F)y j MO(F)zk 理论力学15yFFxyOx hzAaBb效果的度量，是一个代数量。符号规定：从z轴正向看，若力使刚体逆时针转则取正号，反之取负。也可按右手螺旋法则确定其正负号。由定义可知：(1)当力的作用线与轴平行或相交(共面)时，力对轴的矩等于零。(2)当力沿作用线移动时，它对于轴的矩不变。二、力对轴的矩1、力对轴之矩的定义力对轴的矩定义为力在与该轴垂直面上的投影对该轴与此垂直平面交点的矩。Mz(F)MO(Fxy)Fxyh 2A Oab力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动理论力学16理论力学17理论力学18M z(F)MO(Fxy)MO(Fx)MO(Fy)Fy，Fz，力作用点A的坐标为(x，y，z)，则 xFy yFx同理可得其它两式。故有M x(F)yFz zFyM y(F)zFx xFzM z(F)xFy yFx 2、力对轴之矩的解析表达式设力F在三个坐标轴上的投影分别为Fx，xzOFxFyFzA(x，y，z)ByFyaFxybxyFxF理论力学193、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系比较力对点的矩和力对轴的矩的解析表达式得：MO(F)x M x(F)MO(F)y M y(F)MO(F)z M z(F)即：对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。理论力学20a b c理论力学21Fx F cos cosj Faa2 b2 c2Fy F cos sinj Fba2 b2 c22 22FcFz Fsin Mx(F)Mx(Fx)Mx(Fy)Mx(Fz)FycM y(F)0Mz(F)Mz(Fx)Mz(Fy)Mz(Fz)Fyayx例求力F在三轴上的投影和对三轴的矩。z解：FjcaFxybcos a2 b2a2 b2 c2cosj aa2 b2a2 b a2 b2 c2理论力学22解：MAC(F)MC(F)ACFbaa2 b2MC(F)Fcosa a 2FabcM AC(F)MC(F)cos 例如图所示，长方体棱长为a、b、c，力F沿BD，求力F对AC之矩。FbcaABCDa理论力学233-3空间力偶一、力偶的矢量表示性质：力偶由一个平面平行移至刚体另一个平行平面不影响它对刚体的作用效果。AFFFRBA1F1F2B1F2F1OFR理论力学24空间力偶的等效条件是：作用在同一刚体上的两个力偶，如果力偶矩矢相等，则两力偶等效。FMF二、空间力偶等效定理由力偶的性质可知：力偶的作用效用取决于力偶矩的大小、力偶的转向和力偶作用面的方位。因此可用一矢量M 表示：用M 的模表示力偶矩的大小；M 的指向按右手螺旋法则表示力偶的转向；M 的作用线与力偶作用面的法线方位相同。如图所示。M 称为力偶矩矢。力偶矩矢为一自由矢量。理论力学25理论力学26理论力学27 M M三、空间力偶系的合成与平衡1、合成力偶作用面不在同一平面内的力偶系称为空间力偶系。空间力偶系合成的最后结果为一个合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。即：M M1 M2 Mn Mi根据合矢量投影定理：Mx Mx，y M y，z Mz于是合力偶矩的大小和方向可由下式确定：M (Mx)2(M y)2(Mz)2M xMM yMM zMcos(M，i)cos(M，j)cos(M，k)理论力学28合力偶矩矢的方向余弦例工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受的切削力偶矩均为80Nm。求工件所受合力偶的矩在x，y，z轴上的投影Mx，My，Mz，并求合力偶矩矢的大小和方向。解：将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢表示，并平移到A点。M x M3 M4 cos45 M5 cos45 193.1NmM y M2 80NmM z M1 M4 cos45 M5 cos45 193.1 Nm所以合力偶矩矢的大小2 2cosM，i 0.6786cosM，j 0.2811cosM，k 0.6786M (Mx)(M y)(Mz)M y 0M z 0理论力学292因为：所以：2 2M x 0上式即为空间力偶系的平衡方程。2、平衡空间力偶系可以合成一合力偶，所以空间力偶系平衡的必要与充分条件是：合力偶矩矢等于零。即：M M1 M2 Mn Mi 0理论力学30i i i2 F FMi MO(F)(i 1，n)F1F2yzFnxOF1MnF2M2zyM1xOFnFROMOxyz一、空间任意力系向一点的简化空间力系向点O简化得到一空间汇交力系和一空间力偶系，如图。3-4空间任意力系的简化理论力学31理论力学32 i i空间汇交力系可合成一合力FR：FR F F力系中各力的矢量和称为空间力系的主矢。主矢与简化中心的位置无关。FRMOxyzOi空间力偶系可合成为一合力偶，其矩矢MO：MO MO(F)力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和称为力系对简化中心的主矩。主矩与简化中心的位置有关。空间力系向任一点O简化，可得一力和一力偶，这个力的大小和方向等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O；这个力偶的矩矢等于该力系对简化中心的主矩。理论力学33理论力学34二、空间任意力系的简化结果分析1、空间任意力系简化为一合力偶的情形FR0，MO0简化结果为一个与原力系等效的合力偶，其合力偶矩矢等于对简化中心的主矩。此时力偶矩矢与简化中心位置无关。2、空间任意力系简化为一合力的情形FR0，MO0简化结果为与原力系等效的合力，合力的作用线过简化中心O，其大小和方向等于原力系的主矢。d FR理论力学35简化后为与原力系等效的合力，其大小和方向等于原力系的主矢，合力的作用线离简化中心O的距离为d MOFRFR0，MO0，且FR MOMOFROFR O FROFROO理论力学36MOFROOFR3、空间任意力系简化为力螺旋的情形FR0，MO0，且FR MO此时无法进一步合成，这就是简化的最后结果。这种力与力偶作用面垂直的情形称为力螺旋。FR与MO同方向时，称为右手螺旋；FR与MO反向时，称为左手螺旋。图示为一右手螺旋。理论力学37理论力学38M O理论力学39FR0，MO0，同时两者既不平行，又不垂直，此时可将MO分解为两个分力偶MO和MO，它们分别垂直于FR和平行于FR，则MO和FR可用作用于点O的力FR来代替，最终得一通过点O的力螺旋。MOFROFRMOOOFRO MO4、空间任意力系简化为平衡的情形当空间任意力系向一点简化时出现 主矢FR0，主矩MO0，这是空间任意力系平衡的情形。理论力学40一、空间任意力系的平衡方程FR=0，MO=0Fz 0Fx 0，Fy 0，Mx(F)0，M y(F)0，Mz(F)0空间任意力系平衡的必要与充分条件为：力系中各力在三个坐标轴上投影的代数和等于零，且各力对三个轴的矩的代数和也等于零。上式即为空间任意力系的平衡方程。3-5空间任意力系的平衡理论力学41二、空间约束类型理论力学4243解方程得理论力学 FD 5.8 kN，FB 7.777 kN，FA 4.423 kN 例图示三轮小车，自重G=8kN，作用于E点，载荷F1=10 kN，作用于C点。求小车静止时地面对车轮的约束力。解：以小车为研究对象，主动力和约束反力组成空间平行力系，受力分析如图。列平衡方程Fz 0F 1 G FA FB FD 0M xF 0F 10.2mG1.2m FD 2m 0M yF 0F 10.8mG0.6m FD 0.6mFB 1.2m 0理论力学44例图中胶带的拉力F2=2F1，曲柄上作用有铅垂力F=2kN。已知胶带轮的直径D=400mm，曲柄长R=300mm，胶带1和胶带2与铅垂线间夹角分别为a和，a =30o，=60o，其它尺寸如图所示，求胶带拉力和轴承约束力。理论力学4511111解：以整个轴为研究对象，受力图如图所示。列平衡方程。Fx 0 F sin30 F2sin60 FAx FBx 0Fz 0 F cos30 F2 cos60 F FAz FBz 0M xF 0 F cos30 0.2m F2 cos60 0.2mF0.2m FBz 0.4m 0D2M zF 0 F sin30 0.2m F2sin60 0.2mFBx 0.4m 0注意到 F2=2F1解 F 3kN，F2 6kNAx Az得 FBx 3.35kN，FBz 1.80kN理论力学46例图示为车床主轴。车床对工件的切削力为：径向切削力Fx=4.25kN，纵向切削力Fy=6.8kN，主切削力Fz=17kN，方向如图所示。Ft与Fr分别为作用在直齿轮C上的切向力和径向力，且Fr=0.36Ft。齿轮C的节圆半径为R=50mm，被切削工件的半径为r=30mm。卡盘及工件等自重不计，其余尺寸如图。求:(1)齿轮啮合力Ft及Fr；(2)径向轴承A和止推轴承B的约束力；(3)三爪卡盘E在O处对工件的约束力。理论力学4748876mmFBx 76mmFt 30mmFy 388mmFx 0解：1.以整体为研究对象，主动力和约束力组成空间任意力系。列平衡方程Fx 0 FBx Ft FAx Fx 0Fy 0 FBy Fy 0Fz 0 FBz Fr FAz Fz 0M yF 0 FtRFzr 0M xF 0 48876mmFBx 76mmFr 388mmFz 0M zF 0由题意有r tFt 10.2kN，Fr 3.67kNFAx 15.64kN，FAz 31.87kNFBx 1.19 kN，FBy 6.8kN，FBz 11.2kNF 0.36F解方程得理论力学482.取工件为研究对象，受力分析如图30100MzMyFOxFOzMx OFOyFxFyFz列平衡方程Fx 0 FOx Fx 0Fy 0 FOy Fy 0Fz 0 FOz Fz 0M xF 0 M x Fz 0.1m 0解方程得M yF 0 M y Fz 0.03m 0M zF 0 M z Fx 0.1mFy 0.03m 0FOx 4.25kN，M x 1.7kNmFOy 6.8kN，M y 0.51k NmFOz 17kN，M z 0.22kNm理论力学49AB16C425330o30oAB例 一等边三角形板边长为a,用六根杆支承成水平位置如图所示，若在板内作用一力偶其矩为M。求各杆的约束力。CMM a F 6 0F 6 a F4 0a F 5 0理论力学50AB1530oABCMF22F4F1 63 F5C30oF34F6M BB(F)03 32 24 M3 a3 32 2MCC(F)0 M 4 M3aF4 3 32 2M AA(F)0 M 4 M3 aF 5 解:取等边三角形板为研究对象画受力图。a F 1 4 0F 1 a F2 5 0a F 3 6 0理论力学51M BC(F)03 3 1a F2 2 22M3a3 3 1a F2 2 2M AC(F)02M3aF2 3 3 1a F2 2 2M AB(F)0 2M3aF 3 AB530oA1CMBF22F4F1 63 F5C30oF34F645理论力学52x3m2m3m2mABCD6045G60HyzP例 扒杆如图所示，立柱AB用BG和BH两根缆风绳拉住，并在A点用球铰约束，A、H、G三点位于 xy平面内，G、H两点的位置对称于y轴，臂杆的D端吊悬的重物重P=20kN；求两绳的拉力和支座A的约束力。解：以立柱和臂杆组成的系统为研究对象，受力如图，建立如图所示的坐标。列平衡方程：FH CA45FAy60理论力学53联立求解得：F G FH 28.3kNFAx 0FAy 20kNFAz 69kNBFAzFG6045FAxGHyFx 0:FAx FH cos60 sin45 F G cos60 sin45 0Fy 0:FAy FH cos60 cos45 F G cos60 cos45 0Fz 0:FAz FH sin60 F G sin60 P 0Mx(F)0:FH cos60 cos45 5 F G cos60 cos45 5P5 0M y(F)0:FH cos60 sin45 5F G cos60 sin45 5 0zDP理论力学54例图示均质长方板由六根直杆支持于水平位置，直杆两端用球铰链与板和地面连接。板重为G，在A处作用一水平力F，且F=2G。求各杆的内力。F6 1aF b 0M FGF 0 G Fb F2b 0M BCF 0 G F2 3 cos45 b 0bFF6 1 0 ，F理论力学55解：1.取工件为研究对象，受力分析如图。2.列平衡方程a2b2b2 0a a2 a2 b2M ABF 0 F6aGM AE 0 F5 0M AC 0 F4 0M EF F 0 G3.联立求解G2F2 1.5G，F3 2 2G理论力学56F4F6F1500mmDF2CBF3AFDF5CBAF4 01MDD(F)0MCC(F)0MBC(F)0500F 500F 0M AB(F)01F2 0F6 0F F1000F 5 1000F 0F 5 FAD(F)0M500F 3 500F 5 0F3 FP108习题319MBB(F)0Fy 0:FAy FT cos 30 0FBx FBz 03030理论力学57yzCEAFAxDxFAzFTFAyPFBzBFBx2Mx(F)0:F T sin30 AB FBzAB P 1 AB 02M y(F)0:P 1 AD F T sin30 AD 0 xyzBCDEA3030PP108习题318解：以板为研究对象，受力如图，建立如图所示的坐标。Mz(F)0:FBxAB 02Fx 0:FAx FBx F T cos30 sin30 0Fz 0:FAz FBz F Tsin30 P 0解之得：FT 200N FAx 86.6N FAy 150NFAz 100NxC C C Fxi F yi Fzi理论力学58一、平行力系中心F1FRF2平行力系中心是平行力系合力通过的一个点。平行力系合力作用点的位置仅与各平行力的大小和作用点的位置有关，而与各平行力的方向无关。称该点为此平行力系的中心。xOBzr1ArCCr2yi iiFrFrC i i iF F F ，y ，z3-6重心1 1rCFRF 0 r FF 0 rn FnF 0理论力学59i i i二、重心重力是地球对物体的吸引力，如果将物体看成由无数的质点组成，则重力便构成空间汇交力系。由于物体的尺寸比地球小得多，因此可近似地认为重力是个平行力系，这力系的合力就是物体的重量。不论物体如何放置，其重力的合力作用线相对于物体总是通过一个确定的点，这个点称为物体的重心。iP P P xdl，yl ydl，zl理论力学60对于均质物体、均质板或均质杆，其重心坐标分别为：xCyzxdVVydVVzdVVVVV，C，CxCyzxdAAydAAzdAAAAA，C，CllCCxCl zdll均质物体的重心就是几何中心，即形心。理论力学61三、确定物体重心的方法1、简单几何形状物体的重心如果均质物体有对称面，或对称轴，或对称中心，则该物体的重心必相应地在这个对称面，或对称轴，或对称中心上。简单形状物体的重心可从工程手册上查到。理论力学62例 图示均质等厚物块，其横截面积由半径为R的圆弧AMB与弦AB所围成的弓形，试求其重心在其对称面中的位置。解 1、在物块的对称面上建立图示直角坐标系oxy，由对称性知，弓形体物块的重心必在x轴上，故yc=0。2、图示弓形面积可看成由扇形OAMB去掉三角形OAB得到，由负面积法可求得弓形的重心。扇形和三角行的面积，重心位置查表可得；故所求弓形体物块的重心的坐标为R sina R sina cos2a 3理论力学632 3 2 33R2a R2 sina cosaA1x1 A2x2A1 A2xc 4Rsin3a3(2a sin2a)2Rsina(1cos2a)3(a sinacosa)扇形OAMB的面积A 1 R2a其重心位置：2 Rsina3 ax1 三角形OAB的面积12其重心位置：23(Rcosa)x2 理论力学64i i i2、用组合法求重心分割法如果一个物体由几个简单形状的物体组合而成，而这些物体的重心是已知的，那么整个物体的重心可由下式求出。iP P P负面积法若在物体或薄板内切去一部分（例如有空穴或孔的物体），则这类物体的重心，仍可应用与分割法相同的公式求得，只是切去部分的体积或面积应取负值。xC 2mmyC 27mm理论力学6511i 1Axi A x1A2x 2A3x 3A A A2 A31i 1A y i A y1A2y 2A3y 3A A A2 A3例已知均质等厚Z字型薄板尺寸如图所示。求其重心坐标。解:用虚线分割如图，为三个小矩形，其面积与坐标分别为：x1 15mm，y1 45mm，A 300mm2x2 5mm，y2 30mm，A2 400mm2x3 15mm，y3 5mm，A 3 300mm2则C1C3C2理论力学66i由 yCAyiA R，A (r b)，A2 2 ，y ，y3 3xC 0由对称性，有例已知等厚均质偏心块的R=100mm，r=17mm，b=13mm。求其重心坐标。解：用负面积法，为三部分组成。设大半圆面积为A1，小半圆（半径为r+b）面积为A2 ,小圆（半径为r）面积为A3。11A y1A2y 2A3y 3A A2 A3 5 6 a 5 6 a4a a(a )a34a2a(a2)3 2 a理论力学67解一：（组合法）建立如图坐标：22 22a2aa2 1 a3a22a2 1 aa2 3 a3a2A 1x1 A2x2A 1 A2A 1y1 A2y2A 1 A2xC yC 解二：（负面积法）66 5 a 5 a2 224a2(a2)4a2(a2)A 1x1 A2x2A 1 A2A 1y1 A2y2A 1 A2xC yC 例求图示均质板重心的位置。xyaaaaC1C2OxaaC2aaC1Oy理论力学683、用实验方法测定重心的位置悬挂法zC r l2 H 2理论力学691PxC F l1lFPxC 则后轮升高同理有xC F2 lP1称重法xC xC cos hsinHlsin l2 H 2lcos F2 F 1P Hllcos图中几何关系Cxl理论力学70