2011全国中考真题解析考点汇编☆一次函数与反比例函数的综合应用.docx

(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析考点汇编☆一次函数与反比例函数的综合应用
一、选择题
1. （2011四川凉山，12，4分）二次函数的图象如图所示，反比列函数与正比列函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）
第12题
O
x
y
O
y
x
A
O
y
x
B
O
y
x
D
O
y
x
C

考点：二次函数的图象；正比例函数的图象；反比例函数的图象．
专题：数形结合．
分析：由已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口方向可以知道a的取值范围，对称轴可以确定b的取值范围，然后就可以确定反比例函数与正比例函数y＝bx在同一坐标系内的大致图象．
解答：解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口方向向下，∴a＜0，
对称轴在y轴的左边，∴x＝－＜0，∴b＜0，
∴反比例函数的图象在第二四象限，
正比例函数y＝bx的图象在第二四象限．
故选B．
点评：此题主要考查了从图象上把握有用的条件，准确选择数量关系解得a的值，简单的图象最少能反映出2个条件：开口向下a＜0；对称轴的位置即可确定b的值．
2. （2011•青海）一次函数y=﹣2x+1和反比例函数y=的大致图象是（　　）
A、 B、
C、 D、
考点：反比例函数的图象；一次函数的图象。
分析：根据一次函数的性质，判断出直线经过的象限；再根据反比例函数的性质，判断出反比例函数所在的象限即可．
解答：解：根据题意：一次函数y=﹣2x+1的图象过一、二、四象限；反比例函数y=过一、三象限．
故选：D．
点评：此题主要考查了一次函数的图象及反比例函数的图象，重点是注意y=k1x+b中k1、b及y=中k2的取值．
3. （2011山东青岛，8，3分）已知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当y1＜y2时，x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣1或0＜x＜3 B．﹣1＜x＜0或x＞3 C．﹣1＜x＜0 D．x＞3
考点：反比例函数与一次函数的交点问题。
专题：数形结合。
分析：根据图象知，两个函数的图象的交点是（﹣1，3），（3，﹣1）．由图象可以直接写出当y1＜y2时所对应的x的取值范围．
解答：解：根据图象知，一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=的交点是（﹣1，3），（3，﹣1），
∴当y1＜y2时，﹣1＜x＜0或x＞3；
故选B．
点评：本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题．解答此题时，采用了“数形结合”的数学思想．
（2011杭州，6，3分）如图，函数y1=x-1和函数 y2=2x的图象相交于点M（2，m），N（-1，n），若y1＞y2，则x的取值范围是（　　）

A．x＜-1或0＜x＜2 B．x＜-1或x＞2
C．-1＜x＜0或0＜x＜2 D．-1＜x＜0或x＞2
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
专题：计算题．
分析：根据反比例函数的自变量取值范围，y1与y2图象的交点横坐标，可确定y1＞y2时，x的取值范围．
解答：解：∵函数y1=x-1和函数 y2=2x的图象相交于点M（2，m），N（-1，n），
∴当y1＞y2时，-1＜x＜0或x＞2．
故选D．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题的运用．关键是根据图象的交点坐标，两个函数图象的位置确定自变量的取值范围．
4.（2011浙江台州，9，4分）如图，双曲线y=与直线y=kx+b交于点M．N，并且点M的坐标为（1，3），点N的纵坐标为﹣1．根据图象信息可得关于x的方程=kx+b的解为（　　）

A．﹣3，1 B．﹣3，3 C．﹣1，1 D．﹣1，3
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
分析：首先把M点代入y=中，求出反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式求出N点坐标，求关于x的方程=kx+b的解就是看一次函数与反比例函数图象交点横坐标就是x的值．
解答：解：∵M（1，3）在反比例函数图象上，∴m=1×3=3，∴反比例函数解析式为：y=，
∵N也在反比例函数图象上，点N的纵坐标为﹣1．∴x=﹣3，∴N（﹣3，﹣1），
∴关于x的方程=kx+b的解为：﹣3，1．故选：A．
点评：此题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，关键掌握好利用图象求方程的解时，就是看两函数图象的交点横坐标．.
5. （2011•丹东，6，3分）反比例函数y=的图象如图所示，则一次函数y=kx+k的图象大致是（　　）

A、 B、 C、 D、
考点：反比例函数的图象；一次函数的图象。
专题：数形结合。
分析：根据反比例函数y=的图象所在的象限确定k＞0．然后根据k＞0确定一次函数y=kx+k的图象的单调性及与y轴的交点的大体位置，从而确定该一次函数图象所经过的象限．
解答：解：根据图示知，反比例函数y=的图象位于第一、三象限，
∴k＞0，
∴一次函数y=kx+k的图象与y轴的交点在y轴的正半轴，且该一次函数在定义域内是增函数，
∴一次函数y=kx+k的图象经过第一、二、三象限；
故选D．
点评：本题考查了反比例函数、一次函数的图象．反比例函数y=的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
6. （2011•宜昌，15，3分）如图，直线y=x+2与双曲线y=在第二象限有两个交点，那么m的取值范围在数轴上表示为（　　）
考点：反比例函数与一次函数的交点问题；在数轴上表示不等式的解集。

A、
B、
C、
D、
分析：因为直线y=x+2与双曲线y=在第二象限有两个交点，联立两方程求出m的取值范围即可，然后在数轴上表示出m的取值范围．
解答：解：根据题意知，直线y=x+2与双曲线y=在第二象限有两个交点，
即x+2=有两根，
即x2+2x+3﹣m=0有两解，
△=4﹣4×（3﹣m）＞0，
解得m＞2，
∵双曲线在二、四象限，
∴m﹣3＜0，
∴m＜3，
∴m的取值范围为：2＜m＜3．
故在数轴上表示为．

故选B．
点评：本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题和在数轴上表示不等式的解集的知识点，解答本题的关键是联立两方程解得m的取值范围．
7. （2011贵州毕节，9，3分）一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象大致是( )

考点：反比例函数的图象；一次函数的图象。专题：探究型。
分析：分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可．
解答：解：A、由反比例函数的图象在一、三象限可知k＞0，由一次函数的图象过二、四象限可知k＜0，两结论相矛盾，故本选项错误；B、由反比例函数的图象在二、四象限可知k＜0，由一次函数的图象与y轴交点在y轴的正半轴可知k＞0，两结论相矛盾，故本选项错误；C、由反比例函数的图象在二、四象限可知k＜0，由一次函数的图象过二、三、四象限可知k＜0，两结论一致，故本选项正确；D、由反比例函数的图象在一、三象限可知k＞0，由一次函数的图象与y轴交点在y轴的负半轴可知k＜0，两结论相矛盾，故本选项错误．故选C．
点评：本题考查的是一次函数与反比例函数图象的特点，熟知一次函数与反比例函数的性质是解答此题的关键．
8. （2011•贵阳10，分）如图，反比例函数y1=和正比例函数y2=k2x的图象交于A（﹣1，﹣3）、B（1，3）两点，若＞k2x，则x的取值范围是（　　）

A、﹣1＜x＜0 B、﹣1＜x＜1
C、x＜﹣1或0＜x＜1 D、﹣1＜x＜0或x＞1
考点：反比例函数与一次函数的交点问题。
专题：数形结合。
分析：根据题意知反比例函数和正比例函数相交于A、B两点，若要＞k2x ，只须y1＞y2，在图象上找到反比例函数图象在正比例函数图象上方x的取值范围．
解答：解：根据题意知：
若＞k2x ，
则只须y1＞y2，
又知反比例函数和正比例函数相交于A、B两点，
从图象上可以看出当x＜﹣1或0＜x＜1时y1＞y2，
故选C．
点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数y=中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
9. （2011广东湛江,12,3分）在同一坐标系中，正比例函数y=x与反比例函数的图象大致是（　　）

A、 B、 C、 D、
考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．
分析：根据正比例函数与反比例函数图象的性质进行选择即可．
解答：解：∵正比例函数y=x中，k=1＞0，
∴此图象过一、三象限；
∵反比例函数中，k=2＞0，
∴此函数图象在一、三象限．
故选B．
点评：此题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
10.（2011广西百色，10，4分）二次函数的图象如图，则反比例函数y=﹣与一次函数y=bx+c的图象在同一坐标系内的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．
分析：根据二次函数的图象，推出a＜0，c＜0，顶点坐标都为正值，即可推出，b＞0，﹣a＞0，根据反比例函数和一次函数的图形的性质推出反比例函数在第一、三象限，一次函数经过第一、三，四象限，所以图象大致为B项中的图象．
解答：解：∵二次函数图象的开口向下，
∴a＜0，
∵顶点坐标都为正值，
∴＞0，
∴b＞0，
∴﹣a＞0，
∴反比例函数在第一、三象限，一次函数经过第一、三、四象限．
故选B．
点评：本题主要考查反比例函数的图象的性质．二次函数图象的性质．反比例函数图象的性质，关键在于通过二次函数图象推出a、b的取值范围．
11. （2011•恩施州5,3分）一次函数y1=k1x+b和反比例函数y2=（k1∙k2≠0）的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（　　）
A、﹣2＜x＜0或x＞1 B、﹣2＜x＜1
C、x＜﹣2或x＞1 D、x＜﹣2或0＜x＜1
考点：反比例函数与一次函数的交点问题。
专题：数形结合。
分析：根据图象可以知道一次函数y1=k1x+b和反比例函数y2=（k1∙k2≠0）的图象的交点的横坐标，若y1＞y2，则根据图象可以确定x的取值范围．
解答：解：如图，依题意得一次函数y1=k1x+b和反比例函数y2=（k1∙k2≠0）的图象的交点的横坐标分别为x=﹣2或x=1，
若y1＞y2，则y1的图象在y2的上面，
x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞1．
故选A．
点评：此题主要考查了反比例函数与一次函数的图象的交点问题，解题的关键是利用数形结合的方法解决问题．
12.（2011年山东省东营市，10，3分）如图，直线l和双曲线交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、0P，设△AOC的面积为S1、△BOD的面积为S2、△POE的面积为S3，则（　　）

A、S1＜S2＜S3 B、S1＞S2＞S3 C、S1=S2＞S3 D、S1=S2＜S3
考点：反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题．
专题：几何图形问题．
分析：根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S= |k|．
解答：解：结合题意可得：AB都在双曲线y= 上，
则有S1=S2；
而AB之间，直线在双曲线上方；
故S1=S2＜S3．
故选D．
点评：本题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
13. （2011陕西，8，3分）如图，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为 （ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
考点：反比例函数综合题。
专题：计算题。
分析：先设P（0，b），由直线APB∥x轴，则A，B两点的纵坐标都为b，而A，B分别在反比例函数的图象上，可得到A点坐标为（﹣，b），B点坐标为（，b），从而求出AB的长，然后根据三角形的面积公式计算即可．
解答：解：设P（0，b），∵直线APB∥x轴，∴A，B两点的纵坐标都为b，而点A在反比例函数y=﹣的图象上，∴当y=b，x=﹣，即A点坐标为（﹣，b），又∵点B在反比例函数y=的图象上，∴当y=b，x=，即B点坐标为（，b），∴AB=﹣（﹣）=，∴S△ABC=•AB•OP=•b=3．
故选A．
点评：本题考查了点在函数图象上，点的横纵坐标满足函数图象的解析式．也考查了与坐标轴平行的直线上的点的坐标特点以及三角形的面积公式．
二、填空题
1. （2011江苏南京，15，2分）设函数y=与y=x﹣1的图象的交点坐标为（a，B），则的值为　﹣．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题。
专题：计算题。
分析：把交点坐标代入2个函数后，得到2个方程，求得a，B的解，整理求得﹣的值即可．
解答：解：∵函数y=与y=x﹣1的图象的交点坐标为（a，B），
∴B=，B=a﹣1，
∴=a﹣1，
a2﹣a﹣2=0，
（a﹣2）（a+1）=0，
解得a=2或a=﹣1，
∴B=1或B=﹣2，
∴则的值为．
故答案为：．
点评：考查函数的交点问题；得到2个方程判断出a，B的值是解决本题的关键．
2. （2011江苏苏州，18，3分）如图，已知点A的坐标为（，3），AB丄x轴，垂足为B，连接OA，反比例函数（k＞0）的图象与线段OA、AB分别交于点C、D．若AB=3BD，以点C为圆心，CA的倍的长为半径作圆，则该圆与x轴的位置关系是__________（填”相离”，“相切”或“相交“）．

考点：直线与圆的位置关系；反比例函数图象上点的坐标特征．
分析：根据D点的坐标为（，1），得出反比例函数解析式，再根据A点坐标得出AO直线解析式，进而得出两图象的交点坐标，进而得出AC的长度，再利用直线与圆的位置关系得出答案．
解答：解：∵已知点A的坐标为（，3），AB=3BD，
∴AB=3，BD=1，
∴D点的坐标为（，1），
∴反比例函数解析式为：
y= ，
∴AO直线解析式为：y=kx，
3= k，
∴k= ，
∴y= x，
∴直线y= x与反比例函数y=的交点坐标为：

x=±1，
∴C点的横坐标为1，
纵坐标为：，
CO=2，
∴AC=2-2，
∴CA的 倍= ，
CE= ，
∵ - = ＞0，
∴该圆与x轴的位置关系是相交．
故答案为：相交．
点评：此题主要考查了直线与圆的位置关系以及反比例函数的性质以及直线与反比例函数交点坐标的求法，综合性较强得出AC的长是解决问题的关键．
3. （2011湖北荆州，16，3分）如图，双曲线 y=2x （x＞0）经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC=90°，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB∥x轴．将△ABC沿AC翻折后得AB′C，B′点落在OA上，则四边形OABC的面积是 2．

考点：反比例函数综合题；翻折变换（折叠问题）．
专题：计算题．
分析：延长BC，交x轴于点D，设点C（x，y），AB=a，由角平分线的性质得，CD=CB′，则△OCD≌△OCB′，再由翻折的性质得，BC=B′C，根据反比例函数的性质，可得出S△OCD= 12xy，则S△OCB′= 12xy，由AB∥x轴，得点A（x-a，2y），由题意得2y（x-a）=2，从而得出三角形ABC的面积等于 12ay，即可得出答案．

解答：解：延长BC，交x轴于点D，
设点C（x，y），AB=a，
∵OC平分OA与x轴正半轴的夹角，
∴CD=CB′，△OCD≌△OCB′，
再由翻折的性质得，BC=B′C，
∵双曲线 y=2x （x＞0）经过四边形OABC的顶点A、C，
∴S△OCD= 12xy=1，
∴S△OCB′= 12xy=1，
∵AB∥x轴，
∴点A（x-a，2y），
∴2y（x-a）=2，
∴ay=1，
∴S△ABC= 12ay= 12，
∴SOABC=S△OCB′+S△ABC+S△ABC=1+ 12+ 12=2．
故答案为：2．
点评：本题是一道反比例函数的综合题，考查了翻折的性质、反比例函数的性质以及角平分线的性质，是中考压轴题，难度偏大．
4.（2011广西崇左，8，2分）若一次函数的图象经过反比例函数图象上的两点（1，m）和（n，2），则这个一次函数的解析式是　 　．
考点：待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征．
分析：一次函数的图象经过反比例函数图象上的两点（1，m）和（n，2），先代入求出m，n的值，再用待定系数法可求出函数关系式．
解答：解：（1，m）和（n，2）在函数图象上，因而满足函数解析式，
代入就得到m=﹣4，n=﹣2，
因而点的坐标是（1，4）和（﹣2，2），
设直线的解析式是y=kx+b，
根据题意得到，
解得．
因而一次函数的解析式是．
点评：本题主要考查了函数解析式与图象的关系，函数的图象上的点满足函数解析式，反之，满足解析式的点一定在函数的图象上．
5.（2011湖北黄石，15,3分）若一次函数y=kx+1的图象与反比例函数的图象没有公共点，则实数k的取值范围是．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题。
专题：计算题；数形结合。
分析：因为反比例函数的图象在第一、三象限，故一次函数y=kx+b中，k＜0，解方程组求出当直线与双曲线只有一个交点时，k的值，再确定无公共点时k的取值范围．
解答：解：由反比例函数的性质可知，的图象在第一、三象限，
∴当一次函数y=kx+1与反比例函数图象无交点时，k＜0，
解方程组，得kx2+x﹣1=0，
当两函数图象只有一个交点时，△=0，即1+4k=0，解得，
∴两函数图象无公共点时，．
故答案为：．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．关键是根据形数结合，判断无交点时，图象的位置与系数的关系，找出只有一个交点时k的值，再确定k的取值范围．
6.（2011成都，25，4分）在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数()满足：当x＜0时，y随x的增大而减小．若该反比例函数的图象与直线都经过点P，且，则实数．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题。
专题：计算题。
分析：由反比例函数y＝当x＜0时，y随x的增大而减小，可判断k＞0，设P（x，y），则P点坐标满足反比例函数与一次函数解析式，即xy＝2k，x＋y＝k，又OP2＝x2＋y2，将已知条件代入，列方程求解．
解答：解：∵反比例函数y＝当x＜0时，y随x的增大而减小，∴k＞0，
设P（x，y），则xy＝2k，x＋y＝k，
又∵OP2＝x2＋y2，
∴x2＋y2＝7，即（x＋y）2－2xy＝7，
（k）2－4k＝7，
解得k＝或－1，而k＞0，
∴k＝．
故答案为：．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．关键是根据交点坐标满足反比例函数．一次函数解析式，列方程组求解．
7.（2011•包头，18，3分）如图，已知A（﹣1，m）与B（2，m+3）是反比例函数y=的图象上的两个点，点C是直线AB与x轴的交点，则点C的坐标是　（1，0）　．
A
B
C
O
x
y

考点：反比例函数与一次函数的交点问题。
专题：计算题。
分析：根据反比例函数的性质，横纵坐标的乘积为定值，可得出关于k、m的两个方程，即可得出反比例函数的解析式，从而得出点C的坐标．
解答：解：∵A（﹣1，m）与B（2，m+3）是反比例函数y=的图象上的两个点，
∴，解得k=2，m=﹣2，
∴A（﹣1，﹣2）与B（2，）
设直线AB的解析式为y=ax+b，
∴，∴，
∴直线AB的解析式为y=x﹣，
令y=0，解得x=1，
∴点C的坐标是（1，0）．
故答案为（1，0）．
点评：本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式；求一次函数和x轴的交点坐标．
8. （2011浙江宁波，18，3）正方形的A1B1P1P2顶点P1、P2在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为　（+1，－1）．　．

考点：反比例函数综合题。
专题：综合题。
分析：作P1⊥y轴于C，P2⊥x轴于D，P3⊥x轴于E，P3⊥P2D于F，设P1（a，），则CP1＝a，OC＝，易得Rt△P1B1C≌Rt△B1A1O≌Rt△A1P2D，则OB1＝P1C＝A1D＝a，所以OA1＝B1C＝P2D＝－a，则P2的坐标为（，－a），然后把P2的坐标代入反比例函数y＝，得到a的方程，解方程求出a，得到P2的坐标；设P3的坐标为（b，），易得Rt△P2P3F≌Rt△A2P3E，则P3E＝P3F＝DE＝，通过OE＝OD+DE＝2+＝b，这样得到关于b的方程，解方程求出b，得到P3的坐标．
解答：解：作P1⊥y轴于C，P2⊥x轴于D，P3⊥x轴于E，P3⊥P2D于F，如图，
设P1（a，），则CP1＝a，OC＝，
∵四边形A1B1P1P2为正方形，
∴Rt△P1B1C≌Rt△B1A1O≌Rt△A1P2D，
∴OB1＝P1C＝A1D＝a，
∴OA1＝B1C＝P2D＝－a，∴OD＝a+－a＝，
∴P2的坐标为（，－a），
把P2的坐标代入y＝（x＞0），得到（－a）•＝2，解得a＝－1（舍）或a＝1，
∴P2（2，1），
设P3的坐标为（b，），
又∵四边形P2P3A2B2为正方形，
∴Rt△P2P3F≌Rt△A2P3E，
∴P3E＝P3F＝DE＝，∴OE＝OD+DE＝2+，
∴2+＝b，解得b＝1－（舍），b＝1+，∴＝＝－1，
∴点P3的坐标为 （+1，－1）．
故答案为：（+1，－1）．
点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点为横纵坐标之积为定值；也考查了正方形的性质和三角形全等的判定与性质以及解分式方程的方法．
9. （2011浙江衢州，15，4分）在直角坐标系中，有如图所示的Rt△ABO，AB⊥x轴于点B，斜边AO=10，sin∠AOB=，反比例函数的图象经过AO的中点C，且与AB交于点D，则点D的坐标为　（8，）　．

考点：反比例函数综合题。
专题：综合题。
分析：由斜边AO=10，sin∠AOB=，根据三角函数的定义可得到AB=6，再由勾股定理得到OB=8，即得到A点坐标为（8，6），从而得到AO的中点C的坐标，代入反比例函数解析式确定k，然后令x=8，即可得到D点的纵坐标．
解答：解：∵斜边AO=10，sin∠AOB=，
∴sin∠AOB=，
∴AB=6，
∴OB==8，
∴A点坐标为（8，6），
而C点为OA的中点，
∴C点坐标为（4，3），
又∵反比例函数的图象经过点C，
∴k=4×3=12，即反比例函数的解析式为y=，
∵D点在反比例函数的图象上，且它的横坐标为8，
∴当x=8，y==，
所以D点坐标为（8，）．
故答案为（8，）．
点评：本题考查了用待定系数法确定反比例的解析式；也考查了正弦的定义和勾股定理以及求线段中点坐标．
10. （2011浙江丽水，16，4分）如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B（2，0），∠AOB=60°，点A在第一象限，过点A的双曲线为．在x轴上取一点P，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O´B´．
（1）当点O´与点A重合时，点P的坐标是　（4，0）　；
（2）设P（t，0），当O´B´与双曲线有交点时，t的取值范围是　4≤t≤或≤t≤﹣4　．

考点：反比例函数综合题；解二元一次方程组；根的判别式；解一元一次不等式；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；三角形内角和定理；含30度角的直角三角形；勾股定理。
专题：计算题。
分析：（1）当点O´与点A重合时，即点O与点A重合，进一步解直角三角形AOB，利用轴对称的现在解答即可；
（2）求出∠MP′O=30°，得到OM=t，OO′=t，过O′作O′N⊥X轴于N，∠OO′N=30°，求出O′的坐标，同法可求B′的坐标，设直线O′B′的解析式是y=kx+b，代入得得到方程组，求出方程组的解即可得到解析式y=（）x﹣t2+t，求出反比例函数的解析式y=，代入上式整理得出方程（2t﹣8）x2+（﹣t2+6t）x﹣4=0，求出方程的判别式b2﹣4ac≥0，求出不等式的解集即可．
解答：解：（1）当点O´与点A重合时
∵∠AOB=60°，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O´B´．
AP′=OP′，
∴△AOP′是等边三角形，
∵B（2，0），
∴BO=BP′=2，
∴点P的坐标是（4，0），
故答案为：（4，0）．

（2）解：∵∠AOB=60°，∠P′MO=90°，
∴∠MP′O=30°，
∴OM=t，OO′=t，
过O′作O′N⊥X轴于N，
∠OO′N=30°，
∴ON=t，NO′=t，
∴O′（t，t），
同法可求B′的坐标是（，t﹣2），
设直线O′B′的解析式是y=kx+b，代入得；，
解得：，
∴y=（）x﹣t2+t，
∵∠ABO=90°，∠AOB=60°，OB=2，
∴OA=4，AB=2，
∴A（2，2），代入反比例函数的解析式得：k=4，
∴y=，代入上式整理得：（2t﹣8）x2+（﹣t2+6t）x﹣4=0，
b2﹣4ac=﹣4（2t﹣8）•（﹣4）≥0，
解得：t≤2t≥﹣2，
∵当点O´与点A重合时，点P的坐标是（4，0）
∴4≤t≤2或﹣2≤t≤4，
故答案为：4≤t≤2或﹣2≤t≤4．
点评：本题主要考查对用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，勾股定理，解二元一次方程组，解不等式，含30度角的直角三角形的性质，三角形的内角和定理，根的判别式等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．
三、解答题
1. （2011内蒙古呼和浩特，21，8）在同一直角坐标系中反比例函数的图象与一次函数y=kx+b的图象相交，且其中一个交点A的坐标为（-2，3），若一次函数的图象又与x轴相交于点B，且△AOB的面积为6（点O为坐标原点）．求一次函数与反比例函数的解析式．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
专题：综合题．
分析：将点A（-2，3）代入中得，得到m=-2×3=-6，即得到反比例函数的解析式；由△AOB的面积为6，求出OB，得到B点坐标为（4，0）或（-4，0），然后分类讨论：
一次函数y=kx+b过（-2，3）和（4，0）或一次函数y=kx+b过（-2，3）和（-4，0），利用待定系数法求出一次函数的解析式．
解答：解：将点A（-2，3）代入中得，m=-2×3=-6，∴m=-6，∴y=-，
又∵△AOB的面积为6，∴•OB•3=6，∴OB=4，∴B点坐标为（4，0）或（-4，0），
①当B（4，0）时，∵点A（-2，3）是两函数的交点，∴，
解得k=-，b=2，∴y=- x+2；
②当B（-4，0）时，
∵点A（-2，3）是两函数的交点，∴，解得k= ，b=6解答：解：将点A（-2，3）代入中得，m=-2×3=-6，∴m=-6，∴y=-，
又∵△AOB的面积为6，∴•OB•3=6，∴OB=4，∴B点坐标为（4，0）或（-4，0），
①当B（4，0）时，∵点A（-2，3）是两函数的交点，∴，
解得k=-，b=2，∴y=- x+2；
②当B（-4，0）时，
∵点A（-2，3）是两函数的交点，∴，解得k= ，b=6，∴y= x+6，∴y= x+6．
所以一次函数的解析式为y=- x+2或y= x+6；反比例函数的解析式为y=-．
点评：本题考查了利用待定系数法求函数的解析式；也考查了分类讨论思想的运用以及三角形的面积公式．
2. （2011四川广安，24，8分）如图6所示，直线l1的方程为y＝－x＋l，直线l2的方程为y＝x＋5，且两直线相交于点P，过点P的双曲线与直线l1的另一交点为Q（3，M）．
（1）求双曲线的解析式．
（2）根据图象直接写出不等式＞－x＋l的解集．

考点：反比例函数的解析式，函数图象的交点，一次函数与反比例函数的综合，利用图象解不等式
专题：一次函数与反比例函数的综合
分析：（1）要确定双曲线的解析式，关键是确定图象上点P的坐标，而点P是直线与的交点，建立方程组即可求得交点坐标；
（2）要求不等式＞－x＋l的解集，表现在图象上就是确定当在何范围内取值时，双曲线的图象在直线的上方．
解答：（1）依题意：
解得：，∴P（－2，3）．
把P（－2，3）代入，得．
∴双曲线的解析式为：y＝
（2）－2＜x＜0或x>3．
点评：（1）确定反比例函数的解析式，只需确定其图象上一点，则．
（2）利用图象比较反比例函数的值与一次函数的值的大小时， 要充分利用数形结合思想进行分析判断，要注意把反比例函数图象与一次函数图象的交点作为界点进行分析，还应注意反比例函数中自变量的性质．
3. （2011•南通）如图，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线y＝（x＞0）交于点B(2，1)，过点P(p，p－1)（p＞1）作x轴的平行线分别交曲线y＝（x＞0）和y＝－（x＜0）于M，N两点.
（1）求m的值及直线l的解析式；
（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；
（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△APM？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由.

考点：反比例函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定与性质。专题：计算题。
分析：（1）将点B的坐标代入即可得出m的值，设直线l的解析式为y=kx+b，再把点A、B的坐标代入，解方程组求得k和b即可得出直线l的解析式；
（2）根据点P在直线y=2上，求出点P的坐标，再证明△PMB∽△PNA即可；
（3）先假设存在，利用S△AMN=4S△AMP．求得p的值，看是否符合要求．
【解】（1）∵点B(2，1)在双曲线y＝上，∴，得m＝2.
设直线l的解析式为y＝kx＋b

∵直线l过A(1，0)和B(2，1)∴，解得
∴直线l的解析式为y＝x－1.
(2) 证明：当x＝p时，y＝p－1，点P(p，p－1)（p＞1）
在直线l上，如右图.
∵P(p，p－1)（p＞1）在直线y＝2上，∴p－1＝2，解得p＝3∴P(3，2)
∵PN∥x轴，∴P、M、N的纵坐标都等于2
把y＝2分别代入双曲线y＝和y＝，解答：得M(1，2)，N(-1，2)
∴，即M是PN的中点，
同理：B是PA的中点，∴BM∥AN∴△PMB∽△PNA.

（3）由于PN∥x轴，P(p，p－1)（p＞1），
∴M、N、P的纵坐标都是p－1（p＞1）
把y＝p－1分别代入双曲线y＝（x＞0）和y＝－（x＜0），
得M的横坐标x＝和N的横坐标x＝－（其中p＞1）
∵S△AMN＝4S△APM且P、M、N在同一直线上，∴，得MN=4PM
即＝4（见（3）两幅图）整理得：p2－p－3＝0或p2－p－1＝0
解得：p＝或p＝由于p＞1，∴负值舍去∴p＝或
经检验p＝和是原题的解，∴存在实数p，使得S△AMN＝4S△APM，
p的值为或.

点评：本题考查的知识点是反比例函数的综合题，以及用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质
4. （2011•宁夏，24，8分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2．若将此直角三角形的一条直角边BC或AC与x轴重合，使点A或点B刚好在反比例函数（x＞0）的图象上时，设△ABC在第一象限部分的面积分别记做S1、S2（如图1、图2所示）D是斜边与y轴的交点，通过计算比较S1、S2的大小．

考点：反比例函数综合题。
专题：计算题。
分析：根据反比例函数的性质，可以得到点A和点B的坐标，分别计算出S1，S2的值，然后比较它们的大小．
解答：解：如图1：∵∠C=90°，∠A=30°，BC=2，
∴AC=2，
∵点A在上，
∴A（，2），
即OC=，
OB=2﹣，
OD=2﹣3，
∴S1=（OD+AC）•OC，
=（2﹣3+2）×，
=6﹣．
如图2：BC=2，AC=2，
B（3，2），
∴AO=2﹣3，
OD=2﹣，
S2=（OD+BC）•OC，
=（2﹣+2）×3，
=6﹣．
所以S1=S2．
点评：本题考查的是反比例函数的综合题，根据反比例函数的性质，结合图形计算面积．
5. （2011山西，20，7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k x＋b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E，已知C点的坐标是（6，－1），DE＝3．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式．
（2）根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？

考点：一次函数，反比例函数
专题：一次函数，反比例函数
分析：（1）∵点C（6，－1）在反比例函数的图象上，代入，计算得m＝－6． ∴反比例函数的解析式为．∵点D也在反比例函数的图象上，且DE＝3，∴代入得，计算得x＝－2，∴点D的坐标为（－2，3），然后用待定系数法可得一次函数的解析式为．
⑵用图像法得，当x＜－2或0＜x＜6时，一次函数的值大于反比例函数的值．
解答：（1）∵点C（6，－1）在反比例函数的图象上，所以，
∴m＝－6，∴反比例函数的解析式为，
∵点D在反比例函数的图象上，且DE＝3，
∴，∴x＝－2，∴点D的坐标为（－2，3），
∵C、D两点在直线y＝k x＋b上，所以，
解得，所以一次函数的解析式为．
（2）当x＜－2或0 ＜x＜ 6时，一次函数的值大于反比例函数的值．
点评：用待定系数法求反比例函数的解析式的条件是有一个已知点在此函数图像上； 用待定系数法求一次函数的解析式的条件中有两个已知点在此函数图像上．用数形结合思想，直接观察图象，就可以得到一次函数的值大于反比例函数的值的自变量x的取值范围，这是用图像法解决问题的常规考题之一．
6.（2011天津，20， 分）已知一次函数y1=x+b（b为常数）的图象与反比例函数（k为常数，且k≠0 ）的图象相交于点P（3，1）．
（I ）求这两个函数的解析式：
（II）当x＞3时，试判断y1与y2的大小，并说明理由．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题。
专题：代数综合题；待定系数法。
分析：（I）利用待定系数法，将P（3，1）代入一次函数